Tìm hiểu về bài toán ổn định hóa hệ song tuyến tính rời rạc

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ——————–o0o——————— VŨ NGỌC ANH TÌM HIỂU VỀ BÀI TỐN ỔN ĐỊNH HĨA HỆ SONG TUYẾN TÍNH RỜI RẠC KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP HÀ NỘI - 2019 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ——————–o0o——————— Vũ Ngọc Anh TÌM HIỂU VỀ BÀI TỐN ỔN ĐỊNH HĨA HỆ SONG TUYẾN TÍNH RỜI RẠC Chun ngành: Tốn Ứng dụng KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP Giáo viên hướng dẫn: TS NGUYỄN TRUNG DŨNG HÀ NỘI - 2019 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan viết tơi, hồn thành hướng dẫn TS Nguyễn Trung Dũng Các nội dung nghiên cứu khóa luận hồn tồn trung thực, thơng tin trích dẫn ghi rõ nguồn gốc mục tài liệu tham khảo Nếu phát có gian lận nào, tơi xin chịu hoàn toàn trách nhiệm Sinh viên thực LỜI CẢM ƠN Khóa luận tốt nghiệp thực khoa Toán, trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, hướng dẫn TS Nguyễn Trung Dũng Tơi xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Nguyễn Trung Dũng định hướng dẫn sát suốt q trình tơi thực đề tài nghiên cứu Sự ân cần, nhiệt tình thầy truyền đạt kiến thức kinh nghiệm q báu tiền đề quan trọng giúp tơi có kết trình bày khóa luận tốt nghiệp Tôi xin chân thành cảm ơn quý thầy, khoa Tốn, trường Đại học Sư phạm Hà Nội tận tình truyền đạt kiến thức năm tơi học tập Những kiến thức khơng tảng q trình thực khóa luận mà hành trang vững cho tơi tương lai Cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn tới bố mẹ người thân gia đình Những người ln bên động viên tơi vượt qua khó khăn sống học tập Tôi xin chân thành cảm ơn! Sinh viên thực MỤC LỤC Trang Lời cam đoan Lời cảm ơn Kí hiệu MỞ ĐẦU BỔ ĐỀ PETERSEN 1.1 Bổ đề Petersen 1.2 Bổ đề Petersen mở rộng 1.2.1 Các kết bổ trợ 1.2.2 Bổ đề Petersen mở rộng 11 ỔN ĐỊNH HÓA HỆ SONG TUYẾN TÍNH RỜI RẠC 13 2.1 Đặt toán 13 2.2 Kết 14 2.3 Miền ổn định hóa hệ song tuyến tính rời rạc 18 2.4 Trường hợp có nhiễu 19 KẾT LUẬN 25 TÀI LIỆU THAM KHẢO 25 KÍ HIỆU R+ Tập hợp số thực khơng âm Rn Khơng gian vectơ Euclide n-chiều Rm×n Tập ma trận thực cấp m × n Sn Tập ma trận thực đối xứng cấp n S+ n Tập ma trận đối xứng xác định dương cấp n A A A I Ma trận chuyển vị ma trận A Ma trận đối xứng nửa xác định dương Ma trận A đối xứng xác định dương LMIs Ma trận đơn vị Ma trận không Bất đẳng thức ma trận tuyến tính MỞ ĐẦU Tổng quan đề tài nghiên cứu Ngày nay, với phát triển không ngừng công nghệ, giới thay đổi cách mạnh mẽ nhanh chóng Vai trò tự động hóa vấn đề phát triển kinh tế vơ to lớn, đóng góp phần thiếu sống, giúp sống tiện nghi thoải mái Ngành điều khiển tự động có sở từ cuối kỷ XIX đến đầu kỷ XX, thực phát triển mạnh vào nửa cuối kỷ XX có xu ngày phát triển với kỹ thuật mới, thuật toán điều khiển Ngày nay, hệ thống điều khiển tự động phổ biến hầu hết lĩnh vực