Xây dựng chương trình giải phương trình poisson với điều kiện biên dirichlet trên miền 2d có hình học phức tạp bởi nội suy RBF

LỜI CAM ĐOAN Để hoàn thành đồ án tốt nghiệp thời gian quy định đáp ứng yêu cầu đề tài, thân em cố gắng tìm hiểu nghiên cứu, học tập làm việc thời gian dài Nội dung đồ án hoàn toàn không chép từ đồ án khác Toàn đồ án thân em nghiên cứu xây dựng hướng dẫn cô giáo Em xin cam đoan lời đúng, có thông tin sai lệch em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm trước Hội đồng Thái Nguyên, ngày 11 tháng 06 năm 2012 Sinh viên thực Lê Đình Dương LỜI CẢM ƠN Trong suốt trình thực đồ án tốt nghiệp cố gắng thân, em nhận giúp đỡ tận tình từ phía nhà trường, thầy cô gia đình bạn bè Em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới thầy – cô trường Đại học Công nghệ thông tin Truyền thông truyền đạt kiến thức quý báu cho em suốt trình học tập Em xin chân thành cảm ơn ban lãnh đạo khoa Công nghệ thông tin môn Khoa học máy tính tạo điều kiện để em hoàn thành đồ án Em xin gửi lời cám ơn sâu sắc đến TS Đặng Thị Oanh bận nhiều công việc dành thời gian hướng dẫn giúp đỡ em tận tình trình làm đồ án tốt nghiệp Em xin cảm ơn tới gia đình bạn bè quan tâm, động viên, giúp đỡ tạo điều kiện cho em để em có điều kiện tốt để hoàn thành đồ án Em xin chân thành cảm ơn! Thái nguyên, ngày 11 tháng 06 năm 2012 Sinh viên thực Lê Đình Dương MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN LỜI CẢM ƠN Bảng danh mục từ viết tắt Bảng danh mục hình Bảng danh mục bảng LỜI NÓI ĐẦU Chương CƠ SỞ LÝ THUYẾT 1.1 Khái niệm phương trình đạo hàm riêng 1.2 Một số toán từ thực tế dẫn đến phương trình đạo hàm riêng 10 1.2.1 Mở đầu 10 1.2.2 Bài toán truyền nhiệt vật chất 10 1.2.3 Bài toán truyền nhiệt môi trường phẳng 13 1.2.4 Phương trình truyền nhiệt dừng 14 1.3 Phân loại phương trình cấp hai tuyến tính 16 1.4 Khái niệm toán biên 19 1.4.1 Mở đầu 19 1.4.2 Thí dụ 19 1.5 Nội suy hàm sở bán kính RBF (Radial Basic Function) 22 1.5.1 Một số định nghĩa khái niệm 22 1.5.2 Nội suy liệu phân tán không gian  d 24 Chương 27 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH POISSON VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN DIRICHLET SỬ DỤNG NỘI SUY HÀM RBF TRÊN MIỀN 2D 27 2.1 Phát biểu toán 27 2.2 Rời rạc phương trình poisson tâm phân bố không 27 2.2.1 Phương pháp sai phân hữu hạn 27 2.2.2 Phương pháp phần tử hữu hạn 29 2.3 Phương pháp sử dụng nội suy hàm RBF ( Radial Basic Function ) 31 2.4 Rời rạc hóa miền khảo sát 33 2.5 Xác định tâm điểm lân cận 34 2.6 Tính véc tơ trọng số 34 2.6.1 Véc tơ trọng số từ vi phân số tâm phân bố không 34 2.6.2 Véc tơ trọng số từ nội suy hàm sở bán kính 36 2.6.3 Véc tơ trọng số đơn điểm 38 2.7 Tính nghiệm sai số phương trình 40 2.8 Tính A vế trái