Tìm hiểu về bài toán ổn định hóa hệ song tuyến tính

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ——————–o0o——————— ĐINH THỊ BẢO YẾN TÌM HIỂU VỀ BÀI TỐN ỔN ĐỊNH HĨA HỆ SONG TUYẾN TÍNH KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP HÀ NỘI - 2018 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ——————–o0o——————— ĐINH THỊ BẢO YẾN TÌM HIỂU VỀ BÀI TỐN ỔN ĐỊNH HĨA HỆ SONG TUYẾN TÍNH Chun ngành: Tốn Ứng dụng KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP Người hướng dẫn khoa học: ThS NGUYỄN TRUNG DŨNG HÀ NỘI - 2018 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan viết tơi, hồn thành hướng dẫn ThS Nguyễn Trung Dũng Các nội dung nghiên cứu khóa luận hồn tồn trung thực, thơng tin trích dẫn ghi rõ nguồn gốc mục tài liệu tham khảo Nếu phát có gian lận nào, tơi xin chịu hồn toàn trách nhiệm Sinh viên thực LỜI CẢM ƠN Khóa luận tốt nghiệp thực khoa Toán, trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, hướng dẫn ThS Nguyễn Trung Dũng Tôi xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy Nguyễn Trung Dũng, định hướng dẫn sát suốt q trình tơi thực đề tài nghiên cứu Sự ân cần, nhiệt tình thầy truyền đạt kiến thức kinh nghiệm quý báu tiền đề quan trọng giúp tơi có kết trình bày khóa luận tốt nghiệp Tơi xin chân thành cảm ơn quý Thầy, Cô khoa Toán, trường Đại học Sư phạm Hà Nội tận tình truyền đạt kiến thức năm tơi học tập Những kiến thức khơng tảng q trình thực khóa luận mà hành trang vững cho tơi tương lai Cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn tới bố mẹ người thân gia đình Những người bên động viên vượt qua khó khăn sống học tập Trong q trình làm khóa luận, tơi cố gắng hết sức, nhiên tránh khỏi thiếu sót Vì vậy, tơi mong nhận góp ý, bảo q thầy để tơi hồn thiện Tơi xin chân thành cảm ơn! Sinh viên thực MỤC LỤC Trang Lời cam đoan Lời cảm ơn Kí hiệu MỞ ĐẦU BỔ ĐỀ PETERSEN 1.1 Bổ đề Petersen 1.2 Bán kính ma trận xác định dấu 10 1.2.1 Bán kính ma trận khơng suy biến 16 1.2.2 Trường hợp đa nhiễu 17 1.3 Mở rộng bổ đề Petersen 18 1.3.1 Các kết bổ trợ 19 1.3.2 Mở rộng bổ đề Petersen 21 1.3.3 Ví dụ 22 ỔN ĐỊNH HĨA HỆ SONG TUYẾN TÍNH 24 2.1 Đặt toán 24 2.2 Bổ đề bổ trợ 24 2.3 Kết ổn định hóa 25 2.4 Trường hợp có nhiễu 28 KẾT LUẬN 32 TÀI LIỆU THAM KHẢO 32 KÍ HIỆU R+ Tập hợp số thực khơng âm Rn Khơng gian vectơ Euclide n-chiều Rm×n Tập ma trận thực cấp m × n Sn Tập ma trận thực đối xứng cấp n S+ n Tập ma trận đối xứng xác định dương cấp n A A A Ma trận chuyển vị ma trận A 0 Ma trận đối xứng nửa xác định dương Ma trận A đối xứng xác định dương A B A diag{A, B} Ma trận khối chéo B λ(A) Tập giá trị