công nghệ phát triển song song với kỹ thuật tiên tiến điện tử máy tính Đối với hệ thống điều khiển tự động, đặc tính điều khiển được, quan sát được, ổn định, v.v đóng vai trò định vận hành hệ thống Trong đó, tính ổn định hệ thống đóng vai trò quan trọng Có thể thấy hệ thống không ổn định gây bất lợi định làm sai lệch trình vận hành, chí gây hỏng hóc tai nạn Một ví dụ hệ thống ổn định biên độ trạng thái hệ tăng lên đến vô đầu vào khống chế, điều nguy hiểm gây cháy, nổ, hỏng hóc thiết bị, v.v Do đó, trì vận hành ổn định hệ thống cần thiết Được gợi ý giúp đỡ thầy Nguyễn Trung Dũng, chọn đề tài “Tìm hiểu tốn ổn định hóa hệ song tuyến tính rời rạc” làm đề tài khóa luận tốt nghiệp Mục đích nghiên cứu Mục đích khóa luận tìm hiểu tốn ổn định hóa hệ song tuyến tính rời rạc Cụ thể hơn, khóa luận tìm hiểu về: Bổ đề Petersen bổ đề Petersen mở rộng Bài toán ổn định hóa hệ song tuyến tính rời rạc Phương pháp nghiên cứu Khóa luận sử dụng phương pháp hàm Lyapunov; bất đẳng thức ma trận tuyến tính, giải tích ma trận, kỹ thuật ước lượng biến đổi bất đẳng thức ma trận Cấu trúc khóa luận Ngoài phần mở đầu, kết luận danh mục tài liệu tham khảo, khóa luận gồm chương • Chương Bổ đề Petersen Chương trình bày bổ đề Petersen mở rộng bổ đề Petersen • Chương Bài tốn ổn định hóa hệ song tuyến tính rời rạc Nội dung chương tìm hiểu tốn ổn định hóa hệ song tuyến tính rời rạc Chương BỔ ĐỀ PETERSEN Trong chương này, chúng tơi trình bày bổ đề Petersen mở rộng bổ đề Petersen số kết bổ trợ sử dụng cho chương sau 1.1 Bổ đề Petersen Trước phát biểu chứng minh bất đẳng thức Petersen giới thiệu số kết bổ trợ sau Bổ đề 1.1.1 (Bổ đề Schur dạng không ngặt [4]) Cho U W ma trận đối xứng, W Khi đó, U V V W U − V W −1 V Bổ đề 1.1.2 (S-procedure [4]) Cho T0 , T1 , , Tp ∈ Rn ma trận đối xứng Khi đó, điều kiện ζ T0 ζ > với ζ = cho ζ Ti ζ ≥ 0, i = 1, 2, , p (1.1) tương đương với điều kiện tồn số τ1 , τ2 , , τp ≥ cho p T0 − τi Ti (1.2) i=1 Bổ đề 1.1.3 (Bổ đề Petersen [14]) Cho G = G ∈ Rn×n ma trận khác ma trận khơng M ∈ Rn×p , N ∈ Rn×q Khi đó, với ∆ ∈ Rp×q thỏa mãn ∆ ≤ 1, bất đẳng thức G + M ∆N + N ∆ M (1.3) tồn ε > cho G + εM M + N N ε 1/2 0, (1.4) ∆ = max λi (∆∆ ) λi (A) giá trị riêng ma trận A i Chứng minh Giả sử bất đẳng thức G + M ∆N + N ∆ M (1.5) với ∆ ≤ Khi đó, bất đẳng thức tương đương với x Gx + 2x M ∆N x ≤ với x ∈ Rn ∆ ≤ Đặt x M ∆ = y , ta viết bất đẳng thức dạng x Gx + 2y N x ≤ với x ∈ Rn y ∈ Rq cho y y = x M ∆∆ M x ≤ x M M x Chúng ta kí hiệu vectơ ma trận sau: z= x y ∈ Rn+q , A0 = G N N A1 = , −M M 0 , I I kí hiệu ma trận đơn vị ma trận khơng có số chiều thích hợp Khi đó, bất đẳng thức (1.5) tương đương với z A0 z ≤ với z cho z A1 z ≤ (1.6) Áp dụng bổ đề S−procedure, bất đẳng thức (1.6) tương đương với điều kiện: tồn ε ≥ cho A0 εA1 , tức G + εM M N N −εI (1.7) Áp dụng bổ đề Schur không chặt, bất đẳng thức (1.7) tương