Tóm tắt Luận văn Thạc sĩ Toán giải tích: Phương pháp Quasi-Boundary Value và phần tử hữu hạn áp dụng vào bài toán nhiệt ngược thời gian

Tóm tắt Luận văn Thạc sĩ Toán giải tích: Phương pháp Quasi-Boundary Value và phần tử hữu hạn áp dụng vào bài toán nhiệt ngược thời gian nêu lên tổng quan bài toán; chỉnh hóa bài toán nhiệt ngược thời gian; một số phương pháp tính số.

-

NGUYỄN PHI PHÚC

PHƯƠNG PHÁP QUASI-BOUNDARY VALUE VÀ PHẦN TỬ HỮU HẠN ÁP DỤNG VÀO

BÀI TOÁN NHIỆT NGƯỢC THỜI GIAN

Chuyên ngành : Toán Giải Tích Mã số : 60 46 01

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN GIẢI TÍCH

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC : PGS.TS.Đặng Đức Trọng

Thành Phố Hồ Chí Minh - 2006

Hiện nay công cụ tính toán phát triển một cách mạnh mẽ đã làm thay đổi nhiều quan điểm về khả năng giải được trong thực tế của những bài toán khác nhau Nhiều thuật toán trước đây không thể chấp nhận vì khối lượng tính toán quá lớn thì ngày nay hoàn toàn thực hiện được một cách hiệu quả Nhiều bài toán thuộc lĩnh vực ứng dụng, đặc biệt là các bài toán không chỉnh xuất hiện trong các lĩnh vực vật lý, kinh tế, y khoa, thăm dò, hồi phục, nhận dạng v.v… đã được giải bằng những thuật toán hữu hiệu Đây là lĩnh vực toán học hết sức sâu rộng, thực tiễn, hứng thú, rất nhiều người quan tâm và đạt nhiều thành tựu

Trong luận văn này, chúng tôi trình bày việc chỉnh hoá bài toán nhiệt ngược thời gian, một bài toán không chỉnh trong lĩnh vực vật lý ứng dụng bằng phương pháp Quasi-Boundary value và phần tử hữu hạn, đồng thời cũng trình bày một số phương pháp tính số có thuật toán hữu hiệu để giải

Luận văn này ngoài lời nói đầu, phần kết luận, phần tài liệu tham khảo và phần mục lục sẽ được trình bày trong 4 chương:

Chương 1 là phần tổng quan về bài toán, trình bày sơ lược về lịch sử vấn đề

Chương 2 là phần trình bày các ký hiệu và nhắc lại một số kiến thức cần thiết để thuận tiện cho việc theo dõi các phần tiếp theo

Chương 3 là phần trình bày việc chỉnh hoá bài toán nhiệt ngược thời gian Chương 4 là phần trình bày một số phương pháp tính số

