Phương trình parabolic với điều kiện biên dirichlet robin trong miền không chính quy

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI DƯƠNG THỊ CHUYÊN PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN DIRICHLET - ROBIN TRONG MIỀN KHÔNG CHÍNH QUY LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC HÀ NỘI–2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI DƯƠNG THỊ CHUYÊN PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN DIRICHLET - ROBIN TRONG MIỀN KHÔNG CHÍNH QUY Chun ngành: Giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN THÀNH ANH HÀ NỘI–2017 i LỜI CẢM ƠN Bằng lòng kính trọng biết ơn sâu sắc, tác giả xin gửi lời cảm ơn đến thầy giáo TS Nguyễn Thành Anh người tận tình hướng dẫn tác giả hồn thành luận văn Đồng thời, xin gửi lời cảm ơn đến tập thể thầy, giáo Khoa Tốn, trường Đại học sư phạm Hà Nội 2, người thầy trang bị cho tác giả kiến thức sở vững vàng suốt khóa học Thân cảm ơn bạn học viên cao học khóa K19, chuyên ngành Tốn Giải tích ln sát cánh, giúp đỡ tác giả suốt trình học tập trau dồi kiếu thức cho thân Cuối cùng, tác giả dành lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè người cho nguồn động viên tinh thần lớn để tác giả hồn thành tốt khóa học Xin chân thành cảm ơn! Tác giả Dương Thị Chuyên ii LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam hướng dẫn TS Nguyễn Thành Anh, luận văn chuyên ngành Tốn giải tích với đề tài "Phương trình Parabolic với điều kiện biên Dirichlet - Robin miền không quy" tơi tự làm Trong q trình nghiên cứu thực luận văn, tác giả kế thừa thành nhà khoa học với trân trọng biết ơn sâu sắc Các kết trích dẫn luận văn ghi rõ nguồn gốc Hà nội, tháng năm 2017 Tác giả Dương Thị Chuyên iii Mục lục DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU v MỞ vi vi vii vii vii vii vii 1 11 13 14 16 17 17 18 19 21 21 24 ĐẦU Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Đối tượng phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Dự kiến đóng góp luận văn Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian Sobolev 1.1.1 Các không gian H m (Ω), H0m (Ω) 1.1.2 Phép biến đổi Fourier không gian H s (Rn ), s ∈ R 1.1.3 Các không gian phụ thuộc thời gian 1.1.4 Các không gian H s (Ω), H r,s (QT ), r, s ∈ R+ 1.2 Một số bất đẳng thức 1.3 Định lý Gauss - Green 1.4 Định lý xấp xỉ miền Chương PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN DIRICHLET - ROBIN TRONG MIỀN KHÔNG CHÍNH QUY 2.1 Phát biểu tốn 2.2 Tính nghiệm 2.3 Một số kết bổ trợ 2.4 Tính giải địa phương 2.4.1 Trường hợp miền cụt Ωn 2.4.2 Trường hợp miền Ω iv 2.5 Tính giải tồn cục 29 KẾT LUẬN 32 TÀI LIỆU THAM KHẢO 34 v DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU • Rn := {x = (x1 , x2 , , xn ) : xk ∈ R} • Ω miền Rn với biên ∂ Ω Giả sử < T < ∞ Kí hiệu: QT = Ω × (0, T ) = {(x, t) : x ∈ Ω; t ∈ (0, T )} gọi trụ Rn+1 với đáy Ω, chiều cao T Mặt xung quanh trụ QT ST ST = ∂ Ω × (0, T ) = {(x, t) : t ∈ (0, T ), x ∈ ∂ Ω} Ω0 = Ω × {t = 0} ΩT = ì {t = T } Cho mt vộc tơ α = (α1 , α2 , , αn ) α1 , α2 , , αn số nguyên không âm kí hiệu |α| = α1 + α2 + · · · + α Khi α gọi đa số cấp α • C (Ω): Tập hàm liên tục Ω • C k (Ω): Tập hàm liên tục có đạo hàm riêng liên tục đến cấp k Ω • C ∞ (Ω): Tập hàm khả vi vô hạn Ω • C0k (Ω): Tập hàm khả vi liên tục đến cấp k có giá nằm Ω • C0∞ (Ω): Tập hàm khả vi vô hạn có giá nằm Ω • Lloc (Ω): Tập hàm f Ω cho với tập Ω compact Ω f khả tích Ω vi MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Các tốn khơng dừng (hyperbolic, parabolic, ) thường xét miền quy, nghĩa miền khơng thay đổi theo thời gian Tuy nhiên, nhu cầu thực tiễn, tốn biên phương trình khơng dừng miền thay đổi theo thời gian nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu Miền người ta gọi miền khơng quy (non - regular) Có nhiều cách tiếp cận tốn loại Trong khn khổ đề tài luận văn, tơi quan tâm đến tính nghiệm phương trình parabolic điều kiện biên Dirichlet - Robin miền khơng quy Bởi vậy, tơi chọn đề tài Phương trình parabolic với điều kiện biên Dirichlet - Robin miền khơng quy" Tơi hồn thành luận văn dựa chủ yếu vào báo khoa học [4] Giả sử Ω tập mở R2 xác định Ω = {(t, x) ∈ R2 : < t < T ; ϕ1 (t) < x < ϕ2 (t)}, đó, T số dương hữu hạn; ϕ1 , ϕ2 hàm liên tục, nhận giá trị thực [0, T ], liên tục Lipschitz [0, T ] cho ϕ(t) := ϕ2 (t) − ϕ1 (t) > 0, với t ∈ (0, T ) ϕ(0) = Đặt Γi = {(t, ϕi (t)) ∈ R2 : < t < T }, i = 1, Trong Ω, xét toán     ∂t u − ∂x2 u = f, f ∈ L2 (Ω)    u|Γ1 =0 ,       ∂x u + βu| = Γ2 Chúng nghiên cứu tính giải tốn (1) vii Mục đích nghiên cứu Thiết lập tính tồn nghiệm toán (1) Nhiệm vụ nghiên cứu - Tìm hiểu kiến thức chuẩn bị (Đạo hàm suy rộng, không gian Sobolev, ) - Tìm hiểu tổng quan tốn - Nghiên cứu trình bày kết tính