Phương trình parabolic với điều kiện biên dirichlet robin trong miền không chính quy

DƯƠNG THỊ CHUYÊNPHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN DIRICHLET - ROBIN TRONG MIỀN KHÔNG CHÍNH QUY LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI–2017... Nguyễn Thành Anh, luận văn chuyênngành Toá

DƯƠNG THỊ CHUYÊN

PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC

VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN DIRICHLET - ROBIN

TRONG MIỀN KHÔNG CHÍNH QUY

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI–2017

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

TS NGUYỄN THÀNH ANH

HÀ NỘI–2017

LỜI CẢM ƠN

Bằng tấm lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc, tác giả xin gửi lời cảm ơn đếnthầy giáo TS Nguyễn Thành Anh người đã tận tình hướng dẫn tác giả hoànthành luận văn này Đồng thời, xin gửi lời cảm ơn đến tập thể các thầy, cô giáotrong Khoa Toán, trường Đại học sư phạm Hà Nội 2, những người thầy đã trang

bị cho tác giả một nền kiến thức cơ sở vững vàng trong suốt khóa học

Thân ái cảm ơn các bạn học viên cao học khóa K19, chuyên ngành Toán Giảitích đã luôn sát cánh, giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập và trau dồikiếu thức cho bản thân

Cuối cùng, tác giả dành lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè những người đã chonguồn động viên tinh thần rất lớn để tác giả có thể hoàn thành tốt khóa họccủa mình

Xin chân thành cảm ơn!

Tác giảDương Thị Chuyên

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam dưới sự hướng dẫn của TS Nguyễn Thành Anh, luận văn chuyênngành Toán giải tích với đề tài "Phương trình Parabolic với điều kiện biênDirichlet - Robin trong miền không chính quy" do tôi tự làm

Trong quá trình nghiên cứu và thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa nhữngthành quả của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn sâu sắc

Các kết quả trích dẫn trong luận văn đã được ghi rõ nguồn gốc

Hà nội, tháng 9 năm 2017

Tác giả

Dương Thị Chuyên

Mục lục

1 Lý do chọn đề tài vi

2 Mục đích nghiên cứu vii

3 Nhiệm vụ nghiên cứu vii

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu vii

5 Phương pháp nghiên cứu vii

6 Dự kiến đóng góp của luận văn vii

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1 1.1 Không gian Sobolev 1

1.1.1 Các không gian Hm(Ω), H0m(Ω) 1

1.1.2 Phép biến đổi Fourier và không gian Hs(Rn), s ∈ R 6

1.1.3 Các không gian phụ thuộc thời gian 8

1.1.4 Các không gian Hs(Ω), Hr,s(QT), r, s ∈ R+ 11

1.2 Một số bất đẳng thức 13

1.3 Định lý Gauss - Green 14

1.4 Định lý xấp xỉ miền 16

Chương 2 PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN DIRICHLET - ROBIN TRONG MIỀN KHÔNG CHÍNH QUY 17 2.1 Phát biểu bài toán 17

2.2 Tính duy nhất của nghiệm 18

2.3 Một số kết quả bổ trợ 19

2.4 Tính giải được địa phương 21

2.4.1 Trường hợp miền cụt Ωn 21

2.4.2 Trường hợp miền Ω 24

2.5 Tính giải được toàn cục 29

0 (Ω): Tập các hàm khả vi vô hạn và có giá nằm trong Ω.

• Lloc(Ω): Tập các hàm f trên Ω sao cho với mọi tập Ω0 compact trong Ω thì

f khả tích trên Ω0

MỞ ĐẦU

Các bài toán không dừng (hyperbolic, parabolic, ) thường được xét trênmiền chính quy, nghĩa là miền không thay đổi theo thời gian Tuy nhiên, do nhucầu thực tiễn, các bài toán biên đối với phương trình không dừng trên miền thayđổi theo thời gian cũng được nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu Miềnnhư vậy người ta gọi là miền không chính quy (non - regular) Có nhiều cáchtiếp cận đối với những bài toán loại này Trong khuôn khổ đề tài luận văn, tôiquan tâm đến tính duy nhất nghiệm của phương trình parabolic đối với điềukiện biên Dirichlet - Robin trong miền không chính quy Bởi vậy, tôi chọn đềtài Phương trình parabolic với điều kiện biên Dirichlet - Robin trong miền khôngchính quy" Tôi sẽ hoàn thành luận văn dựa chủ yếu vào bài báo khoa học [4].Giả sử Ω là một tập mở trong R2 xác định bởi