Cuối cùng, tôi xin chân thành cảm ơn PGS TS Đặng Đức Trọng người đã

tận tình hướng dẫn tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn Mặc

dù bận nhiều công việc nhưng thầy vẫn dành rất nhiều thời gian để hướng dẫn

tôi hoàn thành luận văn này Tôi cũng xin cảm ơn đến quý thầy côâ tham gia

giảng dạy cao học khoá 14, những người đã truyền đạt những kiến thức quý báu

cho tôi Sau cùng, không thể không nhắc đến bạn bè, người thân những người đã

luôn khuyến khích, động viên tôi trong quá trình học tập, tôi xin cảm ơn vì điều

đó

TP HCM, ngày 15 tháng 6 năm 2006

Tác giả luận văn

Lời nói đầu

Mục lục Chương 1 PHẦN TỔNG QUAN 1

Chương 2 CÁC KÝ HIỆU VÀ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 6

2.1 Không gian Hilbert ……… ……….…6

2.2 Nửa nhóm liên tục……… ……….… 11

2.3 Không gian phần tử hữu hạn .……… ……14

2.3.1 xây dựng không gian phần tử hữu hạn ……… ……… …………14

2.3.2 Đánh giá sự hội tụ phần tử hữu hạn ……… … … ….18

2.4 Ký hiệu ……… ……… ……….…19

2.4.1 Ký hiệu hình học ……… ……… 19

2.4.2 Ký hiệu các không gian hàm ……….……….……… 19

2.4.3 Ký hiệu các ước lượng……… …21

Chương 3 CÁC KẾT QUẢ CHỈNH HOÁ 21

3.1 Các kết quả chỉnh hoá bài toán QBVP ……… 22

3.2 Phát biểu lại bài toán và đánh giá sai số chỉnh hoá ……… 32

Chương 4 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH SỐ 44

4.1 Phương pháp sử dụng giá trị riêng và véc tơ riêng xấp xỉ số…… 44

4.2 Xấp xỉ số qua lặp Conjugate gradient ……… 47

4.3 Đánh giá sai số ……….……… 52 Kết luận

Tài liệu tham khảo

Chương 1 PHẦN TỔNG QUAN

Trước tiên chúng ta nhắc lại khái niệm về bài toán chỉnh và không chỉnh

Định nghĩa (Hadamard 1923) Một bài toán được gọi là chỉnh nếu nghiệm

i) Tồn tại,

ii) Là duy nhất,

iii) Phụ thuộc liên tục vào dữ liệu ban đầu (Tính chất ổn định)

Và một bài toán được gọi là không chỉnh nếu nó vi phạm một trong 3 tính chất trên

Ở đây tính chất iii) là quan trọng đối với những bài toán thực tế, vì vậy để

chỉnh hoá bài toán điều mong muốn là nghiệm sẽ ít thay đổi nếu các dữ liệu của bài toán cũng thay đổi ít

Trong luận văn này, chúng tôi xét bài toán nhiệt ngược thời gian cho bởi

với A là một toán tử tự liên hợp dương, không bị chặn trong không gian Hilbert

H sao cho –A sinh ra một nửa nhóm co compắc trên H, và 0 thuộc tập giải của –

A (0∈ρ(-A)), t là thời gian, T là thời gian cuối cho trước, hàm dữ liệu f cho trước trong H, u : [0, T] → H là lời giải cần tìm

Bài toán trên là bài toán không chỉnh, bởi vì, ngay cả khi tồn tại lời giải duy

nhất trên [0, T] thì lời giải này cũng không chắc phụ thuộc liên tục theo f Thật

vậy, xét bài toán nhiệt cho bởi

nghiệm chính xác của (*) là

nghiệm tương ứng của (*) với giá trị cuối f (x) n là

0 1

0

02

2 n

Vậy (*) là bài toán không chỉnh do vi phạm tính chất iii)

Việc xây dựng hàm xấp xỉ ổn định nghiệm của bài toán nhiệt ngược là một trường hợp riêng của vấn đề chỉnh hoá các bài toán không chỉnh

Ta sẽ nêu khái niệm chính xác của việc chỉnh hoá của bài toán không chỉnh Xét phương trình

Au= f, u D(A) X, f Y∈ ⊂ ∈

Trong đó X, Y là các không gian mê tríc và A: D(A)→Ylà một toán tử

Ta nói u 0∈D(A) là nghiệm chính xác của bài toán tương ứng với giá trị dữ liệu chính xác f 0 nếu Au0 = f0

Toán tử Rα : Y →X phụ thuộc vào tham số α∈ \ (được gọi là tham số chỉnh hoá) là một toán tử chỉnh hoá nếu

a) R fα → u khi α → 0,

b) Với mọi δ > 0, tồn tại ω δ α δ( ), ( )→0 sao cho

d X (Rα δ( )f, u 0)≤ω δ( )

nếu

d Y(f, f 0)≤δ, f ∈Y.

Phần tử uδ =Rα δ( )f gọi là nghiệm chỉnh hoá của bài toán

Bài toán (FVP) đã được nhiều tác giả chỉnh hoá bằng nhiều bài toán chỉnh khác Lattes và Lions [9], Miller [11], Payne [13], Huang và Zheng [6], và

Lavrentiev [10] đã xấp xỉ (FVP) bằng cách làm nhiễu toán tử A Nghiên cứu

này gọi là phương pháp Quasi-Reversibility Ý tưởng chính của phương pháp này là nhiễu phương trình trong bài toán không chỉnh để thu được bài toán chỉnh, rồi dùng nghiệm của bài toán chỉnh như là một nghiệm xấp xỉ của bài toán không chỉnh Trong [9] Lattes và Lions chỉnh hoá bài toán trên bởi bài toán

ý tưởng của Showalter, Clark và Oppenheimer [3] đã dùng phương pháp Boundary để chỉnh hoá bài toán ngược thời gian với nghiệm chỉnh hoá thoả