tồn nghiệm toán Đối tượng phạm vi nghiên cứu • Đối tượng nghiên cứu: Phương trình Parabolic với điều kiện biên Dirichlet - Robin miền khơng quy phát biểu • Phạm vi nghiên cứu: Tính tồn nghiệm phương trình Parabolic với điều kiện biên Dirichlet - Robin miền khơng quy Phương pháp nghiên cứu Tổng hợp, phân tích, vận dụng kiến thức liên quan đến mục đích nghiên cứu Dự kiến đóng góp luận văn Qua đề tài tơi trình bày chi tiết kết tính giải phương trình Parabolic với điều kiện biên Dirichlet - Robin miền khơng quy Luận văn giúp người đọc hiểu sâu phương trình Parabolic với điều kiện biên Dirichlet - Robin miền khơng quy Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Khơng gian Sobolev đóng vai trò khơng gian tìm nghiệm yếu tốn Cauchy - Dirichlet phương trình parbolic miền khơng quy Nội dung chương dành quan tâm đến không gian Sobolev vài không gian hàm nhắc tới nội dung chương Bên cạnh đó, số kiến thức sở nhằm phục vụ cho việc trình bày chứng minh chương Hầu hết nội dung chương lấy tài liệu [1], [4], [9] sở thống mặt ký hiệu 1.1 Không gian Sobolev 1.1.1 Các không gian H m (Ω), H0m (Ω) Định nghĩa 1.1.1 Ký hiệu Lp (Ω), ≤ p < +∞ không gian Banach bao gồm tất hàm đo Ω p khả tích, tức |u(x)|p dx < +∞ Ω Trên Lp (Ω) trang bị chuẩn p |u(x)| dx ||u||Lp (Ω) = p Ω Khi p = +∞, Lp (Ω) không gian Banach hàm bị chặn Ω với chuẩn xác định ||u||∞,Ω = ||u||L∞ (Ω) = ees sup u(x) 20 Chứng minh Lấy h phần tử cố định tùy ý L2 (0, 1) Mỗi nghiệm phương trình vi phân thường u = h có dạng y x { u(y ) = h(s)ds}dx + yu (0) + u(0), y ∈ [0, 1] (2.5) Các giá trị u(0) u (0) xác định cho điều kiện biên u (1) + βu(1) = u(0) = (2.6) thỏa mãn Từ biểu diễn (2.5)và yêu cầu điều kiện biên (2.6), ta có    (1 + β )u (0) + βu(0) = − h(s)ds − β { x h(s)ds}dx 0   0u (0) + u(0) = Hệ với ẩn u(0) u (0) có nghiệm β + = Điều kiện thỏa mãn nhờ (2.2) Cuối nghiệm toán     u =h    u(0) =       u (1) + βu(1) = cho y { u(y ) = u (0) = − x h(s)ds}dx + yu (0), h(s)ds −β 0{ β+1 x h(s)ds}dx Sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz, ta đánh giá sau |u (0)| ≤ C||h||L2 (0,1) 21 Bổ đề 2.3.2 Giả sử β thỏa mãn (2.2) Khi tồn số dương C1 (không phụ thuộc vào a b) cho với u ∈ Hγ2 (a, b) ||u(k) ||2L2 (a,b) ≤ C1 (b − a)2(2−k) ||u(2) ||2L2 (a,b) , k = 0, 1, Hγ2 (a, b) = {u ∈ H (a, b) : u(a) = 0, u (b) + β u(b) = 0} b−a Chứng minh Bất đẳng thức