Luận văn sư phạm Phương trình nghiệm nguyên

tr ng đ i h c s ph m hƠ n i khoa toán ******** nguy n th h ng h nh ph ng trình nghi m ngun khố lu n t t nghi p đ i h c Chuyên ngƠnh: is Ng i h ng d n khoa h c th.s d ng th luy n hƠ n i - 2010 L ic m n hoƠn thƠnh đ tƠi nƠy em đƣ nh n đ c s giúp đ t n tình c a th y giáo, b n sinh viên khoa toán tr ng N i 2, đ c bi t lƠ cô giáo D i tr c ti p h ng Th Luy n, ng i H c S Ph m HƠ ng d n em lƠm đ tƠi nƠy Em xin g i l i c m n sơu s c, chơn thƠnh t i cô giáo D Luy n, th y cô vƠ b n sinh viên khoa toán tr ng ng Th i H c S Ph m HƠ N i đƣ giúp đ em hoƠn thƠnh khoá lu n nƠy Tuy đƣ r t c g ng song ch c ch n đ tƠi v n khơng tránh kh i có nh ng thi u sót, v y em r t mong đ c s góp ý c a th y cô, b n sinh viên vƠ b n đ c đ đ tƠi nƠy đ c hoƠn thi n h n n a Hà N i, tháng n m 2010 Sinh viên th c hi n Nguy n Th H ng H nh L i cam đoan Em xin cam đoan : Khoá lu n t t nghi p nƠy lƠ k t qu c a trình h c t p, nghiên c u n l c c a em v i s giúp đ c a th y cô , b n sinh viên khoa toán tr ng d n t n tình c a giáo D i H c S Ph m HƠ N i 2, đ c bi t lƠ s h ng ng Th Luy n Trong q trình lƠm khố lu n em có tham kh o nh ng tƠi li u có liên quan đƣ đ c h th ng m c tƠi li u tham kh o Khoá lu n t t nghi p " Ph ng trình nghi m ngun " khơng có s trùng l p v i khố lu n khác Hà N i, tháng n m 2010 Sinh viên Nguy n Th H ng H nh M cl c Trang Ph n I M đ u Lí ch n đ tƠi M c đích, yêu c u c a đ tƠi it ng, ph m vi nghiên c u Nhi m v nghiên c u Ph ng pháp nghiên c u Ph n II N i dung Ch ng khái ni m c b n 1.1 Tính chia h t t p s nguyên 1.2 c chung l n nh t vƠ b i chung nh nh t 1.3 ng d 1.4 VƠi đ nh lí c b n c a s h c 1.5 Thu t toán clit 10 1.6 Ph 1.7 Liên phơn s 11 1.8 Công th c t ng quát c a dƣy đ c bi t 14 Ch ng trình nghi m nguyên 10 ng Ph ng trình iơph ng 16 2.1 Ph ng trình b c nh t hai n 16 2.2 Ph ng trình b c nh t nhi u n 24 Ch ng Ph ng trình Pell 27 3.1 Ph ng trình Pell lo i I 27 3.2 Ph ng trình Pell lo i II 33 Ch ng Ph ng trình Pitago 42 4.1 Gi i ph ng trình Pitago 42 4.2 M t vƠi tính ch t c a b ba Pitago nguyên th y 45 4.3 Ch Ví d s d ng b s Pitago 45 ng Ph ng trình Fermat 50 5.1 ch ng minh đ nh lí l n Fermat v i n = 50 5.2 L ch s v ch ng minh đ nh lí l n Fermat 54 Ch ng Ph ng trình đ ng d m t n 57 6.1 Các khái ni m 57 6.2 Ph 6.3 Ph ng trình b c nh t ax b ( mod m) 57 ng trình đ ng d f(x) ( mod m) 60 K t lu n 66 TƠi li u tham kh o 67 Ph n I m đ u Lí ch n đ tƠi Toán h c lƠ m t nh ng ngƠnh khoa h c đ i s m nh t, vƠ s h c lƠ m t nh ng n n t ng cho s đ i tốn h c M t khác ph ng trình nghi m nguyên lƠ đ tƠi lí thú c a s h c, đƣ lơi cu n nhi u đ c gi nghiên c u, l ch s toán h c đƣ có r t nhi u nhƠ tốn h c l n nghiên c u v v n đ nƠy nh iôph ng hay Fermat v i nh lí l n Fermat lƠ bƠi tốn đ nhƠ tốn h c nghiên c u, tìm tòi cách gi i su t h n ba th k Tuy nhiên ch nguyên ch a đ ng trình ph thơng hi n ph ng trình nghi m c dƠnh nhi u th i gian c ng th mƠ h c sinh th lúng túng gi i bƠi tốn v ph ng r t ng trình nghi m nguyên, đ c bi t lƠ kì thi h c sinh gi i Ph n l n ph ng trình nghi m ngun khơng có cách gi i t ng quát M i bƠi toán, đòi h i có cách gi i quy t v n đ riêng, có m t cách gi i riêng phù h p Do đòi h i em h c sinh ph i t duy, sáng t o vi c gi i ph ng trình nghi m nguyên Song v n có m t s ph nguyên có cách gi i riêng : ph Pitago, ph ng trình nghi m ng trình b c nh t m t n, ph ng trình Pell, nh ng chúng ch a đ ng trình c h th ng m t cách đ y đ , rõ rƠng V i nh ng lí em đƣ ch n đ tƠi ph ng trình nghi m nguyên M c đích, yêu c u c a đ tƠi tƠi nh m h th ng đ y đ vƠ xác cách gi i c a m t s ph ng trình nghi m nguyên: Ph nh t nhi u n), ph ng trình iơph ng( b c nh t hai n vƠ b c ng trình Pell ( lo i I vƠ lo i II), ph ph ng trình Fermat, ph it ng trình đ ng d m t n ng, ph m vi nghiên c u ng trình Pitago, it ng nghiên c u: Ph ng trình nghi m nguyên Ph m vi nghiên c u : Do h n ch v m t th i gian c ng nh n ng l c b n thơn nên đ tƠi ch d ng l i vi c nghiên c u m t s ph nghi m nguyên đ c bi t Nhi m v nghiên c u tƠi nghiên c u v n đ sau: Ch ng Các khái ni m c b n Ch ng Ph ng trình iơph ng Ch ng Ph ng trình Pell Ch ng Ph ng trình Pitago Ch ng Ph ng trình Fermat Ch ng Ph ng trình đ ng d m t n Ph ng pháp nghiên c u - Nghiên c u, phơn tích tƠi li u - H th ng, khái quát v n đ - S u t m, gi i quy t bƠi toán - T ng k t kinh nghi m ng trình Ph n II N i dung Ch ng Các khái ni m c b n 1.1 Tính chia h t t p s nguyên nh ngh a Gi s a vƠ b lƠ s nguyên Ta nói b chia h t a hay a chia h t cho b n u nh có s nguyên q cho a = bq Khi y ta nói b lƠ c c a a hay a lƠ b i c a b vƠ vi t b a hay a  b nh ngh a M t s t nhiên p > đ ch có c g i lƠ s nguyên t n u c s lƠ vƠ *) Các tính ch t c b n c a tính chia h t 1) N u a, b nguyên d ng mƠ a  b a ≥ b 2) N u  b ( i = n) (a1+ a2 + + an)  b nh lí v phép chia v i d V i m i c p s nguyên a, b, b ≠ t n t i nh t c p s nguyên q,r tho mƣn h th c a = bq + r ,  r  b 1.2 c chung l n nh t ( CLN) vƠ b i chung nh nh t (BCNN), nh ngh a a) M t s nguyên d đ nguyên a1, a2, ,an n u d lƠ b) M t c g i lƠ c chung c a s c c a m i s nguyên c chung d c a s nguyên a1, a2, ,an cho m i c a a1, a2, ,an đ u lƠ cc ad,đ c g