0 00

ở đây, –A là toán tử sinh của nửa nhóm giải tích trong không gian Banach Tuy

nhiên, họ chưa đưa ra công thức đánh giá sai số và hiệu quả của các phương pháp để tính toán

Trong luận văn này chúng tôi sử dụng phương pháp Quasi-Boundary value tương tự như Showalter đã làm nhưng trong điều kiện tổng quát hơn Ở đây chúng ta làm nhiễu điều kiện cuối Điều này đưa ra bài toán Quasi-Boundary value (QBVP) sau

với α là một số dương nhỏ, toán tử A có một tập trực giao gồm các hàm véc tơ

riêng qi với các giá trị riêng λi > 0, sao cho { }q i là một cơ sở của H Khi đó ta có thể biểu diễn f trong (FVP) dưới dạng f =

0

i i i

Clark và Oppenheimer [3] phần đánh giá sai số Hiển nhiên trước khi chúng ta tìm hiểu về sự bổ sung này và tính đúng đắn của một cách lấy xấp xỉ, thì đầu tiên chúng ta phải trả lời câu hỏi “ Có tồn tại một xấp xỉ không?” Câu trả lời là có khi và chỉ khi 2 2

1

i

T i i

Chương 2 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ VÀ CÁC KÝ HIỆU

Trong chương này, chúng tôi qui ước một số ký hiệu và nêu lại một số kiến thức chuẩn bị cần thiết được sử dụng đến trong các chương sau

2.1 Không gian Hilbert

Cho X là một không gian tuyến tính thực

Định nghĩa 2.1.1 Ánh xạ :X →[0,∞ gọi là chuẩn nếu thoả )

i) + ≤ u v u + v , u,v X, ∀ ∈

ii) λ = λ u u , u X,∀ ∈ λ ∈ ,

iii) u ≥ ∀ ∈0, u X; u = ⇔ =0 u 0 .

Không gian tuyến tính trang bị chuẩn gọi là không gian tuyến tính định chuẩn

Từ đây về sau ta giả sử X là không gian tuyến tính định chuẩn

Định nghĩa 2.1.2 Ta nói dãy { }u n n∞1

Định nghĩa 2.1.3 Ta nói dãy { }u n n∞1

= ⊂ X là một dãy Cauchy nếu với mọi ε> 0,

Cho H là một không gian tuyến tính thực

Định nghĩa 2.1.7 Ánh xạ ( ) , : × → gọi là tích vô hướng nếu thoả H H

i) ( ) ( )u,v = v,u , ∀u,v H ,∈

ii) (u v,w+ ) (= u,w) ( )+ v,w , u,v,w H , ∀ ∈

iii) (λu,v)= λ( )u,v , ∀u,v H ,∈ λ ∈ ,

iv) ( )u u, ≥0, ∀ ∈ ; u H ( )u u, = ⇔ =0 u 0

)

Nếu ( , là tích vô hướng thì chuẩn tương ứng với nó là u =( )u u, 12

Định nghĩa 2.1.8 Không gian Hilbert là một không gian Banach với chuẩn được

sinh ra bởi một tích vô hướng

Từ đây về sau ta giả sử H là không gian Hilbert

Định nghĩa 2.1.9 Hai phần tử u, v của H gọi là trực giao với nhau nếu ( )u v, = 0

Khi đó, ta viết u v ⊥

Định nghĩa 2.1.10 Hai tập hợp con M, N của H gọi là trực giao với nhau nếu mỗi

phần tử của M trực giao với mỗi phần tử của N Khi đó, ta viết M N⊥

Định nghĩa 2.1.11 Phần tử u của H gọi là trực giao với tập hợp con M của H nếu

u trực giao với mọi phần tử của M Khi đó, ta viết u M⊥

Định nghĩa 2.1.12 Dãy { }u n n∞=1gọi là hệ trực giao trong không gian H nếu các phần tử của dãy đôi một trực giao với nhau

Tính chất 2.1.13 Cho H là không gian Hilbert, u u v v v, , , ,n i n∈H.