kết trực tiếp Bổ đề 2.3.1 sử dụng đổi biến [0, 1] → [a, b]; x → (1 − x)a + xb = y 2.4 Tính giải địa phương 2.4.1 Trường hợp miền cụt Ωn Trong mục thay Ω Ωn , n ∈ N∗ Ωn = {(t, x) ∈ Ω : Định lí 2.4.1 Với n ∈ N∗ cho: n n n < T: < t < T } < T , toán     ∂t un − ∂x2 un = f (n) ; f (n) ∈ L2 (Ωn )    un |t= = u|Γ1,n = 0,  n      ∂x un + βun | Γ2,n = (2.7) có nghiệm un ∈ H 1,2 (Ωn ) Ở f (n) = f |Ωn Γi,n = {(t, ϕi (t)) ∈ R2 : n < t < T }; i = 1, Tính nghiệm dễ dàng kiểm tra nhờ (2.3) Bây ta chứng minh tồn Đổi biến x − ϕ1 (t) Φ : (t, x) −→ (t, y ) = (t, ) ϕ(t) 22 biến Ω thành Rn = ( , T ) × (0, 1) n Đặt un (t, x) = wn (t, y ) f (n) (t, x) = g (n) (t, y ) Thì Bài tốn (2.7) trở thành    ∂ w + a ( t, y ) ∂ w − ∂ w = g (n) ,  t n y n  (t) y  ϕ  wn |t= = wn |y=0 = 0,  n      ∂y wn + βϕ(t)wn | y =1 = a(t, y ) = − yϕ (t) + ϕ1 (t) ϕ(t) Việc đổi biến bảo tồn khơng gian L2 H 1,2 hàm a ϕ2 bị chặn t ∈ ( ,T) n Nói cách khác un ∈ H 1,2 (Ω) ⇔ wn ∈ H 1,2 (Rn ) f (n) ∈ L2 (Ω) ⇔ g (n) ∈ L2 (Rn ) Bổ đề 2.4.2 Với n ∈ N∗ cho n < T , toán tử compact Hγ1,2 (Rn ) → L2 (Rn ), wn → a(t, y )∂y wn Chứng minh Do Rn có "tính sừng" theo Besov [1], nên ánh xạ ∂y : H 1,2 (Rn ) → H ,n (Rn ), wn → ∂y wn , liên tục Vì Rn bị chặn, đơn ánh tắc từ H ,n (Rn ) vào L2 (Rn ) compact (xem ví dụ [1]), 1 1 H ,n (Rn ) = (L2 ( , T ); H (0, 1)) ∩ (H ( , T ); L2 (0, 1)) n n Mặt khác, a(t, y ) hàm bị chặn, toán tử a∂y compact từ Hγ1,2 (Rn ) vào L2 (Rn ) 23 Do đó, ta cần toán tử ∂t − ϕ2 ∂ y đồng phôi từ Hγ1,2 (Rn ) vào L2 (Rn ) Phép đổi biến đơn giản t = h(s) với h (s) = ϕ2 (t) biến toán    ∂ w − ∂y2 wn = g (n) ,  t n   ϕ (t)  wn |t= = wn |y=0 = 0,  n      ∂y wn + βϕ(t)wn | y =1 = thành toán sau     ∂s (s, y ) − ∂y2 (s, y ) = ζ (s, y )    |t=h−1 ( ) = |y=0 ,  n      ∂y + βϕ(h(s))vn | y =1 = với (2.8) ( n) ζn1 (s, y ) g = h (s) v n (s, y ) = wn (t, y ) (t, y ) Chú ý phép biến đổi bảo tồn khơng gian L2 H 1,2 Từ (2.2) suy tồn ∈ H 1,2 nghiệm Bài toán (2.8) Điều dẫn đến Bài toán (2.7) nhận nghiệm un ∈ H 1,2 (Ω) Chúng ta hàm un cho un (t, x) = wn (t, y ) = (h−1 (t), y ) Chúng ta cần kết sau cho tính tốn mục sau Bổ đề 2.4.3 Với n ∈ N∗ thỏa mãn n < T , không gian {un ∈ D [ , T ]; H (0, 1) : un |t= = un |y=0 = ∂y un + βϕ(t)un |y=1 = 0} n trù mật {un ∈ H 1,2 ((0, T ) × (0, 1)) : un |t= = un |y=0 = ∂y un + βϕ(t)un |y=1 = 0} n Định lý trường hợp đặc biệt Định