Luận văn sư phạm Phương pháp toạ độ và các ứng dụng

Tr ng HSP Hà N i Khoa Tốn Khóa lu n t t nghi p M cl c Trang L i nói đ u……………………………………………………………………… Ch ng 1: M t s ki n th c c b n liên quan……………………………………3 A Khái ni m tính ch t c b n………………………………… …3 I Các khái ni m …………………………………………………….3 II M t s tính ch t E2 E3 ………………………………….4 B M t s công th c c b n t a đ êcác vng góc……………….6 I Xét E2 …………………………………………………… II Xét E3………………………………………………………8 Ch ng 2: M t s Bài 1: Ph ng d ng gi i tóan b ng ph ng pháp t a đ …………14 ng pháp t a đ ……………………………………………… 14 Bài 2: L p toán gi i đ c b ng ph ng pháp t a đ …………….15 I: L p tốn tính góc kho ng cách………………………… 15 II: L p toán ch ng minh tính vng góc………………….24 III: L p toán ch ng minh th ng hàng, đ ng ph ng……… 30 IV: L p tóan tìm qu tích…………………………………… 38 V: L p tốn đ nh tính ch ng minh m i liên h đ i s …………46 VI: L p toán ch ng minh b t đ ng th c đ i s ……………52 K t lu n: ……………………………………………………………………… 59 Tài li u tham kh o:………………………………………………………………60 Hồng Th Ng c Anh K29A Tốn Tr ng HSP Hà N i Khoa Tốn Khóa lu n t t nghi p l i nói đ u Hình h c m t mơn h c có tính h th ng ch t ch , tính lơgic tính tr u t ng hóa cao Vì v y hình h c m t mơn h c khó đ i v i h c sinh V i m i t p hình h c có th có nhi u ph h p, ph ng pháp vect , ph ng pháp gi i khác nhau: Ph ng pháp t ng ng pháp t a đ … Vi c s d ng t a đ đ gi i toán cung c p cho h c sinh m t ki n th c m i cách nhìn m i v toán h c hi n đ i Giúp cho em th y đ cm it ng quan -1 gi a đ i s hình h c, nh m phát tri n t toàn di n cho h c sinh đ ng tr c m t tốn, hình thành cho h góp ph n đ t đ c m c tiêu lu n v n đ a h th ng lý thuy t phù h p, m t s d ng toán th h a, b ng t đ n, phù h p ng g p thông qua ph c đ u giúp h c sinh th y đ ng pháp chung ví d minh c t m quan tr ng c a nh ng ng d ng c a t a đ gi i toán Coi m t công c m i r t hi u qu B t ngu n t lòng say mê c a b n thân đ c a th y Bùi V n Bình em ch n đ tài: Ph c s giúp đ ch b o t n tình ng pháp t a đ ng d ng làm khoá lu n t t nghi p c a Qua em xin g i l i c m n t i t t c th y giáo t hình h c t o u ki n giúp đ em trình nghiên c u, đ c bi t em xin chân tr ng c m n th y Bùi V n Bình tr c ti p gi ng d y, giúp đ , h ng d n em trình th c hi n đ tài Tuy có nhi u c g ng song n ng l c c a b n thân c ng nh u ki n v tài li u th i gian h n ch nên khố lu n khơng th tránh kh i nh ng sai sót Em hy v ng s nh n đ c s ch b o c a th y cô b n Hà N i, ngày 19 tháng n m 2007 Sinh viên Hoàng Th Ng c Anh Hoàng Th Ng c Anh K29A Toán Tr ng HSP Hà N i Khoa Toán Ch Khóa lu n t t nghi p ng I: m t s ki n th c c b n liên