đương với G + εM M + N N ε 0, ε > Nhận xét 1.1.1 Trong chứng minh bổ đề Petersen trên, M V Khlebnikov cộng (xem [6]) sử dụng bổ đề S-procedure điều làm cho chứng minh khơng phức tạp báo gốc [14] Chương ỔN ĐỊNH HĨA HỆ SONG TUYẾN TÍNH RỜI RẠC Nội dung chương tìm hiểu tốn ổn định hóa hệ song tuyến tính rời rạc 2.1 Đặt toán Xét hệ điều khiển song tuyến thời gian rời rạc sau xk+1 = Axk + buk + Dxk uk , x0 ∈ R, (2.1) xk ∈ Rn vectơ trạng thái, uk ∈ R vector điều khiển đầu vào, A, D ∈ Rn×n , b ∈ Rn ma trận số cho trước Để ổn định hóa hệ (2.1), điều khiển phản hồi trạng thái thiết kế sau uk = k xk , (2.2) k ∈ Rn vectơ cần xác định Với điều khiển phản hồi trạng thái tuyến tính (2.2), hệ đóng (2.1) có dạng xk+1 = Ac xk + Dxk k xk , (2.3) Ac = A + bk Định nghĩa 2.1.1 Hệ (2.1) gọi ổn định hóa ellipsoid E = {x ∈ Rn : x P −1 x ≤ 1}, P 0, tồn điều khiển có dạng (2.2) cho với quỹ đạo nghiệm hệ đóng (2.3) với điều kiện ban đầu x0 ∈ E ổn định tiệm cận tiến đến Ellipsoid E gọi ellipsoid ổn định hóa tương ứng với điều khiển (2.2) 13 2.2 Kết Định lí 2.2.1 [5] Cho ma trận P vector y thỏa mãn bất dẳng thức ma trận sau  −P     y  AP + by y P A + yb −εP PD 0 − 1ε I DP −P     ≺ 0,   với số ε > Khi đó, điều khiển phản hồi trạng thái (2.2) với ma trận đạt k = P −1 y ổn định hóa hệ (2.1) bên ellipsoid E = {x ∈ Rn : x P −1 x} Chứng minh Xét hàm Lyapunov sau V (x) = x Qx, Tính sai phân ∆V Q V (xk+1 ) − V (xk ) theo quỹ đạo nghiệm hệ đóng (2.3) Chúng ta có V (xk+1 ) = xk+1 Qxk+1 = (Ac xk + Dxk k xk ) Q(Ac xk + Dxk k T xk ) = xk Ac QAc xk +xk Ac QDxk k xk +xk kxk D QAc xk +xk kxk D QDxk k xk = xk (Ac QAc + Ac QDxk k + kxk D QAc + kxk D QDxk k )xk Điều kiện ∆V < xk (Ac QAc + Ac QDxk k T + kxk D QAc + kxk D QDxk k T )xk < xk Qxk 14 Do đó, điều kiện Ac QAc + Ac QDxk k + kxk D QAc + kxk D QDxk k ≺ Q hệ đóng (2.3) ổn đinh Mặt khác, sử dụng bổ đề Schur, bất đẳng thức tương đương với bất đẳng thức sau Ac QAc − Q + Ac QDxk k + kxk D QAc kxk D Q QDxk k −Q ≺ 0, Ac QAc − Q 0 −Q + Ac QD xk k QD + k xk D QAc D Q ≺ 0 (2.4) Để quỹ đạo nghiệm xk hệ đóng nằm bên ellipsoid, ta phải có E = {xk ∈ Rn : V (xk ) ≤ 1} = {xk ∈ Rn : xk Qxk ≤ 1} (2.5) Từ (2.4), (2.5), theo Bổ đề 1.2.5, ta có bất đẳng thức ma trận tương đương   Ac QD k Ac QAc − Q     −Q QD  ≺   D Q −εQ    D QAc k 0 − 1ε I (2.6) Nhận xét 2.2.1 Theo [?] bất đẳng thức ma trận (2.6) kéo theo ổn định Schur ma trận Ac , điều có nghĩa điều khiển (2.2) ổn định hóa hệ xk+1 = Axk + buk Áp dụng bổ đề Schur, (2.6) tương đương với bất đẳng thức ma trận sau      Ac QAc − Q Ac QD k  D QAc D QD − εQ   ≺ 0, k − 1ε I 15 hay  −Q    k    k A   c   −εQ   + D  Q Ac D ≺ 0 − 1ε I Tiếp tục sử dụng bổ đề Schur bất đẳng thức trên, ta có   −Q     k Ac k Ac  −εQ D   ≺ 0 − 1ε I   −1 D −Q Đặt P = Q−1 , nhân trước sau bất đẳng thức với ma trận   P 0    P 0      0 I 0 0 I ta   −P P k P (A + bk )     −εP P D   ≺   k P −εI   (A + bk )P DP −P Đặt k = P −1 y , có  −P     y  AP + by y P A + yb −εP PD − 1ε I DP −P     ≺ 0,   với biến ma trận P , biến vector y tham số ε Hệ 2.2.2 [5] Gọi P , y nghiệm toán tối ưu lồi max log det P 16 thỏa mãn  −P     y  AP + by với biến ma trận P = P y P A + yb −εP PD 0 − 1ε I DP −P     ≺ 0,   (2.7) ∈ Rn×n , biến vector y ∈ Rn tham số ε Khi x P −1 x ≤ 1} E = {x ∈ Rn : ellipsoid ổn định hóa hệ (2.1) với điều khiển phản hồi tuyến tính (2.2) có ma trận đạt k = P −1 y Nhận xét 2.2.2 Kết hợp ràng buộc toán tối ưu Hệ 2.2.2 với bất đẳng thức ma trận tuyến tính x0 x0 P (tương đương với điều kiện x0 P −1 x0 ≤ 1) đảm bảo điều kiện ban đầu x(0) = x0 thuộc ellipsoid ổn định hóa hệ Ví dụ 2.2.1 Xét hệ song tuyến tính rời rạc (2.1) với ma trận sau A= , −1 B= , D= 0.5 0.3 −0.3 0.5 (2.8) Theo Hệ 2.2.2, ta tìm P = 1.4062 0.5314 , 0.5314 0.4248 k= −1 1.6209 Bán kính phổ ma trận Ac hệ đóng (2.3) ρ(Ac ) = 0.6209 ρ(A) = 1.618 Ellipsoid ổn định hóa mơ tả hình 2.1 sau 17 Hình 2.1: Ellipsoid ổn định hóa Ví dụ 2.2.1 2.3 Miền ổn định hóa hệ song tuyến tính rời rạc Trong mục trước xây dựng ellipsoid E ổn định hóa hệ (1.8), mục xây dựng miền ổn định hóa hệ (1.8) sau x0 ∈ E ⊂ A Tập A gọi miền ổn định hệ song tuyến tính (2.1) điều khiển phản hồi trạng thái tuyến tính Nhận xét 2.3.1 Đối với ellipsoid ổn định hóa điểm ban đầu có điều khiển ổn định hóa nhiên với miền ổn định ổn định hóa điểm phân biệt có điều khiển ổn định hóa khác Từ Nhận xét 2.2.2, miền ổn định A xây dựng sau: cho trước vectơ định hướng c cực đại hóa giá trị tham số γ với điều kiện điểm γc thuộc ellipsoid ổn định Thật vậy, điều kiện (γc) P −1 (γc) ≤ 1, theo bổ đề Schur, tương đương với bất đẳng thức ma trận tuyến tính γc γc P Chúng ta có đặc trưng miền ổn định qua định lí sau 18 Định lí 2.3.1 [5] Cho vector c γ nghiệm toán quy hoạch max γ với điều kiện  −P     y  AP + by y P A + yb −εP PD 0 −εI DP −P     ≺ 0,   γc γc P 0, (2.9) biến P = P ∈ Rn×n , y ∈ Rn tham số γ , ε Khi điểm γc thuộc miền ổn định hóa A hệ song tuyến tính (2.1) theo hướng c 2.4 Trường hợp có nhiễu Trong mục này, xét trường hợp ma trận hệ điều khiển song tuyến tính chứa nhiễu Xét hệ điều khiển song tuyến tính rời rạc sau: xk+1 = (A + F ∆H)xk + buk + Dxk uk , (2.10) A, D ∈ Rn×n , b ∈ Rn , F ∈ Rn×p , H ∈ Rq×n ; x0 điều kiện ban đầu, xk ∈ Rn biến trạng thái, uk ∈ R điều khiển đầu vào ∆ ∈ Rp×q : ∆ ≤1 ma trận nhiễu Với điều khiển phản hồi (2.2) có hệ đóng (2.10) sau: xk+1 = Ac xk + Dxk k xk , (2.11) Ac = A + F ∆H + bk Trong mục này, thiết kế điều khiển phản hồi tuyến tính có dạng (2.2) ổn định hóa hệ (2.10) bên ellipsoid E = {x ∈ Rn : x P −1 x ≤ 1}, 19 P 0, với nhiễu chấp nhận ∆ Nói cách khác, quỹ đạo hệ (2.10) với điều khiển (2.2), xuất phát từ điểm x0 bên ellipsoid E hội tụ với nhiễu chấp nhận ∆ Ellipsoid E gọi ellipsoid ổn định hóa vững ứng với