Tóm tắt luận văn Thạc sĩ Toán học: Phương pháp giải tích biến phân cho bài toán Fermat – Torricelli suy rộng

Luận văn trình bày các kết quả của B. Mordukhovich và N. M. Nam đăng trên tạp chí J. Optim. Theory Appl. 148 (2011), 431-454, giải bài toán Fermat - Torricelli suy rộng cho hữu hạn tập đóng về điều kiện tối ưu cho điểm Fermat - Torricelli suy rộng và từ đó xây dựng thuật toán dưới gradient để xác định điểm Fermat - Torricelli.

B ăGIỄOăD CăVÀă ÀOăT O TR NGă IăH CăTH NGăLONG NGUY NăTH ăGIANG PH NGăPHỄPăGI IăTÍCHăBI NăPHÂNăCHOăBÀIăTOỄNă FERMAT – TORRICELLIăSUYăR NG TÓMăT TăLU NăV NăTH CăS ăTOỄNăH C Chuyên ngành: Ph ng pháp toán s c p Mã s : 46 01 13 HÀăN I,ă2018 Cơngătrìnhăđ căhồnăthànhăt i: Tr ngăđ iăh căTh ngăLong NG IăH NGăD NăKHOAăH C PGS.TS.ă ăV NăL U Ph năbi nă1: TS Nguy n t ng Ph năbi nă2: TS Nguy n Công S Lu n v n đ c b o v tr Tr c H i đ ng ch m lu n v n t i: ng đ i h c Th ng Long Vào h i 14 gi 00 ngày 28 tháng 12 n m 2018 Mở đầu Lí chọn đề tài Vào đầu kỷ 17, nhà toán học Pháp Pierre de Fermat (1601-1665) đặt toán sau đây:" Cho trước ba điểm mặt phẳng Tìm điểm thứ tư cho tổng khoảng cách Euclid từ điểm tới ba điểm cho nhỏ nhất." Bài toán Fermat Evangelista Torricelli (1608-1646) giải từ tốn gọi tốn Fermat - Torricelli Lời giải Torricelli cho toán Fermat - Torricelli sau: Nếu góc tam giác nhỏ 120o điểm cần tìm điểm tam giác nhìn cạnh tam giác góc 1200 Nếu góc tam giác khơng nhỏ 120o đỉnh góc lớn lời giải toán Điểm gọi điểm Fermat-Torricelli Torricelli giải tốn phương pháp hình học sau (Hình 1): Ba điểm cho trước A, B, C Ta dựng tam giác ∆ABD, ∆BCE, ∆ACF phía ngồi ∆ABC Dựng đường trịn ngoại tiếp tam giác ∆ABD, ∆BCE, ∆ACF Ba đường tròn cắt điểm P Điểm P điểm Fermat - Torricelli Hình 1: Cách dựng điểm Torricelli Vào kỷ 19 Jakob Steiner mở rộng toán cho số hữu hạn điểm mặt phẳng N M Nam, N Hoang N.T An [5] sử dụng vi phân hàm lồi để nghiên cứu tốn Fermat - Torricelli suy rộng, điểm thay hình cầu Euclid Như vậy, toán xét [5] gồm số hữu hạn tập lồi công cụ sử dụng vi phân hàm lồi Luận văn cao học H.T.T Linh [2] trình bày cách giải tốn Fermat - Torricelli với hữu hạn hình cầu Euclid công cụ vi phân hàm lồi Chú ý hình cầu Euclid tập lồi B Mordukhovich N M Nam [3] sử dụng vi phân Mordukhovich để nghiên cứu toán Fermat - Torricelli suy rộng, thay điểm tập đóng, phương pháp giải tích biến phân Như vậy, toán xét [3] gồm hữu hạn tập đóng khơng thiết lồi, cơng cụ sử dụng vi phân Mordukhovich B Mordukhovich N M Nam [3] nghiên cứu thiết lập điều kiện tối ưu toán Fermat - Torricelli sử dụng kết để xác định điểm Fermat - Torricelli thuật toán gradient Bài toán Fermat - Torricelli giải cơng cụ giải tích biến phân đại vi phân Mordukhovich đề tài nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu tốn sơ cấp Chính tơi chọn đề tài "Phương pháp giải tích biến phân cho tốn Fermat - Torricelli suy rộng" Nội dung đề tài Luận văn trình bày kết B Mordukhovich N M Nam [3] đăng tạp chí J Optim Theory Appl 148 (2011), 431-454, giải toán Fermat - Torricelli suy rộng