Luận văn sư phạm Phương pháp chứng minh phản chứng và chứng minh loại dần trong toán phổ thông

Khóa luận tốt nghiệp A.MỞ ĐẦU LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong mơn học Tốn học có vị trí bật, có nguồn gốc từ thực tiễn, có mặt khắp nơi chìa khố hầu hết hoạt động người, mơn học giúp mở rộng kiến thức để bước vào sống Đặc biệt chương trình phổ thơng, Tốn mơn khoa học cơng cụ giúp học sinh rèn luyện trí thơng minh Và để giúp học sinh nắm vững “chìa khố” tri thức, hình thành kĩ năng, kĩ xảo để ứng dụng Toán học vào sống tốn trường phổ thơng phương tiện hiệu khơng thể thay Việc giải tốn coi mục tiêu ban đầu cấu trúc Toán học phần chia tách hoạt động Toán học Giải toán giúp học sinh rèn luyện kĩ suy luận tư logic, khả sáng tạo, rèn luyện tính kiên trì đồng thời giúp học sinh củng cố, tổng hợp kiến thức Trong chương trình phổ thơng học sinh gặp nhiều tốn chứng minh có nhiều phương pháp chứng minh để giải toán Mỗi phương pháp có hay mạnh riêng với dạng Trong khố luận tơi xin đề cập đến hai phương pháp chứng minh hữu ích hay dùng lập luận Tốn học với toán mà việc sử dụng phương pháp chứng minh trực tiếp đơi khó giải Với mong muốn giúp cho thân bạn sinh viên có hệ thống cách khoa học hai phương pháp chứng minh hay Bùi Thị Thu Hiền Khóa luận tốt nghiệp sử dụng chứng minh gián tiếp qua giúp cho việc đào sâu, mở rộng kiến thức có ích Từ vận dụng hai phương pháp chứng minh phổ biến giảng dạy tốn trường phổ thơng Đó lí tơi chọn đề tài “PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH PHẢN CHỨNG VÀ CHỨNG MINH LOẠI DẦN TRONG TỐN PHỔ THƠNG” MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Tìm hiểu phương pháp chứng minh phản chứng chứng minh loại dần tốn phổ thơng thơng qua số toán Nhận dạng số toán sử dụng phương pháp chứng minh phản chứng toán sử dụng phương pháp chứng minh loại dần, từ góp phần nâng cao kỹ giải toán phát triển lực chứng minh toán học, nâng cao chất lượng dạy học NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU - Nghiên cứu sở lý luận phương pháp chứng minh phản chứng chứng minh loại dần - Nghiên cứu số toán sử dụng phương pháp chứng minh phản chứng phương pháp chứng minh loại dần - Vận dụng phương pháp chứng minh phản chứng loại dần vào giải số toán ĐỐI TƯỢNG, PHẠM VI NGHIÊN CỨU - Đối tượng nghiên cứu: Các toán sử dụng phương pháp chứng minh phản chứng phương pháp chứng minh loại dần - Phạm vi nghiên cứu: Các toán sử dụng phương pháp chứng minh phản chứng loại dần chương trình tốn phổ thơng Bùi Thị Thu Hiền Khóa luận tốt nghiệp PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU - Phương pháp nghiên cứu lý luận - Phương pháp tổng kết kinh nghiệm CẤU TRÚC KHỐ LUẬN Ngồi phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo khố luận cịn có hai chương: Chương 1: Cơ sở lí luận Chương 2: Phương pháp chứng minh phản chứng phương pháp chứng minh loại dần tốn phổ thơng Bùi Thị Thu Hiền Khóa luận tốt nghiệp B NỘI DUNG Chương 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN 1.1 CHỨNG MINH TOÁN HỌC VÀ CÁC YÊU CẦU CỦA CHỨNG MINH TOÁN HỌC 1.1.1 Thế chứng minh Định nghĩa: Giả sử G tập hợp mệnh đề toán học  mệnh đề tốn học Ta nói  chứng minh từ giả thiết G, tồn dãy hữu hạn mệnh đề toán học A1, A2,…, An (1) cho yêu cầu sau thoả mãn a) An  b) Với i, i=1, 2,…, n, A tiên đề định nghĩa định lý phần tử tập G suy từ mệnh đề đứng trước dãy (1) nhờ vào quy tắc hay suy luận logic Nói cách khác, q trình suy diễn xác nhận tính chất thực bác bỏ mệnh đề nhờ vào mệnh đề biết gọi chứng minh 1.1.2 Cấu trúc chứng minh Mỗi chứng minh gồm thành phần: 1) Luận đề mệnh đề cần chứng minh 2) Luận mệnh đề mà dựa vào để suy mệnh đề phải chứng minh 3) Luận chứng quy tắc suy luận logic dùng chứng minh Bùi Thị Thu Hiền Khóa luận tốt nghiệp 1.1.3 Yêu cầu chứng minh a) Yêu cầu logic luận đề Mệnh đề đứng sau chứng minh thiết mệnh đề cần chứng minh An ≡  Nghĩa luận đề không tráo đổi, không thay mệnh đề không tương đương logic b) Yêu cầu logic luận chứng Việc rút mệnh đề từ mệnh đề trước q trình chứng minh phải theo quy tắc suy diễn logic c) Yêu cầu logic luận Mỗi mệnh đề chứng minh phải tiên đề, định nghĩa, định lý, mệnh đề giả thiết, hệ logic mệnh đề đứng trước trình chứng minh rút nhờ quy tắc suy luận logic, nghĩa luận phải mệnh đề 1.2 CHỨNG MINH PHẢN CHỨNG 1.2.1 Định nghĩa Phép chứng minh mệnh đề thơng qua bác bỏ mệnh đề phủ định gọi phép chứng minh phản chứng Nghĩa để chứng minh mệnh đề A ⇒ B, người ta bác bỏ mệnh đề A ⇒ B gọi phép chứng minh mệnh đề A ⇒ B Mục tiêu Mục tiêu phép chứng minh phản chứng bác bỏ mệnh đề phủ định mệnh đề cần chứng minh Bùi Thị Thu Hiền Khóa luận tốt nghiệp 1.2.2 Sơ đồ phép chứng minh phản chứng Với X A, B, CC, D ((A ⇒ B) ⇒ X ) X A ⇒ B Trong C mệnh đề đó, D mệnh đề biết 1.2.3 Cơ sở phép chứng minh phản chứng Cơ sở phép chứng minh phản chứng luật trung: hai mệnh đề X X không sai Khi bác bỏ mệnh đề X nghĩa tính chân thực X mệnh đề X xảy hai khả hoặc sai X tương ứng sai Các hình thức chứng minh phản chứng Việc bác bỏ mệnh đề phủ định mệnh đề cần chứng minh A ⇒ B sau dựa vào luật trung khẳng định A ⇒ B dựa vào chứng minh mệnh đề sau coi hình thức chứng minh phản chứng, dạng