i lƠ c chung c chung l n nh t c a s Kí hi u d = (a1, a2, ,an) c) Các s nguyên a1, a2, ,an đ c g i lƠ nguyên t n u c chung l n nh t c a chúng b ng m t nh ngh a a) Gi s a1, a2, ,an lƠ nh ng s nguyên khác S nguyên b đ c g i lƠ b i chung c a a1, a2, ,an n u b lƠ b i c a m i s nguyên b) M t b i chung m c a s nguyên khác không a1, a2, ,an cho m i b i chung c a a1, a2, ,an đ u lƠ b i c a m, g i lƠ b i chung nh nh t c a s Kí hi u : m = [a1, a2, ,an] *) Các tính ch t c b n c a 1) V i s nguyên d CLN BCNN ng a, b ta có : (a,b)[a,b] = ab 2) Cho m ≠ ta có (ma1,ma2, ,man) = m(a1,a2, ,an) [ma1,ma2, ,man] = m[a1,a2, ,an] 3) V i m i s nguyên a, b t n t i s nguyên r, s cho ar + bs = (a,b) 4) d=(a,b) ( a b , ) = d d 5) N u (a,b) = t n t i s nguyên r, s cho ar + bs = 6) N u (a,b) = , a bc a c 1.3 ng d nh ngh a Cho m lƠ m t s nguyên d ng Ta nói hai s nguyên a vƠ b đ ng d v i theo môđun m n u phép chia a vƠ b cho m ta đ c m t s d Kí hi u a Nh n xét: a b (mod m) b (mod m)  a = b + mt  m (a – b) *) Các tính ch t c b n c a đ ng d th c 1) Quan h đ ng d lƠ m t quan h t 2) N u ng đ ng Z bi (mod m) ,i = n ta c ng có n n  ka   kb (mod m), k = ± i i 1 3) N u i 1 i bi (mod m) ,i = 1…n ta c ng có n n a  b i 1 i i 1 i (mod m) 4) Gi s a, b  Z cho: a b (mod m1), a a b (mod m) v i m = [m1, m2, , mk] nh ngh a T p th theo môđun m đ b (mod m2), , a b (mod mk) ta có ng c a t p h p s nguyên Z quan h đ ng d c g i lƠ t p h p l p th ng d mơđun m vƠ kí hi u lƠ Zm.M i ph n t c a Zm g i lƠ m t l p th ng d môđun m N u A  Zm vƠ a lƠ m t s ngun thu c A ta kí hi u : A = a (mod m) nh ngh a Cho m lƠ m t s nguyên d nguyên l y ng T p h p H g m nh ng s m i l p th ng d c a Zm m t vƠ ch m t s đ c g i lƠ m t h th ng d đ y đ môđun m VD: V i m = ta có {0,1,2,3,4,5,6} lƠ m t h th ng d đ y đ môđun 1.4.VƠi đ nh lí c b n c a s h c 1.4.1 nh lí c b n c a s h c.( nh lí c b n v s nguyên t ) Cho n lƠ s nguyên d ng (n>1) Khi n ln có th bi u di n đ c m t cách nh t ( khơng tính đ n vi c s p x p th t nhơn t ) d i d ng sau:    n = p1 p2 pk k Trong k, i, (i = 1, k ) lƠ s t nhiên vƠ pi (i = 1, k ) lƠ s nguyên t Khi d ng phơn tích đ nguyên d c g i lƠ d ng khai tri n t c c a s ng n 1.4.2 nh lí Fermat Cho p lƠ m t s nguyên t vƠ a lƠ s nguyên tu ý : ap N u (a,p) = ap -1 1.4.3 nh lí a ( mod p) ( mod p) le 10 Ví d Ch ng minh ph nguyên d ng trình x4 - 4y4 = z2 (1) khơng có nghi m ng Gi i Gi s trái l i , ph nghi m ngun d ng trình có nghi m ngun d ng , v i zo bé nh t Ta có : xo4 - 4yo4 = zo2 Tr ng G i (xo,yo,zo) (2) c h t ta ch (xo,yo) = Th t v y , n u trái l i t n t i c nguyên t