cho hữu hạn tập đóng điều kiện tối ưu cho điểm Fermat - Torricelli suy rộng từ xây dựng thuật tốn gradient để xác định điểm Fermat - Torricelli Luận văn bao gồm phần mở đầu, hai chương, kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương Giải tích biến phân Chương trình bày tốn Fermat - Torricelli suy rộng với hữu hạn tập đóng số kiến thức giải tích biến phân bao gồm vi phân hàm lồi, ǫ-dưới vi phân, vi phân Fréchet, vi phân Mordukhovich hàm thời gian tối thiểu 1.1 Phát biểu toán Fermat - Torricelli suy rộng với hữu hạn tập đóng Chúng ta phát biểu toán Fermat - Torricelli suy rộng Xét hàm thời gian tối thiểu (minimal time function): TΩF (x) := inf{t ≥ 0| Ω ∩ (x + tF ) = ∅} (1.1) với hệ động lực x˙ ∈ F mơ tả tập lồi đóng bị chặn khác rỗng (F = ∅) không gian Banach X, với tập mục tiêu đóng Ω = ∅ X Khi F hình cầu đơn vị đơn vị đóng B X hàm thời gian tối thiểu trở thành hàm khoảng cách thông thường: d(x; Ω) := inf{ x − ω , ω ∈ Ω} (1.2) sinh chuẩn · X Bây ta cho số tập đóng Ωi = ∅, i = 1, , n, X Khi đó, tốn Fermat - Torricelli suy rộng phát biểu sau: n T (x) := i=1 TΩFi (x), x ∈ X (1.3) Nếu F = B (hình cầu đơn vị đóng X) (1.3), toán Fermat Torricelli suy rộng trở thành n (1.4) d(x; Ωi ) D(x) := i=1 Bài toán quy toán mở rộng kiểu Steiner toán FermatTorricelli không gian Banach tập Ωi (i = 1, · · · , n) có phần tử Chú ý rằng, trường hợp cổ điển tốn tối ưu (1.3) đặc biệt hóa (1.4) tốn khơng trơn Như vậy, cách tư nhiên dẫn đến việc nghiên cứu tốn Fermat - Torricelli suy rộng cơng cụ giải tích biến phân Giả sử X không gian Banach, X ∗ không gian đối ngẫu tô pô X Cho ánh xạ đa trị G : X ⇉ X ∗ Giới hạn dãy PainlevéKuratowski x → x xác định ω∗ Limsupx→x G(x) := x∗ ∈ X ∗ | tồn dãy xk → x, x∗k → x∗ k → ∞ cho x∗k ∈ G(xk ) với k ∈ N∗ := {1, 2, } , Ω ω ∗ kí hiệu tơ pơ yếu X ∗ Với tập Ω ⊂ X, kí hiệu x → x nghĩa x → x với x ∈ Ω Nếu ϕ : X → R := (−∞; +∞]là hàm ϕ giá trị thực mở rộng, hưũ hạn x, kí hiệu x → x nghĩa x → x với ϕ(x) → ϕ(x) 1.2 Giải tích biến phân Cho hàm lồi ϕ : X → R, x ∈ domϕ := {x ∈ X|ϕ(x) < ∞} Dưới vi phân ϕ x theo nghĩa giải tích lồi tập ∂ϕ(x) = {x∗ ∈ X ∗ | x∗ , x − x ≤ ϕ(x) − ϕ(x), ∀x ∈ X} (1.5) Từ định nghĩa (1.5) ta có quy tắc Fermat cho hàm lồi sau : x cực tiểu ϕ ∈ ∂ϕ(x) (1.6) Định lí 1.1 (Quy tắc tổng vi phân cho hàm lồi) Giả sử ϕi : X → R ,(i = 1, , m) hàm lồi nửa liên tục không gian Banach X Giả sử tồn điểm x ∈ ∩ni=1 domϕi cho tất hàm ϕ1 , , ϕm liên tục (có thể trừ hàm) Khi ta có đẳng thức m m ∂ϕi (x) ϕi )(x) = ∂( i=1 i=1 Cho tập lồi Ω ⊂ X x ∈ Ω nón pháp tuyến Ω x xác định N (x, Ω) := {x∗ ∈ X| < x∗ , x − x >≤ 0, ∀x ∈ X} (1.7) Đây vi phân (1.5) hàm δ(x, Ω) x  0, x ∈ Ω, δ(x, Ω) := ∞, x ∈ / Ω Cấu trúc lồi thích hợp cho toán Fermat - Torricelli suy rộng trường hợp tập Ωi lồi Ta nghiên cứu toán Fermat - Torricelli suy rộng với tập Ωi không lồi Cho hàm giá trị thực mở rộng ϕ : X → R hữu hạn x ǫ ≥ ǫ-Dưới vi phân ϕ x xác định ϕ(x) − ϕ(x)− < x∗ , x − x > ∂ǫ ϕ(x) := x ∈ X | lim inf ≥ −ǫ x→x x−x ∗ ∗ (1.8) Với ǫ = ∂ϕ(x) := ∂0 ϕ(x) vi phân Fréchet ϕ x Dưới vi phân Fréchet quy gradient cổ điển {∇ϕ(x)} ϕ khả vi Fréchet điểm quy vi phân (1.5) ϕ hàm lồi ∂ϕ(x) rỗng công thưc tương tự cho quy tắc tổng Định lý 1.1 không cho ∂ϕ(x) ǫ ≥ 0; chẳng hạn ϕ1 (x) = |x| ϕ2 (x) = −|x| Ta định nghĩa vi phân Mordukhovich ϕ x sau: ϕ ∂ϕ(x) := Limsupx−− →x ∂ǫ ϕ(x) ε↓0 (1.9) Ta định nghĩa tương đương cách đặt ǫ = (1.9), ϕ nửa liên tục lân cận x không gian X không gian Asplund, tức không gian tách có đối ngẫu tách Chú ý trường hợp hàm lồi, hàm vi phân Mordukhovich vi phân theo nghĩa giải tích lồi trùng Vì vậy, trường hợp lồi ta ký hiệu vi phân ∂ Nón pháp tuyến Mordukhovich tâp Ω X x ∈ Ω xác định qua vi phân (1.9) hàm N (x, Ω) = ∂δ(x; Ω) Nón pháp tuyến Mordukhovich quy nón pháp tuyến (1.7) cho tập lồi Định nghĩa nón pháp tuyến Mordukhovich viết tương đương dạng: (1.10) N (x; Ω) := lim sup Nǫ (x; Ω) ϕ x− − →x ε↓0 với ǫ ≥ 0, tập ǫ-pháp tuyến Nǫ (·; Ω) xác định Nǫ (x; Ω) := {x∗ ∈ X ∗ | lim sup Ω x→x < x∗ , x − x > ≤ ǫ}, x ∈ Ω x−x (1.11) / Ω Khi tập Ω đóng địa phương gần Chú ý Nǫ (x; Ω) = ∅ x ∈ điểm x khơng gian X Asplund, ta thay tương đương Nǫ (·; Ω) (1.10) nón pháp tuyến Fréchet N (·; Ω) := N0 (·; Ω) Hơn nữa, trường hợp X = Rn , nón pháp tuyến (1.10) có dạng N (x; Ω) = Limsupx→x [cone(x − Π(x; Ω)], (1.12) Π(x; Ω) phép chiếu Ơclit điểm x ∈ Rn lên tập đóng Ω, coneΩ tập tia sinh Ω Mặc dù vi phân (1.9) nón pháp tuyến (1.10) khơng lồi, ta cúng có qui tắc tính tốt, đặc biệt không gian Asplund Qui tắc tổng sau cho vi phân (1.9) sử dụng luận văn Định lí 1.2 (Quy tắc tổng vi phân Mordukhovich cho hàm khơng lồi) Định lí 2.1 (Điều kiện cần tối ưu cho toán Fermat - Torricelli suy rộng) Giả xử X không gian Asplund, ∈ intF Nếu x ∈ X nghiệm tối ưu địa phương toán Fermat - Toricelli suy rộng (1.3) cho với i = 1, , n, hàm thời gian tối thiểu TΩFi (·) đặt chỉnh x x ∈ / Ωi , n 0∈ Ai (x), (2.3) i=1 với tập Ai (x), i = 1, , n xác định (2.1) Với trường hợp (1.4) tốn (1.3) khơng gian Hilbert, dạng đặc biệt (2.3) cho ta điều kiện cần tối ưu cho mở rộng kiểu Steiner (1.4) toán Fermat - Torricelli Định lí 2.2 ( Điều kiện cần tối ưu cho mở rộng kiểu Steiner toán Fermat - Torricelli không gian Hilbert ) Giả xử X không gian Hilbert x ∈ X nghiệm tối ưu toán (1.4) cho với i = 1, , n hàm khoảng cách d(·; Ωi ) đặt chỉnh x x∈ / Ωi Khi đó, (2.3) điều kiện cần tối ưu x (1.4), tập Ai (x) có dạng  x − Π(x; Ωi )   / Ωi , , x ∈    d(x; Ωi ) Ai (x) = N (x; Ω ) ∩ B, x ∈ Ω , (2.6) i i     với i = 1, , n Để ý giả thiết đặt chỉnh Định lý 2.2 thỏa mãn cách tầm thường X hữu hạn chiều tập Ωi lồi Hơn nữa, ta có Π(x; Ωi ) = ∅ Tiếp theo ta sử dụng Định lý 2.2 để đặc biệt hóa nghiệm tối ưu (1.4) với n = Chú ý điều kiện < u, v >≤ −1/2 nhận có nghĩa góc hai véc tơ lớn 120o Đó trường hợp quan trọng toán Fermat - Torricelli cổ điển Hệ 2.1 (Điều kiện cần cho toán Fermat - Torricelli suy rộng với ba tập không lồi không gian Hilbert) 14 Giả sử n = Định lý 4.2, Ω1 , Ω2 , Ω3 không tương giao đôi X Các phát biểu sau luân phiên cho nghiệm tối ưu địa phương x ∈ X với tập Ai (x) xác định (2.6): (i) Điểm x thuộc tập Ωi , chẳng hạn Ω1 , khơng thuộc vào tập Khi đó, ∃a2 ∈ A2 (x) ∃a3 ∈ A3 (x) cho < a2 , a3 >≤ − − a2 − a3 ∈ N (x; Ω1 ); (2.8) (ii) Điểm x không thuộc tất tập Ω1 , Ω2 Ω3 Khi đó, tồn ∈ Ai (x) với i = 1, 2, cho < , aj >= −1 , i = j với i, j ∈ 1, 2, (2.9) Ví dụ sau minh họa Hệ 2.1 cho toán mặt phẳng với tập lồi tập khơng lồi Ví dụ 2.2 (Bài tốn Fermat - Torricelli suy rộng không lồi mặt phẳng) Giả sử Ω1 hình cầu tâm c1 := (0; −2) với bán kính r = 1, Ω2 hình cầu tâm c2 := (0; −6) với bán kính r = 1, Ω3 tập không lồi xác định (2.12) Ω3 = {(x1 , x2 ) ∈ R2 |x2 ≥ −|x1 |} hình 2.1 Theo Mệnh đề 2.1, tồn nghiệm tối ưu toán Bởi tất giả thiết Hệ 2.1 thỏa mãn, ta áp dụng Hệ 2.1 tìm điểm nằm biên Ω1 kí hiệu u v cho [c1 , u] đường phân giác góc hình thành đường thẳng uc2 vàupu , pu hình chiếu u Ω3 , [v, c1 ] đường phân giác góc hình thành vc2 vpv Hai điểm u, v thỏa mãn điều kiện (i) Hệ 2.1 nghiệm tối ưu tốn Ta tìm u = (−0.8706, −2.4920) v = (0.8706, −2.4920) với chữ số có nghĩa, giá trị tối ưu tốn 3.7609 15 Hình 2.1: Bài tốn Fermat-Torricelli suy rộng khơng lồi Bây ta xét tốn Fermat - Torricelli suy rộng (1.3) với tập mục tiêu lồi Ωi , i = 1, , n không gian Banach Trong trường hợp này, ta dẫn điều kiện cần đủ tối ưu cho điểm Fermat - Torricelli Từ Định lý 1.3 1.5 ta suy trường hợp tập Ωi , i = 1, , n lồi, với ΠFΩi (x; Ωi ) = ∅ x ∈ / Ωi ∈ F , ta có đẳng thức sau: Ai (x) = −∂ρF (ω − x) ∩ N (ω; Ωi ) với x ∈ X ω ∈ ΠFΩi (x; Ωi ) (2.13) với tập Ai (x) xác định (2.1), nón pháp tuyến vi phân xác định cơng (1.7) (1.5) giải tích lồi Dưới đặc trưng cổ điển điểm Fermat - Torricelli cho tốn lồi Định lí 2.3 (Điều kiện cần đủ cho điểm Fermat - Torricelli suy rộng tốn lồi khơng gian Banach) Giả sử tập mục tiêu Ωi lồi; ∈ intF cho tốn (1.3) khơng gian Banach X Giả sử x ∈ X thỏa mãn ΠFΩi = ∅ x ∈ / Ωi với i = 1, , n Khi đó, điều kiện (2.3) với tập Ai (x) xác định (2.13) 16 điều kiện cần đủ tối ưu x toán Hệ 2.2 (Đặc trưng nghiệm tối ưu cho mở rộng kiểu Steiner lồi toán Fermat -Torricelli không Hilbert) Giả sử X không gian không gian Hilbert tất tập Ωi (1.4) lồi Khi đó, điều kiện (2.3) với Ai (x) tính (2.6) điều kiện cần đủ tối ưu cho x toán (1.4) Ví dụ 2.3 Xét trường hợp Ω1 = {(−1; 0)}, Ω2 = {(0; 1)} Ω3 = {(1; 0)} √ mặt phẳng R2 Khi đó, Hệ 2.2 cho ta nghiệm tối ưu (0, 1/ 3) toán (1.4) với F = [−1, 1] × [−1, 1] tập Ωi , i = 1, 2, 3, ta có nghiệm tối ưu (0, 1) cho toán Fermat -Torricelli (1.3) với tâp F Ωi Ta trình bày áp dụng đơn giản Hệ 2.2 cho toán FermatTorricelli suy rộng (1.4) có số hữu hạn khoảng đóng đường thẳng thực rời Mệnh đề 2.2 (Bài toán Fermat - Torricelli cho khoảng đóng đường thẳng thực) Xét toán (1.4) với tập Ωi cho n khoảng đóng rời [ai , bi ] ⊂ R, i = 1, , n, a1 ≤ b1 < a2 ≤ b2 < < an ≤ bn Các khẳng định sau đúng: (i) Nếu n = 2k + điểm khoảng [ak+1 , bk+1 ] nghiệm tối ưu toán; (ii) Nếu n = 2k điểm khơng gian [bk , ak+1 ] nghiệm tối ưu toán Áp dụng khác Hệ 2.2 cho ta đặc trưng đầy đủ điểm Fermat -Torricelli tốn lồi (1.4) với n = khơng gian Hilbert