Luận văn sư phạm Phương trình vi phân đối số lệnh trong không gian Banach - Công thức biến thiên

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH - o0o - Trần Trí Dũng PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐỐI SỐ LỆCH TRONG KHÔNG GIAN BANACH CÔNG THỨC BIẾN THIÊN HẰNG SỐ VÀ DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - Năm 2005 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH - o0o - Trần Trí Dũng PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐỐI SỐ LỆCH TRONG KHÔNG GIAN BANACH CÔNG THỨC BIẾN THIÊN HẰNG SỐ VÀ DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN Chuyên ngành Mã số : Toán giải tích : 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC : PGS TS LÊ HOÀN HÓA Thành phố Hồ Chí Minh - Năm 2005 MỤC LỤC CHƯƠNG I: KIẾN THỨC CƠ BẢN .1 1.1 MOÄT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ CHO CHƯƠNG II 1.2 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ CHO CHƯƠNG III CHƯƠNG II: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐỐI SỐ LỆCH, KHÔNG TỰ ĐỘNG : CÔNG THỨC BIẾN THIÊN HẰNG SỐ – DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN 2.1 GIỚI THIỆU 2.2 PHAÀN CHUẨN BỊ .7 2.3 CHUỖI DYSON – PHILLIPS VÀ DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA NGHIỆM TRONG TRƯỜNG HP THUẦN NHẤT 11 2.4 TRƯỜNG HP KHÔNG THUẦN NHẤT: CÔNG THỨC BIẾN THIÊN HẰNG SỐ VÀ DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN 21 CHƯƠNG III : PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐỐI SỐ LỆCH NỬA TUYẾN TÍNH – SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM- TÍNH COMPẮC LIÊN THÔNG CỦA TẬP NGHIỆM .38 3.1 GIỚI THIỆU 38 3.2 SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM 39 3.3 TÍNH COMPẮC VÀ LIÊN THÔNG CỦA TẬP NGHIỆM 44 KẾT LUẬN 50 TÀI LIỆU THAM KHAÛO 52 LỜI MỞ ĐẦU Trong năm gần đây, việc nghiên cứu phương trình vi phân đối số lệch không gian Banach ngày nhiều tác giả quan tâm Một lý mà nhà toán học giới mở rộng phát triển hướng nghiên cứu ứng dụng quan trọng phương trình vi phân đối số lệch nhiều lónh vực khác : Sinh học , Vật lý học, Sinh lý học , Kinh tế học Những tài liệu, báo cáo báo nghiên cứu phương trình vi phân đối số lệch không gian Banach cho thấy việc nghiên cứu theo nhiều hướng khác Luận văn xét đến lớp phương trình vi phân đối số lệch tiến hóa (là mô hình toán học liên hệ mật thiết đến lý thuyết tiến hóa Sinh vật học) Nội dung luận văn chia làm ba chương : CHƯƠNG I : KIẾN THỨC CƠ BẢN Trong chương này, đưa kiến thức chuẩn bị cho hai chương sau Các khái niệm, định nghóa định lý chương sử dụng toàn luận văn CHƯƠNG II : PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐỐI SỐ LỆCH KHÔNG TỰ ĐỘNG: CÔNG THỨC BIẾN THIÊN HẰNG SỐ - DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN Trong chương chia nội dung làm bốn phần Ở phần thứ nhất, giới thiệu dạng phương trình vi phân đối số lệch không tự động(1.1) mà muốn nghiên cứu Ở phần thứ hai, đưa thêm số khái niệm, kết sử dụng riêng cho chương II Trên sở đó, phần thứ ba nghiên cứu chuỗi Dyson-Phillips dùng chúng để nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm trường hợp phương trình vi phân đối số lệch không tự động(1.1) dạng Ở phần cuối chương này, nghiệm phương trình vi phân đối số lệch không tự động(1.1) trường hợp không xác định công thức biến thiên số; từ thu số kết dáng điệu tiệm cận nghiệm CHƯƠNG III : PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐỐI SỐ LỆCH NỬA TUYẾN TÍNH : SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM - TÍNH COMPẮC VÀ LIÊN THÔNG CỦA TẬP NGHIỆM Trong chương chia nội dung làm ba phần Phần đầu phần giới thiệu dạng phương trình vi phân đối số lệch nửa tuyến tính (I) dạng mở rộng phương trình (1.1) xét chương II Ở phần thứ hai, với giả thiết ban đầu thích hợp, tồn nghiệm (I)(theo nghóa nghiệm mạnh) Trong phần cuối chương III, sử dụng kỹ thuật tương tự tác giả tài liệu tham khảo [2], tập nghiệm (I) tập compắc liên thông Dù thực nghiêm túc kỹ lưỡng chắn luận văn không tránh khỏi thiếu sót Vì mong nhận góp ý phê bình Quý Thầy cô bạn bè đồng nghiệp Cuối cho gửi lời biết ơn sâu sắc đến PGS TS Lê Hoàn Hóa, người Thầy tận tình dìu dắt, hướng dẫn từ lúc bước chân vào giảng đường đại học ngày hôm Tôi xin chân thành cảm ơn Quý Thầy cô Hội đồng bảo vệ luận văn dành nhiều thời gian để đọc luận văn cho nhiều ý kiến đóng góp quý báu Tôi xin chân thành cảm ơn Quý Thầy cô phòng KHCN - SĐH trường Đại Học Sư Phạm TPHCM giúp đỡ hoàn tất thủ tục bảo vệ luận văn Cuối cùng, xin cảm ơn tất bạn bè đồng nghiệp - người đứng đằng sau để động viên, cổ vũ cho bước đường đời Thành phố Hồ Chí Minh , tháng năm 2005 Người thực Trần Trí Dũng CHƯƠNG I: KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ CHO CHƯƠNG II : • Định nghóa : Một họ toán tử tuyến tính liên tục {T (t )}t ≥0 xác định không gian Banach X gọi nửa nhóm liên tục mạnh : i) T (s + t ) = T (s)T (t ), t, s ≥ ; ii) T (0) = I ; iii) Với x ∈ X , T(.)x liên tục [0, ∞) Ngoài ra, t T (t ) liên tục theo tôpô hội tụ ta gọi họ {T (t )}t≥0 nửa nhóm liên tục • Định nghóa : Cho {T (t )}t ≥0 nửa nhóm liên tục mạnh xác định X Với h > 0, ta định nghóa toán tử tuyến tính Ah xác định sau : Ah x = T (h) x − x , x∈X h Kí hiệu D(A) tập tất x ∈ X cho giới hạn lim Ah x tồn tại, ta xác h→0 định toán tử A D(A) sau : Ax = lim Ah x , x ∈ D( A) h→0 Người thực : Trần Trí Dũng Thầy hướng dẫn : PGS.TS Lê Hoàn Hóa Ta gọi toán tử A xác định toán tử sinh cực vi ( hay ngắn gọn toán tử sinh) nửa nhóm {T (t )}t ≥0 Khi đó, ta có kết sau : i) D(A) trù mật X A toán tử tuyến tính đóng D(A) ii) Nửa nhóm liên tục mạnh {T (t )}t ≥0 có toán tử sinh bị chặn {T (t )}t ≥0 nửa nhóm liên tục Định lý sau cho ta đặc trưng toán tử sinh nửa nhóm liên tục mạnh : • Định lý (Hille-Yosida-Phillips) : Cho A toán tử tuyến tính đóng với miền xác định trù mật Khi A toán tử sinh nửa nhóm liên tục mạnh tồn số thực M ω cho với λ > ω , ta có λ ∈ ρ (A) R(λ , A)n ≤ M (λ − ω )− n ∀n ∈ * , R(λ , A) = (λ I − A)−1 (λ ∈ ρ ( A)) Ngoài ra, sử dụng kết sau luận văn : • Định lý : Cho {T (t )}t ≥0 nửa nhóm liên tục mạnh xác định X A toán tử sinh tương ứng Khi ta có kết sau : lim λ R(λ , A) x = x ∀x ∈ X λ →+∞ Người thực : Trần Trí Dũng Thầy hướng dẫn : PGS.TS Lê Hoàn Hóa 1.2 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ CHO CHƯƠNG III : • Điều kiện A : Cho X không gian tôpô lồi địa phương P họ nửa chuẩn tách X Cho D ⊂ X U : D → X , với a ∈ X ta định nghóa Ua : D → X sau : Ua(x)= a + U(x) Toán tử U : D → X gọi thỏa mãn điều kiện (A) tập Ω ⊂ X : ( A1 ) Ua(D) ⊂ D ∀ a∈ Ω , ( A2 ) Với a∈ Ω p∈ P , tồn ka ∈ Z + thỏa mãn tính chất : với ε > , tồn r ∈ Z + δ > cho : với x, y ∈D , α a P (x,y) < ε + δ α a P (U a r ( x ),U a r ( y )) < ε , α a P ( x , y ) = max{p(U a i ( x ) − U a j ( y )), i, j ∈ {0, ka}} • Định lý A : Cho X không gian lồi địa phương P họ nửa chuẩn tách X Cho D tập đầy đủ theo dãy X , U : D → X liên tục thỏa mãn điều kiện (A) tập hợp Ω ⊂ X Khi toán tử ( I − U )−1 xác định liên tục Ω Hơn nữa, điều kiện (A), δ chọn độc lập với a ∈ Ω ( I − U )−1 liên tục Ω • Định lý B : Cho X không gian lồi địa phương đầy đủ theo dãy P họ nửa chuẩn tách X Giả sử ánh xạ U , G : X → X thỏa mãn : i) U thỏa mãn điều kiện (A) X Người thực : Trần Trí Dũng Thầy hướng dẫn : PGS.TS Lê Hoàn Hóa ii) Với p ∈ P , tồn k > (k phụ thuoäc p) cho : p(U ( x ) − U ( y )) ≤ kp( x − y ) ∀x , y ∈ X iii) Có phần tử x0 ∈ X thỏa tính chất : với p ∈ P , tồn r ∈ * λ ∈ [0,1) (r λ phụ thuộc p) cho : p(U xr0 ( x ) − U xr0 ( y )) ≤ λ p( x − y ) ∀x , y ∈ X iv) v) G hoaøn toaøn liên tục p(G( A)) < ∞ p( A) < ∞ lim p ( x )→∞ p(G( x )) = ∀p ∈ P p( x ) Khi tồn tập lồi, mở, bị chặn D X cho U + G có điểm bất động D Ngoài ra, có thêm giả thiết U liên tục X ta có thêm ( I − U )−1 G( D ) ⊂ D • Định lý C (Krasnoselskii-Perov) : Cho (E,|.|) không gian Banach thực, D tập mở bị chặn E T : D → E ánh xạ compắc Giả sử ∉ (I − T )∂D vaø deg(I − T , D,0) ≠ Giả sử thêm T thỏa mãn điều kiện : Với ε > , có ánh xạ compắc Tε cho: T ( x ) − Tε ( x ) < ε ∀x ∈ D đồng thời với h : h ≤ ε , phương trình x = Tε ( x ) + h có nhiều nghiệm D Khi tập điểm bất động T khác rỗng, compắc liên thông Người thực : Trần Trí Dũng Thầy hướng dẫn : PGS.TS Lê Hoàn Hóa 37 CHƯƠNG III : PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐỐI SỐ LỆCH NỬA TUYẾN TÍNH: SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM TÍNH COMPẮC VÀ LIÊN THÔNG CỦA TẬP NGHIỆM 3.1 GIỚI THIỆU : Xét phương trình vi phân đối