Ta có

n

i n

n n

Định lý 2.1.14 M là một không gian con đóng của H thì mỗi phần tử x của H

được biểu diễn duy nhất dưới dạng x=y+z với y∈M, z∈M⊥ và

u M

x y inf x u

∈

° y gọi là hình chiếu trực giao của x lên không gian con M

° Toán tử P : H → M xác định bởi Px y= gọi là toán tử chiếu lên M và là

toán tử tuyến tính liên tục, P 1=

Định nghĩa 2.1.15 Dãy { }e n gọi là hệ trực chuẩn trong không gian H nếu

Tính chất 2.1.16 { }e n là hệ trực chuẩn trong không gian H Khi đó với u H ∈

a) Phần tử n ( i) i là hình chiếu trực giao của u lên không gian sinh

Định nghĩa 2.1.17. Hệ trực chuẩn { }e n n∞1

= gọi là cơ sở trực chuẩn trong không gian

H nếu mọi véc tơ trực giao với hệ đều bằng 0 (tức là

)

n

u e⊥ , 1, ∀ =n 2, ⇒ =u 0

Định nghĩa 2.1.19 Toán tử A : H →H tuyến tính liên tục , toán tử liên hợp của nó là A : H∗ →H thỏa mãn Au, v( )=(u, A v , u, v H ∗ ) ∀ ∈

Định nghĩa 2.1.20 Toán tử A : H →H tuyến tính liên tục , A gọi là tự liên hợp nếu A A= ∗, nói cách khác A tự liên hợp khi và chỉ khi

(Au, v) (= u, Av , u, v H.) ∀ ∈

° Toán tử chiếu lên không gian con M là toán tử P biến mỗi u thành hình chiếu

Pu của nó lên M là tự liên hợp Thật vậy,

(Pu, v) (= u', v) (= u', v') (= u, v') (= u, Pv)

°A , B tự liên hợp thì A-1, A+ B, I, αA (α∈ ) là các toán tử tự liên hợp

Định nghĩa 2.1.21 Toán tử A : H →H tuyến tính liên tục , A gọi là toán tử đối xứng nếu ∀u, v H ta có Au, v∈ ( ) (= u, Av)

° Toán tử tự liên hợp là toán tử đối xứng

° Nếu A là toán tử đối xứng thì mọi giá trị riêng đều là số thực và các véc tơ riêng của A ứng với 2 giá trị riêng khác nhau bao giờ cũng trực giao

°H là không gian n chiều, { }e i i n=1, hệ n véc tơ riêng của toán tử đối xứng A ứng

với cacù giá trị riêng λi làm thành cơ sở trực chuẩn và với mọi u thuộc H ta có

Hệ quả 2.1.24 Nếu A tự liên hợp, khác 0

Thì σ (A) và A m hoặc A M≠ ∅ = =

Định nghĩa 2.1.25 Toán tử A : H →H gọi là xác định dương nếu

Với mọi A B H, : →H là toán tử tuyến tính liên tục

°A compắc, B liên tục thì AB, BA compắc

°A compắc thì A AA A A∗, ∗, ∗ compắc

°Tập hợp các giá trị riêng của toán tử compắc, đối xứng là hữu hạn, hoặc đếm được và nếu đếm được thì lập thành một dãy hội tụ về không

°Nếu H tách được thì mọi toán tử compắc, đối xứng đều có một cơ sở trực chuẩn véc tơ riêng

°Toán tử Fredhom là toán tử compắc trong L2[a b]

2.2 Nửa nhóm liên tục [12]

Định nghĩa 2.2.1 Một họ { }S t( ) t≥0các toán tử xác định với mỗi giá trị tham số

t ≥ 0 và thỏa các điều kiện sau :

a) S t X( ) : → X là một toán tử tuyến tính bị chặn, X là không gian Banach,

Định nghĩa 2.2.2 Nửa nhóm liên tục mạnh { }S t( ) t≥0gọi là nửa nhóm liên tục đều nếu +

t lim S t I

0 ( ) 0 , là chuẩn trên L(X)

Mệnh đề 2.2.3 Điều kiện cần và đủ để nửa nhóm { }S t( ) t≥0 là C 0 - nửa nhóm là tồn tại δ >0, M ≥ 1 và một tập con trù mật D⊂ X sao cho thỏa 2 điều kiện sau : i) S(t) ≤M, t∀ ∈[ ]0, δ ,

