Xây dựng chương trình giải phương trình poisson với điều kiện biên hỗn hợp bởi nội suy hàm RBF trên miền 2d

LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan toàn nội dung đề tài trình bày đồ án tự tổng hợp nghiên cứu, hướng dẫn khoa học cô giáo TS Đặng Thị Oanh Trong đồ án có sử dụng tài liệu tham khảo phần tài liệu tham khảo LỜI CẢM ƠN Cảm ơn thầy cô trường Đại Học Công Nghệ Thông Tin Truyền Thông – Đại Học Thái Nguyên đã giúp đỡ em suốt thời gian học tập rèn luyện ở trường Cảm ơn giáo viên hướng dẫn Đặng Thị Oanh người người đã trực tiếp bảo hướng dẫn em suốt thời gian qua Cảm ơn môn khoa học máy tính ban lãnh đạo khoa đã tạo điều kiện học tập rèn luyện cho em Cảm ơn gia đình bạn bè đã động viên khích lệ tinh thần giúp đỡ em hoàn thành đồ án Sinh viên thực hiện: Vũ Huy Hoàng Đô MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN LỜI CAM ĐOAN LỜI CẢM ƠN LỜI CẢM ƠN MỤC LỤC MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU 10 LỜI NÓI ĐẦU 10 MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SƠ 11 MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SƠ 11 Khái niệm phương trình đạo hàm riêng .11 Một số toán thực tế dẫn đến phương trình đạo hàm riêng 12 1.2.1 Bài toán truyền nhiệt vật chất 12 1.2.2 Bài toán truyền nhiệt môi trường phẳng 15 2.1.1 Phương trình truyền nhiệt dừng 16 Phân loại phương trình cấp hai tuyến tính 18 Khái niệm toán biên 21 4.1.1 Mở đầu 21 4.1.2 Thí dụ .22 Nội suy hàm RBF(radial basis function) 23 5.1.1 Một số định nghĩa khái niệm 23 5.1.2 Nội suy liệu phân tán không gian 25 CHƯƠNG .29 CHƯƠNG .29 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH POISSON VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN HỖN HỢP BƠI NỘI SUY HÀM RBF TRÊN MIỀN 2D .29 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH POISSON VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN HỖN HỢP BƠI NỘI SUY HÀM RBF TRÊN MIỀN 2D .29 2.1 Phát biểu toán 29 2.2 Rời rạc phương trình poisson tâm phân bố không 29 2.2.1 Phương pháp sai phân hữu hạn 29 2.2.2 Phương pháp phần tử hữu hạn .32 2.3 Phương pháp không lưới bởi trùng khớp toàn cục 34 2.4 Rời rạc hóa miền khảo sát 37 2.5 Xác định tâm điểm lân cận 38 2.6 Tính véc tơ trọng số 39 2.6.1 Véc tơ trọng số từ vi phân số tâm phân bố không 39 2.6.2 Véc tơ trọng số từ nội suy hàm sở bán kính .41 2.6.3 Véc tơ trọng số đơn điểm 45 CHƯƠNG .47 CHƯƠNG .47 CHƯƠNG TRÌNH THỬ NGHIỆM 47 CHƯƠNG TRÌNH THỬ NGHIỆM 47 3.1 Giới thiệu Matlab .47 3.2 Sơ đồ tính toán giải phương trình Poisson kiện biên hỗn hợp bởi nội suy hàm RBF miền 2D 51 3.3 Thử nghiệm 54 3.3.2 Bài toán .55 3.3.3 Bài toán .57 3.3.4 Bài toán .60 3.3.5 Bài toán .62 3.3.6 Bài toán .63 KẾT LUẬN .66 KẾT LUẬN .66 TÀI LIỆU THAM KHẢO 67 TÀI LIỆU THAM KHẢO 67 NHẬN XÉT CỦA GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN 68 NHẬN XÉT CỦA GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN 68 BẢNG CÁC TỪ VIẾT TẮT Viết tắt Diễn giải RBF Radial Basis Function MQ IMQ Multiquadric Inverse multiquadric Gauss Gaussian W33 Wendland’C6 Scaling