số lệch nửa tuyến tính sau : ⎧ x '(t ) = A(t ) x (t ) + L (t ) xt + h(t, xt ), t ≥ s ≥ (I) ⎨ ⎩ xs = ϕ ∈ Cr = C ([−r ,0], E ) (A(t), D(A(t)))t ≥ sinh họ tiến hóa liên tục mạnh (V (t, s))t ≥s≥0 không gian Banch E , ( L (t ))t ≥0 họ toán tử tuyến tính bị chặn từ Cr vào E ánh xạ t L (t ) liên tục Giả thiết ánh xạ h tùy theo hướng nghiên cứu khác cho thích hợp Trong báo “Le Hoan Hoa – Le Thi Phuong Ngoc, The connectivity and compactness of solution sets”[2], tác giả nghiên cứu số dạng tổng quát phương trình vi phân ( cấp 1) đối số lệch Trong phần này, sử dụng kỹ thuật tương tự [2], (I) có nghiệm (mạnh) tập nghiệm (I) tập compắc liên thông Người thực : Trần Trí Dũng Thầy hướng dẫn : PGS.TS Lê Hoàn Hóa 38 3.2 SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM CỦA (I) : Ta ký hiệu |.| chuẩn không gian Banach E, ||.|| chuẩn thông thường không gian Banach hàm liên tục tập bị chặn I ⊂ R vào E Ta ký hiệu X = C ([−r , ∞), E ) không gian Frechet hàm liên tục từ [−r , ∞) vào E với họ nửa chuẩn ( pn )n , n ∈ ∞ d ( x, y) = ∑ 2− n n =1 ∗ xác định sau : pn ( x ) = sup{| x (t ) | / t ∈ [−r , n]} mêtric pn ( x − y ) + pn ( x − y ) Trong phần ta có định lý sau : ĐỊNH LÝ 3.1 : Giả sử phương trình (I) ta có : i) {V (t, s)}t ,s≥0 họ nửa nhóm liên tục (nghóa : với t ≥ , ánh xạ V (t, s) liên tục theo tôpô hội tụ đều) ánh xạ t A(t ) liên tục ii) h : [s, ∞) x Cr → E laø hoaøn toàn liên tục (compắc) lim h( t , x ) = x s x →∞ theo t đoạn bị chặn [s, ∞) Khi với ϕ ∈ Cr cho trước, (I) có nghiệm bị chặn x : [−r , ∞) → E Ngoài ra, h lipschitz địa phương (I) có nghiệm CHỨNG MINH : • Viết lại (I) dạng : ⎧ x '(t + s) = A(t + s) x (t + s) + L (t + s) xt + s + h(t + s, xt + s ), t ≥ ⎨ =ϕ ⎩ xs Người thực : Trần Trí Dũng Thầy hướng dẫn : PGS.TS Lê Hoàn Hóa 39 Ta đặt : y(t ) = x (t + s), (t ≥ −r ) A1 (t ) = A(t + s), L1 (t ) = L (t + s) Khi ta coù : h(t + s, xt + s ) = h(t + s, yt ) (do ∀θ ∈ [−r ,0], ∀t ≥ 0, xt + s (θ ) = x (t + s + θ ) = y(t + θ ) = yt (θ ) neân xt + s = yt ) Ta đặt : g(t, x ) = h(t + s, x ) f : [0, ∞) × Cr → E , f (t, x ) = A1 (t ) x (0) + L1 (t ) x Khi (I) tương đương với ⎧ y '(t ) = A1 (t ) y(t ) + L1 (t ) yt + g(t, yt ), t ≥ ( I1 ) ⎨ =ϕ ⎩ y0 hay tương đương dạng tích phân sau : t t ⎧ y ( t ) ϕ (0) g ( σ , y ) d σ = + + ⎪ σ ∫0 ∫0 f (σ , yσ )dσ , t ≥ ( I2 ) ⎨ ⎪y = ϕ ⎩ f , g thỏa mãn tính chất sau : * f (t,0) = ∀t ≥ * ∀n ∈ , ∀t ∈ [0, n] , ta coù : f (t, x ) − f (t , y ) = A1 (t )( x (0) − y(0)) + L1 (t )( x − y ) ≤ sup A1 (t ) x − y + sup L1 (t ) x − y t∈[0,n ] t∈[0,n ] ≤ kn x − y (kn phụ thuộc n) Người thực : Trần Trí Dũng Thầy hướng dẫn : PGS.TS Lê Hoàn Hóa 40 ∗ lim x →∞ g(t, x ) h(t + s, x ) = lim = theo t đoạn bị chặn [0, ∞) x →∞ x x Với x ∈ X = C ([−r , ∞), E ) , ta đặt x : [−r , ∞) → E xác định : ⎧ x (s) + ϕ (0) − x (0), s ≥ 0, x ( s) = ⎨ s ∈ [−r ,0] ⎩ϕ (s), Khi x liên tục [−r , ∞) ánh xạ x x liên tục Đặt toán tử U , G : X → X xác định sau : t U ( x )(t ) = ∫ f (σ , xσ )dσ t ,t ≥ G( x )(t ) = ∫ g(σ , x σ )dσ + ϕ (0) Khi x điểm bất động U+G x nghiệm (I2) (và nghiệm (I)) [−r , ∞) Ta kiểm tra U G thỏa mãn điều kiện định lý (B) (xem tài liệu tham khảo [2]) Vì toán (I2) có nghiệm x : [−r , ∞) → E nghiệm bị chặn [−r , ∞) • Bây giờ, giả sử thêm h (do g) lipschitz địa phương, ta tính nghiệm Thật vậy, x , y nghiệm (I2) hiển nhiên ta có : x (t ) = y(t ) = ϕ (t ) ∀t ∈ [−r ,0](∗) Người thực : Trần Trí Dũng Thầy hướng dẫn : PGS.TS Lê Hoàn Hóa 41 { } Đặt b = sup α ∈ R / x (t ) = y(t ), ∀t ∈ [−r ,α ] Theo ( ∗ ) ta coù b ≥ Ta chứng minh b = ∞ Giả sử ngược lại b < ∞ , tồn n ∈ cho b < n Do giả thiết g lipschitz địa phương nên tồn ρ > cho g lipschitz với số lipschitz m [0, n] × Bρ , : Bρ ={z ∈ C r / z − xb < ρ} Với u cố định thuộc X, ánh xạ s us với s ∈ [0, n] liên tục nên tồn số σ > ( σ đủ nhỏ) cho : σ1 < , b + σ < n vaø xs , ys ∈ Bρ , ∀s ∈ [b, b + σ ] 4(kn + m) Đặt X b = C ([b, b + σ ], E ) Với u ∈ X b , ta định nghóa toán tử u : [b − r , b + σ ] → E nhö sau : ⎧⎪u(s) + x (b) − u(b), s ∈ [b, b + σ ] u(s) = ⎨ s ∈ [b − r , b ] ⎪⎩ x (s), Ta xét phương trình sau : t t b b (II) u(t ) = ∫ f (σ , uσ )dσ + ∫ g(σ , uσ )dσ + x (b), t ∈ [b, b + σ ] Đặt Ω b = {u ∈ X b cho us ∈ Bρ , s ∈ [b, b + σ ]} Ta dễ dàng thấy Ω b ≠ ∅ (do x ∈ Ω b ) Người thực : Trần Trí Dũng Thầy hướng dẫn : PGS.TS Lê Hoàn Hóa 42 Xét ánh xạ H : Ω b → X b xác định : t t b b H (u)(t ) = ∫ f (σ , uσ )dσ + ∫ g(σ , uσ )dσ + x (b), t ∈ [b, b + σ ] Khi : u nghiệm (II) u điểm bất động H Với u, v ∈ Ω b , ta có : t t H (u)(t ) − H (v)(t ) ≤ ∫ f (σ , uσ ) − f (σ , vσ ) dσ + ∫ g(σ , uσ ) − g(σ , vσ ) dσ b b t ≤ (kn + m)∫ us − vs dσ ≤ 2(kn + m)σ u − v b (do us − vs ≤ u − v ) Vaäy H (u) − H (v) ≤ u − v ( ∗∗ ) Bởi x , y nghiệm (I2) nên x [ b ,b +σ1 ] , y[ b ,b +σ1 ] nghiệm (II) Từ theo ( ∗∗ ) ta suy x (t ) = y(t ), ∀t ∈ [b, b + σ ] Do x (t ) = y(t ), ∀t ∈ [−r , b + σ ] , điều mâu thuẫn với định nghóa b Định lý chứng minh Người thực : Trần Trí Dũng Thầy hướng dẫn : PGS.TS Lê Hoàn Hóa 43 3.3 TÍNH COMPẮC VÀ LIÊN THÔNG CỦA TẬP NGHIỆM : Trong phần ta áp dụng định lý (C) để chứng minh tập nghiệm (I2) (do (I)) tập compắc liên thông Do định lý(C) áp dụng không gian Banach nên ta thực theo hai bước : Bước : Chứng minh tập nghiệm (I2) [0, n] với n > tập compắc liên thông X n = C ([0, n], E ) Bước : Chứng minh tập nghiệm (I2) [0, ∞) tập compắc liên thông X = C ([0, ∞), E ) Ta bắt đầu định lý sau : ĐỊNH LÝ 3.2 : Giả sử giả thiết (i) (ii) định lý (3.1) thỏa mãn Khi đó, với n > cố định, tập nghiệm [0, n] (I2) compắc liên thông X n = C ([0, n], E ) CHỨNG MINH : Với n > cố định , ta xét phương trình sau : t t ⎧ = + + y ( t ) ϕ (0) f ( σ , y ) d σ ⎪ σ ∫0 ∫0 g(σ , yσ )dσ , t ∈ [0, n] ( I2n ) ⎨ ⎪y = ϕ ⎩ Với x ∈ X n = C ([0, n], E ) , ta đặt x : [−r , n] → E xác định : ⎧ x (σ ) + ϕ (0) − x (0), σ ∈ [0, n], x (σ ) = ⎨ σ ∈ [−r ,0] ⎩ϕ (σ ), Người thực : Trần Trí Dũng Thầy hướng dẫn : PGS.TS Lê Hoàn Hóa 44 Khi x liên tục [−r , n] ánh xạ x x liên tục Đặt toán tử U n , Gn : X n → X n xác định sau : t U n ( x )(t ) = ∫ f (σ , xσ )dσ , t ∈ [0, n] , t Gn ( x )(t ) = ∫ g(σ , xσ )dσ + ϕ (0), t ∈ [0, n] Theo báo [2], ta có Un liên tục thỏa mãn điều kiện (A) Xn Áp dụng định lý (A), ta suy toán tử ( I − U n )−1 hoàn toàn xác định liên tục Xn Các toán tử U n Gn thỏa mãn định lý (B) (phần chứng minh tương tự báo [2]) Vì vậy, tồn D tập mở lồi bị chặn Xn cho ( I − U n )−1 Gn ( D ) ⊂ D U n + Gn có điểm bất động D (nhưng điểm bất động không thuộc ∂D ) Đặt S = ( I − U n )−1 Gn Khi ta có : x = S ( x ) ⇔ (I − U n )−1 Gn ( x ) = x ⇔ Gn ( x ) = x − U n ( x ) ⇔ x = U n ( x ) + Gn ( x ) Như vậy, tập điểm bất động S tập nghiệm [0, n] ( I 2n ) Ta chứng minh tập điểm bất động S compắc liên thông Thật vậy, ( I − U n )−1 liên tục Xn Gn toán tử compắc Xn (xem [2]) nên S toán tử compắc Xn Do S (D ) ⊂ D vaø D laø tập mở lồi bị chặn nên theo định lý (F) (định lý Schauder) chương I, ta có deg(I − S , D,0) ≠ Người thực : Trần Trí Dũng Thầy hướng dẫn : PGS.TS Lê Hoàn Hóa 45 Vì S điểm bất động ∂D neân ∉ (I − S )(∂D ) Ta kiểm tra điều kiện lại định lý (C) Với ε > , (I − U n )−1 liên tục Xn nên tồn taïi δ > cho : ∀x , y ∈ X n , x − y < δ ⇒ ( I − U n )−1 ( x ) − ( I − U n )−1 ( y ) < ε { } Đặt K = xσ ∈ Cr / σ ∈ [0, n], x ∈ D Khi K bị chặn Cr = C ([−r ,0], E ) Gọi g∗ mở rộng liên tục g [0,n ]×K [0, n] × Cr cho g∗ ([0, n] × Cr ) ⊂ cog([0, n] × K ) Khi theo định lý (E), tồn gε toán tử lipschitz địa phương xác định [0, n] × Cr cho : gε (t, x ) − g∗ (t, x ) < δ , với t ∈ [0, n], với x ∈ C r 2n gε ([0, n] × Cr ) ⊂ cog∗ ([0, n] × Cr ) ⊂ cog([0, n] × K ) Do g ánh xạ compắc nên g([0, n] × K ) tập compắc tương đối Như gε ([0, n] × Cr ) tập compắc tương đối Do gε ánh xạ compắc Đặt Gε : X n → X n xác định bởi: t Gε ( x )(t ) = ∫ gε (σ , xσ )dσ + ϕ (0), t ∈ [0, n] vaø Sε = ( I − U n )−1 Gε Khi ta có Sε toán tử compắc cần tìm điều kiện lại định lý (C) Thật : ∗ Với t ∈ [0, n] x ∈ D , ta có : Người thực : Trần Trí Dũng Thầy hướng dẫn : PGS.TS Lê Hoàn Hóa 46 t Gε ( x )(t ) − Gn ( x )(t ) ≤ ∫ δ 2n o dσ ≤ δ < δ Suy : (I − U n )−1 Gε ( x ) − (I − Un )−1 Gn ( x ) < ε , nghóa Sε ( x ) − S ( x ) < ε ∗ Với h ∈ X n h < ε giả sử x,y hai nghiệm phương trình u = Sε (u) + h , ta coù : t t x (t ) = ∫ f (σ , xσ )dσ + ∫ gε (σ , xσ )dσ + ϕ (0) + h(t ) − U (h)(t ) , t ∈ [0, n] vaø 0 t t 0 y(t ) = ∫ f (σ , yσ )dσ + ∫ gε (σ , yσ )dσ + ϕ (0) + h(t ) − U (h)(t ) , t ∈ [0, n] Lập luận tương tự định lý (3.1) (chú ý gε lipschitz địa phương), ta suy x(t) = y(t) với