riêng ma trận A λmax (A) max {Reλ : λ ∈ λ(A)} λmin (A) {Reλ : λ ∈ λ(A)} σ(A) Bán kính phổ ma trận A (i.e max{|λ| : λ ∈ λ(A)}) col{A, B} Ma trận khối cột LMIs Bất đẳng thức ma trận tuyến tính MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Ngày nay, với phát triển không ngừng công nghệ giới thay đổi cách mạnh mẽ nhanh chóng Vai trò tự động hóa vấn đề phát triển kinh tế vơ to lớn Nó đóng góp phần thiếu sống chúng ta, giúp sống tiện nghi thoải mái Ngành điều khiển tự động có sở từ cuối kỷ XIX đến đầu kỷ XX, thực phát triển mạnh vào nửa cuối kỷ XX có xu ngày phát triển với kỹ thuật mới, thuật toán điều khiển Ngày nay, hệ thống điều khiển tự động phổ biến hầu hết lĩnh vực công nghệ phát triển song song với kỹ thuật tiên tiến điện tử máy tính [1, 2] Hệ thống điều khiển tự động phân loại thành loại là: hệ thống tuyến tính, hệ thống phi tuyến hệ thống phân tán Tuy nhiên, phần lớn đối tượng thực tế mang tính phi tuyến kể đến như: - Hệ thống thủy khí (bồn chứa chất lỏng, ) - Hệ thống nhiệt động học (lò nhiệt, ) - Hệ thống khí (cánh tay máy, ) - Hệ thống điện - từ (động cơ, mạch khuếch đại, ) - Hệ thống vật lý có cấu trúc hỗn hợp, [3] Một hệ thống điều khiển tự động có số đặc tính cần phải phân tích tính điều khiển được, tính quan sát được, tính ổn định, đặc tính đóng vai trò định hành vi hệ thống Trong tính ổn định hệ thống đóng vai trò quan trọng Có thể thấy hệ thống khơng ổn định gây bất lợi định làm sai lệch q trình vận hành, chí gây hỏng hóc, tai nạn, Một ví dụ hệ thống ổn định biên độ trạng thái hệ tăng lên đến vô đầu vào khống chế, điều nguy hiểm gây cháy, nổ, hỏng hóc thiết bị, [2] Do đó, trì vận hành ổn định hệ thống vô vùng quan trọng cần thiết Các q trình cơng nghiệp robotic cơng nghiệp khơng gian thường có động lực phi tuyến lớn Trong lý thuyết điều khiển đơi tuyến tính hóa thành lớp hệ thống áp dụng kỹ thuật tuyến tính, nhiều trường hợp cần phải nghĩ từ lý thuyết cho phép điều khiển cho hệ thống phi tuyến Ví dụ phản hồi tuyến tính hóa,backstepping, điều khiển chế độ trượt, quỹ đạo điều khiển tuyến tính hóa thường sử dụng tiện lợi kết dựa thuyết Lyapunov [4] Bất đẳng thức ma trận Lyapunov, Lyapunov đề xuất năm 1892 luận án tiến sĩ có tên “The general problem of the stability of motion”, khởi nguồn phương pháp bất đẳng thức ma trận tuyến tính, viết tắt LMIs (linear matrix inequalities) Tuy nhiên, gần nửa kỷ sau phương pháp ý nhiều nghiên cứu phân tích định tính thiết kế điều khiển Đặc biệt, khoảng ba thập kỷ gần đây, phương pháp sử dụng LMIs trở thành công cụ hữu hiệu, sử dụng cách phổ biến lý thuyết điều khiển hệ thống [9] Do phổ biến hầu khắp hệ thống phi tuyến thực tế, mặt khác phổ lớp mô tả hệ phi tuyến nhiều, nên kết nghiên cứu điều khiển phản hồi trạng thái hệ phi tuyến chủ yếu tập trung vào lớp hệ song tuyến [5] Được gợi ý giúp đỡ tận tình Thầy Nguyễn Trung Dũng say mê thân, xin chọn đề tài “Tìm hiểu tốn ổn định hóa hệ song tuyến tính” làm đề tài nghiên cứu Mục đích nghiên cứu Mục đích khóa luận tìm hiểu tốn ổn định hóa hệ song tuyến tính Cụ thể hơn, khóa luận nghiên cứu ba chủ đề sau: Bổ đề Petersen mở rộng bổ đề Petersen Bài toán ổn định hóa hệ song tuyến tính kết ổn định hóa Ổn định hóa hệ song tuyến tính trường hợp có nhiễu Phương pháp nghiên cứu Khóa luận sử dụng phương pháp hàm Lyapunov bổ đề Petersen; bất đẳng thức ma trận tuyến tính, giải tích ma trận, kỹ thuật ước lượng biến đổi bất đẳng thức ma trận Cấu trúc khóa luận Ngồi phần mở đầu, kết luận danh mục tài liệu tham khảo, khóa luận gồm chương • Chương 1: Bổ đề Petersen Trong chương này, chúng tơi trình bày bổ đề Petersen mở rộng bổ đề Petersen số kết bổ trợ sử dụng cho chương sau khóa luận • Chương 2: Bài tốn ổn định hóa hệ song tuyến tính Nội dung chương tìm hiểu tốn ổn định hóa hệ song tuyến tính Chương BỔ ĐỀ PETERSEN Trong chương này, trình bày bổ đề Petersen mở rộng bổ đề Petersen số kết bổ trợ sử dụng cho chương sau 1.1 Bổ đề Petersen Trước phát biểu chứng minh bất đẳng thức Petersen giới thiệu số kết bổ trợ sau Bổ đề 1.1.1 (Bổ đề Schur dạng không ngặt [9]) Cho U W ma trận đối xứng, W Khi đó, U V V W U − V W −1 V Bổ đề 1.1.2 (S-procedure [9]) Cho T0 , T1 , , Tp ∈ Rn ma trận đối xứng Khi đó, điều kiện ζ T0 ζ > với ζ = cho ζ Ti ζ ≥ 0, i = 1, 2, , p (1.1) tương đương với điều kiện tồn số τ1 , τ2 , , τp ≥ cho p T0 − τi Ti > (1.2) i=1 Bổ đề 1.1.3 (Bổ đề Petersen [18]) Cho G = G ∈ Rn×n ma trận khác ma trận không M ∈ Rn×p , N ∈ Rn×q Khi đó, với ∆ ∈ Rp×q thỏa mãn ∆ ≤ 1, bất đẳng thức sau G + M ∆N + N ∆ M (1.3) tồn ε > cho G + εM M + N N ε 1/2 0, (1.4) ∆ = max λi (∆∆ ) λi (A) giá trị riêng ma trận A i giá trị lớn đạt với ma trận ˜ = ∆ ab ; a b max a ∆b = a b ; −I ∆ I vectơ a b phụ thuộc tuyến tính, giá trị lớn đạt với ma trận ˜ = ∆ ab ; a b trái lại, giá trị lớn đạt với ma trận ˜ = e2 e2 − e1 e1 , ∆ e1 e2 vectơ riêng ma trận ab + ba tương ứng với giá trị riêng < λ1 < λ2 Chứng minh Khẳng định hiển nhiên ma trận có hạng chuẩn phổ chuẩn Frobenius Theo kết khẳng định đầu tiên, có max a ∆b ≤ a b −I ∆ I Trong trường hợp phụ thuộc tuyến tính vectơ a b, khẳng định hiển nhiên Ta xét trường hợp ngược lại, vectơ a b độc lập tuyến tính Ta thấy ab + ba ma trận hạng với giá trị riêng khác không λ1 < λ2 cho λ1 + λ2 = 2a b, λ2 − λ1 = a b , với vectơ riêng tương ứng e1 e2 trực giao Khi ab + ba e1 = λ1 e1 , từ ta có λ1 = e1 ab + ba e1 = 2e1 ab e1 20 Tương tự, ta có λ2 = e2 ab + ba e2 = 2e2 ab e2 ˜ Thật vậy, ∆ ˜ Ta chứng minh giá trị lớn đạt với ma trận ∆ ma trận đối xứng có hạng với giá trị riêng khác khơng ±1 Vì thế, −I ˜ ∆ I ˜ = a (e2 e2 − e1 e1 )b = a e2 e2 b − a e1 e1 b a ∆b λ2 − λ1 = a b = e2 ab e2 − e1 ab e1 = Cuối cùng, ta thấy vectơ riêng ma trận ab + ba cho e1,2 = a b ±b a a b ±b a , Do đó, Hệ 1.3.3 chứng minh 1.3.2 Mở rộng bổ đề Petersen Chúng ta có mở rộng Bổ đề 1.3.1 sau Bổ đề 1.3.4 Cho G = G ∈ Rn×n M ∈ Rn×q , N ∈ Rq×n ma trận khác khơng Khi đó, (1.26) thỏa mãn tương đương với điều kiện sau: G + M ∆N + N ∆ M ∀∆ : ∆ F ≤1 (1.27) ∀∆ : −I G + M ∆N + N ∆ M ∆ I (1.28) Chứng minh Điều kiện (1.27) tương đương với bất đẳng thức sau x Gx + 2x M ∆N x ≤ ∀x ∈ Rn với ∆ : ∆ F ≤ x Gx ≤ −2 max x M ∆N x ∀x ∈ Rn ∆ F ≤1 21 Theo khẳng định thứ Hệ 1.3.3, có max x M ∆N x = max x M ∆N x ∀x ∈ Rn , ∆ F ≤1 ∆ ≤1 tương đương với điều kiện G + M ∆N + N ∆ M ∀∆ : ∆ ≤ 1, sử dụng Bổ đề 1.3.1 ta thu điều kiện (1.26) Khẳng định thứ hai Bổ đề 1.3.4 chứng minh tương tự phần thứ hai Hệ 1.3.3, Bổ đề 1.3.4 chứng minh Nhận xét 1.3.1 Từ chứng minh Bổ đề 1.3.4 ta thấy bổ đề Petersen cho tất lớp nhiễu ∆ ∈ ∆ thỏa mãn điều kiện max(∆a, b) = a ∆∈∆ b a b vectơ tùy ý với số chiều thích hợp 1.3.3 Ví dụ Ví dụ 1.3.1 Xét toán ổn định hệ sau: x˙ = (A + M ∆N )x ∀∆ : ∆ F ≤1 với ma trận ổn định A Xét hàm Lyapunov V (x) = x Qx, Q Để hệ ổn định bất đẳng thức Lyapunov sau thỏa mãn (A + M ∆N ) Q + Q(A + M ∆N ) ≺ 0, hay A Q + QA + QM ∆N + N ∆ M Q ≺ với ma trận Q nhiễu thỏa mãn ∆ F ≤ The Bổ đề 1.3.4 điều kiện tương đương với A Q + QA + εN N QM M Q −εI 22 ≺0 ε số biến ma trận Q A Q + QA + N N QM M Q −I Chọn ε = ta có ≺ (1.29) Do đó, toán ổn định cho lớp hệ quy tính giải bất đẳng thức ma trận tuyến tính (1.29) biến ma trận Q 23 Chương ỔN ĐỊNH HĨA HỆ SONG TUYẾN TÍNH Nội dung chương này, trình bày tốn ổn định hóa hệ song tuyến tính 2.1 Đặt tốn Xem xét hệ điều khiển song tuyến tính sau x˙ = Ax + bu + Dxu, x(0) = x0 , (2.1) x ∈ Rn vectơ trạng thái, u ∈ R điều khiển đầu vào, A, D ∈ Rn×n , b ∈ Rn ma trận số cho trước Để ổn định hóa hệ (2.1), ta điều khiển phản hồi trạng thái tuyến tính sau u = k x, (2.2) với k ∈ Rn vectơ cần xác định cho hệ (2.1) ổn định ellipsoid E = {x ∈ Rn : x P −1 x ≤ 1}, P Tức là, với điều kiện ban đầu x0 ∈ E , quỹ đạo nghiệm hệ (2.1) với điều khiển phản hồi (2.2) tiến đến không Ellipsoid E gọi ellipsoid ổn định hóa ứng với điều khiển (2.2) 2.2 Bổ đề bổ trợ Bổ đề 