Mệnh đề 2.2.4 Đối với mỗi họ { }S t( ) t≥0 C 0 - nửa nhóm luôn tồn tại hằng số

ω∈ và M≥ 1 sao cho S(t) ≤Me t 0ωt, ∀ ≥

Định nghĩa 2.2.5 Toán tử sinh A D A: ( )⊆ →X X của C 0 - nửa nhóm { }S t( ) t≥0

trên không gian Banach X là toán tử định bởi

x thuộc miền xác định

⎬ là nửa nhóm liên tục đều

Tính chất 2.2.7 A là toán tử sinh của C 0 - nửa nhóm { }S t( ) t≥0

i) ⊆ → A D A: ( ) X X là toán tử tuyến tính,

ii) Nếu x∈ D(A) thì S(t)x ∈ D(A) và d S(t)x=S(t)Ax=AS(t)x, t 0

t 0

t 0, x X ta có S(s)xds D(A)∀ ≥ ∈ ∫ ∈

iv) ∀ ≥t 0 ta co ù

0 t 0

A S(s)xds nếu x X, S(t)x-x=

S(s)Axds nếu x D(A).

(b) Miền xác định D(A) là đóng trong X

(c) { }S t( ) t≥0là nửa nhóm liên tục đều

Trong mỗi trường hợp, nửa nhóm được cho bởi ( )n

tA n

(a) A là toán tử sinh nửa nhóm liên tục co

(b) A là toán tử đóng, miền xác định D(A) trù mật trong X và với mỗi λ>0

λ

Ơû đây

A = A

ρ σ và R , A(λ ) (λ A)−

: là toán tử tuyến tính từ X vào X.

Mệnh đề 2.2.12 A D A: ( )⊆H →H là toán tử tự liên hợp trong không gian Hilbert H sinh nửa nhóm liên tục mạnh nếu và chỉ nếu

(a) { }S t( ) t≥0 nửa nhóm compắc

(b) Hàm t S t() liên tục từ (0, + ∞) vào L(X), và toán tử sinh của

{ }S t( ) t≥0 có tập giải compắc

2.3 Không gian phần tử hữu hạn [2]

2.3.1 Xây dựng không gian phần tử hữu hạn

Định nghĩa 2.3.1.1 (Ciarlet 1978) Cho

(i) là tập đóng, bị chặn với phần trong không rỗng và biên trơn từng mẫu ( miền phần tử),

Định nghĩa 2.3.1.2 Cho (K, P, N) là phần tử hữu hạn Cơ cở {φ φ1 , , , 2 φk}

của P đối ngẫu với N (nghĩa là, N ( ) i φj =δij) được gọi là cơ sở nút của P

Ví dụ 2.3.1.3 (phần tử Lagrange 1 chiều) Cho K = [0, 1], P là tập hợp tất cả các đa thức tuyến tính, N = {N , N 1 2}, với N (v)=v(0), N (v)=v(1) 1 2 ∀ ∈v P Khi đó (K, P, N) là phần tử hữu hạn và cơ sở nút là φ1 (x) 1-x, (x) x= φ2 = Tổng quát, cho K=[a, b], Pk là tập tất cả các đa thức có bậc bé hơn hoặc

bằng k, Nk = {N ,N ,N , ,N 0 1 2 k}, với N (v)=v a+(b-a) i i

Khi đó (K, Pk , N k) là phần tử hữu hạn

Bổ đề 2.3.1.4 Cho P là không gian véc tơ d chiều, {N ,N , ,N 1 2 d}là tập con của không gian đối ngẫu P’. Khi đó 2 khẳng định sau là tương đương

(a) {N ,N , ,N 1 2 d}là cơ sở của P’.

(b) Cho v∈P với N (v)=0 i , I = 1, 2,…, d, khi đó v 0≡

Định nghĩa 2.3.1.5 Cho (K, P, N) là phần tử hữu hạn, tập {φ φ1 , , , 2 φk}⊆P

là cơ sở đối ngẫu với N và v∈P, N ∈ i N, N (v) i xác định với mọii = 1, 2, …, k

Khi đó, phép nội suy địa phương được xác định bởi

Định nghĩa 2.3.1.9 Một phép phân hoạch của miền Ω là tập hợp hữu hạn các miền phần tử { }K i sao cho