Chú ý tính hình chiếu ta có Ai (x) = = x − Π(x; Ωi ) d(x; Ωi ) với Ai (x) xác định (2.6) 17 , x ∈ / Ωi , (2.15) Hình 2.2: Bài tốn Fermat-Torricelli suy rộng lồi Mệnh đề 2.3 (Đặc trưng điểm Fermat - Torricelli suy rộng cho ba tập lồi không gian Hilbert) Giả sử X không gian Hilbert Ω1 , Ω2 , Ω3 tập lồi không giao đơi X Khi đó, x ∈ X nghiệm tối ưu toán (1.4) sinh tập và điều kiện (i) (ii) Hệ 2.1 thỏa mãn véc tơ , i = 1, 2, xác định (2.15) nón pháp tuyến N (x, Ω1 ) (2.8) tính (1.7) Ví dụ 2.4 (Bài toán Fermat-Torricelli suy rộng lồi mặt phẳng) Giả sử tập Ω1 , Ω2 , Ω3 toán (1.4) hình cầu đóng R2 với bán kính r = 1, tâm điểm (0, 2), (−2, 0), (2, 0) (xem hình 2.2) Dễ dàng thấy điểm (0, 1) ∈ Ω1 thỏa mãn tất điều kiện mệnh đề 2.3 (i), đó, nghiệm tối ưu (thực nghiệm nhất) tốn Ví dụ 2.5 18 Tổng quát hơn, ta xét toán (1.4) R2 sinh ba đĩa Ωi với i = 1, 2, không giao đôi Giả sử c1 , c2 , c3 tâm đĩa Giả sử đoạn [c2 , c3 ] ⊂ R2 cắt Ω1 , [c1 , c3 ] cắt Ω2 , [c1 , c2 ] cắt Ω3 Dễ kiểm tra điểm cắt (chẳng hạn Ω1 [c2 , c3 ]) nghiệm tối ưu toán, thỏa mãn điều kiện tối ưu cần đủ Mệnh đề 2.3(i) Thật vậy, x điêm a2 , a3 (2.15) véc tơ đơn vị với < a2 , a3 >= −1 −a2 − a3 = ∈ N (x; Ω1 ) Nếu giả thiết tương giao bị vi phạm, xác định điểm q1 , q2 , q3 sau Giả sử u v giao [c1 , c2 ] [c1 , c3 ] với biên đĩa tâm c1 Khi đó, ta thấy tồn điểm q1 đường cong nhỏ sinh u v cho số đo góc c1 q1 c2 c1 q1 c3 Các điểm q2 q3 xác định tương tự Mệnh đề 2.3 góc c2 q1 c3 c1 q2 c3 c2 q3 c1 lớn 120o (chẳng hạn góc c2 q1 c3 ) điểm x := q1 nghiệm tối ưu toán Thật vậy, trường hợp a2 a3 (2.15) vec tơ đơn vị thỏa mãn < a2 , a3 >≤ −1/2 −a2 − a3 ∈ N (x; Ω1 ), véc tơ −a2 − a3 trực giao với Ω1 Nếu góc lớn 1200 tồn điểm q ∈ / Ωi , i = 1, 2, cho góc c1 qc2 = c2 qc3 = c3 qc1 = 120o , q nghiệm tối ưu toán Chú ý trường hợp điểm q nghiệm tối ưu toán Fecmat - Torricelli cổ điển xác định điểm c1 , c2 c3 2.2 Thuật toán gradient giải toán Fermat - Torricelli suy rộng Phần trình bày thuật tốn giải tốn Fecmat - Torricelli suy rộng (1.3) trường hợp n tập mục tiêu lồi không gian hữu hạn chiều Dựa phương pháp gradient tối ưu lồi kết phép tính vi phân phần trước, chúng tơi trình bày thuật tốn cấp để giải toán lồi tổng quát (1.3) số dạng đặc biệt khác 19 Định lí 2.4 (Thuật toán gradient cho toán Fecmat - Torricelli suy rộng ) Giả sử Ωi , i = 1, , n tập lồi không gian Euclid hữu hạn chiều X, ∈ intF S = ∅ tập nghiệm tối ưu toán (1.3) Lấy dãy {αk }, k ∈ N (tập tất số dương) điểm xuất phát x1 ∈ X Ta xét thuật toán: n xk+1 = xk − αk vik , k = 1, 2, , (2.16) i=1 với cách chọn tùy ý véc tơ vik ∈ −∂ρ(ωik − xk ) ∩ N (ωik ; Ωi )nếu ωik ∈ ΠFΩi (xk )nếu , xk ∈ / Ωi (2.17) vik = trường hợp khác Giả sử ∞ i=1 αk = ∞ ℓ := ∞ i=1 αk2 < ∞ (2.18) Khi đó, dãy lặp {xk } (2.17) hội tụ tối ưu toán (1.3) dãy giá trị (2.19) Vk := {T (xj )/j = 1, , k} hội tụ đến giá trị tối ưu V toán Hơn nữa, ta có ước lượng d(x1 ; S)2 + L2 ℓ2 Vk − V ≤ ni=1 αk ≤ L < ∞ số Lipschitz hàm T (·) (1.3) X Chú ý sử dụng lý luận ta áp dụng phương pháp gradient cho toán Fermat - Torricelli suy rộng trường hợp khác với việc thay điều kiện hội tụ (2.18) 2.3 Một số trường hợp đặc biệt thuật toán gradient Ta trình bày hệ Định lí 2.4 theo cách đặt (1.3) hàm cỡ Minkowski (1.17) khả vi khắp nơi trừ điểm gốc Điều cho 20 hàm khoảng cách (1.2) Ký hiệu  ∇ρ (x), x = 0, F gF (x) := 0, x = 0, (2.22) Hệ 2.3 (Thuật toán gradient với giả thiết trơn) Với giả thiết Định lí 2.4, ta giả thiết thêm hàm cỡ Minkowski ρF (·) khả vi điểm X \ {0} Lấy dãy số dương {αk } thỏa mãn điều kiện (2.18) cho điểm xuất phát x1 ∈ X, ta xây dựng thuật toán: n xk+1 = xk + αk i=1 gF (ωki − xk ), (2.23) ωik ∈ ΠFΩi (xk ) véc tơ chiếu Khi đó, tất kết Định lí 2.4 cho thuật tốn (2.23) Ta trình bày đặc biệt hóa khác thuật tốn (2.23) Hệ 2.4 (Thuật toán gradient cho mở rộng kiểu Steiner lồi) Xét toán (1.4) với tập lồi Ωi , i = 1, , n không gian Euclid hữu hạn chiều X Cho dãy {αk } gồm số dương thỏa mãn (2.18) điểm xuất phát x1 ∈ X xây dựng thuật toán (2.23) với gF (·) xác định    Π(xk ; Ωi ) − xk , xk ∈ / Ωi , d(xk ; Ωi ) (2.24) gF (ωki − xk ) =  0, xk ∈ Ωi Khi đó, kết luận Định lí 2.4 thỏa mãn cho thuật tốn Bây ta xét vài ví dụ thử nghiệm thuật tốn gradient tìm nghiệm số dạng đặc biệt toán Fermat - Torricelli suy rộng Ví dụ 2.6 (Bài tốn Fermat - Torricelli cho đĩa) Xét toán kiểu Steiner mở rộng (1.4) toán Fermat - Torricelli cho trường hợp đĩa R2 Giả sử ci = (ai , bi ) ri , i = 1, , n tâm bán kính đĩa Thuật tốn gradient Hệ 2.4 21 trường hợp sau: n xk+1 = xk − αk qik , (2.25) i=1 qik cho   0, xk − ci ≤ ri , qik = xk − ci  , xk − ci > ri  xk − ci Các đại lượng Vk tính cơng thức (2.19) T (xj ) = n i=1,xj ∈Ω / i( xj − ci − ri ) Khi viết chương trình MATLAB, ta tính biểu diễn giá trị xk Vk cho số đĩa bước lặp Ta kiểm tra hội tụ thuật toán Bảng 1: Kết số toán Fermat-Torricellci suy rộng cho đĩa Kết MATLAB k xk vk 10 100 (0.7093,1.2370) 2.8078 (0.0559,0.9973) 2.4741 1,000 (0.0047,0.9994) 2.4721 10,000 100,000 (0.0004,0.9999) 2.4721 (0.0000,1.0000) 2.4721 1,000,000 (0.0000,1.0000) 2.4721 Bảng kết từ cách tính tốn cho đĩa với tâm (−2, 0), (0, 2) (2, 0) bán kính r = Tính tốn trình bày cho ta dãy αk = 1/k thỏa mãn (2.18) điểm xuất phát x1 = (5, 7) Chú ý kết số nhận phần tương thích với lý thuyết Mệnh đề 2.3 Với đĩa tâm (0, 0), (2, 2), (1, 0) (2, −2) có bán kính r = 1/4, chương trình MATLAB cho điểm tối ưu (0.8453, 0.0000) giá trị tối ưu 4.7141 Cho đĩa tâm (−1, 0), (−1, 1), (0, 2), (1, 1) (1, 0) với 22 Hình 2.3: Bài tốn Fermat-Torricelli suy rộng cho hình vng bán kính r = 1/2, ta nhận nghiệm tối ưu (0.0000, 0.8505) giá trị tối ưu 3.2973 Bây áp dụng thuật toán gadient (2.23) cho mở rộng Steiner (1.4) toán Fermat - Torricelli cho hình vng Ωi Bài tốn có ý nghĩa khác với trường hợp đĩa Ví dụ 2.6 Ví dụ 2.7 (Bài tốn Fecmat-Torricelli cho hình vng) Xét tốn (1.4) với hình vng Ωi , i = 1, , n vị trí đúng, tức cạnh hình vng song song với trục x trục y (xem hình 2.3) Tâm hình vng giao hai đường chéo bán kính nửa độ dài cạnh Giả sử ci = (ai , bi ) ri , i = 1, , n tâm bán kính hình vng Khi đó, đỉnh