t ∈ [0, n] Như vậy, phương trình u = Sε (u) + h có nhiều nghiệm D Đến ta thấy tất điều kiện định lý (C) thỏa mãn, tập nghiệm [0, n] (I2n ) khác rỗng, compắc liên thông Định lý chứng minh ĐỊNH LÝ 3.3 : Giả sử giả thiết (i) (ii) định lý (3.1) thỏa mãn Khi tập nghiệm (I2) compắc liên thông X = C ([0, ∞), E ) CHỨNG MINH : Theo định lý (3.1) ta thấy phương trình (I2) có nghiệm [0, ∞) Người thực : Trần Trí Dũng Thầy hướng dẫn : PGS.TS Lê Hoàn Hóa 47 Giả sử xn nghiệm phương trình (I2) [0, n] Ta chứng minh nghiệm xn thu hẹp [0, n] nghiệm x đó, nghóa ta có xn = x [0,n ] Thật vậy, xét toán sau : ⎧u '(t ) = f (t, ut ) + g(t, ut ), t ≥ n ( I ') ⎨ =λ ⎩un với λ ∈ Cr , λ (σ ) = xn (n + σ ), σ ∈ [−r ,0] Sử dụng định lý (3.1) cách thay điều kiện đầu t ≥ t ≥ n phương trình (I’) có nghiệm [n, ∞) Vậy nghiệm xn mở rộng [0, ∞) Đặt Z tập nghiệm (I2) [0, ∞) Z khác rỗng Ta chứng minh Z compắc liên thoâng X = C ([0, ∞), E ) Với n ∈ { } , đặt Zn = x [0,n ] , x ∈ Z gọi Z n tập nghiệm (I2) [0, n] Theo phần lập luận trên, ta suy Z n = Z n Theo định lý (2), ta có Zn tập compắc liên thông Xn Theo định lý (D), ta suy Z tập compắc tương đối X = C ([0, ∞), E ) Hơn nữa, Z đóng nên Z compắc X Bằng phản chứng, giả sử Z không liên thông X Với họ nửa chuaån pn ( x ) = sup{| x (t ) | / t ∈ [0, n]}(n ∈ ) , ta đặt mêtric ∞ d ( x, y) = ∑ 2− n n =1 pn ( x − y ) + pn ( x − y ) Người thực : Trần Trí Dũng Thầy hướng dẫn : PGS.TS Lê Hoàn Hóa 48 Khi tồn Z1 , Z hai tập compắc, khác rỗng, không giao cho Z = Z1 ∪ Z , ta đặt : Với n ∈ { = {x } , x ∈ Z } Z1n = x [0,n ] , x ∈ Z1 Z 2n [0,n ] Khi Z1n , Z 2n tập Z n Z1n ∪ Z 2n = Z n Đặt ρ = {d ( x1 , x2 )/ x1 ∈ Z1 , x2 ∈ Z2 } ρ > Với ε = ρ > với n ∈ x n ∈ Z1 , xn = x n [0,n ] , Z n liên thông nên ta có : ∈ Z1n vaø y n ∈ Z , yn = y n [0,n ] ∈ Z 2n cho : pn ( xn − yn ) < ε Do Z1 , Z2 tập compắc nên tồn dãy ( x nk )k hội tụ x ∈ Z1 dãy ( y nk )k hội tụ y ∈ Z Do ta suy d ( x , y ) ≤ ε = ρ Điều mâu thuẫn với định nghóa ρ Như Z liên thông Định lý chứng minh **************************************************************** Người thực : Trần Trí Dũng Thầy hướng dẫn : PGS.TS Lê Hoàn Hóa 49 KẾT LUẬN Trong trình thực đề tài này, cảm thấy phấn khởi hội quý giá cho phép vận dụng kiến thức thầy cô truyền dạy vào toán nghiên cứu cụ thể Đây dịp để học tập nâng cao trình độ, bước đầu làm quen với nghiên cứu khoa học đồng thời tiếp tục đào sâu kho tàng tri thức nhân loại Với nhận thức ấy, thân cố gắng để hoàn thành luận văn cách tốt Luận văn hoàn thành yêu cầu đặt ra, đồng thời thu số kết sau : + Trong chương II, cung cấp chứng minh chi tiết hầu hết kết từ báo [1], chẳng hạn bổ đề (2.1) (bài báo [1] nêu mà không chứng minh ) Đặc biệt, định lý (2.2), định lý (2.4), bổ đề (2.3),(2.4),(2.5) luận văn thay đổi, mở rộng so với kết tương ứng báo [1] + Trong