2.2.1 (Petersen) Cho G = G ∈ Rn×n , M ∈ Rn×p , N ∈ Rq×n Bất đẳng thức G + M ∆N + N ∆ M ≺ với ∆ ∈ Rp×q : ∆ ≤ tồn số thực ε cho G + εM M N N −εI 24 ≺ Chú ý với nhiễu ∆ ∈ Rp×q : G + M ∆N + N ∆ M ∆ ≤ ta có đánh giá sau: G + εM M + N N ε ∀ε > (2.3) Bổ đề 2.2.2 Cho G = G ∈ Rn×n , M ∈ Rn×p , N ∈ R1×n , ≺ P = P ∈ Rq×q Bất đẳng thức ma trận G + M δN + N δ M ≺ với δ ∈ Rq : δ P −1 δ ≤ tồn số thực ε cho G + εM P M N N −εI ≺ Chứng minh Suy từ bổ đề Petersen với nhiễu ∆ = P −1/2 δ cho ∆ ≤ 2.3 Kết ổn định hóa Với điều khiển phản hồi trạng thái tuyến tính (2.2) hệ đóng (2.1) có dạng x˙ = Ac x + Dxk x (2.4) Ac = A + bk Kết ổn định hóa hệ (2.1) cho định lý sau Định lí 2.3.1 Cho ma trận P vectơ y thỏa mãn bất đẳng thức ma trận sau AP + P A + by + yb + εDP D y y −εI ≺ 0, P 0, với số ε Khi đó, điều khiển phản hồi tuyến tính (2.2) với ma trận đạt k = P −1 y ổn định hóa hệ (2.1) bên ellipsoid E = {x ∈ Rn : x P −1 x ≤ 1} 25 Chứng minh Xét hàm Lyapunov V (x) = x Qx, Q Đạo hàm V theo quỹ đạo nghiệm hệ (2.4), ta có V˙ (x) = xQx ˙ + x Qx˙ = (Ac x + Dxk x) Qx + x Q(Ac x + Dxk x) = x Ac Qx + x QAc x + x QDxk x + x kx D Qx (2.5) = x (Ac Q + QAc + QDxk + kx D Q)x Do đó, điều kiện Ac Q + QAc + QDxk + kx D Q ≺ đảm bảo hệ đóng (2.4) ổn định Nhân hai vế bất đẳng thức với ma trận P = Q−1 0, ta có Ac P + P Ac + Dxk P + P kx D ≺ (2.6) Tiếp theo, từ yêu cầu bất đẳng thức (2.6) với x ellipsoid E = {x ∈ Rn : V (x) < 1} = {x ∈ Rn : x P −1 x < 1} Lưu ý bên ellipsoid E , đạo hàm hàm V (x) theo quỹ đạo nghiệm hệ đóng âm Theo Bổ đề 2.2.2, ta có bất đẳng thức ma trận tương đương Ac P + P Ac + εDP D k P Pk −εI ≺ (2.7) Lưu ý tính giải bất đẳng thức ma trận (2.7) kéo theo ổn định Hurwitz ma trận Ac (xem [22]) điều có nghĩa điều khiển (2.2) ổn định hóa hệ x˙ = Ax + bu (2.8) Tiếp theo, ta xét biến y = Pk Vì P > suy k = P −1 y Do đó, ta có bất đẳng thức ma trận tuyến tính AP + P A + by + yb + εDP D y 26 y −εI ≺0 với biến ma trận P , biến vectơ y tham số ε Để cực đại ellipsoid ổn định hóa, có kết sau Hệ 2.3.2 Giả sử P, y nghiệm toán tối ưu lồi λmin (P ) → max thỏa mãn AP + P A + by + yb + εDP D y với biến ma trận P = P y −εI ≺ 0, P 0, (2.9) ∈ Rn×n , biến vectơ y ∈ Rn , tham số vơ hướng ε Khi đó, tập E = {x ∈ Rn : x P −1 x ≤ 1} ellipsoid ổn định hóa hệ (2.1) với điều khiển phản hồi tuyến tính (2.2) có ma trận đạt k = P −1 y Nhận xét 2.3.1 Trong Hệ 2.3.2, cực tiểu hóa hàm mục tiêu ràng buộc bất đẳng thức ngặt (2.9) Để giải toán, xét bất đẳng thức ma trận không ngặt AP + P A + by + yb + εDP D + yy ε µP (2.10) µ > 0, tức vế phải xác định âm Theo bổ đề Schur, bất đẳng thức (2.10) tương đương