lý 2.1 tài liệu [6] Nhận xét 2.4.4 Chúng ta thay Rn = ( , T ) × (0, 1) Bổ đề 2.4.6 n Ωn nhờ phép biến đổi xác dịnh 24 2.4.2 Trường hợp miền Ω Bây quay trở lại miền Ω không hình chữ nhật giả sử số ϕi , i = 1, thỏa mãn điều kiện (2.3) (2.4) với n ∈ N∗ cho < T, n ( n) ta kí hiệu fi = fi |Ωn ∈ L2 (Ωn ); i = 1, un ∈ H 1,2 (Ω) nghiệm Bài toán (2.1) Ωn Các nghiệm tồn (2.7) Định lí 2.4.5 Với T đủ nhỏ, tồn số K > không phụ thuộc vào n cho ||un ||2H 1,2 (Ω) ≤ K||f (n) ||2L2 (Rn ) ≤ K||f ||2L2 (Ω) Để chứng minh Định lí 2.4.5 ta cần vài kết sau Bổ đề 2.4.6 Với ε > thỏa mãn ϕ2 (t) − ϕ1 (t) ≤ ε tồn số C > không phụ thuộc vào n cho ||∂xj un ||2L2 (Ω) ≤ Cε2(2−j ) ||∂x2 un ||2L2 (Ωn ) , j = 0, Chứng minh Thay u Bổ đề 2.3.2 un (a, b) (ϕ1 (t), ϕ2 (t)) với t cố định, ta có với j = 0, 1: ϕ2 (t) ϕ2 (t) (∂xj un )2 dx ≤ C (ϕ2 (t) − ϕ1 (t))2(2−j ) ϕ1 (t) (∂x2 un )2 dx ϕ1 (t) ϕ2 (t) Cε2(2−j ) (∂x2 un )dx, ϕ1 (t) C số Bổ đề 2.3.2 Lấy tích phân theo biến t ta đánh giá cần có Chứng minh Định lý 2.4.5 Ta kí hiệu tích vơ hướng L2 (Ω) < , > đặt L = ∂t − ∂x2 Khi ta có ||f (n) ||2L2 (Ω) =< Lun , Lun >= ||∂t un ||2L2 (Ω) + ||∂x2 un ||2L2 (Ω) − < ∂t un , ∂x2 un > Ta có ∂t u∂x2 un = ∂x (∂t un ∂x un ) − ∂t (∂x un )2 Do −2 < ∂t un , ∂x2 u > = −2 ∂t (∂x un )2 dtdx ∂x (∂t un ∂x un )dtdx + Ωn Ωn 25 [(∂x un )2 νt − 2∂t un ∂x un νx ]dσ = ∂ Ωn với νt , νx thành phần véc tơ pháp tuyến đơn vị biên Ωn Chúng ta viết lại tích phân biên nhờ sử dụng điều kiện biên Trên phần biên Ωn , t = , ta có un = ∂x un = Do tích phân tương n ứng bị triệt tiêu Trên phần biên t = T , ta có νx = νt = Do đó, miền ϕ2 (t) (∂x un )2 dx khơng âm tích phân tương ứng ϕ1 (t) Trên phần biên x = ϕi (t), i = 1, 2, ta có (−1)i νx = + (ϕi )2 (t) , (−1)i+1 ϕi (t) νt = + (ϕi )2 (t) , un (t, ϕ1 (t)) = ∂x un (t, ϕ2 (t)) + βun (t, ϕ2 (t)) = Vì tích phân tương ứng T In + Jn = T ϕ2 (t) ∂x un (t, ϕ2 (t)) dt + n β∂t un (t, ϕ1 (t))un (t, ϕ1 (t))dt n Khi đó, ta có − < ∂t un , ∂x2 un > ≥ |In | − |Jn | (2.9) Ước lượng In Tồn số K > không phụ thuộc n cho |In | ≤ K||∂x2 un ||2L2 (Ωn ) Thật ta đổi biến miền tích phân In thành mặt ngồi tích phân cho x=ϕ2 (t) −ϕ2 (t) − x [∂x u(t, x)]2 ϕ2 (t) − ϕ1 (t) x=ϕ1 (t) ϕ2 (t) ∂ ϕ2 (t) − x =− [∂x un (t, x)]2 ∂x ϕ ( t ) − ϕ ( t ) ϕ1 (t) [∂x un (t, ϕ1 (t))]2 = ϕ2 (t) = −2 ϕ1 (t) ϕ2 (t) + ϕ1 (t) ϕ2 (t) − x ∂x un (t, x)∂x2 un (t, x)dx ϕ2 (t) − ϕ1 (t) ϕ2 (t) − ϕ1 (t) [∂x un (t, x)]2 dx 26 Khi đó, ta có In = Ωn ϕ2 (t) − x ϕ (t)(∂n un )(∂x2 un )dtdx Ω ϕ2 (t) − ϕ1 (t) ϕ (t) (∂x un )2 dtdx − ϕ2 (t) − ϕ1 (t) Nhờ Bổ đề 2.4.6 ta viết ϕ2 (t) ϕ2 (t) 2 [∂x2 un (t, x)]2 dx [∂x un (t, x)] dx ≤ C [ϕ2 (t) − ϕ1 (t)] ϕ1 (t) ϕ1 (t) Do ϕ2 (t) ϕ2 (t) |ϕ1 | dx ≤ C|ϕ1 |[ϕ2 − ϕ1 ] [∂x un (t, x)] ϕ2 − ϕ1 [∂x2 un (t, x)]2 dx ϕ1 (t) ϕ1 (t) Vì ϕ2 (t) |ϕ1 ||∂x un ||∂x2 un |dtdx |ϕ1 |[ϕ2 − ϕ1 ](∂x2 un )2 dtdx + |In | ≤ C ϕ1 (t) Ωn Vì ϕ2 (t) − x ≤1 ϕ2 (t) − ϕ1 (t) Do vậy, với ε > 0, ta có |ϕ1 |[ϕ2 −ϕ1 ](∂x2 un )2 dtdx + |In | ≤ C Ωn ε(∂x2 un )2 dtdx + Ωn ε |ϕ1 |(∂x un )2 dtdx Ωn Bổ đề 2.4.6 trở thành ε (ϕ1 )2 (∂x un )2 dtdx ≤ C Ωn ε (ϕ1 )2 [ϕ2 − ϕ1 ]2 (∂x2 un )2 dtdx Ωn Do tồn số M > không phụ thuộc vào n cho [|ϕ1 ||ϕ2 − ϕ1 | + (ϕ1 )2 |ϕ2 − ϕ1 |2 ](∂x2 un )2 dtdx |In | ≤ C Ωn ε ε(∂x2 un )2 dtdx ≤ M ε + Ωn (∂x2 un )2 dtdx Ωn Vì |ϕ1 (ϕ2 − ϕ1 )| ≤ ε Đánh giá Jn Ta có T T Jn = −2 β∂t un (t, ϕ1 (t))un (t, ϕ1 (t))dt = − 1 n n β (∂t u2n (t, ϕ1 (t)))dt 27 Đặt h(t) = u2n (t, ϕ1 (t)) ta T Jn = − β [h (t) − ϕ1 (t)∂x u2n (t, ϕ1 (t))]dt n T T = −βh(t) n Nhờ vào (2.2) giả thiết u2n + ϕ1 (t)∂x u2n (t, ϕ1 (t))dt n , ϕ1 ( ) = 0, ta có n n T −βh(t) ≥ n Cuối miền tích phân biểu thức Jn coi gần argumen sử dụng đánh giá In Do tồn số K dương không phụ thuộc vào n cho T βϕ1 (t)∂x u2n (t, ϕ1 (t))dt ≤ Kε||∂x2 un ||2L2 (Ω) (2.10) n Bây ta hồn thành chứng minh Định lý 2.4.5 sử dụng Bổ đề 2.4.6 ta ||f (n) ||2L2 (Ωn ) ≥ ||∂t un ||2L2 (Ωn ) + ||∂x2 un ||2L2 (Ωn ) − Kε||∂x2 un ||2L2 (Ωn ) ≥ ||∂t un ||2L2 (Ωn ) + (1 − Kε)||∂x2 un ||2L2 (Ωn ) Ở K số dương Khi chọn ε > cho (1 − Kε) > với số K0 > không phụ thuộc vào n cho ||f (n) ||2L2 (Ωn ) ≥ K0 ||un ||2H 1,2 (Ωn ) Nhưng ||f (n) ||L2 (Ωn ) ≥ ||f ||L2 (Ω) Khi đó, tồn số C > 0, không phụ thuộc vào n cho ||u||2H 1,2 (Ωn ) ≤ C||f (n) ||2L2 (Ωn ) ≤ C||f ||2L2 (Ω) Định lý 2.4.5 chứng minh Sau định lý tính giải địa phương tốn Định lí 2.4.7 Giả sử điều kiện sau thỏa mãn 28 ϕi , i = 1, thỏa mãn giả thiết (2.4) β với giả thiết (2.2) ϕi , i = 1, β với giả thiết (2.3) Khi với T đủ nhỏ, Bài tốn (2.1) nhận nghiệm u ∈ Hγ1,2 (Ω) Chứng minh Chọn dãy (Ωn )n∈N∗ miền xác định Khi ta có Ωn → Ω n → ∞ Xét nghiệm un ∈ H 1,2 (Ω) toán giá trị biên    ∂t un − ∂x2 un = f (n) , f (n) ∈ L2 (Ωn )     = 0, un = un (2.11) t= n Γ1,n       ∂x un + βun = 0, Γ2,n Γn,i biên Ωn x = ϕi (t), i = 1, Do từ Định lý 2.4.6 tồn nghiệm un Cho un mở rộng un đến Ω    u(t, x) (t, x) ∈ Ωn u(t, x) =   (t, x) ∈ Ω \ Ωn Từ Định lý 2.4.5 biết tồn số K > cho ||un ||2L2 (Ω) + ||∂t un ||2L2 (Ω) + ||∂x un ||2L2 (Ω) + ||∂x2 un ||2L2 (Ω) ≤ K||f ||2L2 (Ω) Điều có nghĩa un , ∂t un , ∂xj un , j = 1, hàm bị chặn L2 (Ω) Do ứng với dãy tăng nk , k = 1, 2, tồn hàm số u, w1 , wj1 , j = 1, L2 (Ω) cho u nk w, ∂xj unk 0, ∂t unk wj , j = 1, yếu L2 (Ω), k → ∞ Rõ ràng w = ∂t u, wj = ∂xj u theo nghĩa phân phối Ω Do u ∈ H 1,2 (Ω) ∂t u − ∂x2 u = f Mặt khác nghiệm u thỏa mãn điều kiện biên u Γ1 = ∂x u + βu Γ2 = ∀n ∈ N, u Ωn = un Chứng minh tồn nghiệm Bài tốn (2.1) 29 2.5 Tính giải tồn cục Trong trường hợp T khơng nằm lân cận 0, đặt Ω = D1 ∪D2 ∪ΓT1 , D1 = {(t, x) ∈ Ω : < t < T1 }, D2 = {(t, x) ∈ Ω : T1 < t < T } ΓT1 = {(T1 , x) ∈ R2 : ϕ1 (T1 ) < x < ϕ2 (T1 )} với T1 đủ nhỏ Trong phần hàm số L2 (Ω) k (i) = k , i = 1, Di Từ Định lí 2.4.6 áp dụng cho miền khơng quy D1 ta thấy tồn nghiệm w1 , toán    ∂t w1 − ∂x2 w1 = k (1) ; k (1) ∈ L2 (D1 )     w1 = 0, (2.12)  Γ ,      ∂x w1 + βw1 = 0, Γ2,1 Γi,1 phần biên D1 , x = ϕi (t), i = 1, Bổ đề 2.5.1 Nếu u ∈ H 1,2 ⊂ (0, T ) × (0, 1) u t=0 ∈ H (γ0 ), u x=0 ∈ H (γ1 ) u x=1 ∈ H (γ2 ) Ở γ0 = {0} × (0, 1) , γ1 = (0, T ) × {0} γ2 = (0, T ) × {1} Bổ đề trường hợp đặc biệt Định lý 2.1 ([6], Vol.2) Phép đổi biến: (t, x) :→ (t , x ) = (t, ϕ(t)x + ϕ1 (t)) dẫn tới bổ đề sau: Bổ đề 2.5.2 Nếu u ∈ H 1,2 (D2 ) u ΓT1 ∈ H (ΓT1 ) , u x=ϕ1 (t) ∈ H (Γ1,2 ) u x=ϕ2 (t) Γi,2 phần biên D2 với x = ϕi (t), i = 1, ∈ H (Γ2,2 ), 30 Sau kí hiệu w1 ΓT1 ψ1 , hàm thuộc không gian Sobolev H (ΓT1 ) w1 ∈ H 1,2 (D1 ) Bây xét toán sau D2    ∂t w2 − ∂x2 w2 = k (2) , k (2) ∈ L2 (D2 )        = ψ1 ,  w2 ΓT1   w2 = 0,    Γ ,      ∂x w2 + βw2 (2.13) = Γ2,2 Γi phần miền D2 x = ϕi (t), i = 1, Chúng ta sử dụng kết sau, kết Định lí 4.3 ([6], Vol.2) để giải Bài tốn (2.13) Mệnh đề 2.5.3 Cho Q hình chữ nhật (0, T )×(0, 1) , l ∈ L2 (Q) Φ ∈ H (γ0 ) Khi toán    ∂t u − ∂x2 u = l, l ∈ L2 (Q)         u = Φ, γ0 (2.14)   u = 0,    γ1      ∂x u + βu = γ2 γ0 = {0} × (0, 1), γ1 = (0, T ) × {0}, γ2 = (0, T ) × {1} có nghiệm u ∈ H 1,2 (Q) Nhờ vào biến đổi (t, x) → (t, y ) = (t, ϕ(t)x + ϕ1 (t)) ta suy kết sau Mệnh đề 2.5.4 Bài toán (2.13) nhận nghiệm w2 ∈ H 1,2 (D2 ) Bây ta xét hàm u xác định    w1 D1 u :=   w2 D2 Đây nghiệm Bài tốn (2.1) Do ta nhận định lý sau: Định lí 2.5.5 Giả sử điều kiện sau thỏa mãn 31 ϕi , i = 1, thỏa mãn giả thiết (2.4) β với giả thiết (2.2) ϕi , i = 1, β với giả thiết (2.3) Khi đó, Bài tốn (2.1) có nghiệm u ∈ Hγ1,2 (Ω) 32 KẾT LUẬN Luận văn trình bày số kết “Phương trình Parabolic với điều kiện biên Dirichlet - Robin miền khơng quy” Các kết bao gồm: - Tính nghiệm tốn - Tính giải tồn cục toán Kết nhận nhờ phương pháp xấp xỉ miền khơng quy dãy miền quy, với đánh giá nghiệm tốn miền quy 33 - 34 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Besov, V.: The Continuation of function in L1p and Wp1 , Proc Steklov Inst Math 89, 5-17 (1967) [2] Hung, N.M., Duong, P.T.: On the smoothness of generalized solution for parabolic systems in domains with conical points on boundary Ukr Math J 56(6), 854 -864 (2004) [3] Hung, N.M., Anh, N.T.: Regularity of solution of initial - boundary value problems for parabolic equations in domains with conical points J Diff Equ 245, 1801 -1818 (2008) [4] Kheloufi, A., Sadallah, B.K.: On the regularity of the heat equation solution in non - cylindrical domains: two approaches Appl Math Comput 218, 1623-1633(2011) [5] Kheloufi, A.: Existence and uniqueness results for parabolic equations with Robin type boundary conditions in a non - regular domain of R3 Appl Math Comput 220, 756-769 (2013) [6] Lions, J.L., Magenes, E.: Problemes aux limites non homogenes et application 1,2, Dunod, Paris (1968) [7] Luong, V.T., Loi, D.V.: Initial boundary value problems for second order parabolic systems in cylinders with polyhedral base Bound Value Probl 56, 1-14 (2011) [8] Sadallah, B.K: Etude d’un problem 2m-parabolique dans des domaines plan non rectangulaires Boll Un Mat Ital 2-B(5), 51-112(1983) ... tính nghiệm phương trình parabolic điều kiện biên Dirichlet - Robin miền khơng quy Bởi vậy, tơi chọn đề tài Phương trình parabolic với điều kiện biên Dirichlet - Robin miền khơng quy" Tơi hồn... tơi trình bày chi tiết kết tính giải phương trình Parabolic với điều kiện biên Dirichlet - Robin miền khơng quy Luận văn giúp người đọc hiểu sâu phương trình Parabolic với điều kiện biên Dirichlet. .. giải tích với đề tài "Phương trình Parabolic với điều kiện biên Dirichlet - Robin miền không quy" tơi tự làm Trong q trình nghiên cứu thực luận văn, tác giả kế thừa thành nhà khoa học với trân