(1) intK i ∩intK j = ∅ nếu i j, ≠

(2) ∪K = Ω i

Định nghĩa 2.3.1.10 Giả sử Ω là một miền với phép phân hoạch T Giả sử mỗi K của miền phần tử được trang bị loại dạng hàm P và các biến nút N sao cho (K, P, N) tạo thành một phần tử hữu hạn Cho m là bậc cao nhất của đạo hàm riêng nằm trong mỗi biến nút Với f C∈ m( )Ω , phép nội suy toàn cục được

xác định bởi I f T ⎪ =K i I f K i với mọi K T i ∈

Định nghĩa 2.3.1.11 Một phép nội suy được gọi là liên tục bậc r nếu

Định nghĩa 2.3.1.14. được gọi là dạng hình sao đối với quả cầu B nếu với mọi x∈ Ω, bao của {

Định lý 2.3.1.18. Cho { }T , h 0 < ≤h 1 , là một họ không suy biến của các phép phân hoạch miền đa diện và (K, P, N)Ω là phần tử hữu hạn thoả 3 điều kiện

(i) K laø daïng sao ñoái vôùi moät soá quaû caàu,

C K laø khoâng gian ñoái ngaãu cuûa C K ); l( )

Ñoàng thôøi ñoái vôùi moïi T T ,∈ h 0< ≤h 1, (T , P T , NT) laø phaàn töû töông ñöông

afin

Khi ñoù, toàn taïi moät haèng soá döông C phuï thuoäc vaøo (K, P, N), n, m, p vaø

soá ρ trong (2.3.1.16) sao cho ñoái vôùi 0 ≤ ≤s m ta coù

p h

/ p p

p W

2.3.2 Ñaùnh giaù söï hoäi tuï phaàn töû höõu haïn

Giaû söû (H, (.,.)) laø khoâng gian Hilbert, V laø khoâng gian con (ñoùng) cuûa H,

ặ,.) song tuyeán tính treân V (khoâng nhaát thieát ñoái xöùng), ặ,.) lieân tuïc (bò chaën),

Baøi toaùn bieán phaân : Cho F V'∈ (V’ laø khoâng gian ñoái ngaãu cuûa V), tìm

sao cho ău, v) = F(v),

2.3.2.4 Ñònh lyù (Lax-Milgram) Cho (V, (.,.)) khoâng gian Hilbert, ặ,.) song

tuyeán tính cöôõng böùc, lieân tuïc vaø moät haøm tuyeán tính lieân tuïc Khi ñoù toàn

taïi duy nhaát u

F V'∈

V

∈ sao cho ău, v) = F(v), ∀ ∈v V

2.3.2.5 Heä quaû Vôùi ñieàu kieän (2.3.2.1) baøi toaùn bieán phaân (2.3.2.2) coù nghieäm

duy nhaát

2.3.2.6 Heä quaû. Vôùi ñieàu kieän (2.3.2.1) baøi toaùn bieán phaân xaáp xæ (2.3.2.3) coù

nghieäm duy nhaát

2.3.2.7 Ñònh lyù (Ceùa) Giaû söû ñieàu kieän (2.3.2.1) laø thoaû maõn vaø u laø lôøi giaûi

baøi toaùn bieán phaân (2.3.2.2), laø lôøi giaûi baøi toaùn bieán phaân xaáp xæ (2.3.2.3) Khi ñoù,

h u

ôû ñaây c laø haèng soá lieân tuïc, α laø haèng soá cöôõng böùc cuûa ặ,.) treân V

Xeùt u H ( )∈ m Ω vaø u h∈V hlaàn luôït nghieäm baøi toaùn bieán phaân, baøi toaùn

bieán phaân xaáp xæ thoaû (ñònh lí Ceùa)

h H ( ) o H ( ) u-u Ω ≤C inf u-v Ω (2.3.2.8) Giaû söû coù moät pheùp noäi suy h

2.4 Kyù hieäu

2.4.1 Kyù hieäu hình hoïc

i) nlaø khoâng gian Euclide thöïc n chieàu, 1 =

ii) e i =(0, , , , , 1 0 0) laø veùc tô toïa ñoä ñôn vò thöù ị

iii) moät ñieåm thuoäc n laø x =(x , x , , x1 2 n)

iv) Ωlaø taäp môû cuûa n, ∂Ω laø bieân cuûa Ω, Ω = Ω ∪ ∂Ω laø bao ñoùng cuûa Ω

2.4.2 Kyù hieäu caùc khoâng gian haøm

i) Kyù hieäu ña chæ soá

°Một véc tơ có dạng α =(α α1, 2, , αn) trong đó mỗi thành phần αi là một số nguyên không âm được gọi là đa chỉ số;

