Luận văn sư phạm Phương pháp Quasi-Boundary Value và phần tử hữu hạn áp dụng vào bài toán nhiệt

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH NGUYỄN PHI PHÚC PHƯƠNG PHÁP QUASI-BOUNDARY VALUE VÀ PHẦN TỬ HỮU HẠN ÁP DỤNG VÀO BÀI TOÁN NHIỆT NGƯC THỜI GIAN Chuyên ngành : Toán Giải Tích Mã số : 60 46 01 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN GIẢI TÍCH NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC : PGS.TS.Đặng Đức Trọng Thành Phố Hồ Chí Minh - 2006 Hiện công cụ tính toán phát triển cách mạnh mẽ làm thay đổi nhiều quan điểm khả giải thực tế toán khác Nhiều thuật toán trước chấp nhận khối lượng tính toán lớn ngày hoàn toàn thực cách hiệu Nhiều toán thuộc lónh vực ứng dụng, đặc biệt toán không chỉnh xuất lónh vực vật lý, kinh tế, y khoa, thăm dò, hồi phục, nhận dạng v.v… giải thuật toán hữu hiệu Đây lónh vực toán học sâu rộng, thực tiễn, hứng thú, nhiều người quan tâm đạt nhiều thành tựu Trong luận văn này, trình bày việc chỉnh hoá toán nhiệt ngược thời gian, toán không chỉnh lónh vực vật lý ứng dụng phương pháp Quasi-Boundary value phần tử hữu hạn, đồng thời trình bày số phương pháp tính số có thuật toán hữu hiệu để giải Luận văn lời nói đầu, phần kết luận, phần tài liệu tham khảo phần mục lục trình bày chương: Chương phần tổng quan toán, trình bày sơ lược lịch sử vấn đề Chương phần trình bày ký hiệu nhắc lại số kiến thức cần thiết để thuận tiện cho việc theo dõi phần Chương phần trình bày việc chỉnh hoá toán nhiệt ngược thời gian Chương phần trình bày số phương pháp tính số Cuối cùng, xin chân thành cảm ơn PGS TS Đặng Đức Trọng người tận tình hướng dẫn suốt trình học tập hoàn thành luận văn Mặc dù bận nhiều công việc thầy dành nhiều thời gian để hướng dẫn hoàn thành luận văn Tôi xin cảm ơn đến quý thầy côâ tham gia giảng dạy cao học khoá 14, người truyền đạt kiến thức quý báu cho Sau cùng, không nhắc đến bạn bè, người thân người khuyến khích, động viên trình học tập, xin cảm ơn điều TP HCM, ngày 15 tháng năm 2006 Tác giả luận văn Nguyễn Phi Phúc MỤC LỤC Trang Lời nói đầu Mục lục Chương PHẦN TỔNG QUAN Chương CÁC KÝ HIỆU VÀ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 2.1 Không gian Hilbert ……………………………………………… …………………………………………….…6 2.2 Nửa nhóm liên tục……………………………………… ……….… 11 2.3 Không gian phần tử hữu hạn …………………………………………………………… ……14 2.3.1 xây dựng không gian phần tử hữu hạn …………… …………………… …………14 2.3.2 Đánh giá hội tụ phần tử hữu hạn …………………………………… … … ….18 2.4 Ký hiệu ………………………… ……………………………………………………………………… ……….…19 2.4.1 Ký hiệu hình học ………………………………………………… ………………………………… 19 2.4.2 Ký hiệu không gian hàm …………………………………….……………….