điều khiển (2.2) Kết tương ứng với Định lí 2.2.1 Định lí 2.4.1 [5] Cho ma trận P vectơ y thỏa mãn bất đẳng thức ma trận  −P      y  AP + by  HP y P A + yb −εP PD 0 − 1ε I DP −P + ε1 F F 0  PH     ≺0    −ε1 I (2.12) với tham số ε, ε1 Khi đó, điều khiển phản hồi tuyến tính (2.2) với ma trận đạt k = P −1 y ổn định hóa vững hệ (2.10) bên ellipsoid x P −1 x ≤ 1} E = {x ∈ Rn : với nhiễu chấp nhận Chứng minh Sử dụng lập luận chứng minh Định lí 2.2.1, với hàm Lyapunov V (x) = x Qx,  Q −P     y  (A + F ∆H)P + by 0, ta có y P (A + F ∆H) + yb −εP PD 0 − 1ε I DP −P hay  −P     y  AP + by y P A + yb −εP PD − 1ε I DP −P 20          ≺0       PH     0     ∆ +   ∆ HP 0 +   0     F 0 0 F ≺ Theo Bổ đề 1.2.5, bất đẳng thức tương đương với điều kiện tồn ε1 cho  −P     y  AP + by     0  +ε1    0 F 0 F y P A + yb −εP PD 0 − 1ε I DP −P  PH   +  ε1   0          HP 0 ≺   Theo bổ đề Schur tương đương với điều kiện sau  −P      y  AP + by  HP  y P A + yb −εP PD 0 − 1ε I DP −P + ε1 F F 0  PH      ≺    −ε1 I Định lí chứng minh Nhận xét 2.4.1 Bất đẳng thức (2.12) đảm bảo ổn định Schur ma trận Ac = A + F ∆H + bk hệ đóng (2.10) với nhiễu chấp nhận ∆ Kết tương ứng với Hệ 2.2.2 Hệ 2.4.2 [5] Giả sử P , y nghiệm tốn tối ưu hóa lồi max log det P 21 với ràng buộc  −P      y  AP + by  HP y P A + yb −εP PD 0 − 1ε I DP −P + ε1 F F 0 với biến ma trận P = P  PH      ≺ 0,    −ε1 I (2.13) ∈ Rn×n , biến vector y ∈ Rn , biến vô hướng ε1 , tham số vô hướng ε Khi x P −1 x ≤ 1} E = {x ∈ Rn : ellipsoid ổn định hóa vững hệ (2.10) với điều khiển phản hồi tuyến tính (2.2) có ma trận đạt k = P −1 y Miền ổn định vững Arob hệ (2.10) tương ứng với Định lí 2.3.1 sau Định lí 2.4.3 [5] Cho vectơ c γ nghiệm toán quy hoạch sau max γ với ràng buộc  −P      y  AP + by  HP y P A + yb −εP PD 0 − 1ε I DP −P + ε1 F F 0 γc γc P với biến ma trận P = P  PH      ≺ 0,    −ε1 I 0, ∈ Rn×n , y ∈ Rn γ , ε, ε1 tham số vơ hướng Khi đó, điểm γc thuộc miền ổn định hóa vững Arob hệ (2.10) theo hướng c 22 Ví dụ 2.4.1 Xét hệ (2.10) với ma trận A= , + δ1 + δ2 B= , D= 0.5 0.3 , −0.3 0.5 (2.14) (δ1 δ2 ) ≤ 0.2, ma trận , H = 0.2I F = Theo Hệ 2.4.2 ta tìm ma trận P = 0.8189 0.2900 0.2900 0.2853 ma trận đạt k= −1 1.5633 Ellipsoid ổn định hóa vững miền ổn định hóa vững cho hình sau Hình 2.2: Ellipsoid ổn định hóa vững từ Ví dụ 2.4.1 23 Hình 2.3: Miền ổn định hóa vững từ Ví dụ 2.4.1 24 KẾT LUẬN Khóa luận “Tìm hiểu tốn ổn đinh hóa hệ song tuyến tính rời rạc” trình bày tốn ổn định hóa hệ song tuyến tính rời rạc Kết đạt khóa luận bao gồm: Đã tìm hiểu bổ đề Petersen - bổ đề quan trọng việc thiết kế điều khiển ổn định hóa hệ song tuyến tính bổ đề mở rộng bổ đề Petersen Đã tìm hiểu cách hệ thống tốn ổn định hóa hệ song tuyến tính rời rạc dựa bổ đề Petersen phương pháp hàm Lyapunov Tôi xin chân thành cảm ơn 25 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] T Alamo, R