chứng minh phản chứng Dạng 1: AB ⇒ A Dạng 2: AB ⇒ CC Dạng 3: AB ⇒ D Dạng 4: AB ⇒ B Với C mệnh đề D mệnh đề biết mệnh đề tương đương logic với tương đương với mệnh đề A ⇒ B Do để chứng minh mệnh đề ta cần chứng minh xảy mệnh đề Bùi Thị Thu Hiền Khóa luận tốt nghiệp Các bước phép chứng minh phản chứng mệnh đề A ⇒ B - Bước 1: (Giả sử) Phủ định mệnh đề A ⇒ B hay AB - Bước 2: (Tìm mâu thuẫn) Xuất phát từ giả thiết có: AB qua q trình suy luận chứng minh rút điều mâu thuẫn (tìm mâu thuẫn): Hoặc trái với giả thiết A (dạng 1) Hoặc suy điều trái ngược (dạng 2) Hoặc suy điều mâu thuẫn với điều biết (dạng 3) Hoặc suy kết luận (dạng 4) - Bước 3: (Kết luận) Tìm mâu thuẫn khẳng định giả thiết AB khơng xác, sử dụng luật trung khẳng định tính chân thực A ⇒ B Ví dụ 1: Chứng minh a  b  ab với  a , b  Chứng minh: + Bước 1: Giả sử  a , b  ta có a  b  ab + Bước 2: Tìm mâu thuẫn:  a , b  ta có: a  b  ab Û (a  b)  4ab Û a  2ab  b2  Û (a  b)2  (vô lí) + Bước 3: Do điều giả sử sai Vậy ta có a  b  ab với  a , b  Ví dụ áp dụng dạng 3: AB ⇒ D Trong A:  a , b  B: a  b  ab B: a  b  ab D: (a  b)  Bùi Thị Thu Hiền Khóa luận tốt nghiệp D: (a  b)  Ví dụ 2: Cho hai đường thẳng chéo Trên , phân biệt , Trên lấy hai điểm phân biệt chéo lấy hai điểm Chứng minh Chứng minh: +Bước 1: Giả sử không chéo A B +Bước 2: Tìm mâu thuẫn: Như có mặt phẳng ( ) chứa và Khi ta có nằm ( ) Điều mâu thuẫn với giả thiết C P D chéo +Bước 3: Kết luận: Vậy chéo Ví dụ thuộc dạng 1: AB ⇒ A Với A: Cho , hai đường thẳng chéo Trên phân biệt , Trên A: hai đường thẳng lấy hai điểm phân biệt , đồng phẳng B: chéo B: không chéo Bùi Thị Thu Hiền lấy hai điểm Khóa luận tốt nghiệp 1.3 CHỨNG MINH LOẠI DẦN 1.3.1 Định nghĩa Nếu mệnh đề X có k khả xảy ra, phép chứng minh mệnh đề X xảy với k khả thứ i thông qua bác bỏ k-1 khả lại gọi phép chứng minh loại dần 1.3.2 Sơ đồ phép chứng minh loại dần Nếu mệnh đề X có k khả xảy là: X1, X2,…, Xk Mệnh đề X không xảy với khả thứ j: X Sơ đồ phép chứng minh loại dần: (X ⊻ X ⊻ … ⊻ X ) X X … X X X Như có bước tiến hành chứng minh loại dần …X - Bước 1: Khẳng định có k khả xảy - Bước 2: Bác bỏ k-1 khả lại - Bước 3: Khẳng định X xảy khả thứ k 1.3.3 Cơ sở logic phép chứng minh loại dần Cơ sở logic phép chứng minh loại dần tam đoạn luận lựa chọn, tuân theo quy tắc ba bước phù hợp với bước phép chứng minh loại dần có sơ đồ: ( ⊻ ) ( ⊻ ) bước thực tương ứng là: - Bước 1: Chỉ có A B - Bước 2: Có A (A) - Bước 3: Kết luận có B (B) Bùi Thị Thu Hiền Với sơ đồ Khóa luận tốt nghiệp Như sử dụng phương pháp chứng minh loại dần phải mệnh đề có k khả xảy Ví dụ 