chung p c a xo,yo , t c xo  p, yo  p , xo4 - 4yo4  p4 Vì th t (2) =>zo2  p4 hay zo  p2 Do xo  p, yo  p, zo  p2 nên đ t xo = px1, yo = py1, zo = p2z1 Thay l i vƠo (2) ta có : p4(x14 - 4y14)= p4z12 => x14 - y14 = z12 (3) => (x1,y1,z1) c ng lƠ nghi m nguyên d ng c a (1) Do zo = p2z1 nên zo > z1 u nƠy mơu thu n v i đ nh ngh a c a nghi m (xo,yo,zo) V y u gi s lƠ sai , t c (xo,yo) = + N u xo ch n (xo = 2k ) Thay vƠo (2) ta đ c (2k)4 – 4yo4 = zo2 => 16k4 – 4yo4 = zo2 (3) Nên zo ch n ( zo = 2h) thay vƠo (3) ta đ c: 16k4 – 4yo4 = 4h2 => 4k4 – yo4 = h2 (4) Vì xo ch n ,(xo,yo) = => yo l => yo4  ( mod ) T (4) suy : h2  - (mod 4) (5) Vì a2  (mod 4), a2  (mod 4) nên t (5) suy u vơ lí V y x o ch n lƠ sai + N u xo l : (x2o)2 - (2y2o)2 = zo2  (x2o)2 = (2y2o)2 + zo2 (6) T (6) suy (zo, 2yo2,xo2) lƠ b ba Pitago Do (xo,yo) = , nên (2yo2,xo2)= => (zo, 2yo2,xo2) = Do (zo, 2yo2,xo2) lƠ m t b ba Pitago nguyên thu , 2yo2 ch n nên theo tính ch t nghi m t n t i a, b nguyên d = 1; a,b không tính ch n l : 55 ng a > b; (a,b) 2 yo2  2ab  yo2  ab   2 2   x a b  xo  a  b  o (7) (8) Vì (a,b) = nên t (7) suy a = r2, b = s2 Do xo2 = r4 + s4 => (r,s, xo) lƠ m t nghi m nguyên d x4 + y4 = z2 trình i u nƠy vơ lí theo ch ng minh ph x4 + y4 = z2 khơng có nghi m nguyên d ph ng ng trình ng V y u gi s lƠ sai, t c ng trình x4 - 4y4 = z2 khơng có nghi m nguyên d Ví d Gi i ph ng c a ph ng ng trình x4 – 2y4 = Gi i x4 – 2y4 =  (y2)4 + x4 = (y4 + 1)2 (*) Do ph khơng có nghi m nguyên d ng trình x4 + y4 = z2 ng nên (*) vô nghi m 5.2.L ch s v ch ng minh đ nh lí l n Fermat Ng bi t đ i ta đƣ tìm th y ch ng minh c a Fermat v i n = , nh ng không c ông đƣ gi i bƠi toán t ng quát nh th nƠo Li u l i gi i c a ơng có sai l m hay không? Ch bi t r ng ph i đ n m t th k sau, le m i ch ng minh đ c bƠi toán v i n = n m 1753 th g i Gônbach N m 1825, b ng nh ng phát minh m i v lí thuy t s , irichle vƠ L gi ngđr ch ng minh đ N m 1839 Lame ch ng minh đ ch ng minh đ c v i n = c v i n = Sau kho ng n m 1850 Kume c v i m i n ≤ 100 N m 1978 nh máy tính n t ng i ta đƣ ch ng minh bƠi toán v i m i n nh h n 125000 Ph ng trình xn + yn = zn đ c g i lƠ ph ng trình Fermat Nó đƣ lơi cu n nhƠ tốn h c chuyên nghi p vƠ nghi p d su t h n ba th k Trên đ ng tìm cách gi i ph ng trình đó, nhi u lí thuy t toán h c m i đƣ đ c sáng t o Trong b n ch c n m g n đơy, nhi u nhƠ toán h c đƣ đ t đ c nh ng k t qu quan tr ng VƠ đ ch ng minh đ nh lí l n Fermat, ch 56 ch ng minh gi thuy t Taniyama nêu : M i đ đ ng cong elliptic đ u lƠ ng cong Weil Chúng ta tìm hi u đơi chút u nƠy Ta xem m i nghi m nguyên