Ω ={(t, x)∈ R2 : 0 < t < T;ϕ1(t) < x < ϕ2(t)},trong đó, T là số dương hữu hạn; ϕ1, ϕ2 là các hàm liên tục, nhận giá trị thựctrên [0, T], liên tục Lipschitz trên [0, T] sao cho

2 Mục đích nghiên cứu

Thiết lập tính tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán (1)

- Tìm hiểu các kiến thức chuẩn bị (Đạo hàm suy rộng, không gian Sobolev, )

- Tìm hiểu tổng quan về bài toán

- Nghiên cứu và trình bày các kết quả về tính tồn tại duy nhất nghiệm củabài toán

• Đối tượng nghiên cứu: Phương trình Parabolic với điều kiện biên let - Robin trong miền không chính quy được phát biểu ở trên

Dirich-• Phạm vi nghiên cứu: Tính tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trìnhParabolic với điều kiện biên Dirichlet - Robin trong miền không chính quy

Tổng hợp, phân tích, vận dụng kiến thức liên quan đến mục đích nghiên cứu

Qua đề tài này tôi sẽ trình bày chi tiết kết quả về tính giải được duy nhất củaphương trình Parabolic với điều kiện biên Dirichlet - Robin trong miền khôngchính quy Luận văn giúp người đọc hiểu sâu hơn về phương trình Parabolic vớiđiều kiện biên Dirichlet - Robin trong miền không chính quy

Chương 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Không gian Sobolev đóng vai trò là không gian tìm nghiệm yếu của bài toánCauchy - Dirichlet đối với phương trình parbolic trong miền không chính quy.Nội dung chương này dành sự quan tâm đến các không gian Sobolev và một vàikhông gian hàm được nhắc tới trong nội dung chương 2 Bên cạnh đó, là một

số kiến thức cơ sở nhằm phục vụ cho việc trình bày các chứng minh ở chương 2.Hầu hết các nội dung chương này được lấy trong các tài liệu [1], [4], và [9] trên

Lp(Ω) là không gian khả li với ∀p ≥ 1 Với C0∞(Ω) là không gian con trù mậttrong Lp(Ω).

Không gian liên hợp của Lp(Ω) là không gian Lq(Ω) Trong đó, 1

Định lí 1.1.3 Nếu u ∈ Lp(Ω), p ≥1 thì

lim

h→0||uh− u||Lp (Ω) = 0 (1.1)Chứng minh Đặt u(x) = 0 đối với x ∈ Rn \Ω Khi đó,

Theo Định lý về tính liên tục toàn cục thì tích phân cuối cùng dần tới 0, khi

h →0 Định lý được chứng minh

Định nghĩa 1.1.4 (Đạo hàm suy rộng (Đạo hàm yếu)) Giả sử u(x), v(x)∈

L1l.c(Ω) và α ∈ N Ta nói rằng v(x) là đạo hàm suy rộng cấp α của u(x), và viết

Mặt khác, (u1(x)− u2(x))∈ L1

l.c (Ω) nên u1(x)− u2(x) = 0 h.k.n trong Ω Suy ra,

u1(x) =u2(x) h.k.n trong Ω

Từ công thức Green cổ điển suy ra một hàm f(x) có đạo hàm (theo nghĩa

cổ điển) liên tục cấp α thì nó có đạo hàm suy rộng cấp α và

Bổ đề 1.1.6 (i) Một hàm có đạo hàm suy rộng cấp α trong miền Ωthì nó cũng

có đạo hàm suy rộng cấp α trong miền Ω0 ⊂Ω Khi đó, đạo hàm suy rộng trongmiền Ω0 được gọi là thu hẹp của đạo hàm suy rộng trong Ω vào Ω0