Hệ số co dãn SPHH Sai phân hữu hạn HCN Hình chữ nhật HV Hình vuông PTHH Phần tử hữu hạn BẢNG DANH MỤC CÁC HÌNH VE Tên hình Hình 1.1 Hình 1.2 Diễn giải vật chất đặt trục Ox từ x = a đến x=a+L=b Bản mỏng vật chất Ω có đường biên đường cong khép kín Γ , đặt mặt phẳng Oxy Số trang 12 14 Bộ tâm rời rạc, tâm trùng khớp tâm Hình 2.1 ảnh hưởng phương pháp sai phân hữu hạn 31 khuôn điểm Bộ tâm rời rạc, tâm trùng khớp tâm ảnh Hình 2.2 hưởng phương pháp PTHH với quy tắc cầu 31 phương cho điểm Hình 2.3 điều kiện biên Neumann 35 Bộ tâm rời rạc, tâm trùng khớp tâm Hình 2.4 ảnh hưởng phương pháp PTHH với quy tắc cầu 36 phương cho điểm Hình 2.5 Bộ tâm rời rạc trùng khớp ảnh hưởng phương pháp đơn điểm 42 Hình 3.1 chuyển ngôn ngữ máy sang tiếng việt 47 Hình 3.2 cài đặt ngông nghữ bàn phím tiếng việt 48 Hình 3.3 tạo file đóng gói 48 Hình 3.4 add file vào gói chương trình 49 Sơ đồ khối phương pháp sử dụng hàm nội suy Hình 3.5 RBF giải toán hỗn hợp với phương trình 51 Poisson Hình 3.6 Miền hình chữ nhật miền hình chữ L 52 Hình 3.7 giao diện chương trình 53 Hình 3.8 Bài toán test hàm thử sin(pi*x)*sin(pi*y) 54 Hình 3.9 Bài toán test hàm thử sin(pi*x)*sin(pi*y) 56 Hình 3.10 Bài toán test hàm thử sin(2*pi*(x-y)) 58 Hình 3.11 Bài toán test hàm thử exp (-x* x - y*y) 60 Hình 3.12 Bài toán test hàm thử exp(- (x - 0.1)^2 - 0.5y^2) 62 BẢNH DANH MỤC CÁC BẢNG Tên bảng Diễn giải Số trang Một số hàm sở bán kính dùng báo Bảng 1.1 Bảng 1.2 Bảng 3.1 Bảng 3.2 Bảng 3.3 cáo, r = x − xk Một số hàm sở bán kính với tham số hình dạng ε >0 Bảng hàm thử đồ án Bảng nghiệm sai số thu hàm thử sin(pi*x)*sin(pi*y) Bảng nghiệm sai số thu hàm thử sin(2*x*y) 25 26 52 55 57 LỜI NÓI ĐẦU Nhiều tượng khoa học kỹ thuật dẫn đến toán biên phương trình vật lý toán Giải toán đến đáp số số yêu cầu quan trọng thực tiễn.Trong số ít trường hợp thật đơn giản việc có thể làm nhờ vào nghiệm tường minh toán dạng công thức sơ cấp, tích phân chuỗi hàm Còn đại đa số trường hợp khác, đặc biệt đối với toán có hệ số biến thiên, toán phi tuyến, toán miền nghiệm tường minh toán không có, có phức tạp Trong trường hợp việc tính nghiệm phải dựa vào phương pháp giải gần đúng Đến có hai phương pháp giả gần đúng quan trọng nghiên cứu nhiều phương pháp sai phân phần tử hữu hạn Cả hai hai phương pháp tìm cách đưa toán biên vật lý toán toán đại số, thường hay nhiều hệ đại số tuyến tính Tuy nhiên cách làm khác Cách làm làm khác dẫn đến hệ là: Có trường hợp phương pháp sai phân hiệu hơn, lại có trường hợp phương pháp pháp phần tử hữu hạn hiệu Là sinh viên năm cuối môn Khoa học máy tính Sau thời gian nghiên cứu em đã chọn đề tài: “Sử dụng Matlab giải phương trình Poisson với điều kiện biên hỗn hợp nội suy hàm RBF miền 2D.” làm đề tài thực tập chuyên ngành Nội dung đề tài gồm chương: Chương 1: Một số kiến thức sở Chương 2: giải phương trình Poisson với điều kiện biên hỗn hợp bởi nội suy hàm RBF miền 2D Chương 3: Chương trình thử nghiệm 10 3.3.1 Bảng hàm thử miền đồ án a) Bảng hàm thử đồ án STT Hàm thử Laplac hàm thử sin(pi*x)*sin(pi*y) -2*pi.*pi.