phương trình Aui = F 40 Chương 41 3.1 Giới thiệu Matlab 41 3.2 Các bước giải toán 46 3.3 Thử nghiệm 49 KẾT LUẬN 61 TÀI LIỆU THAM KHẢO 62 NHẬN XÉT CỦA GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN 63 Bảng danh mục từ viết tắt Viết tắt Diễn giải RBF Radial Basis Function (hàm sở bán kính) MQ Multiquadric IMQ Inverse multiquadric Gauss Gaussian W33 Wendland’C6 SPHH HV Sai phân hữu hạn Hình vuông HCN Hình chữ nhật PTHH Phần tử hữu hạn API Matlab application program Bảng danh mục hình Tên hình Diễn giải Hình 1.1 Bài toán truyền nhiệt vật chất Hình 1.2 Bài toán truyền nhiệt môi trường phẳng Hình 1.3 Phương pháp truyền nhiệt dừng Hình 2.1 Bộ tâm rời rạc, tâm trùng khớp tâm ảnh hưởng phương pháp sai phân hữu hạn khuôn điểm Hình 2.2 Trang 10 13 14 33 Bộ tâm rời rạc, tâm trùng khớp tâm ảnh hưởng phương pháp PTHH với quy tắc cầu phương cho điểm Hình 2.3 Miền khảo sát Hình 2.4 Bộ tâm rời rạc, tâm trùng khớp tâm 33 37 ảnh hưởng phương pháp PTHH với quy tắc cầu 38 phương cho điểm Hình 2.5 Bộ tâm rời rạc trùng khớp ảnh hưởng 44 phương pháp đơn điểm Hình 3.1 Hình 3.2 Hình 3.3 Matlab Desktop 43 M-file Editor 44 Giao diện chương trình 50 Hình 3.4 File help hỗ trợ người dùng 50 Bảng danh mục bảng Tên bảng Bảng1.1 Diễn giải Trang Một số hàm sở bán kính dùng báo cáo, 27 r  x  xk Bảng 1.2 Một số hàm sở bán kính với tham số hình dạng  >0 Bảng 3.1 Bảng 3.2 Bảng hàm thử laplac tương ứng Bảng miền hình học 28 51 51 LỜI NÓI ĐẦU Ngày nay, công nghệ thông tin phát triển, người ứng dụng vào nhiều lĩnh vực khác Nhiều tượng khoa họa kỹ thuật dẫn đến toán biên phương trình vật lý Giải toán đến đáp số số yêu cầu quan trọng thực tiễn Có nhiều toán phức tạp, xử lý không gian nhiều chiều miền như: khôi phục biểu diễn đối tượng 3D, mạng nơ-ron, khôi phục nhận dạng ảnh… cần độ sai số thấp Do kỹ thuật nội suy có độ xác cao hơn, nội suy hàm sở bán kính (Radial Basis Functions) viết tắt RBF Dưới giúp đỡ, bảo tận tình TS Đặng Thị Oanh, em tiến hành nghiên cứu thực đồ án tốt nghiệp, với nội dung: “Sử dụng matlab giải phương trình poisson với điều kiện biên Dirichlet nội suy hàm RBF miền 2D” Nội dung đề tài gồm có chương:  Chương 1: Cơ sở lý thuyết  Chương 2: Giải phương trình Poisson với điều kiện biên Dirichlet sử dụng nội suy hàm RBF miền 2D  Chương 3: Chương trình thử nghiệm Chương CƠ SỞ LÝ THUYẾT 1.1 Khái niệm phương trình đạo hàm riêng Với hàm số biến số y  y  x  ta có khái niệm đạo hàm y’(x): y '  x  = lim x0 y ( x  x)  y ( x) x khái niệm phương trình vi phân y’ = f  x, y  khái niệm toán Cauchy: Tìm hàm số y = xác định x   x0 ,   cho: y ' = f  x, y  , x0 < x  , y  x0    f  x, y  hàm số cho trước x0 , , số cho trước Với hàm số nhiều biến số ta gặp khái niệm toán tường tự Xét hàm số hai biến số u   x, y  , ta