Thế vị newton và ứng dụng vào phương trình poisson

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ———————————– NGÔ THỊ VÂN KHÁNH THẾ VỊ NEWTON VÀ ỨNG DỤNG VÀO PHƯƠNG TRÌNH POISSON LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ———————————– NGÔ THỊ VÂN KHÁNH THẾ VỊ NEWTON VÀ ỨNG DỤNG VÀO PHƯƠNG TRÌNH POISSON Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS HÀ TIẾN NGOẠN Hà Nội - 2016 Lời cảm ơn Tôi chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, Phòng Sau đại học, Khoa Toán, thầy giáo, cô giáo, toàn thể bạn học viên cao học K18 chuyên ngành Toán Giải tích, Trường ĐHSP Hà Nội động viên, giúp đỡ để có điều kiện tốt suốt trình hoàn thành luận văn Đặc biệt, xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới PGS TS Hà Tiến Ngoạn, người định hướng chọn đề tài tận tình hướng dẫn, giúp đỡ hoàn thành luận văn Hà Nội, tháng năm 2016 Tác giả Ngô Thị Vân Khánh Lời cam đoan Đề tài Thế vị Newton ứng dụng vào phương trình Poisson hoàn thành Trường ĐHSP Hà Nội hướng dẫn PGS TS Hà Tiến Ngoạn Tôi xin cam đoan nội dung luận văn không trùng lặp với đề tài khác thông tin trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Hà Nội, tháng năm 2016 Tác giả Ngô Thị Vân Khánh Danh mục kí hiệu R : Trường số thực N = {1, 2, , n, } : Tập hợp tất số nguyên dương Rn : Không gian Euclide n - chiều Br (y) : Hình cầu mở tâm y bán kính r Rn ∂Ω : Biên tập Ω Rn Ω : Bao đóng tập Ω Rn ∆ : Toán tử Laplace : Kết thúc chứng minh Mục lục Danh mục kí hiệu Mở đầu Chương Thế vị Newton toán Dirichlet cho phương trình Poisson 1.1 Không gian Holder C k,γ Ω 1.2 Công thức Green biểu diễn Green 10 1.3 Thế vị Newton 14 1.4 Bài toán Dirichlet cho phương trình Laplace 18 1.5 Tính giải toán Dirichlet cho phương trình Poisson 19 Chương Các đánh giá đạo hàm nghiệm toán Dirichlet 20 2.1 Đánh giá bên miền đạo hàm cấp hai 20 2.2 Đánh giá biên đạo hàm cấp hai 29 2.3 Đánh giá đạo hàm cấp vế phải có dạng phân kì 34 Kết luận 38 Tài liệu tham khảo 39 Mở đầu Lí chọn đề tài Bài toán Dirichlet toán lý thuyết hàm điều hòa, tức nghiệm phương trình Laplace Các giáo trình sách chuyên khảo phương trình đạo hàm riêng thường dừng lại việc nghiên cứu toán này, toán Dirichlet cho phương trình Poisson đề cập Trên thực tế, khái niệm vị Newton công cụ đưa việc giải toán Dirichlet cho phương trình Poisson việc giải toán Dirichlet cho hàm điều hòa, đồng thời công cụ cho phép nghiên cứu tính chất định tính nghiệm toán Dirichlet cho phương trình Poisson Luận văn trình bày khái niệm vị Newton với tính chất đạo hàm cách áp dụng vào việc đưa việc giải toán Dirichlet cho phương trình Poisson việc giải toán Dirichlet cho hàm điều hòa, đồng thời áp dụng