……… 19 2.4.3 Ký hiệu ước lượng……………………………………………………………………………… …21 Chương CÁC KẾT QUẢ CHỈNH HOÁ 21 3.1 Các kết chỉnh hoá toán QBVP ……………………………………………… 22 3.2 Phát biểu lại toán đánh giá sai số chỉnh hoá Chương MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH SỐ …………………… 32 44 4.1 Phương pháp sử dụng giá trị riêng véc tơ riêng xấp xỉ số…… 44 4.2 Xấp xỉ số qua lặp Conjugate gradient ……………………………………………… 47 4.3 Đánh giá sai số ………………………………………………………………………………….………………… 52 Kết luận Tài liệu tham khảo Chương PHẦN TỔNG QUAN Trước tiên nhắc lại khái niệm toán chỉnh không chỉnh Định nghóa (Hadamard 1923) Một toán gọi chỉnh nghiệm i) Tồn tại, ii) Là nhất, iii) Phụ thuộc liên tục vào liệu ban đầu (Tính chất ổn định) Và toán gọi không chỉnh vi phạm tính chất Ở tính chất iii) quan trọng toán thực tế, để chỉnh hoá toán điều mong muốn nghiệm thay đổi liệu toán thay đổi Trong luận văn này, xét toán nhiệt ngược thời gian cho (FVP) ⎧u , (t ) + Au (t ) = 0, < t < T , ⎨ ⎩u (T ) = f với A toán tử tự liên hợp dương, không bị chặn không gian Hilbert H cho –A sinh nửa nhóm co compắc H, thuộc tập giải – A (0∈ρ(-A)), t thời gian, T thời gian cuối cho trước, hàm liệu f cho trước H, u : [0, T] → H lời giải cần tìm Bài toán toán không chỉnh, vì, tồn lời giải [0, T] lời giải không phụ thuộc liên tục theo f Thật vậy, xét toán nhiệt cho ⎧ut − u xx = 0, < x < 1, ≤ t ≤ T , ⎪ ⎪u (0, t ) = 0, ⎨ ⎪u (1, t ) = 0, ⎪⎩u ( x, T ) = f ( x) = e −1sinπ x, (*) nghiệm xác (*) u ( x , t ) = eπ Laáy (T − t ) −1 sinπ x fn (x) = e−1sinπ x+ sinnπ x làm liệu thời gian cuối T Khi ta có n nghiệm tương ứng (*) với giá trị cuối fn (x) laø un (x, t)=eπ (T −t ) −1 sinπ x+ e n π n 2 (T −t ) sinnπ x Sai số thời gian cuối fn − f L2 ( ,1) = 1 ∫n sin nπ xdx = 1 n →∞ ⎯⎯⎯ →0 n 2π Và sai số thời gian đầu un (., 0) − u (., 0) L ( , 1) 2n π T e n π T n→∞ = ∫ 2e sin nπ xdx = ⎯⎯⎯ →∞ 2n n 2 2 Vậy (*) toán không chỉnh vi phạm tính chất iii) Việc xây dựng hàm xấp xỉ ổn định nghiệm toán nhiệt ngược trường hợp riêng vấn đề chỉnh hoá toán không chỉnh Ta nêu khái niệm xác việc chỉnh hoá toán không chỉnh Xét phương trình Au = f , u ∈ D(A) ⊂ X, f ∈ Y Trong X, Y không gian mê tríc A : D(A) → Y toán tử Ta nói u0 ∈ D(A) nghiệm xác toán tương ứng với giá trị liệu xác f0 Au0 = f Toán tử Rα : Y → X phụ thuộc vào tham số α ∈ \ (được gọi tham số chỉnh hoá) toán tử chỉnh hoá a) Rα f0 → u0 α → , b) Với δ > , tồn ω (δ ), α (δ ) → cho d X ( Rα (δ ) f , u0 ) ≤ ω (δ ) neáu dY ( f , f0 ) ≤ δ , f ∈ Y Phần tử uδ = Rα (δ ) f gọi nghiệm chỉnh hoá toán Bài toán (FVP) nhiều tác giả chỉnh hoá nhiều toán chỉnh khác Lattes Lions [9], Miller [11], Payne [13], Huang vaø Zheng [6], vaø Lavrentiev [10] xấp xỉ (FVP) cách