quan A khái ni m tính ch t c b n I Các khái ni m nh ngh a h t a đ  uur uur uur  Trong không gian Eukleides n chi u E n (n  1) g i   e , e , en m t uuur ur uur c s tr c chu n c a E n , ngh a ei e j  ij , O m cho tr i  j 0 1 i, j    uur uur i = j uur  t p h p 0,   hay 0, e , e , , en đ đ c đó: c g i h t a đ tr c chu n hay h t a êcác vng góc 2.T a đ c a véct Trong không gian Eukleides n chi u E n v i h t a đ  uur uur uur  0, e , e , , en , cho r vect v Khi đó, ln t n t i nh t b s (x1,…,xn) cho: r ur uur uur v  x1e1  x2 e2   xn en B s (x1, x2, ,xn) đ r c g i to đ c a vect v đ i v i h t a đ cho r Kí hiê : v  ( x , , xn ) T a đ c a m Hồng Th Ng c Anh K29A Tốn Tr ng HSP Hà N i Khoa Tốn Khóa lu n t t nghi p Trong không gian Eukleides n chi u E n v i h t a đ uuuur m M b t kì T a đ c a vect OM đ  uur uur uur  0, e , e , , en cho c g i t a đ c a m M đ i v i h t a đ uuuur Nh v y, n u OM (x1 , x2 , … , xn) t c là: uuuur ur uur uur OM = x1e1  x2 e2   xn en b s (x1 , x2 , … , xn ) đ c g i t a đ c a m M Kí hi u: M (x1 , x2 , … , xn ) II M t s tính ch t E2 E3 Xét E2 Cho h t a đ ur êcác vng góc Oxy Khi n u có vect u( x ; y ) , 1 r v( x ; y ) s k  R ta có: 2 Khi : ur r  u  v  (x  x ; y  y ) 2  k u  ( kx1 ; ky1 )  u.v  x x  y y 2  ur u x2y2 1 ur ur r ur u  x2y2 1  Hoàng Th Ng c Anh ur r cos ( u, v ) = ur r x x  y y r ur r 2 ( u, v khác ) x  y x  y 1 2 ur r  u  v  u.v   x x  y y  2  Cho m M( x1, y1) N ( x2 , y2) K29A Toán Tr ng HSP Hà N i Khoa Tốn Khóa lu n t t nghi p uuuur Khi đó, t a đ c a vect MN  ( x  x ; y  y ) 2 Xét E3 Cho h t a đ êcác vng góc Oxyz, cho vect ur r u( x , y , z ), v( x , y , z ) 1 2 s k  R Khi ta có: ur r  u  v  (x  x ; y  y ; z  z ) 2  k.u  (kx ; ky ; kz ) 1  u.v  x x  y y  z z 2 ur ur r uur u2  x  y  z 1  ur Khi : u  x  y  z 1 x x  y y  z z r ur r 2 ( u, v khác ) x  y  z x  y  z 1 2 ur r  cos ( u, v ) =  Cho m M( x1, y1, z1) N ( x2 , y2, z2) uuuur Khi đó, t a đ c a vect MN  ( x  x ; y  y ; z  z ) 2 Tích có h  ng c a vect y z ur r ur u, v  w   1 ;   y z  2 z x x y  1; 1 z x x y  2 2 ur Vect w có tính ch t ur ur ur r +, w  u ; w  v Hoàng Th Ng c Anh K29A Toán Tr ng HSP Hà N i Khoa Tốn ur Khóa lu n t t nghi p ur r r +, w  u // v ur +, V i u // r ur ur r ur r v  w  u v sin(u, v) r v ur ur ur r w  S(u, v) u ur r ur r ( S(u, v) di n tích hình bình hành d ng u, v )  vect ur r ur Ba vect u, v, w đ ng ph ng ch tích h n h p t p c a ur r ur ur r ur : D( u, v, w ) = u, v w = B M t s công th c c b n t a đ êcác vng góc I Xét E2 Cơng th c tính kho ng cách 1.1 Kho ng cách gi a m  Trong m t ph ng cho m M1( x1, y1) M2 (x2 , y2) Khi kho ng uuuuuuuur cách d gi m M1 M2 đ dài vect M M đ uuuuuur sau: d = M M = c tính b i cơng th c ( x  x )2  ( y  y )2 2 1.2 Kho ng cách t m t m đ n m t đ ng th ng  Trong m t ph ng kho ng cách t m M1( x1, y1) đ n đ có ph đ ng th ng  ng trình : A x + B y + C = c tính theo cơng th c sau: d (M , )  Hoàng Th Ng c Anh Ax  By  C 1 A2  B2 K29A Toán Tr ng HSP Hà N i Khoa Toán Khóa lu n t t nghi p Chia m t đo n th ng theo t s cho tr c Trong E , m M (x, y) chia đo n th ng M1M2 theo t s k có ngh a: uuuuuur uuuuuur MM  k.MM , đó: x  kx  x   1 k  y  ky  y  1 k  V i M1( x1, y1) M2 (x2 , y2) c bi t, n u k = -1 M trung m c a đo n th ng M1M2 , t a đ c a m M đ x x  x    y y   y  c xác đ nh nh sau : 3.Cơng th c tính góc : Trong m t ph ng v i h t a đ có ph êcác vng góc Oxy, cho đ ng th ng ng trình : (d1) : A1x + B1y + C1 = (d2) : A2x + B2y + C2 = G i  góc gi a đ Khi ta có : Hai đ ng th ng d1, d2 cos   AA B B 2 A2  B A  B 1 2 ng th ng d  d  A A  B B = 2 côsin ch ph ng r Trong E , góc gi a vect v( x, y) chi u d ng c a tr c Ox, Oy  x, y , : cos  x , cos  y g i côsin ch ph Hoàng Th Ng c Anh ng K29A Toán Tr ng HSP Hà N i Khoa Toán cos  x = Khóa lu n t t nghi p x x y cos  y = ; Ta có: y x  y2 cos2  x  cos2  y  i u ki n th ng hàng, đ ng ph ng Trong E , ba m A( x1, y1) ; B( x2, y2) C (x3 , y3) th ng hàng n u uuur ( u ki n c n đ ) : x x  1 x x uuur AC  kAB hay x1 y1 x2 y2 x3 y3 y y y y = Cơng th c tính di n tích tam giác Trong E , di n tích c a tam giác có đ nh A( x1, y1) , B (x2 , y2) C (x3 , y3) đ c cho b i công th c sau: S  ABC x1 y1 x2 y2 x3 y3 II Xét E3 1.Cơng th c tính kho ng cách.` 1.1 Kho ng cách gi a m Trong không gian, n u ta cho m M1( x1, y1, z1) M2 (x2 , y2, z2) t ng t nh m t ph ng ta có: Hồng Th Ng c Anh K29A Tốn Tr ng HSP Hà N i Khoa Toán uuuuuuuur d= M M = Khóa lu n t t nghi p ( x  x )2  ( y  y )2  ( z  z )2 2 1.2 Kho ng cách t m t m đ n m t đ ng th ng Trong không gian, kho ng cách t m M1( x1, y1 ,z1) đ n đ có ph ng trình : x x y y z z 0 0 đ a b c ng th ng  c tính theo cơng th c: uuuuuuuur ur M M ,u    d (M , )   ur  u ur Trong M0( x0, y0 ,z0)  ; u vect ch ph ur u đ dài c a vect uuuuuuuur ur  M M , u  : tích có h   ur u uuuuuuuur ur ng c a vect M M vect u uuuuuuuur ur  M M , u  : di n tích hình bình hành có c nh   Ta có : d (M ,  ) = ur ng c a  u (a, b, c) ; uuuuuuuur ur M M u y  y z z z z x x x x y  y 1  1  1 c c a a b b a  b2  c 2 1.3 Kho ng cách t m t m đ n m t m t ph ng Kho ng cách t m t m M0( x0, y0 ,z0) đ n m t ph ng (  ) có ph trình Ax + By + Cz + D = đ c tính theo cơng th c : d (M ,( )  Hoàng Th Ng c Anh ng Ax  