1: Cho x   Chứng minh x số vô tỉ Chứng minh: + Bước 1: Có x  R , x hữu tỉ vô tỉ + Bước 2: Bác bỏ khả x số hữu tỉ: Từ x   suy x nghiệm phương trình x  x   Nếu x số hữu tỉ x phải nguyên là ước 6, x ±1, ±2, ±3, ±6 Nhưng ±1, ±2, ±3, ±6 khơng nghiệm phương trình x  x   Vậy x số hữu tỉ +Bước 3: Kết luận: Vậy x số vơ tỉ Ví dụ 2: Chứng minh tứ giác có tâm đối xứng phải hình bình hành Chứng minh: + Bước 1: Giả sử tứ giác có tâm đối xứng Qua phép đối xứng tâm , tứ giác biến thành nên đỉnh biến thành , , + Bước 2:  Nếu đỉnh hay C D biến thành đỉnh đối xứng qua Điều vơ lí Bùi Thị Thu Hiền 10 ≡ Khi tứ giác có hai Khóa luận tốt nghiệp Ví dụ 2: Cho góc nhọn , tia lấy điểm Lấy điểm lấy hai điểm , ′ Trên tia thuộc miền góc Qua ′ kẻ đường thẳng song song với song với điểm kẻ qua cắt Chứng minh ba đường thẳng , Hướng dẫn: Từ giả thiết toán ta cần ′ Đường thẳng song cắt đường thẳng song song với ′ ′ qua kẻ qua ′ ′ đồng quy , ′ cắt Muốn giải toán Để làm điều ta giả sử ′ giao với trình lập luận ta điều vơ lí Nên quy điểm ≡ ′ hay , Chứng minh: Có // Þ∆ Þ // // Giả sử , Þ giao với // // (1) nên điểm OA AC  O' A' A' C ' Từ (1), (2) (3) suy (3) OA O' A  O ' A' O ' A' ’ ≠ ′ (4) Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta được: Bùi Thị Thu Hiền y 39 z C ’ A’ (2) A ’ ′ đồng , ’ B’ C’ O OA OB  O' A' O' B' ′ ≠ Qua B đồng dạng với ∆ AB AC  A' B' A' C ' Vì Vì , x ’ Khóa luận tốt nghiệp Þ − − = = hay (5) = Mà hai điểm , ′ nằm phía ′ tia Kết hợp với (5) suy Vậy , ≡ ′ hay ′ đồng quy , ′ qua Chú ý: Học sinh dễ mắc sai lầm trình giải tập lệ thuộc vào trực quan Đặc biệt sai lầm dễ mắc phải từ (4) nhiều học sinh suy chứng minh ≡ ′ nên cần cho học sinh thấy để ≡ ′ cần = ′ Nhận thấy = (4) tỉ lệ thức nên cần sử dụng tỉ lệ thức hay dãy tỉ số Ví dụ 3: Trong không gian, qua điểm không nằm đường thẳng cho trước có đường thẳng song song với đường thẳng cho Chứng minh: Giả sử ta có điểm đường thẳng khơng qua Khi điểm đường thẳng d xác định mặt phẳng ( ) M d d P Trong mặt phẳng ( ), theo tiên đề Euclid đường thẳng song song có đường thẳng d’đi qua song song với Trong khơng gian có đường thẳng d” qua " nằm mặt phẳng ( ) Bùi Thị Thu Hiền 40 song song với Khóa luận tốt nghiệp Như mặt phẳng ( ) có ′ " hai đường thẳng qua song song với nên ′ ≡ " Chú ý: - Trong sử dụng phương pháp chứng minh phản chứng áp dụng hình thức mà cịn sử dụng nhiều hình thức để chứng minh - Trong nhiều tốn chứng minh khơng phải sử dụng phép chứng minh phản chứng mà cịn sử dụng phép chứng minh trực tiếp, việc sử dụng phương pháp chứng minh phản chứng lại phức tạp cần vận