công cụ vào việc đánh giá chuẩn Holder đạo hàm cấp cấp hai nghiệm toán Dirichlet cho phương trình Poisson Tài liệu tham khảo luận văn Chương [3] Mục đích nghiên cứu Luận văn nhằm mục đích trình bày khái niệm vị Newton với tính chất đạo hàm cách áp dụng vào việc đưa việc giải toán Dirichlet cho phương trình Poisson việc giải toán Dirichlet cho hàm điều hòa Nhiệm vụ nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu trình bày khái niệm vị Newton với tính chất đạo hàm áp dụng vào việc nghiên cứu toán Dirichlet cho phương trình Poisson Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng phạm vi nghiên cứu khái niệm vị Newton với tính chất đạo hàm cách áp dụng vào việc đưa việc giải toán Dirichlet cho phương trình Poisson việc giải toán Dirichlet cho hàm điều hòa áp dụng công cụ vào việc đánh giá chuẩn Holder đạo hàm cấp cấp hai nghiệm toán Dirichlet cho phương trình Poisson Phương pháp nghiên cứu Luận văn dùng công cụ Giải tích toán học hàm nhiều biến số Giải tích hàm tuyến tính Đóng góp đề tài Luận văn tài liệu tham khảo bổ sung lý thuyết vị Newton việc áp dụng chúng vào nghiên cứu tính chất định tính nghiệm toán Dirichlet cho phương trình Poisson Chương Thế vị Newton toán Dirichlet cho phương trình Poisson 1.1 Không gian Holder C k,γ Ω Ta định nghĩa chuẩn liên quan không gian Banach C k (Ω), C k,γ (Ω) tương ứng sau ¯ 1) C(Ω) = C (Ω) u ¯ C (Ω) = u 0,0;Ω = sup |u| (1.1) Ω ¯ 0 0; T siêu phẳng xn = 0; B2 = B2R (x0 ), B1 = BR (x0 ) hình cầu tâm n x0 ∈ R+ đặt B2+ = B2 ∩ Rn+ , B1+ = B1 ∩ Rn+ + Bổ đề 2.8 Giả sử f ∈ C α (B ) w vị Newton f + B2+ Khi w ∈ C 2,α (B ) D2w 0,α;B1+ ≤ C |f |0,α;B2+ , (2.14) với C = C(n, α) Chứng minh Giả sử B2 T giao Bổ đề 2.1, công thức (2.11) giữ lại cho Dij w với Ω0 = B2+ Nếu i j khác n tích phân Di Γ(x − y)νj (y)dSy = (= ∂B2+ Dj Γ(x − y)νi (y)dSy ) T ∂B2+ νi νj = Đánh giá Bổ đề 2.1 với Dij w (i j = n), tiếp tục trước với B2 thay B2+ , Bδ (ξ) thay Bδ (ξ) ∩ B2+ ∂B2 thay ∂B2+ \T Cuối Dnn w đánh giá từ phương trình ∆w = f đánh giá Dkk w, k = 1, n − + + Định lí 2.9 Giả sử u ∈ C (B2+ ) ∩ C (B ), f ∈ C α (B ) thỏa mãn + ∆u = f B2+ , u = T Khi u ∈ C 2,α (B ) ta có |u|2,α;B1+ ≤ C(|u|0;B2+ + R2 |f |0,α;B2+ ), (2.15) 31 với C = C(n, α) Chứng minh Giả sử x = (x1 , , xn−1 ), x∗ = (x , −xn ) định nghĩa   f (x , xn ), xn ≥ 0, ∗ ∗ f (x) = f (x , xn ) = f (x , −x ), x ≤ n Ta giả sử B2 giao T Ta đặt B2− = n x ∈ Rn | x∗ ∈ B2+ D = B2+ ∪ B2− ∪ (B2 ∩ T ) Khi f ∗ ∈ C α (D) |f ∗ |0,α;D ≤ |f |0,α;B2+ Ta kí hiệu [Γ(x − y) − Γ(x∗ − y)] f (y)dy w(x) = B2+ [Γ(x − y) − Γ(x − y ∗ )] f (y)dy = (2.16) B2+ Ta có w(x , 0) = ∆u = f B2+ Để ý Γ(x − y ∗ )f (y)dy = Γ(x − y)f ∗ (y)dy, B2− B2+ ta thu Γ(x − y)f ∗ (y)dy Γ(x − y)f (y)dy − w(x) = B2+ D Tiếp tục đặt w∗ (x) = Γ(x − y)f ∗ (y)dy, D nhờ ý sau Bổ đề 2.1 (bằng cách đặt Ω1 = B1+ , Ω2 = D) ta thu D2w∗ 0,α;B1+ ≤ C |f ∗ |0,α;D ≤ 2C |f |0,α;B2+ Kết hợp với Bổ đề 2.8 ta có D2w∗ 0,α;B1+ ≤ C |f |0,α;B2+ (2.17) 32 Ta đặt v = u − w ∆u = B + v = T Bằng phép phản chiếu v mở rộng tới hàm điều hòa B2 đánh giá (2.15) suy từ đánh giá đạo hàm hàm điều hòa Chú ý 2.10 Nếu thêm vào giả thiết Định lí 2.9, u có giá compact B2+ ∪ T , từ (2.17) ta thu đánh giá đơn giản D2u 0,α;B2+ ≤ C |f |0,α;B2+ (2.18) Trong trường hợp ta có biểu diễn [Γ(x − y) − Γ(x∗ − y)] f (y)dy u(x) = w(x) = (2.19) B2+ Điều có ích để có định lí tương tự Định lí 2.6 mà đánh giá cho phần biên siêu phẳng Với mục đích này, ta đưa vào chuẩn nửa chuẩn phần biết Giả sử Ω tập mở thật R+ n T đoạn biên mở siêu phẳng xn = Với x, y ∈ Ω, giả sử ta viết dx = dist(x, ∂Ω\T ), dx,y = min(dx , dy ) Ta định nghĩa đại lượng sau [u]∗k,0;Ω∪T = [u]∗k;Ω∪T = sup d¯kx Dβ u(x) , k = 0, 1, 2, ; |u|∗k;Ω∪T = |u|∗k,0;Ω∪T = [u]∗k,α;Ω∪T |u|∗k,α;Ω∪T x∈Ω |β|=k k [u]∗j;Ω∪T ; j=0 β D u(x) − Dβ u(y) k+α ¯ = sup dx,y , < α ≤ 1; |x − y|α x,y∈Ω = |β|=k |u|∗k;Ω∪T + [u]∗k,α;Ω∪T ; 33 |u(x) − u(y)| (k) |u|k,α;Ω∪T = sup d¯kx |u(x)| + sup d¯k+α x,y |x − y|α x,y∈Ω x∈Ω Định lí 2.11 Giả sử Ω tập mở R+ n với phần biên T xn = giả sử u ∈ C (Ω) ∩ C (Ω ∪ T ), f ∈ C α (Ω ∪ T ) thỏa mãn ∆u = f Ω, u = T Khi |u|∗2,α;Ω∪T ≤ C |u|0;Ω + |f |0,α;Ω∪T , (2) (2.20) với C = C(n, α) Định lí 2.9 Định lí 2.11 cung cấp kết độ trơn cho nghiệm phương trình Poisson phần siêu phẳng biên Một kết tổng quát là: Ω miền bị chặn, f ∈ C α (Ω), u ∈ C (Ω) ∩ C Ω , ∆u = f Ω ∂Ω giá trị biên u đủ trơn u ∈ C 2,α Ω Dưới kết cho trường hợp đơn giản Ω = B Định lí 2.12 (Về độ trơn nghiệm toán Dirichlet)Giả sử B hình cầu Rn , u f hàm B thỏa mãn u ∈ C (B) ∩ C B , f ∈ C α B , ∆u = f B, u = ∂B Khi u ∈ C 2,α B Chứng minh Bằng phép tịnh tiến ta giả sử ∂B qua gốc Ánh xạ x → x∗ = x |x|2 song ánh, ánh xạ trơn Rn \ {0} → Rn \ {0} biến B thành nửa không gian B ∗ Hơn nữa, u ∈ C (B) ∩ C B biến đổi Kelvin 34 u xác định v(x) = |x|2−n u thuộc vào C (B ∗ ) ∩ C B ∗ x |x|2 (2.21) thỏa mãn ∆x∗ v(x∗ ) = |x∗ |−n−2 ∆x u(x), x∗ ∈ B ∗ , x ∈ B, x∗ ∗ ∗ ∗ −n−2 = |x | f ,x ∈ B ∗ |x | (2.22) Do áp dụng Định lí 2.9 cho biến đổi Kelvin v tịnh tiến theo điểm ∂B với điểm gốc ta u ∈ C 2,α (B) Hệ 2.13 Giả sử ϕ ∈ C 2,α B , f ∈ C α B Khi toán Dirichlet ∆u = f B, u = ϕ ∂B có nghiệm hàm u ∈ C 2,α B Chứng minh Đặt v = u − ϕ, toán quy toán ∆v = f − ∆ϕ B, v = ∂B, có nghiệm v ∈ C (B) ∩ C B nhờ Định lí 2.3 v ∈ C 2,α B nhờ Định lí 2.12 35 2.3 Đánh giá đạo hàm cấp vế phải có dạng phân kì Phương trình Poisson thường có dạng ∆u = divf = Di