(ii)

Dα+βv =Dα(Dβv)

aDαv1+bDαv2 =Dα(av1+bv2)

(iii) Đạo hàm suy rộng không phụ thuộc vào thứ tự lấy đạo hàm

(iv) Khác với đạo hàm cổ điển, đạo hàm suy rộng được xác định ngay với cấp α

mà không cần giả thiết các đạo hàm cấp thấp hơn tồn tại Nói cách khác, đạohàm cấp thấp hơn α có thể không tồn tại nhưng đạo hàm suy rộng cấp α vẫntồn tại

Định lí 1.1.7 Giả sử Ω là một miền trong không gian Rn, Ω0 là miền con của

Ω sao cho khoảng cách giữa Ω0 và ∂Ω bằng d > 0 Khi đó, với 0 < h < d và

x ∈Ω0 ta có

(Dαu)h(x) = Dαuh(x).Chứng minh Do 0 < h < d;x ∈ Ω0 và hàm θ(x−yh ) ∈ C0∞(Ω), ∀x ∈ Ω0 nên theođịnh nghĩa đạo hàm suy rộng ta có

Định nghĩa 1.1.8 Cho m là một số nguyên dương, kí hiệu không gian Wm,p(Ω)

là không gian Sobolev bao gồm tất cả các hàm u: Ω−→ R sao cho u(x)∈ Lp (Ω)

và tồn tại các đạo hàm suy rộng mọi cấp α, |α| ≤ m thuộc Lp(Ω)

Trên Wm,p(Ω) trang bị chuẩn

Wm,p(Ω),1≤ p ≤+∞ là không gian Banach

Khi p= 2 ta kí hiệu Wm,2(Ω) = Hm(Ω) Chuẩn trên Hm(Ω) xác định bởi

Như vậy, u(x) ∈ W0m,p(Ω) nếu tồn tại các hàm um ∈ C0∞(Ω) sao cho um → utrong Wm,p(Ω) Ta coi W0m,p(Ω)như là tập hợp những hàm u ∈ Wm,p(Ω) sao cho

• Không gian W2,2 (Ω) = H2(Ω)

H2(Ω) = {u(x) ∈ L2(Ω) :∇u, D2u ∈ L2(Ω)}Chuẩn trên H2(Ω):

Eu được gọi là thác triển của u lên Rn

1.1.2 Phép biến đổi Fourier và không gian Hs( Rn) , s ∈ RĐịnh nghĩa 1.1.12 Ký hiệu S = {u(x) ∈ C∞ (Rn) : (1 + |x|2 )k|Dαu(x)| ≤

C, ∀k, α, với C chỉ phụ thuộc vào k và α }

Sự hội tụ trong S được xác định như sau:

Dãy {um(x)}m≤1 ⊂ S được gọi là hội tụ tới hàm u(x)nếu dãy {(1+|x|2 )kDαum(x)}m≤1hội tụ đều tới (1 +|x|2 )kDαu(x), khi m → ∞

Khi đó, S được gọi là không gian Schwartz

Định lí 1.1.13 (Phép biến đổi Fourier ngược) Đối với mỗi hàm u(x) ∈ Scông thức sau là đúng

∀u ∈ S đẳng thức này được gọi là đẳng thức Parseval

Sau đây là một cách mở rộng phép biến đổi Fourier từ không gian Schwartz

S(Rn) đến không gian L2(Rn)

Giả sử u(x)∈ L2 (Rn) Khi đó

∃{uk(x)}k≥1 ⊂ S(Rn) : uk(x) −→ u(x) trong L2(Rn)

Do tính đầy của không gian L2(Rn) nên dãy {uk(x)}k≥1 là dãy Cauchy trong

L2(Rn) Đẳng thức Parseval cho thấy dãy {uek(ξ)}k≥1 cũng là dãy Cauchy trong

L2(Rn)/ Do vậy {uek(ξ)}k≥1 hội tụ tới một hàm nào đó, giả sử là F[u], và gọi

F[u] là phép biến đổi Fourier của u(x) trong không gian L2(Rn)