dụng khéo léo phương pháp chứng minh vào giải tập *BÀI TẬP THAM KHẢO Bài 1: Cho d ước chung lớn số a b Chứng minh tồn số nguyên m, n cho am  bn  d Bài 2: Cho ∆ Từ a) b) vẽ nội tiếp đường tròn ( ) Qua điểm // = ( ∈ vẽ tiếp tuyến xy ) Chứng minh rằng: tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp ∆ Bài 3: Chứng minh “Qua điểm nằm ngồi mặt phẳng, có mặt phẳng song song với mặt phẳng đó” HƯỚNG DẪN GIẢI Bài 1: Gọi d '  giá trị nhỏ số có dạng am  bn với m , n  Z m, n độc lập với d '  am ' bn ' ( m ' , n ' Z ) Giả sử am  bn không chia hết cho d ' Bùi Thị Thu Hiền 41 Khóa luận tốt nghiệp Þ Do Û + = = = ( + − + với q N, r Z r  d ' − = + )+ ( − Điều có nghĩa tồn số mâu thuẫn với cách chọn ) − ( + ) > có dạng < , + Vậy (am  bn)d Û d ' am  bn + Ta chọn + Ta lại chọn = 1, = Þ ′| , + = = Þ ′| = 0, Do d ' ước số chung a b Û d ' d  (a, b) (1) Mặt khác d '  (a, b) Þ d a  d b Þ d (am  bn), m, n  Z Þ d d ' (2) Từ (1) (2) suy d  d ' Vậy suy điều phải chứng minh Bài 2: a) Ta có (góc nội tiếp góc tạo tia tiếp tuyến dây = y cung chắn cung AB) Lại có Þ Þ∆ = A (so le trong) = ∆ M B b) *Cách 1: cắt đường tròn ( điểm thứ ′ Ta có: ’= Bùi Thị Thu Hiền O đồng dạng với nhau(g.g) AB AC Þ  Þ AB  AM AC AM AB Giả sử tia t x Þ ) ’= 42 C Khóa luận tốt nghiệp Þ Vậy Þ = ≡ tiếp tuyến đường tròn ( *Cách 2: Giả sử ) khơng phải tiếp tuyến đường trịn ( Trên nửa mặt phẳng bờ có chứa điểm vẽ tia ) tiếp tuyến đường trịn Ta có chắn cung = Mặt khác: Þ Vậy = (góc tạo tiếp tuyến dây với góc nội tiếp ) = Þ (= ≡ ) tiếp tuyến của ( Bài 3: Giả sử ) điểm nằm mp( ) Hãy xác định mp( ) qua song song với mp( ) Giả sử ( ) mặt phẳng qua ( ) ≡ ( ) song song với ( ) Chứng minh 2.2 MỘT SỐ BÀI TOÁN SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH LOẠI DẦN Khi sử dụng phương pháp chứng minh loại dần học sinh thường không đưa đầy đủ trường hợp, không chia thành trường hợp cụ thể mà lí luận chung Do để làm tốt việc cần luyện cho học sinh hiểu rõ yêu cầu bài, tìm hướng giải phù hợp, biết cách khái quát hoá toán để hình thành kỹ phân chia trường hợp xảy ra, tránh bỏ sót Bùi Thị Thu Hiền 43 Khóa luận tốt nghiệp Ví dụ 1: Chứng minh n  nguyên tố n khơng có ước khác (nghĩa n  k ) Chứng minh: có hai khả xảy ra: n  n có ước lẻ khác Nếu n có ước lẻ khác chẳng hạn k Þ l : n  kl Þ 2n   (2l )k  1, k lẻ nên l  ước thực n  nên n  không nguyên tố Vậy n  nguyên tố  k cho n  k Nhận xét: Đây cách khác chứng minh ví dụ (2.1.1), Chú ý: Có tốn khơng thể giải trực tiếp mà phải sử dụng bổ đề để chứng minh, ta xét ví dụ: Ví dụ 2: Cho ∆ có góc tù độ dài ba cạnh tam giác ba số tự