với AP + P A + by + yb + εDP D + µP y y −εI (2.11) Thay ràng buộc (2.9) bất đẳng thức ma trận trên, từ (2.5), (2.10) (2.3) ta có V˙ (x) = x Ac Q + QAc + QDxk + kx D Q x = x Q Ac P + P Ac Dxk P + P kx D Qx ≤ x Q AP + P A + by + yb + εDP D + yy ε 27 Qx ≤ x Q(−µP )Qx = −µV (x) Do đó, hàm Lyapunov giảm khơng chậm e−µt : V x(t) ≤ V x(0) e−µt Cuối cùng, viết lại (2.10) dạng µ µ A + bk + I P + P A + bk + I 2 + εDP D + yy ε 0, kết luận bậc ổn định ma trận Ac (tức là, hệ đóng (2.8)) chắn khơng thấp µ/2 Ví dụ 2.3.1 Xem xét hệ song tuyến tính (2.1) với ma trận A= , 1 B= , D= 1 −1 (2.12) Theo Hệ 2.3.2, ta tìm P = 0.4375 −0.1953 , −0.1953 0.1846 k= −7.7323 −17.3231 Elip ổn định hóa mơ tả hình 2.1; đường nét đứt tương ứng với elip ổn định cực đại thu cách sử dụng kỹ thuật [7] Hình 2.1: Elip ổn định hóa Ví dụ 2.3.1 2.4 Trường hợp có nhiễu Trong mục này, kết thu mở rộng trường hợp ma trận hệ điều khiển song tuyến tính chứa nhiễu 28 Xem xét hệ điều khiển song tuyến tính x˙ = (A + F ∆H)x + bu + Dxu, x(0) = x0 , (2.13) A, D ∈ Rn×n , b ∈ Rn , F ∈ Rn×p , H ∈ Rq×n , x ∈ Rn vectơ trạng thái, u ∈ R điều khiển đầu vào ∆ ∈ Rp×q : ∆ ≤ 1, ma trận nhiễu Trong mục này, xét điều khiển phản hồi tuyến tính có dạng (2.2) ổn định hóa hệ (2.13) bên ellipsoid E = {x ∈ Rn : x P −1 x ≤ 1}, P 0, với nhiễu chấp nhận ∆ Nói cách khác, quỹ đạo hệ thống (2.13) phát từ điểm x0 bên ellipsoid E , điều khiển (2.2) hội tụ với nhiễu chấp nhận ∆ Ellipsoid E gọi ellipsoid ổn định hóa vững ứng với điều khiển (2.2) Kết tương tự Định lý 2.3.1 cho lớp hệ điều khiển song tuyến tính có nhiễu sau Định lí 2.4.1 Giả sử ma trận P vectơ y thỏa mãn bất đẳng thức ma trận   AP + P A + by + yb + εDP D + ε1 F F y HP    y PH  −εI   ≺ 0, −ε1 I P với số ε ε1 Khi đó, điều khiển phản hồi tuyến tính (2.2) với ma trận đạt k = P −1 y ổn định hóa vững hệ (2.13) bên ellipsoid x P −1 x ≤ 1} E = {x ∈ Rn : với nhiễu chấp nhận 29 0, Chứng minh Sử dụng kết Định lý 2.3.1, ta có (A + F ∆H)P + P (A + F ∆H) + by + yb + εDP D y y −εI ≺0 viết lại sau AP + P A + by + yb + εDP D y + F ∆ HP + PH y −εI ∆ ≺ F Theo Bổ đề 2.2.1, ta có điều kiện tương đương tồn ε1 cho AP + P A + by + yb + εDP D y + ε1 F F + ε1 PH y −εI HP ≺ 0, ∆ theo bổ đề Schur tương đương với  AP + P A + by + yb + εDP D + ε1 F F y HP     y PH  −εI   ≺ 0 −ε1 I Kết tương ứng với Hệ 2.1 Hệ 2.4.2 Cho P , y nghiệm toán tối ưu lồi λmin (P ) −→ max thỏa mãn ràng buộc     AP + P A + by + yb + εDP D + ε1 F F y HP biến ma trận P = P  y PH  −εI   ≺ 0, −ε1 I P ∈ Rn×n , biến vectơ y ∈ Rn tham số ε1 , ε Khi đó, tập x P −1 x ≤ 1} E = {x ∈ Rn : 30 0, ellipsoid ổn định hóa