Để cho thuận tiện, trong một số trường hợp ta có thể dùng kí hiệu u để chỉephép biến đổi Fourier của u(x)trong không gian L2(Rn) Từ định nghĩa trên chothấy, nếu u(x)∈ S(Rn)thì u có biểu diễn như trong định nghĩa Còn lại,enếu u(x) không thuộc S(Rn) thì eu được hiểu là giới hạn của một dãy các hàmnào đó thuộc S(Rn) trong chuẩn của L2(Rn)

=||(1 +|ξ|2)seu||L2 (R n ).1.1.3 Các không gian phụ thuộc thời gian

Trong các Định nghĩa dưới đây, không gian X xuất hiện với vai trò là mộtkhông gian Banach thực

Định nghĩa 1.1.18 Kí hiệu C([0, T];X)là không gian bao gồm tất cả các hàmliên tục u: [0, T]−→ X Trên C([0, T];X) trang bị chuẩn

||u||C([0,T ];X) = max

0≤t≤T||u(t)||X.Định nghĩa 1.1.19 Kí hiệu không gian Lp(0, T;X)là không gian bao gồm tất

cả các hàm đo được Lebesgue u: [0, T]−→ X sao cho

||u||Lp (0,T ;X)< ∞,trong đó

||u||Lp (0,T ;X) :=

Z T 0

Lp(0, T;X) là không gian Banach.

Không gian đối ngẫu của Lp(, T;X) là không gian Lq(0, T;X∗) trong đó X∗

là không gian đối ngẫu của X và 1

< u(t), v(t)>X,X∗ dt

Định nghĩa 1.1.20 [ Đạo hàm yếu trong L1(0, T;X)] Cho u ∈ L1(0, T;X),

ta nói v ∈ L1(0, T;X) là đạo hàm yếu của u và kí hiệu là u0 =v nếu

Z T 0

ϕ0(t)u(t)dt=−

Z T 0

ϕ(t)v(t)dt,với mọi hàm thử v(t)∈ C0∞([0, T])

Định nghĩa 1.1.21 Kí hiệu không gian W1,p(0, T;X) là không gian Sobolevbao gồm tất cả các hàm u ∈ Lp(0, T;X) sao cho đạo hàm yếu u0 tồn tại và

u0 ∈ Lp (0, T;X)

Trên W1,p(0, T;X) trang bị chuẩn

||u||W1 ,p (0,T ;X) =

Z T 0

W1,p(0, T;X) là không gian Banach khi X là không gian Banach

Định nghĩa 1.1.22 Kí hiệu Hm(0, T;X) = Wm,2(0, T;X)là không gian Sobolevbao gồm tất cả các hàm u ∈ L2(0, T;X) sao cho các đạo hàm yếu cấp α, α ≤ mtồn tại và thuộc L2(0, T;X)

Trên Hm(0, T;X) trang bị chuẩn

||u(j)(t)||2X
12

Khi X là không gian Hilbert, Hm(0, T;X) là không gian Hilbert với tích vôhướng

(||u(t)||2X +||u0(t)||2X∗ )dt

1 2

(ii) u(t) = u(s) +Rstu0(τ)dτ với mỗi 0≤ s ≤ t ≤ T

(iii) Hơn nữa

max

0≤t≤T ||u(t)|| ≤ ||u||W1 ,p (0,T ;X),trong đó hằng số C chỉ phụ thuộc vào T

0≤t≤T||u(t)||L2 (Ω) ≤ C(||u||L2 (0,T ;H 1 (Ω)) +||u0||L2 (0,T ;H − 1 (Ω)) )

trong đó, hằng số C chỉ phụ thuộc vào T

Định lí 1.1.27 Giả thiết rằng Ω là tập mở, bị chặn với biên trơn Cho m là sốnguyên không âm.