nhiên liên tiếp độ dài phải 2, 3, Chứng minh: Bổ đề: “Xét ∆ có = , ” = Gọi = , hình chiếu cạnh C Chứng minh rằng: a  b  c Kẻ Đặt  = , = a  CH  HB2  (b2  b'2 )  (b'c)  b  c  2b ' c ' b’ ’ H Þ a  b2  c2 Hay > + Để chứng minh toán ta sử dụng bổ đề: Bùi Thị Thu Hiền 44 a b c’ A c Khóa luận tốt nghiệp “Nếu ∆ có > 90 + < " Gọi độ dài ba cạnh tam giác n  1, n , n  với n  N Do A > 90 nến cạnh lớn nhất, BC  n  Theo bổ đề trên, ta có: (n  1)  n  (n  1) Biến đổi thành n  n Þ n  Hiển nhiên n  mà n  Þ n  n  Giả sử n  , khơng tồn tam giác có độ dài ba cạnh 1, 2, (loại) Do n  Với n  độ dài ba cạnh tam giác 2, 3, (thoả mãn bất đẳng thức tam giác) Ví dụ 3: Chứng minh đường thẳng cắt hai mặt phẳng song song cắt mặt phẳng cịn lại Chứng minh: Có ( ) // ( ), Ç ( ) Vị trí tương đối đường thẳng 1) 2) 3) Ì( ) so với mp( ) là: a // ( ) Ç ( ) P A Ta xét trường hợp:  Nếu Ì ( ) Theo giả thiết Q Ç( )= B nên ( ) Ç ( ) ≠ ∅ mâu thuẫn với giả thiết ( ) // ( ) Þ  ( )  Nếu // ( ) Bùi Thị Thu Hiền 45 Khóa luận tốt nghiệp Theo giả thiết ( ) // ( ) Þ thuẫn giả thiết Vậy Ç ( ) // ( ) mà giả thiết cho Ç ( ) = , mâu ( ) khơng song song Ví dụ 4: Cho x, y, z  xyz  Chứng minh nếu: x yz 1   x y z có ba số lớn Chứng minh: Ta có: (x 1)(y 1)(z 1)  xyz xy  yz  xz  x  y  z 1 1 = ( x  y  z )  (   ) (vì x y z 1 x y z Theo giả thiết có (x  y  z)  (   ) = 1) Þ (x 1)(y 1)(z 1)  Trong ba số Thật vậy: + Nếu (1) − 1, − 1, − có số dương − 1, − 1, − dương xyz1 (trái giả thiết) + Nếu hai ba số (trái với (1)) Þ Trong ba số > 1, > 1, > − 1, − 1, − dương (x 1)(y 1)(z 1)  − 1, − 1, − có số dương Vậy có ba số x , y , z lớn mà thoả mãn điều điện đề Bùi Thị Thu Hiền 46 Khóa luận tốt nghiệp Chú ý: Khi sử dụng phép chứng minh loại dần ta phải bác bỏ k – khả năng, khả cịn lại khả xảy Cần lưu ý việc chứng tỏ mệnh đề có k khả xảy bác bỏ k – khả cho phép khẳng định xảy khả thứ k mà không cần phải chứng minh với khả Tuy nhiên, việc bác bỏ k – khả chứng tỏ xảy với khả lại xem phép chứng minh loại dần, thực chất phép chứng minh phép chứng minh qui nạp hồn tồn, ta xét ví dụ: Ví dụ 5: Giải phương trình x  x  x (*) Giải: = nghiệm phương trình 32   x x  3 4 > 2, chia vế (*) cho ta       5 5 + Nếu x x  3  3 4 4 Mặt khác, ta lại có:            5  5 5 5 x x 2  3  4  3  4 Þ             5  5 5  5 Vậy > không nghiệm Tương tự với < khơng nghiệm Vậy phương trình có nghiệm *BÀI TẬP THAM KHẢO: Bài 1: Cho , , = độ dài ba cạnh tam giác thoả mãn: cos + cos = cos Trong khẳng định sau có khẳng định đúng, tìm khẳng định đó: Bùi Thị Thu Hiền 47 Khóa luận tốt nghiệp a, Tam giác vuông A b, Tam giác vuông