*sin(pi.*x)*sin(pi.*y) sin(2*x*y) - 4*sin(2*x.*y)*(x.*x + y.*y) sin(2*pi*(x-y)) - 8.*pi.*pi.*sin(2*pi.*(x - y)) exp (-x* x - y*y) 4(x^2 + y^2-1)/exp(x^2 + y^2) exp(- (x - 0.1)^2 - 0.5y^2) ((2*x - 1/5)^2 - + y^2) / exp((x - 1/10)^2 + y^2/2) 3.1: Bảng hàm thử đồ án b) Miền thử đồ án Hình chữ nhật Hình chữ L Hình 3.6: Miền hình chữ nhật miền hình chữ L 3.3 Thử nghiệm Giao diện chương trình: 54 Hình 3.7: giao diện chương trình 3.3.2 Bài toán Chọn miền hình chữ nhật, với điều kiện biên hỗn hợp, cụ thể: - Biên trái: u (−1, y ) = sin ( pi * x ) * sin ( pi * y ) , - Biên phải: u (1, y ) = sin ( pi * x ) * sin ( pi * y ) , - Biên dưới: u ( x, −1) = sin ( pi * x ) * sin ( pi * y ) , - Biên trên: u ( x,1) = sin ( pi * x ) * sin ( pi * y ) hàm nội suy hàm Gauss, số tâm ban đầu 20, số tâm lớn 1500, chọn scaling 55 Hình 3.8: test hàm thử sin(pi*x)*sin(pi*y) Hình 3.6: test hàm thử sin(pi*x)*sin(pi*y) 56 (Số nút lưới)^-1 0.0250 Sai số TB Sai số lớn 0.0139 0.1964 0.0167 0.0095 1465 0.0114 0.0048 1294 0.0068 0017 0426 0.0039 0024 1044 0.0021 0005 0269 0.0018 0.0007 0495 0.0009 0.0005 0.0016 0.0002 0.1491 0.0205 Bảng 3.2: Bảng nghiệm sai số thu hàm thử sin(pi*x)*sin(pi*y) 3.3.3 Bài toán Chọn miền hình chữ nhật, với điều kiện biên hỗn hợp, cụ thể: - Biên trái: u (−1, y ) = 2* x *sin ( 2* x * y ) , - Biên phải: u (1, y ) = sin ( 2* x * y ) , - Biên dưới: u ( x, −1) = sin ( 2* x * y ) , - Biên trên: u ( x,1) = sin ( 2* x * y ) hàm nội suy hàm Gauss, số tâm ban đầu 20, số tâm lớn 1500, chọn scaling 57 58 Hình 3.9: test hàm thử sin(2*x*y) 59 (Số nút lưới)^-1 0.0286 0.0192 0.0108 Sai số TB Sai số lớn 0.0414 0.9739 0334 1465 0339 3816 0.0063 0288 6270 0.0049 0280 7761 0.0030 0219 1.7692 0.0022 0194 1.9432 0.0015 0.0011 0.0007 0.0006 0.0171 0.0150 1.9924 1.9913 0.0121 2.0920 0.0109 2.0952 Bảng 3.3: Bảng nghiệm sai số thu hàm thử sin(2*x*y) 3.3.4 Bài toán Chọn miền hình chữ nhật, với điều kiện biên hỗn hợp, cụ thể: - Biên trái: u (−1, y ) = −2* pi *sin ( 2* pi * ( x − y ) ) , - Biên phải: u (1, y ) = sin ( 2* pi * ( x − y ) ) , - Biên dưới: u ( x, −1) = −2* pi *sin ( 2* pi * ( x − y ) ) , - Biên trên: u ( x,1) = sin ( 2* pi * ( x − y ) ) hàm nội suy hàm Gauss, số tâm ban đầu 20, số tâm lớn 1500, chọn scaling 60 Hình 3.10: test hàm thử sin(2*pi*(x-y)) 61 3.3.5 Bài toán Chọn miền hình chữ L, với điều kiện biên hỗn hợp, cụ thể: - G1: u (−1, y ) = −2* y *exp ( − x * x − y * y ) , - G2: u ( x, −1) = exp ( − x * x − y * y ) , - G3: u (1, y ) = exp ( − x * x − y * y ) , - G4: u ( x,1) = −2* x *exp ( − x * x − y * y ) , - G5: u (0, y ) = exp ( − x * x − y * y ) , - G6: u ( x, 0) = −2* x *exp ( − x * x − y * y ) Với G1 biên trái G đánh theo chiều ngược chiều kim đồng hồ, hàm nội suy hàm inverse multiquadric 1, số tâm ban đầu 20, số tâm lớn 1500, chọn scaling 62 Hình 3.11: test hàm thử exp (-x* x - y*y) 3.3.6 Bài toán Chọn miền hình chữ L, với điều kiện biên hỗn hợp, cụ thể: - G1: u (−1, y ) = − y * exp(−( x − 0.1) − 0.5 y ) , - G2: u ( x, −1) = −2*( x − 0.1) * exp(−( x − 0.1) − 0.5 y ) , - G3: u (1, y ) = exp(−( x − 0.1) − 0.5 y ) , - G4: u ( x,1) = exp(−( x − 0.1)2 − 0.5 y ) , 63 - G5: u (0, y ) = − y * exp(−( x − 0.1) − 0.5 y ) , - G6: u ( x, 0) = exp(−( x − 0.1) − 0.5 y ) Với G1 biên trái G đánh theo chiều ngược chiều kim đồng hồ hàm nội suy hàm inverse multiquadric 1, số tâm ban đầu 20, số tâm lớn 1500, chọn scaling 64 Hình 3.12: test hàm thử exp(-(x - 0.1).