Giả sử u ∈ L2(0, T;Hm+2(Ω)) và u0 ∈ L2 (0, T;Hm(Ω)) Khi đó

(i) u ∈ C([0, T];Hm+1(Ω))

(ii) Hơn nữa

max

0≤t≤T||u(t)||Hm +1 (Ω) ≤ C(||u||L2 (0,T ;H m +2 (Ω)) +||u0||L2 (0,T ;H m (Ω)) ),

trong đó, hằng số C chỉ phụ thuộc vào T, U, m

1.1.4 Các không gian Hs(Ω) , Hr,s( QT) , r, s ∈ R+

Định nghĩa 1.1.28 Cho X, Y là hai không gian Hilbert, giả thiết X ⊂ Y và

X trù mật trong Y với phép đơn ánh là liên tục

Λ là toán tử sao cho

Λ = S12.(xem về toán tử Λ trong [9]) Đặt

[X, Y]θ :=D(Λ1−θ),0≤ θ ≤ 1,trong đó, D(Λ1−θ) là miền xác định của toán tử Λ1−θ

Chuẩn trong [X, Y]θ bằng chuẩn của đồ thị của Λ1−θ:

(||u||2Y +||Λ1−θu||2Y)12.Nhận xét 1.1.29 (i) X trù mật trong [X, Y] θ

(ii) Nếu Λ1,Λ2 là các toán tử liên hợp, dương trong Y với miền xác định X Khiđó

D(Λ1−θ1 ) =D(Λ1−θ2 ).(iii)

[X, Y]0 =X

[X, Y]1 =YĐịnh nghĩa 1.1.30 Cho s ∈ R, s ≥0

Hs(Ω) := [Hm(Ω), H0(Ω)]θ,trong đó (1− θ)m=s,0< θ <1, m là số nguyên

Nhận xét 1.1.31 (i) Sự tương đương các chuẩn trong Hs(Ω) chỉ phụ thuộc vào

s mà không phụ thuộc vào cách chọn m (miễn là m thỏa mãn (1− θ)m=s).(ii) Khi s là một số nguyên, định nghĩa Hs(Ω) trùng với định nghĩa Hm(Ω) đãbiết trước đó

Khi Ω có biên đủ trơn ta có các Định lý sau:

Định lí 1.1.32 Không gian C0∞(Ω) là trù mật trong Hs(Ω)

Định lí 1.1.33 Hs(Ω) trùng với không gian được hạn chế tới Ω các phần tửcủa Hs(Rn)

Định nghĩa 1.1.34 Cho s, r là hai số thực không âm Định nghĩa

Hr,s(QT) :=H0(0, T;Hr(Ω))∩ Hs(0, T;H0(Ω)).Trên Hr,s(QT) trang bị chuẩn

Z T 0

||u(t)||2Hr (Ω)dt+||u||2Hs (0,T ;H 0 (Ω))

12,trong đó

Hs(0, T;Hr(Ω)) = L2(0, T;Hr(Ω)),

Hs(0, T;H0(Ω)) = Hs(0, T).Nếu X là không gian Hilbert

s

ab ≤ ap+C()bq, với a, b,  > 0,trong đó C() = (p)−qp q−1.

Giả sử u,Φ là những hàm không âm, khả tích trên đoạn [t0, T] thỏa mãn hầukhắp t bất đẳng thức vi phân

u0(t)≤Φ(t)u(t) +ψ(t),trong đó Φ(t), ψ(t) là các hàm khả tích không âm trên [0, T] Khi đó

u(t)≤ eR0tΦ(s)ds

[u(0) +

Z t 0

ψ(s)ds], với ∀t ∈[0, T]

Đặc biệt, nếu u0(t)≤ Φ(t)u(t), với mọi t ∈ [0, T] và u(0) = 0 thì

u ≡ 0 trên [0, T].Nếu 1 ≤ p < n, ta gọi số liên hợp Sobolev của p là

Giả thiết p ≤ p < n, khi đó tồn tại hằng số C chỉ phụ thuộc vào n và p sao cho

||u||Lp∗ (R n ) ≤ C||Du||Lp (R n ),với mọi u ∈ C01(Rn)