f i , f = (f , , f n ) (2.23) hàm mật độ có dạng phân kì Nếu f ∈ C 1,α (Ω), đánh giá vị Newton divf nghiệm (2.23) tương tự cách thay divf cho f từ đầu đến cuối Nếu Ω đủ trơn, ta có Γ(x − y)divf (y)dy = Ω DΓ(x − y)f (y)dy + Ω Γ(x − y)f (y)ν(y)dSy , ∂Ω vị Newton divf Ω hàm điều hòa cho Γ(x − y)f j (y)dy Γ(x − y)f (y)dy = Dj w(x) = D Ω (2.24) Ω Biểu thức đồng với vị Newton f có giá compact Ω Ta thấy w xác định f khả tích, trường hợp (2.24) lấy định nghĩa vị Newton divf Ω Nếu thêm vào giả thiết f liên tục Holder, đạo hàm cấp w Ω cho Dij Γ(x − y)(f j (y) − f j (x))dy − f j (x) Di w (x) = Ω Di f (x − y)νj dSy ∂Ω (2.25) Như vậy, từ Chú ý 2.2 suy |Dw|0,α;B1 ≤ C |f |0,α;B2 , C = C(n, α) (2.26) 36 Ta có đánh giá bên miền đạo hàm cấp sau Định lí 2.14 (Đánh giá miền đạo hàm cấp một)Giả sử Ω miền Rn , giả sử u thỏa mãn phương trình Poisson (2.23), f ∈ C α (Ω), < α < Khi với hai hình cầu đồng tâm B1 = BR (x0 ), B2 = B2R (x0 ) ⊂⊂ Ω ta có |u|1,α;B1 ≤ C |u|0;B2 + R |f |0,α;B2 , (2.27) với C = C(n, α) Chứng minh Tương tự Định lí 2.4 Để đánh giá đạo hàm cấp biên, ta tiến hành sau Nếu B1 B2 trùng Bổ đề 2.8 vị (2.24) có đạo hàm cấp cho (2.25), với Ω = B2+ ta có đánh giá |Dw|0,α;B1+ ≤ C |f |0,α:B2+ , C = C(n, α) (2.28) Để nhận C 1,α tương tự Định lí 2.9 nghiệm (2.23) triệt tiêu xn = 0, ta tiến hành tương tự với phương pháp phản xạ Giả sử G(x, y) = Γ(x − y) − Γ(x − y ∗ ) = Γ(x − y) − Γ(x∗ − y) 37 kí hiệu hàm Green nửa không gian R+ n , ý w(x) = − Dy G(x, y)f (y)dy (với Dy = (Dy1 , , Dyn )) B2+ DΓ(x − y)f (y)dy+ = B2+ (2.29) ∗ Dy Γ(x − y)f (y)dy B2+ Với i = 1, , n, giả sử vi thành phần v cho Dyi Γ(x∗ − y)f i (y)dy Di Γ(x − y)f i (y)dy+ vi (x) = B2+ B2+ Ta thấy v vi triệt tiêu T = B2 ∩ {xn = 0} Giả sử f ∈ + C α B2 f mở rộng hàm phản xạ chẵn xn = ký hiệu hàm mở rộng f Khi đó, với i = 1, n − ta có  Γ(x − y)f i (y)dy−  vi (x) = Di 2  Γ(x − y)f i (y)dy  (2.30) B2+ ∪B2− B2+ Dyn Γ(x∗ − y)f n (y)dy = Khi i = n, từ  Dn Γ(x − y)f n (y)dy ta thu B2− B2+ (x) = Dn Γ(x − y)f n (y)dy (2.31) B2+ ∪B2− Từ (2.26) (2.28) áp dụng vào (2.30) (2.31) ta |Dv|0,α;B1+ ≤ C |f |0,α;B2+ , C = C(n, α) (2.32) Định lí 2.15 (Đánh giá biên đạo hàm cấp một) + Giả sử u ∈ C α B thỏa mãn phương trình Poisson f ∈ 38 + C α B giả sử u = B2 ∩ {xn = 0} Khi |u|1,α;B1+ ≤ C |u|0;B2+ + R |f |0,α;B2+ , (2.33) với C = C(n, α) Chứng minh Chứng minh suy từ (2.32) kết luận Định lí 2.9 Các kết trước mở rộng cho phương trình dạng ∆u = g + divf (2.34) Khi f liên tục Holder g khả tích bị chặn Ta giả sử đạo hàm cấp vị Newton g thỏa mãn đánh giá α-Holder với ∀α < Từ đánh giá vị Newton, dánh giá C 1,α nghiệm (2.34) tương ứng với (2.27) (2.33) có dạng |u|1,α;B1 ≤ C |u|0;B2 + R2 |g|0;B2 + R |f |0,α;B2 , (2.35) |u|1,α;B1+ ≤ C |u|0;B2+ + R2 |g|0;B2+ + R |f |0,α;B2+ , (2.36) C = C(n, α) 39 Bình luận cuối Chương Trong chương này, luận văn trình bày đánh giá tiên nghiệm bên miền biên đạo hàm cấp cấp hai nghiệm toán Dirichlet cho phương trình Poisson Kết luận Luận văn trình bày vấn đề sau Các công thức Green biểu diễn Green hàm u(x) ∈ ¯ C (Ω) ∩ C (Ω) Thế vị Newton tính chất khả vi Tính giải toán Dirichlet phương trình Poisson miền giới nội phụ thuộc vào tính qui biên Các đánh giá tiên nghiệm bên miền biên đạo hàm cấp cấp hai nghiệm toán Dirichlet cho phương trình Poisson Độ trơn nghiệm toán Dirichlet cho phương trình Poisson Tác giả Ngô Thị Vân Khánh Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu tiếng Việt [1] Phan Đức Chính (1978), Giải tích hàm, Tập I: Cơ sở lí thuyết, Nhà xuất Đại học Trung học chuyên nghiệp, Hà Nội [2] Hoàng Tụy (2005), Hàm thực Giải tích hàm, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội, Hà Nội [B] Tài liệu tiếng Anh [3] D Gilbarg, N S Trudinger (2001), Elliptic partial differential equations of second order, Springer-Verlag, New York [4] F Taylor (1975), Basic linear partial differential equations, Academic Press, New York - London [...]... hằng số chỉ phụ thuộc vào n và α Khi đó (2.1) được suy ra từ (2.2) và (2.3) Chú ý 2.2 Nếu Ω1 , Ω2 là các miền tương ứng: Ω1 ⊂ B1 , Ω2 ⊃ B2 và f ∈ C α (Ω2 ) và w là thế vị Newton của f trên miền Ω2 khi đó Bổ đề 2.1 vẫn còn đúng với Ω1 , Ω2 thay thế B1 , B2 tương ứng trong (2.1) Tức là D2w 0,α;Ω1 ≤ C |f |0,α;Ω2 Định lí 2.3 Giả sử u ∈ C02 (Rn ), f ∈ C0α (Rn ) thỏa mãn phương trình Poisson ∆u = f trong... Laplace ∆u = 0 (1.8) là dạng phương trình elliptic đơn giản nhất Phương trình không thuần nhất tương ứng với phương trình (1.8) là phương trình Poisson ∆u = f (f là hàm đã biết) (1.9) 12 Phương trình Laplace và phương trình Poisson xuất hiện trong nhiều bài toán khác nhau Từ ý nghĩa vật lí của hai phương trình này trong miền bị chặn Ω ⊂ Rn , một cách tự nhiên ta có các điều kiện biên sau đây: - Điều kiện... và ϕ là các hàm − gu ∂ν ∂Ω đã cho trên ∂Ω Hàm u ∈ C 2 (Ω) thỏa mãn phương trình Laplace (1.8) với mọi x ∈ Ω được gọi là hàm điều hòa trong Ω Nghiệm cổ điển của phương trình Poisson (1.9) là hàm u ∈ C 2 (Ω) và thoả mãn (1.9) với mọi x ∈ Ω Phương trình Laplace có nghiệm đối xứng r2−n với n > 2 và log r với n = 2 , ở đây r là khoảng cách từ x đến gốc tọa độ Từ công thức (1.7), cố định một điểm y ∈ Ω và. .. trò của u và v cho nhau trong công thức (1.6) và lấy (1.6) trừ đi công thức mới nhận được, ta thu được công thức Green thứ hai (v∆u − u∆v)dx = Ω (v ∂u ∂v − u )dS ∂ν ∂ν (1.7) ∂Ω Khi nghiên cứu phương trình