chương III, sử dụng kỹ thuật tương tự tác giả [2], nghiên cứu dạng mở rộng phương trình vi phân [1] qua nội dung : tồn nghiệm, tính compắc liên thông tập nghiệm Người thực : Trần Trí Dũng Thầy hướng dẫn : PGS.TS Lê Hoàn Hóa 50 Tuy nhiên câu hỏi bỏ ngỏ : liệu nghiệm phương trình vi phân mà xét có tính ổn định hay không? Đối với phương trình vi phân chương III, nghiên cứu tồn nghiệm mạnh giả thiết đưa chặt, ta xét đến nghiệm yếu (nghiệm dạng tích phân chương II ) giả thiết yếu gì? Nghiệm yếu liên hệ với nghiệm mạnh…? Chúng hy vọng trả lời câu hỏi thời gian sớm Một lần cho gửi lời biết ơn sâu sắc đến PGS TS Lê Hoàn Hóa, người thầy tận tình dìu dắt, hướng dẫn từ lúc bước chân vào giảng đường đại học ngày hôm Tôi xin chân thành cảm ơn Quý Thầy cô Hội đồng bảo vệ luận văn dành nhiều thời gian để đọc luận văn cho nhiều ý kiến đóng góp quý báu Tôi xin chân thành cảm ơn Quý Thầy cô phòng KHCN-SĐH trường Đại Học Sư Phạm TPHCM giúp đỡ hoàn tất thủ tục bảo vệ luận văn Cuối cùng, xin cảm ơn tất bạn bè, đồng nghiệp, người đứng đằng sau để động viên, cổ vũ cho bước đường khoa học gập ghềnh phía trước Tháng năm 2005 Trần Trí Dũng Người thực : Trần Trí Dũng Thầy hướng dẫn : PGS.TS Lê Hoàn Hóa 51 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Said Boulite, Lahcen & Mohammed Moussi, Non-autonomous retarded differential equations : the variation of constants formulas and the asymptotic behaviour, EJDE vol 2003 (2003) 1-15 [2] Le Hoan Hoa – Le Thi Phuong Ngoc, The connectivity and compactness of solution sets (2003) [3] Le Hoan Hoa and Klaus Schmitt, Fixed point theorems of Krasnoselskii type in locally convex spaces and applications to integral equations, Results in Mathematics (1994) 291-304 [4] Nelson Dunford and Jacob T Schwartz, Linear Operators, Interscience Publishers, New York (1967) [5] Lê Hoàn Hóa, Giáo trình giải tích phi tuyến I – Lớp Cao học toán giải tích khóa 13 (2002) [6] Nguyễn Bích Huy, Giáo trình giải tích hàm nâng cao - Lớp Cao học toán giải tích khóa 13 (2002) Người thực : Trần Trí Dũng Thầy hướng dẫn : PGS.TS Lê Hoàn Hóa ... ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH - o0o - Trần Trí Dũng PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐỐI SỐ LỆCH TRONG KHÔNG GIAN BANACH CÔNG THỨC BIẾN THIÊN HẰNG SỐ VÀ DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN Chuyên ngành Mã số : Toán... hợp phương trình vi phân đối số lệch không tự động(1.1) dạng Ở phần cuối chương này, nghiệm phương trình vi phân đối số lệch không tự động(1.1) trường hợp không xác định công thức biến thiên số; ... TRÌNH VI PHÂN ĐỐI SỐ LỆCH KHÔNG TỰ ĐỘNG: CÔNG THỨC BIẾN THIÊN HẰNG SỐ - DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN Trong chương chia nội dung làm bốn phần Ở phần thứ nhất, giới thiệu dạng phương trình vi phân đối số