làm nhiễu toán tử A Nghiên cứu gọi phương pháp Quasi-Reversibility Ý tưởng phương pháp nhiễu phương trình toán không chỉnh để thu toán chỉnh, dùng nghiệm toán chỉnh nghiệm xấp xỉ toán không chỉnh Trong [9] Lattes Lions chỉnh hoá toán toán ⎧ut + Au − ε A* Au = 0, < t < T , ⎨ ⎩u (T ) = f Alekseeva vaø Yurchuk [18] xét toán ⎧ut + Au + ε At = 0, < t < T , ⎨ ⎩u(T ) = f Gajewski Zaccharias [5] xét toán tương tự Alekseeva Yurchuk làm họ đánh giá sai số nghiệm xấp xỉ uε (t ) − u (t ) ≤ 2 (T − t ) u(0) t2 Showalter [14, 15] đưa phương pháp khác để chỉnh hoá toán (FVP), phương pháp việc đánh giá sai số ổn định tác giả trước Sử dụng ý tưởng Showalter, Clark Oppenheimer [3] dùng phương pháp QuasiBoundary để chỉnh hoá toán ngược thời gian với nghiệm chỉnh hoá thoả ⎧ut + Au (t ) = 0, < t < T , ⎨ ⎩u(T ) + ε u(0) = f Cũng ý tưởng trên, Denche Bessila [4] xấp xỉ (FVP) cách nhiễu điều kiện cuối ⎧ut + Au (t ) = 0, < t < T , ⎨ ⎩u(T ) − ε u '(0) = f Huang Zheng [7] xét toán ⎧ut + Au + ε At = 0, < t < T , ⎨ ⎩u(T ) = f đây, –A toán tử sinh nửa nhóm giải tích không gian Banach Tuy nhiên, họ chưa đưa công thức đánh giá sai số hiệu phương pháp để tính toán Trong luận văn sử dụng phương pháp Quasi-Boundary value tương tự Showalter làm điều kiện tổng quát Ở làm nhiễu điều kiện cuối Điều đưa toán Quasi-Boundary value (QBVP) sau ⎧⎪uα, (t ) + Auα (t ) = 0, < t < T , ⎨ ⎪⎩α uα (0) + uα (T ) = f với α số dương nhỏ, toán tử A có tập trực giao gồm hàm véc tơ riêng qi với giá trị riêng λ i > 0, cho {qi } sở H Khi ta biểu diễn f (FVP) dạng f = ∞ ∑ b q , sau toán i =0 i i xấp xỉ chỉnh nghiệm hội tụ toán gốc có nghiệm cổ điển Phần lại luận văn bao gồm ba chương Chương trình bày kiến thức chuẩn bị cho luận văn Chương trình bày phương pháp QuasiBoundary value Mục đích luận văn bổ sung vào lý thuyết xấp xỉ Clark Oppenheimer [3] phần đánh giá sai số Hiển nhiên trước tìm hiểu bổ sung tính đắn cách lấy xấp xỉ, phải trả lời câu hỏi “ Có tồn xấp xỉ không?” Câu trả lời có chæ ∞ ∑b i =1 i 2T λi e hội tụ Điều nội dung chương luận văn Chương luận văn trình bày hai phương pháp tính số toán (QBVP) phương pháp xấp xỉ hữu hạn giá trị riêng, vectơ riêng phương pháp lặp Conjugate-gradient, phần cuối chương trình bày sai số xấp xỉ hữu hạn Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ VÀ CÁC KÝ HIỆU Trong chương này, qui ước số ký hiệu nêu lại số kiến thức chuẩn bị cần thiết sử dụng đến chương sau 2.1 Không gian Hilbert Cho X không gian tuyến tính thực Định nghóa 2.1.1 Ánh xạ i) : X → [ 0, ∞ ) gọi chuẩn thoả u + v ≤ u + v ,∀u,v ∈ X , ii) λu = λ u ,∀u ∈ X ,λ ∈ , iii) u ≥ ,∀u ∈ X; u = ⇔ u = Không gian tuyến tính trang bị chuẩn gọi