α α α

α ≤ Ω

α Ω

1/p p L k

W

L k

D u , 1 p< , u

Ω

α Ω

1/p p L

=k W

L k

D u , 1 p< , u

max D u , p=

vi) W2r( )Ω =H r( )Ω ={v L∈ 2( ) :Ω D v Lα ∈ 2( )Ω , α ≤r} với m là số nguyên, r≥1 là không gian Sobolev cấp r trên Ω, trang bị trên một tích vô hướng ký hiệu

lúc đó H Ω r( ) là không gian Hilbert tách được với tích vô hướng trên

vii) H Ω1( ) là không gian Hilbert tách được với tích vô hướng

= Ω

Hilbert tách được, đồng hời

2.4.3 Ký hiệu các ước lượng

i) Hằng số C ta dùng để ký hiệu các hằng số trong các biểu thức của các đại lượng đã biết Giá trị chính xác được ký hiệu bởi C vẫn có thể thay đổi từ dòng này sang dòng khác trong một phép tính xác định

ii) f, g Biến thiên đồng bậc ta viết f (g)= O khi x→ x0 nếu tồn tại hằng C sao cho ( )f x ≤C g x( ) , với mọi x đủ gần x0

Chương 3 CÁC KẾT QUẢ CHỈNH HOÁ

Trong chương này gồm 2 mục, mục 3.1 chúng tôi nghiên cứu một điều kiện cần và đủ để bài toán (FVP) có nghiệm, khẳng định (QBVP) là bài toán chỉnh và mục 3.2 nghiên cứu các điều kiện để nghiệm bài toán (QBVP) là xấp xỉ của (FVP)

3.1 Các kết quả chỉnh hóa bài toán QBVP [1]

Cho A là một toán tử tự liên hợp trong không gian Hilbert tách H sao cho –A sinh ra một nửa nhóm co compắc S(t) trên H, và 0 thuộc tập giải của –A

(0∈ρ(-A)), A-1 là compắc, với { } là cơ sở trực chuẩn gồm các hàm véc tơ riêng

của H và các giá trị riêng

n φ n

λ φ n Các giá trị riêng

của –A là và của S(t) là Đặc biệt, mỗi số dương α, αI + S(T) khả

=

i

i i T i

φ φ

i i

T

i i i

T i i

2 1

λ λ φ

Và ta có

u

I S(T ) sup I S(T) u

u i

a sup

Bổ đề sau cho một điều kiện cần và đủ để bài toán FVP có nghiệm

Bổ đề 3.1.1 Nếu thì

u(T)= f.

có nghiệm khi và chỉ khi T i hội tụ

i i

b e

∞

=

∑ 2 2 1

Ta định nghĩa u(t)= , lấy u là một nghiệm của (FVP) thì u(0) có khai triển theo các hàm riêng là u(0)= và

i

(T t )

i i i

Và nó phụ thuộc liên tục vào f

Chứng minh. Ta để ý: –A là toán tử vi phân sinh ra nửa nhóm co S(t)

S(t)x x

D A x X : lim tồn tại ,

t S( ) I ,

Vậy là nghiệm của (QBVP)

liên tục vào f trong H, thật vậy:

Định lý 3.1.4 f∈H, α >0, t∈[0,T] Khi đó: u (t) α ≤α t T−T f

Chứng minh ∀ ∈ =∑ i i φ Khi đó

i i T i

i

i T

α

φ α

φ α

1

−

i i

t i

i T

i

b e . e

t i

i T i

i i

2 1

2 2

2 1

α

i i

2 1 2

2 1

2 1 2

2

2 1

1

2 1 2 1

( )

i t

b2 1 2 1

b 1

2 2

2 2 1

f

2 2

λ λ

i

e = b ( − )

e

b ( e )

λ λ λ

φα

α

εα

N T i i

1

i i

Nhận xét: Từ định lý ta thấy ngay khi (FVP) không có nghiệm, nghiệm chỉnh

hoá tại vẫn hội tụ về f y n iên ở ây kh âng có tốc độ hội tu

hội tụ ong H Hơn nữa, ta co hội tụ đều theo t về u(t) khi

Lấy u(t) = S(t)u 0,

ααα

0

1 0

0

1 0

10

°u (t)α hội tụ đều theo t đến u(t)

ả s là nghiệm (FVP)