B c, Tam giác vuông C d, Tam giác thường Bài 2: Tìm nghiệm nguyên phương trình x  3x   y Bài 3: Cho hai mặt phẳng song song Nếu mặt phẳng cắt mặt phẳng cắt mặt phẳng hai giao tuyến song song với Bài 4: Cho ∆ Gọi ( ) mặt phẳng vng góc với đường thẳng ( ) mặt phẳng vng góc với đường thẳng minh hai mặt phẳng ( ) ( ) cắt giao tuyến vng góc với mặt phẳng ( Chứng chúng ) Bài 5: Với đoạn thẳng a, b, c thoả mãn: a b  b c  c a  (a  b  c ) (*) dựng tam giác HƯỚNG DẪN GIẢI Bài 1: d Bài 2: Ta nhận thấy rõ ràng ( x  0, y 1) ( x  0, y  1) nghiệm phương trình Ta chứng minh hai nghiệm Thật vậy: +Với x  , ta có: ( x3  1)  x6  2x3   x  3x3   y  x  4x   ( x  2) Þ x   y  x  (vô lí) +Với x   , ta có: Bùi Thị Thu Hiền 48 Khóa luận tốt nghiệp ( x3  2)  x6  3x3   y  x6  2x3   ( x3  1) Þ x   y  x  (vơ lí) +Với x  1, y  1: phương trình vơ nghiệm Vậy phương trình có hai nghiệm ngun (0,1) (0, -1) Bài 3: Cho ( ) ( ) hai mặt phẳng song song với Giả sử ( ) Ç ( ) = Do Ì( )Þ( )≠( ) Þ Hoặc ( ) // ( ) ( ) Ç ( ) Chứng minh xảy trường hợp ( ) Ç ( ) Bài 4: Hai mặt phẳng ( ) ( ) khơng thể C trùng ( ) ≡ ( ) từ điểm ta dựng hai đường thẳng vng góc với , mặt phẳng, điều vơ lí (hình vẽ) Mặt khác ( ) ( ) song song với ( ) // ( ) từ Þ  ( ) Như từ điểm   B A ( ) ta dựng hai đường thẳng vng góc với ( ), điều vơ lí Vậy ( ) ( ) hai mặt phẳng , không trùng nhau, không song song với ( ) ( ) phải cắt nhau, gọi = ( ) Ç ( ) Bùi Thị Thu Hiền 49 Khóa luận tốt nghiệp Ì( ) Þ ( ) Ì( ) Þ ( ) Có  Þ  ( ) a b  b c  c a  (a  b  c ) Bài 5: Û a  2(b2  c )a  (b2  c )  (1) Từ (1) ta suy tam thức: f (a )  a  2(b2  c )a  (b2  c ) 2 2 Có hai nghiệm phân biệt: a  (b  c )  2bc  (b  c) Ta có: Û a2  (b  c)2 a  (b  c)2   Û(a  b  c)(a  b  c)(a  b  c)(a  b  c)  Û(a  b  c)(b  c  a)(a  b  c)(a  b  c)  (2) Vì a  b  c  đó: - Hoặc thừa số a  b  c , a  b  c ,  a  b  c dương nghĩa a , b , c thoả mãn bất đẳng thức tam giác - Hoặc thừa số âm, thừa số dương  a  b  c  Û 2b  (vơ lí)    a b c  Giả sử  Vậy có khả thứ xảy nghĩa chọn a , b , c làm ba cạnh tam giác Ngược lại , , ba cạnh tam giác thì:  a  b  c  0, a  b  c  0, a  b  c  Þ (2) thoả mãn (1) thoả mãn Bùi Thị Thu Hiền 50 Khóa luận tốt nghiệp KẾT LUẬN CHƯƠNG Trong chương lựa chọn đưa số ví dụ điển hình minh hoạ cho dạng tốn chứng minh sử dụng phương pháp chứng minh phản chứng hay phương pháp chứng minh loại dần Tuy nhiên, việc phân dạng nhằm giúp cho việc nhận thức học sinh dạng tốn mang tính hệ thống logic Đồng thời giúp nâng cao khả lập luận tư logic, lí luận chặt chẽ, trình bày hợp lí, khoa học tốn, giúp rèn luyện khả suy luận chứng