Bất đẳng thức Poincare

Giả sử Ωlà tập mở, bị chặn liên thông của Rn với ∂Ω là C1,1≤ p ≤ ∞ Khi đótồn tại hằng số C chỉ phụ thuộc vào n, p,Ω sao cho

||u −(u)Ω||Lp (Ω) ≤ C||Du||Lp (Ω),với mọi u ∈ W1,p(Ω) Trong đó,

Định nghĩa 1.3.1 (i) Nếu ∂Ω là C1 thì dọc theo ∂Ω xác định một trường véc

tơ pháp tuyến đơn vị hướng ra ngoài Pháp tuyến đơn vị tại một điểm bất kì

Định lí 1.3.2 (Công thức tích phân từng phần) Giả sử Ω⊂ Rn là miền

bị chặn với biên ∂Ω Với x0 ∈ ∂Ω ta kí hiệu ν(x0) = (ν1, ν2, , νn) là véc tơpháp tuyến ngoài đơn vị tại x0, dσ(x) là phần tử diện tích của ∂Ω Khi đó,

∀u(x), v(x)∈ C1 (Ω)∩ C0 (Ω) ta có công thức tích phân từng phần sau

Định lí 1.3.3 (Công thức Green thứ nhất) Giả sử u(x) ∈ C2 (Ω)∩C0 (Ω), v(x)∈

C1(Ω)∩ C0 (Ω) Khi đó, ta có công thức Green thứ nhất:

=−Z

Định nghĩa 1.4.1 Cho Ω là miền bị chặn trong Rn với biên ∂Ω Ta nói rằngbiên ∂Ω là thuộc lớp Ck nếu với mỗi điểm x0 ∈ ∂Ω tồn tại một lân cận Ux0 củađiểm x0 trong Rn sao cho ∂Ω∩ Ux0 nằm trên siêu mặt

xi =f(x1, , xi−1, xi+1, , xn)

với f ∈ Ck(G), trong đó G là miền biến thiên của các đối số

x1, , xi−1, xi+1, , xn(ta có thể đổi tọa độ nếu cần thiết) Ta nói biên ∂Ω trơn nếu ∂Ω thuộc lớp C∞.Định lí 1.4.2 (Xấp xỉ miền) Giả sử Ω là miền tùy ý, bị chặn trong Rn Khi

đó, tồn tại một dãy miền Ω,  > 0 sao cho

Chương 2

PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN DIRICHLET - ROBIN TRONG MIỀN KHÔNG CHÍNH QUY

Giả sử Ω là một tập mở trong R2 xác định bởi

Ω ={(t, x)∈ R2 : 0 < t < T;ϕ1(t) < x < ϕ2(t)},trong đó, T là một số dương hữu hạn; ϕ1, ϕ2 là các hàm liên tục nhận giá trịthực trên [0, T], liên tục Lipschitz trên [0, T] sao cho

ϕ(t) :=ϕ2(t)− ϕ1(t) >0,với mọi t ∈[0, T] và giả thiết cơ bản ϕ(0) = 0 Do ϕ(0) = 0nên miền Ω được gọi

là miền không chính quy

Đặt

Γi ={(t, ϕi(t))∈ R2 : 0< t < T }; i = 1,2.Trong Ω, tôi xét bài toán

Chúng tôi sẽ tìm nghiệm của Bài toán (2.1) trong không gian Sobolev bất đẳnghướng

Hγ1,2(Ω) = {u ∈ H1,2(Ω) :u|Γ

1 =∂xu+βu|Γ

1 = 0},với

Mệnh đề 2.2.1 Nghiệm của Bài toán (2.1) là duy nhất

Chứng minh Xét u ∈ Hγ1,2(Ω)là nghiệm của Bài toán (2.1) với các số hạng phíabên phải bằng 0 Do đó ∂tu − ∂x2u= 0 trong Ω và u thỏa mãn điều kiện biên

Trong đó νt, νx là các thành phần của véc tơ đơn vị pháp tuyến ngoài trên ∂Ω

Ta sẽ viết lại tích phân trên biên được sử dụng điều kiện biên Trên phần biên