có đạo hàm riêng cấp x: u  x  x , y   u  x , y  u  lim x x  x đạo hàm riêng cấp y : u  x, y  y   u  x, y  u  lim y x 0 x đạo hàm riêng cấp hai:  u   u   u   u      x x  x  , y y  y    u  2u   u   u    ,   xy y  x  y x x  y  Nếu đạo hàm riêng 2u 2u hàm liên tục chúng xy yx Phươngtrình:   x, y  2u 2u 2u u   x , y  C x , y + D  x, y      2 x y x x y u + E  x, y  + F  x, y  u  f  x, y  y phương trình đạo hàm riêng u Nó có cấp hai, nghĩa chứa đạo hàm u cấp cao hai Nó phương trình tuyến tính, nghĩa bậc u đạo hàm u 1.2 Một số toán từ thực tế dẫn đến phương trình đạo hàm riêng 1.2.1 Mở đầu Nhiều tượng thay đổi tùy thuộc nhiều biến không gian, biến không gian biến thời gian, mô tả phương trình đạo hàm riêng Sau vài thí dụ 1.2.2 Bài toán truyền nhiệt vật chất Xét vật chất đồng chất, độ dài L  cm  , có thiết diện thẳng nhỏ không đổi S  cm  , có khối lượng riêng   g / cm  , có nhiệt dung C  cal / g 0C  Xét phận vật chất tích V  cm3  Nếu phận có nhiệt độ không đổi nhiệt độ u  0C  nhiệt lượng H  cal  liên hệ với bở công thức: H  u  CV (1.1) Người ta quan sát thấy vật chất có vùng nóng vùng lạnh nhiệt lượng có khả khuếch tán từ vùng nóng sang vùng lạnh Ta gọi suất khuếch tán nhiệt k  cm2 / s  Chú ý Đôi người ta gọi c  k  C suất dẫn nhiệt  cal /  s.cm 0C  vật chất Bây giả sử vật chất bị cách nhiệt khỏi môi trường xung quanh, trừ hai đầu mút Hãy xét diễn biến theo thời gian phân bố nhiệt độ 10 3.3 Thử nghiệm Giao diện chương trình: Hình 3.3 Giao diện chương trình File help hỗ trợ người dùng: Hình 3.4 Help – hỗ trợ người dùng 49 Bảng hàm thử đồ án STT Hàm thử Laplac hàm thử sin(pi.*x).*sin(pi.*y) -2*pi.*pi.*sin(pi.*x)*sin(pi.*y) sin(x+y) sin(2*x.*y) - 4*sin(2*x.*y)*(x.*x + y.*y) Sin(2*pi*(x-y)) - 8.*pi.*pi.*sin(2*pi.*(x - y)) Bảng 3.1 Bảng hàm thử laplac tương ứng Bảng miền hình học Miền hình học STT Lưới tam giác ban đầu Lưới tam giác sau Bảng 3.2 Bảng miền hình học 50 Kết test:  Bài toán 1: Trên hàm thử sin(pi.*x).*sin(pi.*y) với miền hình học miền hình học phức tạp, với số tâm ban đầu 50 số tâm max 1000 ta có: Lưới tam giác ban đầu: Lưới tam giác sau cùng: 51 Sai số so với RBF: Sai số so với FEM: 52 Sai số so với Scaling:  Bài toán Trên hàm thử sin(2*x.*y) với miền hình học hình Elip Số tâm ban đầu 20 số tâm Max 1000 Ta có: Lưới tam giác ban đầu: 53 Lưới tam giác sau cùng: Sai số so với tâm RBF: 54 Sai số so với tâm FEM:  Bài toán Trên hàm thử sin(pi.*x).*sin(pi.*y) với miền hình học miền hình tứ giác, với số tâm ban đầu 50 số tâm max 1000 ta có: Lưới tam giác ban đầu: 55 Lưới tam giác sau cùng: Sai số so với số tâm RBF: 56 Sai số so với số tâm FEM: Sai số so với Scaling: 57  Bài toán Trên hàm thử sin(2*x.