c a ph nguyên c a m t đ ng cong ng cong elliptic đ 1955 m t h i ngh qu c t ph ng trình lƠ m t m có to đ c Taniyama đ a n m Nh t B n, lƠ đ ng cong cho b i ng trình y2 = x3 + mx2 + nx + p tho mƣn u ki n khơng có m kì d NhƠ tốn h c Fermat v i đ c Frey lƠ ng i đ u tiên g n vi c ch ng minh đ nh lí l n ng cong elliptic : Gi s đ nh lí l n Fermat khơng t n t i s nguyên a, b, c khác vƠ s t nhiên n cho a n + bn = cn Khi t n t i m t đ ng cong elliptic d ng Frey N m 1986, Ribet ch ng minh đ n u t n t i khơng ph i lƠ đ c r ng : ng cong elliptic d ng Frey ng cong Weil Nh th n u đ nh lí l n Fermat khơng t n t i m t đ elliptic mƠ không ph i lƠ đ ng cong Weil, trái v i gi thuy t Taniyama i u có ngh a lƠ n u ch ng minh đ ch ng minh đ ng cong c gi thuy t Taniyama c ng c đ nh lí l n Fermat Tháng n m 1993, m t h i ngh toán h c qu c t Anh, nhƠ toán h c Anh Andrew Wiles, sinh n m 1953, công b ch ng minh gi thuy t Taniyama cho đ ch ng minh đ ng cong elliptic d ng Frey dƠy 200 trang, t c lƠ đƣ c đ nh lí l n Fermat Tháng 12 n m y, ng i ta tìm th y m t "l h ng" ch ng minh c a Wiles Tuy nhiên chuyên gia l nh v c nƠy cho r ng đ c a Wiles lƠ h p lí, sai l m c a Wiles lƠ có th kh c ph c đ úng nh ng c v y, m t n m sau, tháng 10 n m 1994, A.Wiles v i R.Taylor công b m t bƠi báo dƠi 25 trang hoƠn thi n cách ch nh minh c a Wiles tr c đơy 57 Vi c ch ng minh đ c đ nh lí l n Fermat cho th y b óc c a ng th t di u kì : B t c đ nh cao trí t ê nƠo ng Khơng có bƠi tốn nƠo mƠ ng i khơng gi i đ 58 i c ng có th v i n t i c, ch có s m hay mu n Ch ng Ph ng trình đ ng d m t n 6.1.Các khái ni m nh ngh a Ph ng trình đ ng d m t n lƠ m t đ ng d th c d ng F(x) Hay G(x) (mod m) f(x) (mod m) (*) Trong F(x), G(x), g(x) lƠ đa th c m t n v i h s nguyên nh ngh a a) N u v i x = xo  Z ta có đ ng d th c f(xo) ta nói xo nghi m ph b) Gi i m t ph ph (mod m) ng trình (*) ng trình đ ng d lƠ tìm t p h p s nguyên nghi m ng trình đ ng d c) N u s nguyên xo nghi m ph nguyên thu c l p x ng trình đ ng d (*) t t c s xo (mod m) đ u nghi m ph ta nói l p xo (mod m) lƠ m t nghi m c a ph ng trình (*) Khi y ng trình (*) Do Zm có m ph n t nên ta có h qu sau : H qu S nghi m c a m t ph v ng trình đ ng d theo mơđun m khơng t q m Vì v y đ tìm nghi m c a ph ng trình đ ng d ta ch vi c l n l t cho x l y giá tr c a m t h th ng d đ y đ vƠ th xem giá tr nƠo nghi m ph ng trình nh ngh a Ta nói ph t ng đ ng trình đ ng d : g(x) (mod m1) h(x) (mod m2) ng v i n u nh t p h p s nguyên nghi m ph trình nƠy lƠ t p h p s nguyên nghi m ph 6.2.Ph ng trình ng trình b c nh t ax  b (mod m) (1) (b  0) 6.2.1 