vững hệ đóng (2.13), điều khiển (2.2) với ma trận đạt k = P −1 y Ví dụ 2.4.1 Xét hệ (2.13) với ma trận A= , + δ1 + δ2 B= , D= 1 , −1 (2.14) ∆ = (δ1 , δ2 ), ∆ ≤ Nói cách khác, nhiễu kết hợp ma trận hệ từ Ví dụ 2.3.1 Theo Hệ 2.4.2 ta tìm ma trận P = 0.2194 −0.1376 −0.1376 0.1434 elip ổn định hóa vững cực đại ma trận đạt cho k= −20.4230 −32.5511 Các elip ổn định hóa vững cho hệ (2.14) cho đường liền nét hình 2.2, đường nét đứt đại diện cho elip ổn định cực đại cho hệ (2.12), xem Ví dụ 2.3.1 Hình 2.2: Elip ổn định hóa vững từ Ví dụ 2.4.1 31 KẾT LUẬN Khóa luận “Tìm hiểu tốn ổn đinh hóa hệ song tuyến tính” trình bày tốn ổn định hóa hệ song tuyến tính Kết đạt khóa luận bao gồm: Đã tìm hiểu bổ đề Petersen - bổ đề quan trọng việc thiết kế điều khiển ổn định hóa hệ song tuyến tính bổ đề mở rộng bổ đề Petersen Đã tìm hiểu cách hệ thống tốn ổn định hóa hệ song tuyến tính dựa bổ đề Petersen phương pháp hàm Lyapunov Trên số kết đạt sau tơi thực khóa luận Tuy nhiên, thời gian có hạn kiến thức nhiều hạn chế nên khóa luận khơng tránh khỏi thiếu sót Tơi hy vọng nhận góp ý, nhận xét bổ sung q Thầy, Cơ để khóa luận hồn chỉnh Tơi xin chân thành cảm ơn 32 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Tạp chí tự động hóa ngày (automation.net.vn): Cơng nghệ tự động hóa thời đại [2] Slideshare.net: Tính ổn định kiểm tra tính ổn định hệ thống điều khiển liên tục [3] Lý thuyết điều khiển tự động, Thầy Huỳnh Thái Hồng, Đại học Bách Khoa Thành phố Hồ Chí Minh [4] Wikipedia: Lý thuyết điều khiển tự động [5] Tạp chí khoa học cơng nghệ, Đại học Sư phạm Thái Nguyên Tập 120, số 06, 2014 [6] T Alamo, R Tempo, D.R Ramirez, E.F Camacho, A New Vertex Result for Robustness Problems with Interval Matrix Uncertainty, in Proc Eur Control Conf., Kos, Greece, 2007, paper ThC07.3 [7] F Amato, C Cosentino, A Merola, Stabilization of Bilinear Systems via Linear State Feedback Control, IEEE Trans Circuits Syst II Express Briefs, 56 (2009) 76–80 [8] L Brickman, On the Field of Values of a Matrix, Proc Am Math Soc., 12 (1961) 61 – 66 [9] S Boyd, L E Ghaoui, E Feron, V Balakrishnan, Linear Matrix Inequalities in System and Control Theory, SIAM, Philadelphia, 1994 [10] M V Khlebnikov, P S Shcherbakov, Petersen’s Lemma on Matrix Uncertainty and Its Generalizations, Autom Remote Control, 69 (2008) 1932– 1945 [11] M.V Khlebnikov, New Generalizations of the Petersen Lemma, Autom Remote Control, 75 (2014) 917–921 [12] M.V Khlebnikov, B.T Polyak, V.M Kuntsevich, Optimization of Linear Systems Subject to Bounded Exogenous Disturbances: The Invariant Ellipsoid Technique, Autom Remote