hình vng thứ i ký hiệu v1i = (ai + ri , bi + ri ) , v2i = (ai − ri , bi + ri ), v3i = (ai − ri , bi − ri ),v4i = (ai + ri , bi − ri ) Cho điểm xuất phát x1 dãy {αk } thỏa điều kiện (2.18) Thuật toán gradient Hệ 2.4 viết dạng (2.25), xk = (x1k , x2k ) qik tính sau: 23    0, |x1k − | ≤ ri |x2k − bi | ≤ ri ,     xk − v1i   , x1k − > ri x2k − bi > ri ,   xk − v1i    xk − v2i   , x1k − < −ri x2k − bi > ri ,    x − v k 2i   xk − v3i    , x1k − < −ri x2k − bi < −ri ,   xk − v3i xk − v3i qik = , x1k − > ri x2k − bi < −ri ,   xk − v4i      (0, 1), |x1k − | ≤ ri x2k − bi > ri ,       (0, −1), |x1k − | ≤ ri x2k − bi < −ri ,       (1, 0), x1k − > ri |x2k − bi | ≤ ri ,      (−1, 0), x1k − < −ri |x2k − bi | ≤ ri với i ∈ {1, , n} k ∈ N, dãy giá trị tương ứng Vk xác định (2.19) Xét tính tốn thuật tốn cho hình vng với tâm (2,0),(0,2), (2,0) bán kính r = 1/2, ta đến nghiệm tối ưu (0,1.3660) giá trị tối ưu 3.5981 Đồng thời áp dụng √ kết 3+1 ) với lí thuyết Hệ 2.4 cho ta nghiệm tối ưu xác (0, √ 2+3 Điều tương thích với phép tính tốn số giá trị tối ưu Với hình vng có tâm (-1,0), (-1,1), (0,2), (1,1), (1,0), có bán kính r=1/4, với thuật toán gradien, ta nhận nghiệm tối ưu (0.0000,0.7242) với giá trị tối ưu 4.3014 Chúng ta minh họa thuật toán gradient Định lí 2.4 cách giải tốn Fermat -Torricelli (1.3) phát biểu qua hàm thời gian tối tiểu (1.1) Để xác định ta xét hệ động F cho hình vng [−1, 1]×[−1, 1] mặt phẳng Trong trường hợp này, hàm cỡ Minkowski xác định công thức ρF (x1 , x2 ) = max{|x1 |, |x2 |} (2.26) Chú ý ρF (·) không khả vi điểm khác R2 người 24 ta phải dựa vào thuật toán gradient Định lí 2.4 Cũng ý với thuật toán (2.16), ta cần biết phần tử vik tập vế phải (2.17) cho i ∈ {1, , n} k ∈ N Theo Định lý 1.5, tập vế phải (2.17) vi phân hàm thời gian tối thiểu TΩFi (xk ) Trong mệnh đề đây, ta tính gradient hàm thời gian tối thiểu (1.1) sinh hàm cỡ Minkowski (2.26) mục tiêu hình vng R2 , sử dụng để xây dựng thuật toán gradient toán Fermat - Torricelli tương ứng Mệnh đề 2.4 (Dưới gradient hàm thời gian tối thiểu với hệ động hàm mục tiêu hình vng) Giả sử F = [−1, 1] × [−1, 1] Ω hình vng vị trí R2 với tâm c = (a, b) bán kính r > Khi đó, gradient v(x1 , x2 ) ∈ ∂TΩF (x1 , x2 )(không thiết xác định nhất) hàm thời gian tối thiểu TΩF (x1 , x2 ) (x1 , x2 )    (1, 0), |x2 − b| ≤ x1 − a, x1 > a + r,       (−1, 0), |x2 − b| ≤ a − x1 , x1 < a − r,   (2.27) v(x1 , x2 ) = (0, 1), |x1 − a| ≤ x2 − b, x2 > b + r,      (0, −1), |x1 − a| ≤ b − x2 , x2 < b − r,     0, (x , x ) ∈ Ω Bây ta cho ví dụ tính tốn thuật tốn gradient Định lí 2.4 cho tốn Fermat - Torricelli suy rộng Ví dụ 2.8 (Tính tốn cho thuật tốn gradient) Xét tốn Fermat - Torricelli suy rộng (1.3) với hệ động F = [−1, 1]× [−1, 1] tập mục tiêu hình vng Ωi vị trí đúng, tâm (ai , bi ) với bán kính ri , i = 1, , n Cho dãy số dương {αk } thỏa mãn (2.18) điểm xuất phát x1 Xây dựng thuật toán gradient (2.16) với bước lặp xk = (x1k , x2k ) Định lí 2.4, véc tơ vik tính theo Mệnh đề 2.4 sau: 25    (1, 0), |x2k − bi | ≤ x1k − x1k > + ri ,       (−1, 0), |x2k − bi | ≤ − x1k x1k < − ri ,   vik = (0, 1), |x1k − | ≤ x2k − bi x2k > bi + ri ,      (0, −1), |x1k − | ≤ bi − x2k x2k < bi − ri ,     (0, 0), trường hợp khác Khi tính tốn theo thuật tốn cho trường hợp hình vng tâm (-2,0),(0,2) (2,0) với bán kính r = 1/2,αk = 1/k điểm xuất phát (1,1), ta tìm nghiệm tối ưu (0.0000,1.5000) giá trị tối ưu 3.000 Với hình vng tâm (-1,0),(-1,1),(0,2),(1,1) (1,0) bán kính r=1/4, ta nhận nghiệm tối ưu (0.0000,1.0000) giá trị tối ưu 3.7500 26 Kết luận Luận văn trình bày áp dụng phương pháp giải tích biến phân để giải tốn tốn Fermat - Torricelli suy rộng với hữu hạn tập đóng khơng thiết lồi, điều kiện tối ưu cho điểm Fermat - Torricelli, thuật toán gradient giải toán Fermat - Torricelli suy rộng, số trường hợp đặc biệt thuật tốn gradient Nội dung luận văn bao gồm: - Dưới vi phân Mordukhovich quy tắc tổng cho vi phân Mordukhovich cho hàm không lồi; - Sự tồn nghiệm tối ưu toán Fermat-Torricelli suy rộng; - Điều kiện cần tối ưu cho toán Fermat-Torricelli suy rộng; - Điều kiện cần tối ưu cho mở rộng kiểu Steiner toán FermatTorricelli; - Điều kiện cần tối ưu cho tốn Fermat-Torricelli suy rộng với ba tập khơng lồi; - Điều kiện cần đủ cho điểm Fermat-Torricelli suy rộng toán lồi; - Bài toán Fermat-Torricelli cho khoảng đóng đường thẳng thực; -Thuật tốn gradient giải toán Fermat-Torricelli suy rộng; -Thuật toán gradient cho số trường hợp đặc biệt Áp dụng giải tích biến phân để giải tốn Fermat-Torricelli suy rộng đề tài nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu 27 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1 ] Đỗ Văn Lưu - Phan Huy Khải (2000), Giải tích lồi, NXB Khoa học Kỹ thuật, Hà Nội [2 ] Hồng Thị Thùy Linh (2016), Bài tốn Sylvester tốn Fermat - Torricelli cho hình cầu Euclid, Luận văn Thạc sỹ, Đại học Thăng Long, Hà Nội Tiếng Anh [3 ] B Mordukhovich, N M Nam (2011), “Applications of variatinal analysis to a generalized Fermat-Torricelli problem”, J Optim Theory Appl., 148, pp 431-454 [4 ] B Mordukhovich, N M Nam (2011), “Subgradients of minimal time functions under minimal assumptions”, J Convex Anal., 18, pp 915-947 [5 ] N M Nam, N Hoang, N T An (2014), “Construtions of solutions to generalized Sylvester and problem Fermat - Torricelli problems for Euclidean balls”, J Optim Theory Appl., 160, pp 483-509 [6 ] W Schirotzek (2007), Nonsmooth Analysis, Springer, Berlin - Heidelberg - New York 28 ... 431-454, giải toán Fermat - Torricelli suy rộng cho hữu hạn tập đóng điều kiện tối ưu cho điểm Fermat - Torricelli suy rộng từ xây dựng thuật toán gradient để xác định điểm Fermat - Torricelli Luận văn. .. Kết luận Luận văn trình bày áp dụng phương pháp giải tích biến phân để giải tốn tốn Fermat - Torricelli suy rộng với hữu hạn tập đóng khơng thiết lồi, điều kiện tối ưu cho điểm Fermat - Torricelli, ... ưu toán Fermat- Torricelli suy rộng; - Điều kiện cần tối ưu cho toán Fermat- Torricelli suy rộng; - Điều kiện cần tối ưu cho mở rộng kiểu Steiner toán FermatTorricelli; - Điều kiện cần tối ưu cho