i u ki n có nghi m vƠ s nghi m 59 ng nh lí Ph ng trình (1) có nghi m vƠ ch (a,m) = d b Khi (1) có nghi m có d nghi m Ch ng minh i u ki n c n: Gi s (1) có nghi m , có x o  Z cho axo  b (mod m) Vì d a nên d axo vƠ d m theo tính ch t c a đ ng d th c d b i u ki n đ : Gi s ng c l i (a,m) = d b t a = a 1d, m = m1d, b = b1d, : (1)  a1x  b1 (mod m1) (2) (a1,m1) = Cho x ch y qua h th ng d đ y đ mơđun m1 , a1x c ng ch y qua m t h th ng d đ y đ mơđun m1 nên có m t th ng d nh t xo h cho : a1xo th ng d b1 ( mod m1) , ngh a lƠ (2) có nghi m nh t lƠ l p xo ( mod m1) Vì (2)  (1) nên xo ( mod m1) c ng lƠ t p h p giá tr c a x nghi m (1) , l p nƠy lƠ h p c a d l p th ng d mơđun m , lƠ d nghi m c a (1): xo , xo  m1 , , xo  (d  1)m1 (mod m) V y (1) có d nghi m 6.2.2 Cách gi i ph ng trình b c nh t ax  b (mod m) Trong ch ng minh th y đ gi i (1) ta đ a v gi i (2) (a1,m1) = Do sau đơy ta s tìm nghi m c a ph ng trình : ax  b (mod m) Ta gi thi t 1< a < m Cách : Xác đ nh nghi m b ng cách chia cho a + N u a b nghi m c a (1) lƠ x b (mod m) a + N u a không chia h t b có k ( ≤ k ≤ a – 1) đ a chia h t b + km Khi (1)  ax x b + km (mod m ) , ta có nghi m lƠ b  km (mod m) a Cách : Xác đ nh nghi m b ng cách dùng đ nh lí le 60 Vì (a,m) = nên a V yx a (m) – (m) (mod m) => a (m) b b (mod m) b (mod m) lƠ nghi m c a (1) Cách : Xác đ nh nghi m b ng cách s d ng liên phân s Ta khai tri n đ n gi n phơn cu i m thƠnh liên phơn s , gi s a Pn 1 Pn ; Qn 1 Qn m =[ao;a1,a2, ,an] a Theo tính ch t c a gi n phơn có : Pn1Qn  PnQn1  (1)n Nh ng a = Qn , m = Pn nên aPn-1 – mQn-1 = (- 1)n aPn-1 (- )n (mod m) => ab(-1)n Pn-1 V y nghi m c a lƠ : x Ví d Gi i ph a) 3x ng th c nƠy cho ta : b (mod m) b(-1)n Pn-1 (mod m) ng trình đ ng d sau: ( mod 8) b) 18x ( mod 42) c) (a + b)x a2 + b2 (mod ab) (a,b) = Gi i a) Cách 1: Ta có (3,8) = 3.3 – = => 3(3.7) – 7.8 = => 3.21 = + 7.8 => x V y nghi m c a ph 21 ( mod 8) ng trình lƠ: x (mod 8) Cách 2: Ta có (3,8) = nên theo đ nh lí le có => 3(33.7) (mod 8) => x V y nghi m c a ph 33.7 ng trình lƠ: x b) Ta có (18,42) = Xét ph 21 (mod 7) => x Nghi m c a (*) lƠ x 35 = 34 (mod 8) (mod 8) (mod 8) ng trình 3x (*) có (3,7) = nên theo đ nh lí le có => 3.35 (8) (7) ( mod 7) (*) = 36 (mod 7) (mod 7) (mod 7) ph 61 ng trình đƣ cho có nghi m lƠ : ý x 5;x + 1.7 ; x + 2.7 ; x + 3.7 ; x + 4.7 ; x + 5.7 (mod 42) c) Ta có ( a + b, ab) = (a + b)(a + b) = a2 + b2 + 2ab => x a + b ( mod ab) V y ph ng trình có nghi m lƠ x Ví d Gi i ph a + b ( mod ab) ng trình 113x ( mod 289) Gi i Ta có (113,289) = nên ph Ta có bi u di n Do 289 = [2; 1,1,3,1,5,2] đơy