^2 - 0.5*y.^2) 65 KẾT LUẬN Trong trình tìm hiểu nghiên cứu đề tài : ” Sử dụng Matlab giải phương trình Poisson với điều kiện biên hỗn hợp nội suy hàm RBF miền 2D” với phương trình Poisson, giúp đỡ bảo tận tình cô giáo Đặng Thi Oanh đề tài em đã thu kết định, hiểu kiến thức ma trận, định thức, không gian véc tơ, phương pháp giải hệ phương trình đại số tuyến tính Nghiên cứu cài đặt chương trình giải phương trình Poisson với điều kiện biên hỗn hợp bởi nội suy RBF miền 2D Tuy nhiên thời gian hạn chế, kiến thức phương trình Poisson với điều kiện biên hỗn hợp bởi nội suy RBF non nên đề tài không tránh khỏi sai sót Em mong nhận đóng góp ý kiến thầy cô giáo bạn để đề tài em hoàn thiện Một số kết đạt được: - Rời rạc toán hỗn hợp với phương trình Poisson - Tính véc tơ trọng số nhờ nội suy hàm sở bán kính - Xây dựng chương trình giải phương trình Poisson với điều kiện biên hỗn hợp bởi hệ số nội suy RBF miền 2D Hướng phát triển đề tài tiếp tục nghiên cứu sâu phương trình Poisson với điều kiện biên hỗn hợp bởi nội suy RBF miền 2D, thiết kế chương trình giúp giải toán kỹ thuật 66 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Tạ Văn Đĩnh ,”Phương pháp sai phân phương pháp phần tử hữu hạn”, NXB Khoa học kỹ thuật, 2002 [2] Phạm Kỳ Anh, “Giải tích số”, NXB Đại học quốc gia Hà Nội [3] Trần ích Thịnh – Ngô Như Khoa, “Phương pháp phần tử hữu hạn” [4] www.mathworks.com [5] Li, Chen and Hu,” Generalized Difference Method for Differential Equations”,NXB Marcel, Dekker, Inc [6] Babuska, Ivo and Strouboulis, Theofanis,” The Finite Element Method and its Reliability”,NXB Oxford University Press, 2001 [7] Fasshauer, Gregory F,” Meshfree Approximation Methods with MATLAB”, NXB World Scientific Publishing Co., Inc [8] Holger Wendland,” Scattered Data Approximation”, NXB Cambridge University Press 67 NHẬN XÉT CỦA GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN ……………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN TS Đặng Thị Oanh 68 ... 5.1.2 Nội suy liệu phân tán không gian 25 CHƯƠNG .29 CHƯƠNG .29 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH POISSON VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN HỖN HỢP BƠI NỘI SUY HÀM RBF TRÊN MIỀN 2D .29 GIẢI PHƯƠNG... phương trình Poisson với điều kiện biên hỗn hợp nội suy hàm RBF miền 2D. ” làm đề tài thực tập chuyên ngành Nội dung đề tài gồm chương: Chương 1: Một số kiến thức sở Chương 2: giải phương trình. .. phương trình Poisson với điều kiện biên hỗn hợp bởi nội suy hàm RBF miền 2D Chương 3: Chương trình thử nghiệm 10 CHƯƠNG MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SƠ Khái niệm phương trình đạo hàm riêng Với hàm số