Control,72 (2011) 2227 – 2275 33 [13] M.V Khlebnikov, P.S Shcherbakov, Petersen’s Lemma on Matrix Uncertainty and Its Generalization, Autom Remote Control, 69 (2008) 1932 – 1945 [14] L Xie, Output Feedback H∞ Control of Systems with Parameter Uncertainty, Int J Control, 63 (1996) 741–750 [15] P P Khargonekar, I.R Petersen, K Zhou, Robust Stabilization of Uncertain Linear Systems: Quadratic Stabilizability and H∞ Control Theory, IEEE Trans Automat Control, 35 (1990) 356–361 [16] W.-J Mao, J.Chu, Quadratic Stability and Stabilization of Dynamic Interval Systems, IEEE Trans Automat Control , 48 (2003) 1007–1012 [17] W.-J Mao, J Chu, Correction to "Quadratic Stability and Stabilization of Dynamic Interval Systems," IEEE Trans Automat Control, 51 (2006) 1404 – 1405 [18] Petersen, I., A Stabilization Algorithm for a Class of Uncertain Systems, Syst Control Lett., ,8 (1987) 351 - 357 [19] B.T Polyak, P.S Shcherbakov, Robastnaya ustoichivost’ i upravlenie (Robust Stability and Control) , Moscow: Nauka, 2002 [20] B.T Polyak, P.S Shcherbakov, The D-decoposition Technique for Linear Matrix Inequalities, Avtom Telemekh., 11 (2006) 159 – 174 [21] B.T Polyak, Vvedenie v optimizatsiyu, Moscow: Nauka, 1983 Translated into English under the title Introduction to Optimization, New York: Optimization Software, 1987 [22] B.T Polyak, M.V Khlebnikov, P.S Shcherbakov, Upravlenie lineinymi sistemani pri vneshnikh vozmushcheniyakh: tekhnika lineinykh matrichnykh neravenstv (Control of Linear Systems Subject to Exogenous Disturbances: The Linear Matrix Inequality Technique), Moscow: LENAND, 2014 [23] J Rohn, Positive Definiteness and Stability of Interval Matrices, SIAM J Matrix Anal Appl., 15 (1994) 175 – 184 [24] P.S Shcherbakov, M.V Khlebnikov, New Generalizations of Petersen’s Lemma of Matrix Uncertainty, in Mezhd konf "Modelirovanie, upravlenie i ustoichivost’ " (Int Conf "Modeling, Control, and Stability"(MCS-2012)), Sevastopol, Ukraine, September 10–14, 2012 34 ... đích khóa luận tìm hiểu tốn ổn định hóa hệ song tuyến tính Cụ thể hơn, khóa luận nghiên cứu ba chủ đề sau: Bổ đề Petersen mở rộng bổ đề Petersen Bài toán ổn định hóa hệ song tuyến tính kết ổn định. .. toán ổn định cho lớp hệ quy tính giải bất đẳng thức ma trận tuyến tính (1.29) biến ma trận Q 23 Chương ỔN ĐỊNH HĨA HỆ SONG TUYẾN TÍNH Nội dung chương này, trình bày tốn ổn định hóa hệ song tuyến. .. số kết bổ trợ sử dụng cho chương sau khóa luận • Chương 2: Bài tốn ổn định hóa hệ song tuyến tính Nội dung chương tìm hiểu tốn ổn định hóa hệ song tuyến tính Chương BỔ ĐỀ PETERSEN Trong chương