By  Cz  D 0 A2  B2  C K29A Toán Tr ng HSP Hà N i Khoa Toán Khóa lu n t t nghi p 1.4 Kho ng cách gi a đ ng th ng chéo Trong khơng gian mu n tính kho ng cách gi a đ a b ta có ph Ph đ ng th ng chéo ng pháp sau: ng pháp 1: N u bi t đ dài đo n vng góc chung AB c a ng th ng chéo  AB = d(a,b) Ph ng pháp 2: Ta th c hi n theo b ng trình m t ph ng (  ) ch a đ c: B c 1: L p ph ng th ng a (  ) // b B c 2: L y m t m M b tính kho ng cách t M t i (  ) d ( a, b) = d(M, (  ) ) Ph B ng pháp 3: ta th c hi n theo b c 1: Tìm vect ch ph c: uur ng th ng ``a m t m uur ng th ng b m t m ng u c a đ M1 ( a1 , b1 , c1 )  a B c 2: Tìm vect ch ph ng u c a đ M2 ( a2 , b2 , c2 )  b B c 3: Kho ng cách gi a hai đ ng th ng chéo a b đ c tính theo cơng th c : uur uur uuur u , u  BA   d (a,b) =  1uur 2uur u , u    Chia đo n th ng theo t s cho tr Hoàng Th Ng c Anh 10 c K29A Toán Tr ng HSP Hà N i Khoa Tốn Khóa lu n t t nghi p z S C B y O D A x Ch n h tr c t a đ êcác vuông góc Oxyz v i A , C  Ox ; B , D  Oy S  Oz Khi đó: A ( a,a,0) ; B(-a,a,0) ; C(-a,-a,0) D(a,-a,0) ; S(0,0, a ) i m M  (ABCD), ta đ c M (x,y,0) V i -a  x , y  a ta có ph ng trình m t ph ng (SAB) đ  (SAB):  qua A có c p vect ch ph  uur c cho b i: uur uuur ng SA, SB uuur Ta có: SA  (a , a , a 2) ; SB(a , a , a 2)  uur uuur  SA, SB  (0;2a 2;2a )  2a (0; 2;1)   V y m t ph ng (SAB) có ph ng trình là: 0.(x-a) + (y-a) + 1(z-0) =  2y z a  Hồng Th Ng c Anh 53 K29A Tốn Tr ng HSP Hà N i Khoa Tốn Khóa lu n t t nghi p kho ng cách d1 đ   T ng t , ta có ph c cho b i : d  ng trình m t ph ng (SBC) đ  (SBC) :  qua B có c p vect ch ph  (SBC) : 2ya  a 2y c cho b i uuur uuur ng SB , SC - (x+a) + 0.(y-a) +1.(z-0)=0   2x  z  a  Suy kho ng cách d2 đ  Ph c cho b i : d   2x  a  2x  a ng trình m t ph ng (SCD) qua C có c p vect ch ph uuur uur SC SD có ph 0.(x+a ) - ng ng trình : (y+a) + 1(z-0) =   2y z a  c cho b i d  Suy kho ng cách d3 đ  Ph ph uur  2y a  y 2a ng trình m t ph ng (SDA) qua D có c p vect ch uuur ng SA SD có ph ng trình:  2( x  a )  0.( y  a ) 1.( z  0)   2x  z  a  Suy kho ng cách d4 đ Hoàng Th Ng c Anh c cho b i 54 d4  2x  a  a 2x K29A Toán Tr ng HSP Hà N i Khoa Tốn Khóa lu n t t nghi p T ta có: S  d  d  d  d = = a  y  x a  y a a x 4a a  = const 3 Nh v y t ng S = d1 + d2 + d3 + d4 khơng ph thu c vào v trí m M Nh n xét: i v i toán n u thông th ng ta dùng ph ng pháp ch ng minh t ng h p đ tìm t ng S = const khó xác đ nh, ph i xét nhi u tr ng h p B ng cơng th c tính kho ng cách t m t m đ n m t m t ph ng h tr c t ađ êcác vng góc ta d dàng tìm k t qu Ví d 3: Cho hình l ng tr ABC.A1B1C1 có đáy tam giác đ u