không gian tuyến tính định chuẩn Từ sau ta giả sử X không gian tuyến tính định chuẩn Định nghóa 2.1.2 Ta nói dãy {un }n=1 ⊂ X hội tụ u ∈ X lim un − u = ∞ n →∞ Ta ký hiệu: un → u Định nghóa 2.1.3 Ta nói dãy {un }n=1 ⊂ X dãy Cauchy với ε > 0, ∞ ∃N > cho un − um < ε , ∀n, m ≥ N Định nghóa 2.1.4 X gọi đầy đủ dãy Cauchy X hội tụ Định nghóa 2.1.5 X gọi không gian Banach X đầy đủ Định nghóa 2.1.6 Ta nói X tách X chứa tập đếm trù mật X Cho H không gian tuyến tính thực Định nghóa 2.1.7 Ánh xạ ( , ) : H × H → i) ( u,v ) = ( v,u ) , ∀u,v ∈ H , gọi tích vô hướng thoả 46 ξθ ξ2 f , qih ) ≤ f , qih ) Nếu ≤ θ ≤ ( ( α +ξ α +ξ Để có (24) ta cần có điều kiện λih ≥ ⎛ ⎡ log ⎜ f ,qih ) + ( ⎢ T ⎝ 2αε ⎣ ( f ,q ) h i ⎤⎞ − 4αε ⎥ ⎟ ⎦⎠ Thaät vaäy 2 ξ ξ f ,qih ) = f ,qih ) ≤ ε ( ( α +ξ α +ξ ⇔ εξ − ( f ,q h i ⇔ξ ≤ ⇔e − λihT )ξ + εα ≥ ( f ,q ) − ( f ,q ) h i h i − 4αε 2ε ≤ ( f ,q ) − ( f ,q ) h i h i − 4αε 2ε ⎛ h −λ T ⎜ f ,qi − ⇔ ≤ log ⎜ ⎜ ⎝ ( f ,q ) h i h i ⎛ ⎜ ⇔ λ ≥ log ⎜ T ⎜ f ,qih − ⎝ ⎛ ⇔ λih ≥ log ⎜ f ,qih + T ⎝ h i Neáu ≤ θ ≤ 2ε ⎞ − 4αε ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎟ ⎟ ( f ,qih ) − 4αε ⎟⎠ ( f ,qih ) − 4αε ⎞⎟ ⎠ ξθ ξθ h f , q ≤ f , qih ) ( ( i ) α +ξ α Tương tự, để có (22) ta cần có điều kiện laø 2ε 47 ⎛ ( f ,qih ) λ ≥ log ⎜ ⎜ αε t* ⎝ h i ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ 4.2 Xấp xỉ số qua lặp conjugate gradient (gọi tắt CG) Có lẽ kỹ thuật lặp tốt để sử dụng cho việc giải (6) phương pháp CG, cho ta tốc độ hội tụ nhanh toán Để thấy rõ điều này, luận văn dựa vào kết Winther [17] Tác giả Winther nghiên cứu việc tìm nghịch đảo toán tử I + B, B compắc Thay đổi thu phương pháp giải cho toán ta với toán tử α I + K1 , K1 compắc Một cách tổng quát, phương pháp CG phương pháp lặp phương trình toán tử Aφ = f cho ⎧ ⎪φ n+1 = φ n + an sn ⎪ ⎪ ⎨rn+1 = rn − an Asn , ⎪ ⎪s = r + b s ⎪ n+1 n +1 n n ⎩ , an = rn ( Asn , sn ) , (25) , bn = rn+1 2 rn Với n ≥ 0, s0 = r0 = f − Aφ , ta có tính chất tối ưu Phương pháp { } CG có dãy ψ n xấp xỉ khác φ sinh (25) với ψ = φ ( φ − φ , A (φ − φ ) ) ≤ ( φ − ψ , A ( φ − ψ ) ) , n ≥ n n n n (26) Bây ta chứng minh kết quan trọng sau Định lý 4.2 Nếu A =I + B với B compắc, xác định dương, tự liên hợp giá trị riêng ≤ β ≤ ≤ β ≤ β1 ≤ β max (27) Thì ước lượng sai số phép lặp CG (25) xác định 48 φ − φ n ≤ (cn )n φ − φ , (28) ⎡⎛ + β max ⎞ n β i ⎤ n cn = ⎢⎜ ⎥ ⎟∏ ⎣⎝ + β ⎠ i =1 β i + ⎦ (29) Chứng minh Từ (25) ta viết lại φ n = φ + Pn−1 ( A)r0 , (30) r0 = f − Aφ = A (φ − φ ) Pn−1 đa thức A có bậc cao n-1 Nên ta có φ n = φ + Pn−1 (B)r0 (31) Pn−1 đa thức B có bậc cao n - Sự tối ưu CG quan tâm tới việc lựa chọn đa thức thích hợp, để có điều ta định nghóa ψ n = ψ + Qn −1 (B)r0 , ψ = φ , (32) Đối với đa thức Qn−1 có bậc cao n - 1, ta định nghóa Q n (β ) = − (1 + β ) Qn−1 (β ) , (33) β −β Q n ( β ) = ∏ i i =1 β i + (34) thoả mãn n Do ñoù A (φ −ψ n ) = Aφ − Aψ n = f - Ay n = f - A ( f + Qn-1 ( B)r0 ) 49 = f - Af - AQn-1 ( B)r0 = r0 - AQn-1 ( B )r0 = ( I - AQn-1 (B) ) r0 = ( I - ( I + B ) Qn-1 ( B) ) r0 (33) = Q n ( B)r0 Và từ giả thiết A ta có • A = + βmax • A-1 = • (A có giá trị riêng 1+ βi ), 1 (A-1 có giá trị riêng ), + βmin + βi + β ≤ ( x, Ax ) = ( x, Ax ) ≤ + β max ( x, x ) x Nên ta có (1 + β ) φ -φ n ( ) ≤ (φ -ψ , A (φ -ψ ) ) ≤ φ -φ n , A ( φ -φ n ) n (do (26)) n ( ≤ A −1 A (φ -ψ n ) , A (φ -ψ n ) ≤ A −1 A (φ -ψ n ) ≤ A −1 Q n ( B ) ≤ A −1 Q n ( B ) ) r0 A 2 φ −φ0 Vaäy φ -φ n 2 Vấn đề lại chặn Q n ( B ) Ta coù ⎛ + β max ⎞  ≤⎜ ⎟ Qn ( B ) ⎝ + β ⎠ 2 φ −φ0 (35) 50 Q n ( B ) = sup Q n (B)v v v≠ ∞ 2 ∑ Q (β )v = sup k =1 v≠0 n k k ∞ ∑v k =1 k ⎛ βi − β k ⎞ ⎜ ⎟ vk ∑∏ k =1 i =1 ⎝ β i + ⎠ = sup ∞ n ∞ ∑v v≠ k k =1 ⎛ βi − β k ⎞ ⎜ ⎟ vk ∑ ∏ k = n +1 i =1 ⎝ β i + ⎠ = sup n ∞ ∞ ∑v v≠ k k =1 ⎛ βi ⎞ ∑∏ ⎜ ⎟ vk k =1 i =1 ⎝ β i + ⎠ ≤ sup ∞ n ∞ (do ≤ ∑v v≠0 k =1 ∞ ∑v k k ⎛ βi ⎞ ≤ sup ⎜ ⎟ ∏ v≠0 i =1 ⎝ β i + ⎠ ∑ vk k = n +1 ∞ n βi − β k βi ≤ , ∀k ≥ n + ) βi + βi + k =1 ⎛ β ⎞ ≤ ∏⎜ i ⎟ i =1 ⎝ β i + ⎠ n (36) Từ (35), (36) ta thu φ -φ n ⎛ + β max ⎞ ≤⎜ ⎟ ⎝ + β ⎠ neân φ -φ n ≤ ( cn ) φ − φ , n ⎛ βi ⎞ ⎜ ⎟ φ −φ ∏ i =1 ⎝ β i + ⎠ n 51 với ⎡⎛ + β max ⎞ n ⎛ β i ⎞ ⎤ n cn = ⎢⎜ ⎟⎥ ⎟∏⎜ ⎣⎝ + β ⎠ i =1 ⎝ β i + ⎠ ⎦ Trong luận văn ta có B = α −1 K1 βi = α −1e−T λ ≥ i Neân ⎡ cn = ⎢ + α −1e− λ1T ⎣ ( ) ∏ + α1e n n i =1 λiT ⎤ ⎥ ⎦ rõ ràng n →∞ cn ⎯⎯⎯ →0 Để ứng dụng phương pháp CG cho toán, xây dựng xấp xỉ hữu hạn cho toán tử compắc K1 Ước lượng sai số phương pháp lặp CG toán điều chỉnh α I + K1 , K1 compắc, điều chỉnh φα ,h − φαn ,h ≤ ( cnh ) φα ,h − φα0,h , n số lặp số trên, φα ,h định nghóa mục 4.1, φαn,h xấp xỉ φα ,h thoả (25) Tốc độ hội tụ định ⎡ cnh = ⎢ + α −1e ⎣ ( − λ1hT ) ∏ ⎛⎜⎝ + α1e n n k =1 λkhT ⎞⎤ ⎟⎥ , ⎠⎦ λkh giá trị riêng thứ k xấp xỉ dạng K1 k →∞ k →∞ →∞ cn ⎯⎯⎯ → nhanh, chí số α nhỏ Ta thấy λnh ⎯⎯⎯ Điều cho ta thấy hội tụ phép lặp nhanh 52 4.3 Đánh giá sai số Để tạo điều kiện cho việc đánh giá sai số, trước tiên ta nhắc lại số tính chất sau X Không gian xấp xỉ Ta giả sử nghiệm xấp xỉ phần tử không gian V h ( Ω ) ⊂ L2 ( Ω ) với tính chất, ∀ψ ∈ H s ( Ω ) , ∃ψ I ∈ V h ( Ω ) cho ψ -ψ I ≤ Ch r ψ r , (37) với ≤ r ≤ s , kết xấp xỉ phần tử hữu hạn [ 2] Trong trường hợp cổ điển xấp xỉ tuyến tính mẩu ta có kết ψ -ψ I ≤ Ch ψ Ta để ý cách chọn (có nhiều cách chọn) ψ I hình chiếu trực giao Phψ L2 định nghóa (ψ − Phψ , vh ) = 0, ∀vh ∈V h ( Ω ) (38) Y Toán tử xấp xỉ Ở ta giả sử toán tử xấp xỉ K1,h , K 2,h xác nghóa tồn số dương cho (K i − K i ,h ) v ≤ Ci h q v q , i = 1, , với q > (39) Z Tính trơn liệu ban đầu Ta nói liệu f pre-diffused γ tồn số M γ cho ∞ ∑ b e γλ i =1 2 i i ≤ M γ2 , bi hệ số f khai triển theo sở hàm riêng lưu ý : u (0) ≤ m f pre-diffused T (40) 53 Để kết thúc luận văn ta chứng minh định lý sau Định lý 4.3 Lấy φα ,h nghiệm xấp xỉ nghiệm chỉnh hoá ⎛ e− λ t ⎞ φα = ∑ ⎜ f , qi ) qi , −λ T ⎟ ( i =1 ⎝ α + e ⎠ ∞ i * i tính toán theo kỹ thuật xấp xỉ theo giá trị riêng (mục 4.1) Nếu X,Y,Z đúng, với γ ≤ 2T − t∗ vaø φα ∈ H r (Ω) tồn số C > cho ( φ − φα ,h ≤ C α θ M γ + h r φα r + mα ,h h q (f q + φα q )) , ûđây, θ= γ + t∗ − T T ≤ 1, eh mα ,h = 2 2 1, h h , α eh + K e eh = Phφα − φα ,h Chứng minh Ta có bất đẳng thức tam giác φ − φα ,h ≤ φ − φα + φα − φα ,h ° Mỗi γ thõa γ ≤ 2T − t∗ ta có: θ = γ + t∗ − T T (41) ≤ , từ định lý 3.2.1 ta có φ − φα ⎞2 ⎛ ∞ ≤ α θ ⎜ ∑ bi e 2(1+θ ) λ T ⎟ ⎝ i =1 ⎠ (42) i maø 2 2 ⎛ ⎛ ⎛ ⎛ 2(1+θ ) λ T ⎞ 2( γ + t ) λ ⎞ 2 γλ ⎞ 2( γ + t ) λ ⎞ ⎜ ∑ bi e ⎟ = ⎜ ∑ bi e ⎟ ⎟ ≥ ⎜ ∑ bi e ⎟ , đặt M γ = ⎜ ∑ bi e ⎝ i =1 ⎠ ⎝ i =1 ⎝ i =1 ⎠ ⎠ ⎝ i =1 ⎠ ∞ i neân từ (42) ta có: ∞ ∗ i φ − φα ≤ α θ M γ ∞ i ∞ ∗ i (43) 54 °Ta coù ( K1 + α I )φα (K 1, h = K2 f , + α I ) φα ,h = K 2,h f Neân (K − K 2,h ) f = ( K1 + α I ) φα − ( K1,h + α I ) φα ,h = ( K1,h + α I )( vh − φα ,h ) + K1φα − K1,h vh − α ( vh − φα ) Do ñoù (K 1, h + α I )( vh − φα ,h ) = ( K − K 2,h ) f + α ( vh − φα ) + ( K1,h vh − K1φα ) (44) Laáy vh = Phφα ∈ V h (Ω) định nghóa eh = Phφα − φα ,h Khi (44) viết lại (K 1, h + α I ) eh = ( K − K 2,h ) f + α ( Phφα − φα ) + ( K1,h − K1 ) φα + K1,h ( Phφα − φα ) (45) Laáy tích vô hướng vế (45) với eh ta coù (( K 1, h ) (( K + α I ) eh , eh = ) − K 2,h ) f , eh − α (φα − Phφα , eh ) − ( K1,h (φα − Phφα ) , eh ) ( ) + ( K1,h − K1 ) φα , eh ( 46) Từ Y ta coù (( K (( K ) − K )φ , e ) ≤ ( K − K )φ − K 2,h ) f , eh ≤ ( K − K 2,h ) f eh ≤ C2 h q f 1, h α h 1, h α eh ≤ C1h q φα q eh , q eh Từ X định nghóa Phφα ta có α (φα − Phφα , eh ) =0 (do eh ∈ V h ( Ω ) ), nên từ (46) ta coù ( K (φ 1, h α − Phφα ) , eh ) =0 (do K1,h tự liên hợp) 55 (( K 1, h ) + α I ) eh , eh ≤ C3 h q eh ( f q + φα q ) (47) Mặt khác (( K 1, h ) + α I ) eh , eh = ( K1,h eh , eh ) + α ( eh , eh ) 2 ≥ K eh +α eh 1,h ⎛ K eh ⎜ ≥ ⎜α + ⎜ eh ⎜ ⎜ ⎝ 1,h ⎞ ⎟ ⎟ e ⎟ h ⎟ ⎟ ⎠ (48) Từ (47) (48) ta có ⎛ K eh ⎜ ⎜α + ⎜ eh ⎜ ⎜ ⎝ 1,h ⎞ ⎟ ⎟ e ≤ C hq e h ⎟ h ⎟ ⎟ ⎠ (f q + φα q ) neân Phφα − φα ,h = eh ≤ C3 h q (f + φα q 2 α+ = C3 h q mα ,h eh mα ,h = eh q α eh + K eh 1,h Vaäy eh ( f q + φα α eh + K eh 1,h + φα q 1,h (f )=Ch K eh Với eh q q ), q ) 56 φα − φα ,h ≤ φα − Phφα + Phφα − φα ,h ≤ C4 h r φα r + C3h q mα ,h (f q + φα q ) (49) (do