Tempo, D.R Ramirez, E.F Camacho, A New Vertex Result for Robustness Problems with Interval Matrix Uncertainty, in Proc Eur Control Conf, Kos, Greece, 2007, paper ThC07.3 [2] F Amato, C Cosentino, A Merola, Stabilization of Bilinear Systems via Linear State Feedback Control, IEEE Trans Circuits Syst II Express Briefs, 56 (2009) 76–80 [3] L Brickman, On the Field of Values of a Matrix, Proc Am Math Soc., 12 (1961) 61 – 66 [4] S Boyd, L E Ghaoui, E Feron, V Balakrishnan, Linear Matrix Inequalities in System and Control Theory, SIAM, Philadelphia, 1994 [5] M.V Khlebnikov, Quadratic Stabilization of Discrete-Time Bilinear Systems, Automation and Remote Control, 79 (2018) 1222–1239 [6] M V Khlebnikov, P S Shcherbakov, Petersen’s Lemma on Matrix Uncertainty and Its Generalizations, Autom Remote Control, 69 (2008) 1932– 1945 [7] M.V Khlebnikov, New Generalizations of the Petersen Lemma, Autom Remote Control, 75 (2014) 917–921 [8] M.V Khlebnikov, B.T Polyak, V.M Kuntsevich, Optimization of Linear Systems Subject to Bounded Exogenous Disturbances: The Invariant Ellipsoid Technique, Autom Remote Control, 72 (2011) 2227 – 2275 [9] M.V Khlebnikov, P.S Shcherbakov, Petersen’s Lemma on Matrix Uncertainty and Its Generalization, Autom Remote Control, 69 (2008) 1932 – 1945 [10] L Xie, Output Feedback H∞ Control of Systems with Parameter Uncertainty, Int J Control, 63 (1996) 741–750 [11] P P Khargonekar, I.R Petersen, K Zhou, Robust Stabilization of Uncertain Linear Systems: Quadratic Stabilizability and H∞ Control Theory, IEEE Trans Autom Control, 35 (1990) 356–361 26 [12] W.-J Mao, J.Chu, Quadratic Stability and Stabilization of Dynamic Interval Systems, IEEE Trans Autom Control , 48 (2003) 1007–1012 [13] W.-J Mao, J Chu, Correction to "Quadratic Stability and Stabilization of Dynamic Interval Systems," IEEE Trans Autom Control, 51 (2006) 1404 – 1405 [14] Petersen, I., A Stabilization Algorithm for a Class of Uncertain Systems, Syst Control Lett., (1987) 351 - 357 [15] B.T Polyak, P.S Shcherbakov, The D-decoposition Technique for Linear Matrix Inequalities, Avtom Telemekh., 11 (2006) 159 – 174 [16] J Rohn, Positive Definiteness and Stability of Interval Matrices, SIAM J Matrix Anal Appl., 15 (1994) 175 – 184 27 ... 1ε I 12 Chương ỔN ĐỊNH HÓA HỆ SONG TUYẾN TÍNH RỜI RẠC Nội dung chương tìm hiểu tốn ổn định hóa hệ song tuyến tính rời rạc 2.1 Đặt toán Xét hệ điều khiển song tuyến thời gian rời rạc sau xk+1 =... Tìm hiểu tốn ổn định hóa hệ song tuyến tính rời rạc làm đề tài khóa luận tốt nghiệp Mục đích nghiên cứu Mục đích khóa luận tìm hiểu tốn ổn định hóa hệ song tuyến tính rời rạc Cụ thể hơn, khóa... 2.3: Miền ổn định hóa vững từ Ví dụ 2.4.1 24 KẾT LUẬN Khóa luận Tìm hiểu tốn ổn đinh hóa hệ song tuyến tính rời rạc trình bày tốn ổn định hóa hệ song tuyến tính rời rạc Kết đạt khóa luận bao