c nh a.AA1 = h vng góc v i m t ph ng (ABC) Bi t r ng kho ng cách gi a A1B1 BC1 b ng d Ch ng minh r ng: a 2dh 3(h2  d ) Gi i Ta có: ABC.A1B1C1 l ng tr có đáy ABC  đ u c nh b ng a Hồng Th Ng c Anh 55 K29A Tốn Tr ng HSP Hà N i Khoa Tốn Khóa lu n t t nghi p z B1 A1 C1 A x B C y êcác vng góc Axyz v i B  Ax , A1  Az Ch n h tr c t a đ a a Khi đó: A(0,0,0) ; B(a,0,0) ; C( , ,0) 2 a a , h) A (0,0, h) ; B1 (a,0,h) ; C1( , 2 ur r G i a,b l n l t vect ch ph ng c a đ uuuuur ur a // A B (a ,0,0) 1 r uuuur a a b // BC ( , , h) 2 Khi kho ng cách gi a hai đ ur r uuuur  a , b  BB d =  ur r a, b    (ah 3)2   = ng A1B1 BC1 Ta có ur  a (1,0,0)  b(a , a 3,2h) r ng th ng A1B1 BC1 : ah 4h2  3a = ( 4h2 + 3a2 ) d2 3a2 ( h2 - d2 ) = 4h2d2 a Hoàng Th Ng c Anh 2dh 3(h2  d ) 56 K29A Toán Tr ng HSP Hà N i Khoa Tốn Khóa lu n t t nghi p VI L p toán ch ng minh b t đ ng th c đ i s Vi c áp d ng ph ng pháp t a đ đ ch ng minh b t đ ng th c đ i s t c ta chuy n tốn t ngơn ng đ i s sang ngơn ng hình h c Trên c s s t ng ng -1, ngh a ng v i m i c p s ( a,b) ta có m t m h tr c t a đ B ng cách làm nh th nhi u toán b t đ ng th c đ m t cách ng n g n đ n gi n r t nhi u ta ch n đ c ch ng minh c t a đ thích h p Ví d 1:  a  b2  a Bi t r ng a , b , c th a mãn  c2  d  d  c Ch ng minh r ng : (1) (2) (a  c)2  (b  d )2  2 Nh n xét: T u ki n gi thi t (1) (2) ta th y có d ng gi ng v i ph đ ng trình ng trịn n u ta a , b bi n Do ta ngh đ n vi c chuy n tốn thành tốn hình h c t ng ng Gi i Trên m t ph ng t a đ xét M ( a,b) N (c,d) 1 T (1)  (a  )2  (b  )2  2 Do M n m đ 1 ng tròn I ( ; ) , bán kính R = 2 1 T (2)  (c  )2  (d  )2  2 Hoàng Th Ng c Anh 57 K29A Toán Tr ng HSP Hà N i Khoa Tốn Khóa lu n t t nghi p y M1 I x O J N1 Do N n m đ N i I, J c t đ Hay : 1 ng tròn J (  ;  ) , bán kính R = 2 ng tròn t i m M1, N1 Khi (a  c)2  (b  d )2  D u “ =” x y Ta gi s  2  b t đ ng th c đ M M c ch ng minh NN ; M1 ( x1 , y1 ), M1 n m tia phân giác c a góc ph n t th I III  x1 = y1 M1 thu c đ 1 ( x  )2  V y M1 (1 , 1)  T MN  M N 1 ng t ta có: M M   ng tròn ( I ; ) , ta có : x1 = M(1,1) hay a = b =1 N  N ( -1 , -1 ) hay c = d = -1 Ví d 2: Ch ng minh r ng  ABC v i đ dài c nh a, b, c ta có: Hồng Th Ng c Anh 58 K29A Toán Tr ng HSP Hà N i Khoa Tốn Khóa lu n t t nghi p 2(a  b  c)  a  b2  b2  c2  c2  a  3(a  b  c) (1) (2) Gi i Nh n xét Gi thi t toán cho a, b, c c nh c a m t tam giác Ta áp d ng h th c sau: a  b  a  b bc  bc a, b, c > ca  ca T đ t t a đ vect t ng ng v i đ dài c nh C th : Trong m t ph ng t a đ , xét: ur r r ur u (a , b) , v (b , c ) , w (c , a ) , t (1 , 1) r ur Ta có u t  r r v t ur  