φα ∈ H r ( Ω ) , φα − Phφα = vh ∈ V h ( Ω ) thoõa X) Từ (41), (43) (49) suy tồn soá C > cho ( φ − φα ,h ≤ C α θ M γ + h r φα r + h q mα ,h ( f q + φα q )) Nhận xét : Nếu liệu ban đầu không pre-diffused theo định lý 3.2.2 ta sử dụng sai số chỉnh hoá để chặn thực việc đánh giá cuối ( φ − φα ,h ≤ C mα θ + h r φα r + h q mα ,h Với θ = (f q + φα q )) , t* ≤ α −1 vaø mα ,h ≤ − λNh T T α +e Để có tốc độ hội tụ tốt với kết có, ta giả sử sử dụng phần tử hữu hạn tuyến tính, lấy r = q = θ = Điều tốt ta làm với mα ,h mα , h ≤ α −1 điều qua kinh nghiệm tính toán cho ta thấy bảo toàn Khi đánh giá ( φ − φα ,h ≤ C α M γ + h φα + h 2α −1 ( f + φα )) Để “cân bằng” đóng góp sai số từ số hạng phân hoạch ta lấy α = h s tìm s cho α = h s điều cho s = đánh giá cuối φ − φα ,h ≤ Ch ( M γ + f + φα ) Ta thấy đánh giá điều bảo toàn thực tế toán xảy Trong trường giảm cách nhanh chóng điều Tuy nhiên, đánh giá thực tính trơn liệu ban đầu tăng (khi mà chúng điều chỉnh kích cỡ γ ) ảnh 57 hưởng tới đánh giá sai số Sự sai số chỉnh hoá thông thường dạng α θ , ta ⎛ 21+θθ ⎞ có đánh giá cuối là: O ⎜ h ⎟ ⎝ ⎠ Các kết trình bày luận văn không mới, tất phát biểu chứng minh định hướng số tài liệu tham khảo Điều mà luận văn thực trình bày chứng minh cách chi tiết hơn, đồng thời vận dụng số kết số tài liệu tham khảo với giúp đỡ gợi ý thầy hướng dẫn có kết hệ số tốc độ hội tụ (định lý 4.2) Qua luận văn này, thân hiểu kỹ kiến thức mà quý thầy lớp cao học truyền thụ suốt trình học tập bắt đầu tiếp cận với nghiên cứu khoa học Luận văn có ý nghóa thực tiễn kết hợp số phần mềm ứng dụng Matlab,… Do thời gian có hạn kiến thức phần mềm tác giả luận văn hạn chế nên luận văn chưa đưa ứng dụng thiết thực hạn chế luận văn Hướng phát triển luận văn nghiên cứu phương pháp luận văn cho toán nhiệt không nghiên cứu phần mềm toán học để giải số lónh vực ứng dụng thực tế sống XUW TÀI LIỆU THAM KHAÛO Ames, K A., Clark, G , Epperson, J F., Oppenheimer, S.F (1998), “ A comparison Of regularizations for an ill-posed problem”, Mathematics of computation, vol 67, no 224, pp 1451-1471 Brenner, S C., Scott, R.S (1994), The Mathematical Theory of Finite Element Methods, Springer-Verlag, New York Clark, G., Oppenheimer, S.F (1994), “Quasireversibility Methods for Non-WellPosed Problems”, Elect J Diff Eqns Denche, M., Bessila, K (2005), “A modified quasi-boundary value method for illposed problems”, J Math Anal Appl, vol 301 , pp 419-426 Gajewski, H., Zaccharias, K (1972), “ Zur Regularisierung einer Klass nichtkorrekter Probleme bei Evolutiongleichungen”, J Math Anal Appl No 38, pp 784-789 Huang, Y., Zheng (2004), “Regularization for ill-posed Cauchy problems