minh Qua tập cụ thể học sinh củng cố, hệ thống lại kiến thức có liên quan Từ học sinh biết xâu chuỗi, gắn kết toán dạng tập, hiểu vận dụng dễ dàng việc sử dụng phương pháp trình giải để tìm cách giải tối ưu cho tập Bùi Thị Thu Hiền 51 Khóa luận tốt nghiệp C KẾT LUẬN Đề tài nghiên cứu “Phương pháp chứng minh phản chứng phương pháp chứng minh loại dần chương trình tốn phổ thông” đạt kết sau:  Làm rõ sở lí luận phương pháp chứng minh trực tiếp phương pháp chứng loại dần  Cung cấp số tập sử dụng phương pháp chứng minh phản chứng phương pháp chứng minh loại dần Hiện nay, việc sử dụng hai phương pháp chứng minh phản chứng chứng minh loại dần sử dụng dạy trường phổ thông, nhiều việc áp dụng hai phương pháp giúp cho tốn trở nên hồn hảo hơn, với nhiều cách giải Thơng qua việc sử dụng hai phương pháp vào giải số tập phần giúp người học nhận thức khả suy luận chứng minh, thấy hay, đẹp việc chứng minh tốn, từ khắc phục tâm lí “sợ” tập chứng minh Tuy nhiên lần đầu nghiên cứu đề tài, thời gian có hạn lực thân hạn chế, mức độ nghiên cứu chưa sâu nên đề tài không tránh khỏi nhiều sai sót Tơi mong nhận ý kiến đóng góp bổ sung thầy giáo bạn để đề tài hoàn thiện Bùi Thị Thu Hiền 52 Khóa luận tốt nghiệp D TÀI LIỆU THAM KHẢO Bộ Giáo dục Đào tạo, 2010, Hình học lớp 11, Nxb Giáo dục Việt Nam Bộ Giáo dục Đào tạo, 2010, Bài tập Hình học lớp 11, Nxb Giáo dục Việt Nam Vũ Hữu Bình, 2006, Nâng cao phát triển Toán 8, Hà Nội, Nxb Giáo dục Việt Nam Nguyễn Hữu Điễn, Phương pháp chứng minh phản chứng, www.vietmaths.com Hàn Liên Hải, Phan Huy Khải, 2000, Tốn bồi dưỡng học sinh Trung học phổ thơng, Hà Nội, Nxb Đại học Quốc gia Hà Nội Phan Huy Khải, 2001, 500 toán chọn lọc bất đẳng thức, Hà Nội, Nxb Đại học Quốc gia Hà Nội Võ Đại Mau, 2000, Phương pháp giải toán bất đẳng thức, Hà Nội, Nxb Trẻ Lê Duy Ninh, 2001, Dạy học suy luận chứng minh, Hà Nội, Đại học Sư Phạm Hà Nội Bùi Thị Thu Hiền 53 ... lý luận phương pháp chứng minh phản chứng chứng minh loại dần - Nghiên cứu số toán sử dụng phương pháp chứng minh phản chứng phương pháp chứng minh loại dần - Vận dụng phương pháp chứng minh phản. .. chọn đề tài “PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH PHẢN CHỨNG VÀ CHỨNG MINH LOẠI DẦN TRONG TOÁN PHỔ THƠNG” MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Tìm hiểu phương pháp chứng minh phản chứng chứng minh loại dần tốn phổ thơng thơng... minh phản chứng loại dần vào giải số toán ĐỐI TƯỢNG, PHẠM VI NGHIÊN CỨU - Đối tượng nghiên cứu: Các toán sử dụng phương pháp chứng minh phản chứng phương pháp chứng minh loại dần - Phạm vi nghiên