đạo hàm riêng, người ta chia ra ba loại phương trình cơ bản: elliptic, parabolic, hypecbolic Trong đó, phương trình Laplace ∆u = 0 (1.8) là dạng phương trình elliptic đơn giản nhất Phương trình không... trong Rn và giả sử u ∈ C 2 (Ω), f ∈ C α (Ω) thỏa mãn phương trình Poisson ∆u = f trong Rn Khi đó u ∈ C 2,α (Ω) và với hai hình cầu đồng tâm bất kì B1 = BR (x0 ), B2 = B2R (x0 ) ⊂⊂ Ω ta có |u|2,α;B1 ≤ C |u|0;B2 + R2 |f |0,α;B2 , (2.6) trong đó C = C(n, α) Chứng minh Nhờ biểu diễn Green (1.17) và Bổ đề 2.2 ta có thể viết với x ∈ B2 , u(x) = v(x) + w(x), trong đó v là điều hòa trong B2 và w là thế vị Newton. .. các giá trị của hàm u = u(x) và ∂u giá trị của đạo hàm theo theo pháp tuyến trên ∂Ω ∂ν 14 1.3 Thế vị Newton Ta đã biết nghiệm cơ bản của phương trình Laplace được cho bởi công thức 1 |x − y|2−n , nếu n > 2, Γ(x − y) = Γ(|x − y|) = n(2 − n)ωn   1 log |x − y| , nếu n = 2, 2π    (1.18) và ∆x Γ(x − y) = 0, ∀x = y Với f là một hàm khả tích xác định trên một miền Ω, thế vị Newton của f là một hàm w xác... cho phương trình Poisson về việc giải bài toán Dirichlet cho phương trình Laplace đã biết cách giải Chương 2 Các đánh giá đối với đạo hàm của nghiệm bài toán Dirichlet 2.1 Đánh giá bên trong miền đối với đạo hàm cấp hai Bổ đề 2.1 Giả sử B1 = BR (x0 ), B2 = B2R (x0 ) là các hình cầu đồng tâm trong Rn Giả sử f ∈ C α (B2 ), 0 < α < 1 và giả sử w là thế vị Newton của f trong B2 Khi đó w ∈ C 2,α (B1 ) và. .. Dirichlet cổ điển cho phương trình Poisson với điều kiện biên liên tục là giải được Định lí 1.4 Giả sử Ω là một miền bị chặn và giả sử với mỗi điểm của ∂Ω là chính quy (đối với toán tử Laplace) Khi đó, nếu f là hàm bị chặn, liên tục Holder địa phương trong Ω, thì bài toán Dirichlet cổ điển: ∆u = f trong Ω, u = ϕ trên ∂Ω, có nghiệm duy nhất với mọi ϕ liên tục Chứng minh Giả sử w là thế vị Newton của f được... tiếp của đánh giá (2.6) là sự liên tục đồng bậc của đạo hàm cấp 2 của các nghiệm phương trình Poisson trên một miền compact của tập bị chặn bất kì Do đó, nhờ Định lí Arzela’s ta suy ra tính compact đối với các nghiệm của phương trình Poisson trong hệ quả sau 26 Hệ quả 2.5 Mọi dãy bị chặn của các nghiệm của phương trình Poisson ∆u = f trong miền Ω với f ∈ C α (Ω) chứa một dãy con hội tụ đều tới một... biên khi và chỉ khi mọi điểm biên của ∂Ω đều là điểm chính quy 19 1.5 Tính giải được của bài toán Dirichlet cho phương trình Poisson Bài toán Dirichlet cho phương trình Poisson được phát biểu như sau: Tìm hàm u(x) ∈ C 2 (Ω) ∩ C Ω sao cho ∆u(x) = f (x), x ∈ Ω (1.24) u(x) = ϕ(x), x ∈ ∂Ω (1.25) với ϕ(x) là hàm số cho trước trên ∂Ω, f (x) là hàm cho trước trên Ω Ta chỉ ra rằng nếu f bị chặn và liên tục