associated With generators of analytic semigroups”, J Differential Equations, No 1, pp 38-54 Huang, Y., Quan, Z (2005), “Regularization for a class of ill-posed Cauchy problems”, Proc.Amer.Math.Soc., Vol 133, pp 3005-3012 Kelley, C T (1995), “Iterative Methods for Linear and Nonlinear Equations”, SIAM, Philadelphia Lattes, R., Lions, J.L ( 1967), Methode de Quasi-Reversibility et Applications, Dunod, Paris (English translation Bellman, R ( 1969), Elsevier, New York) 10 Lavrentiev, M M (1973), “Some Improperly Posed problem of Mathematical Physics”, Springer Tracts in Natural Phisolophy, vol 11 , pp 161-171 11 Miller, K (1973), Stabilized quasireversibility and other nearly best possible methods for non-well-posed problems, Symposium on Non-Well-Posed Problems and Logarithmic Convexity, Lecture Notes in Mathematics, Springer-Verlag, Berlin, pp 161-176 12 Nagel, R., Engel, K J (1999), One parameter semigroups for linear evolution quations, Springer-Verlag, New York 13 Payne, L E (1973), Some general remarks on improperly posed problems for partial differential equations, Symposium on Non-Well-Posed Problems and Logarithmic Convexity, Lecture Notes in Mathematics, Springer-Verlag, Berlin, pp 1-30 14 Showalter, R E (1974), “The Final Value Problem for Evolution Equations”, J Math Anal Appl 47, pp 563-572 15 Showalter, R E (1983), “Cauchy Problem for Hyper-Parabolic Partial Differential Equations, Trends in the Theory and Practice of Non-Linear Analysis”, Elsevier 16 Đặng Đức Trọng, Nguyễn Huy Tuấn (2006), “ Regularization and error estimates For nonhomogeneous backward heat problems”, J Differential Equations, vol 2006, No 04, pp 1-10 17 Winther, R (1980), “Some Superlinear Convergence Results for the Conjugate Gradient Method”, SIAM J Num Anal., Vol 17, no 1, pp 14-17 18 Yurchuk, N I., Alekseeva, M (1998), “The quasi-reversibility method for the problem of the control of an initial condition for the heat equation with an integral boundary condition”, Differential Equations 34 , no 4, pp 493-500 ... Trong luận văn này, trình bày việc chỉnh hoá toán nhiệt ngược thời gian, toán không chỉnh lónh vực vật lý ứng dụng phương pháp Quasi-Boundary value phần tử hữu hạn, đồng thời trình bày số phương pháp. .. dung chương luận văn Chương luận văn trình bày hai phương pháp tính số toán (QBVP) phương pháp xấp xỉ hữu hạn giá trị riêng, vectơ riêng phương pháp lặp Conjugate-gradient, phần cuối chương trình... tử I + B, B compắc Thay đổi thu phương pháp giải cho toán ta với toán tử α I + K1 , K1 compắc Một cách tổng quát, phương pháp CG phương pháp lặp phương trình toán tử Aφ = f cho ⎧ ⎪φ n+1 = φ n +