r r u t hay (a+b)  r r hay (b+c)  v t r r ur w t  w t (c+a)  hay a  b2 (1) b2  c (2) c2  a (3) T (1) , (2) , (3) c ng t ng v ta có: (a +b +c)   2( a  b2  b2  c2  c2  a 2 (a +b +c)  ( a  b2  b2  c2  c2  a D u “ =” x y ur r ur r u , v , w , t c ng n Ngh a (a , b) = k(1, 1)  a = b ( b, c) = l (0, 1)  b=c ( c ,a) = m (1, 1)  c = a Hoàng Th Ng c Anh 59 K29A Toán Tr ng HSP Hà N i Khoa Tốn Khóa lu n t t nghi p Khi  ABC tam giác đ u  Ch ng minh b t đ ng th c (2) r ur Ta xét : u (1, 1, 1) ; v ( a  b2 , b2  c2 , c2  a ) ur r r r Vì u v  u v  a  b2  b2  c  c  a  Theo l p lu n 2a  2b2  2c2 (*) ta có : a, b, c c nh c a tam giác nên (a - b)2 < c2  a  b2 b2  c < a  2bc c2  a < b2  2ca  T (*) (**)  c2  2ab < 2(a  b2  c2 )  Hay : < 2(a  b2  c2 ) < 2(a  b2  c2 ) < a  b2  b2  c  c  a < V y b t đ ng th c đ (a  b  c)2 a bc (**) (a +b +c) (a +b +c) c ch ng minh Ví d 3: Cho s th c a, b, c, d th a mãn u ki n: 4b - a  ; 4d  c2  Tìm giá tr l n nh t c a f(x) V i f(x) = x2  ax  b - x2  cx  d Gi i Ta có : f(x) = a 4b  a (x  )  Hoàng Th Ng c Anh 60 c 4d  c2 (x  )  K29A Toán Tr ng HSP Hà N i Khoa Tốn Khóa lu n t t nghi p a 4b  a Trong m t ph ng t a đ Oxy ta ch n A(x,0); B (  ; ) 2 c C ( ; uuur Khi : AB = AB = 4d  c2 ) 4b  a a ( x  )2  uuur 4d  c2 c ( x  )2  uuur (a  c)2 ( 4d  c2  4b  a )2  4 AC = AC = BC = BC = V i m A, B, C ta ln có: AB  AC + BC  AB - AC  BC T ta th y: f(x) = AB -AC  f(x)  (a  c)2 ( 4d  c2  4b  a )2  4 Khi : f(x) đ t giá tr l n nh t (max) b ng f ( x)max = (a  c)2 ( 4d  c2  4b  a )2  4 f ( x)max  C thu c  AB Hay uuur uuur AC = k AB ( < k < 1) c a  x k (      x)  2 Khi ta có :   2  4d  c  k.( 4b  a )  c a  ( ) x k x     2   2  4d  c  k.( 4b  a ) Hoàng Th Ng c Anh 61 K29A Toán Tr ng HSP Hà N i Khoa Tốn Khóa lu n t t nghi p N u 4d - c =  4d = c  4b = a +) a c k  Khi : x  2 v i k  (0, 1) (1  k) N u c  a d u “ =” khơng x y +) 4b  a N u 4d - c > : k  4d  c2  a 4b  a c  4d  c 2 x= 4b  a 1 4d  c Nh n xét: i v i nh ng tốn tìm giá tr l n nh t, nh nh t c a hàm s f(x) mà bi u th c c a f(x) có ch a nhi u giá tr tham s , ta gi i theo ph bi n đ i thông th B ng ph ng s r t dài dòng, nhi u thi u tr ng pháp ng h p ng pháp t a đ v i vi c ch n t a đ thích h p ta chuy n thành tốn hình h c gi i theo ph ng pháp t a đ , toán tr nên ng n g n áp d ng k t qu ví d trên, ta đ f(x) = c toán sau x2  bx  - x2  bx  10 x  R Khi đó: a = - ; b = 34 ; c = - ; d = 10 Hồng Th Ng c Anh 62 K29A Tốn Tr ng HSP Hà N i Khoa Tốn Khóa lu n t t nghi p Th a mãn u ki n: 4b  a  4.34  36  100     4d  c  4.10  36  ( 100  4)2 02   4 f(x)  f ( x)max =  x = Ch ng minh: < x2  x 1 - x2  x 1 < áp d ng k t qu v i : a = b = d = ; c = -1 Th a mãn u ki n : 4b - a = – > ; 4d - c = - > Khi f(x) = x2  x 1 - x2  x 1 =1  f ( x)   (  3)2  D u “ =” không th x y , nh v y f(x) < Hoàng Th Ng c Anh 63 K29A Toán Tr ng HSP Hà N i Khoa Tốn Khóa lu n t t nghi p K t lu n: Thông th ng m r ng m t khái ni m ta có ph ng pháp m i, m t cơng c m i đ gi i tóan Khái ni m t a đ đ i cho ta m t ph pháp m i đ gi i toán m t cách hi u qu h n Nh có ph ng ng toán nh ch ng minh vng góc, th ng hàng, tìm qu tích… nói chung đ c gi i quy t ng n g n d dàng Nh có ph ng pháp hình h c v i c s ph nghiên c u hình h c b ng ngơn ng , ph ng pháp t a đ ta có th ng pháp c a đ i s Ta c ng có th nghiên c u nh ng toán v b t đ ng th c b ng ph ng pháp c a hình h c Trong tóan h c khơng có chìa khóa v n n ng c có nh ng tốn có nhi u ph ng pháp gi i Có th l i gi i mà tơi đ a ch a ph i t i u song minh h a cho ng d ng c a ph ng pháp M c dù có nhi u c g ng song l n đ u tiên em làm quen v i vi c nghiên c u khoa h c nên khơng th tránh kh i nh ng thi u sót Em mong mu n th y cô, b n sinh viên, đ c gi đóng góp ý ki n trao đ i đ lu n v n hoàn thi n t t h n th c s tài li u tham kh o b ích c a giáo viên, sinh viên, h c sinh trung h c Ngày 19 tháng n m 2007 Sinh viên Hoàng Th Ng c Anh Hoàng Th Ng c Anh 64 K29A Toán Tr ng HSP Hà N i Khoa Tốn Hồng Th Ng c Anh Khóa lu n t t nghi p 65 K29A Toán Tr ng HSP Hà N i Khoa Tốn Khóa lu n t t nghi p M t s tài li u tham kh o Nguy n M ng Hy, Các tóan v ph ng pháp vect ph ong pháp t a đ , NXB GD 2002 Lê H ng c, Lê Bích Ng c, Lê H u Trí, Ph ng pháp gi i toán t a đ , NXB HN, 2003 Lê H ng c, Lê Bích Ng c, Thi n Kh i, Ph ng pháp gi i tốn hình h c, NXB HSP 2004 Lê H ng c, Lê H u Trí, Ph ng pháp gi i tốn gi i tích khơng gian, NXB HN 2005 Lê H ng c, Lê H u Trí, Ph ng pháp gi i tốn gi i tích m t ph ng, NXB HN 2005 V n Nh C ng, T Mân, Hình h c 12 NXB 2000 Hoàng Th Ng c Anh 66 K29A Toán Tr ng HSP Hà N i Khoa Toán Hồng Th Ng c Anh Khóa lu n t t nghi p 67 K29A Toán ... th có nhi u ph h p, ph ng pháp vect , ph ng pháp gi i khác nhau: Ph ng pháp t ng ng pháp t a đ … Vi c s d ng t a đ đ gi i toán cung c p cho h c sinh m t ki n th c m i cách nhìn m i v toán h c... II: M t s ph ng d ng gi i toán b ng ng pháp t a đ Bài 1: Ph Các b c gi i toán b ng ph ng pháp t a đ ng pháp t a đ : Khi toán cho có v n đ nh tính kho ng cách, tính góc, ch ng minh s vng góc c... Tốn Khóa lu n t t nghi p 1.4 Kho ng cách gi a đ ng th ng chéo Trong khơng gian mu n tính kho ng cách gi a đ a b ta có ph Ph đ ng th ng chéo ng pháp sau: ng pháp 1: N u bi t đ dài đo n vng góc