*y) với miền hình học miền hình học phức tạp, với số tâm ban đầu 50 số tâm max 1000 ta có: Lưới tam giác ban đầu: Lưới tam giác sau cùng: 58 Sai số so với số tâm RBF: Sai số so với số tâm FEM: 59 Sai số so với Scaling: 60 KẾT LUẬN  Những kết đạt được: Trong trình tìm hiểu nghiên cứu đề tài:”Sử dụng Matlab giải phương trình Poisson với điều kiện biên Dirichlet nội suy hàm RBF miền 2D” giúp đỡ bảo tận tình cô giáo Đặng Thị Oanh em hiểu toán phướng pháp giải toán Và thu số kết định như:  kiến thức ma trận, định thức, véc tơ, đại số tuyến tính  Hiểu toán nội suy hàm sở bán kính RBF(Radial Basic Function)  Giải phương trình Poisson với điều kiện biên Dirichlet sử dụng nội suy hàm RBF miền 2D  Phương pháp phần tử hữu hạn  Tính véc tơ trọng số từ nội suy hàm sở bán kính  Biết lập trình Matlab, thiết kế giao diện GUI  Đưa lưới tam giác miền hình học  Chỉ sai số so với tâm RBF, tâm FEM Scaling  Nghiên cứu cài đặt thử nghiệm chương trình giải phương trình Poisson với điều kiện biên Dirichlet bở nội suy hàm RBF miền 2D Tuy nhiên thời gian hiểu biết có hạn nên đồ án không tránh khỏi thiếu sót Rất mong nhận ý kiến đóng góp thầy cô bạn để đồ án em hoàn thiện  Hướng phát triển  Tiếp tục nghiên cứu sâu toán giải phương trình Poisson với điều kiện biên Dirichlet nội suy RBF  Tiến tới nghiên cứu toán với điều kiện biên hỗn hợp 61 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Tạ Văn Đĩnh,”Phương pháp sai phân phương pháp phần tử hữu hạn”, NXB Khoa học kỹ thuật, (2002) [2] Phạm Kỳ Anh, “Giải tích số”, NXB Đại học quốc gia Hà Nội [3] Trần ích Thịnh – Ngô Như Khoa, “Phương pháp phần tử hữu hạn” [4] www.mathworks.com [5] Li, Chen and Hu,” Generalized Difference Method for Differential Equations”,NXB Marcel, Dekker, Inc, (2000) [6] Babuska, Ivo and Strouboulis, Theofanis,” The Finite Element Method and its Reliability”,NXB Oxford University Press,(2001) [7] Fasshauer, Gregory F,” Meshfree Approximation Methods with MATLAB”, NXB World Scientific Publishing Co., Inc [8] Holger Wendland,” Scattered Data Approximation”, NXB Cambridge University Press 62 NHẬN XÉT CỦA GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN 63 ... matlab giải phương trình poisson với điều kiện biên Dirichlet nội suy hàm RBF miền 2D Nội dung đề tài gồm có chương:  Chương 1: Cơ sở lý thuyết  Chương 2: Giải phương trình Poisson với điều kiện. .. niệm 22 1.5.2 Nội suy liệu phân tán không gian  d 24 Chương 27 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH POISSON VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN DIRICHLET SỬ DỤNG NỘI SUY HÀM RBF TRÊN MIỀN 2D 27 2.1 Phát... det A  26 Chương GIẢI PHƯƠNG TRÌNH POISSON VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN DIRICHLET SỬ DỤNG NỘI SUY HÀM RBF TRÊN MIỀN 2D 2.1 Phát biểu toán Phần miêu tả ngắn gọn số phương pháp truyền thống phương pháp