lƠ m t liên phơn s c p 113 P5 133  => 113.133 – 289.52 = Q5 52 Hay 113.133 (mod 289) V y nghi m c a ph 6.3 Ph ng trình nƠy có nghi m nh t ng trình đƣ cho lƠ : x ng trình đ ng d : f(x) Xét ph 133.5 87 ( mod 289) (mod m) (1) ng trình (1), f(x)  Z[x], f(x) có b c n , m> Ta có m có d ng    phơn tích tiêu chu n lƠ m = p1 p2 pk k Trong k, i (i = 1, ,k) s t nhiên vƠ pi (i = 1, ,k) lƠ s nguyên t tho mƣn: 1< pi< < pk Do (1) s t gi i ph ng đ ng v i h f(x) ng trình (1) đ a v gi i ph ( mod pii ) i = 1,2, ,k V ng trình d ng f(x) Nh n xét: N u x = xo lƠ nghi m c a (2) , nghi m c a ph ng trình f(x) Nh v y m i nghi m c a ph nƠo c a ph ng trình f(x) ( mod p ) ( v ( mod y vi c p ) (2) > x = xo c ng lƠ i m i õ = 1, 2, , – 1) ng trình (2) lƠ m t b ph n c a m t nghi m ( mod 62 p  ) (v i m i õ = 1, 2, , – 1) i u nƠy cho phép ta tìm nghi m c a ph c a ph ng trình f(x) ng trình (2) ch nghi m (mod p) nh lí Cho đa th c f(x) = anxn + + a1x + ao h s nguyên Xét ph ng trình đ ng d f(x) (mod p) (*) m = p lƠ m t s nguyên t N u ph ng trình (*) có n + nghi m phơn bi t ( mod p) m i h s a i ( i = 0,1,2, ,n) đ u chia h t cho p Nói riêng f(a) (mod p)  a  Z Ch ng minh Ta ch ng minh quy n p theo n V i n = kh ng đ nh Th t v y, gi s a1x1 + ao ( mod p), a1x2 + ao ( mod p) vƠ x1, x2 lƠ nghi m phơn bi t Tr v suy a 1(x1 – x2) (mod p) => a1 (mod p) => ao 0 (mod p) Gi s kh ng đ nh v i m i đa th c b c k < n Ta ch ng minh u c ng v i k = n Gi s (*) có n + nghi m phơn bi t x 1, x2, , xn+1(mod p) Xét đa th c g(x) = f(x) – an(x – x1) .(x – xn) Ta có deg(g) g( xn+1) mod p) => an (mod p) => an(xn+1 – x1) .(xn+1 – xn) 0( (mod p) Xét đa th c h(x) = f(x) – anxn = an-1xn-1 + + a1x +ao Ta có deg(h) < n h(x) có n nghi m phơn bi t x1,x2, ,xn Theo gi thi t quy n p suy t t c h s an – , , ao đ u chia h t cho p Chú ý: nh lí đ c ch ng minh nh lí không n u m lƠ h p s Thí d xét ph ng trình x - (mod 8), ta có s 1, 3, 5, đ u lƠ nghi m phơn bi t (mod 8) T đ nh lí suy ph ng trình đ ng d b c n ( mod p) có nhi u nh t n nghi m phơn bi t 63 6.3.1.Cách gi i ph Tr ng trình f(x) c h t ta gi i ph ( mod ng trình f(x) p ) (1) (mod p) (2) vƠ tìm đ c giá tr xo tho mƣn (2) Gi s xo tho mƣn ph ng trình f(x) ( mod p 1 ) ,v i >1 a) N u f’(xo)  (mod p) ( f’(x) lƠ đ o hƠm c a hƠm s f(x)) l p th ng d x xo (mod (1) Khi ph p 1 ) có m t vƠ ch m t nghi m c a ph ng trình ng trình : f ( xo )  tf '( xo )  0(mod p) p 1 Cho nghi m t = to(mod p) T suy x xo + top –1 (mod p ) lƠ nghi m c a (1) b) N u f’(xo) (mod p) l p th ng d x p nghi m ho c khơng có nghi m nƠo c a ph ng trình đ ng d sau: a) 3x2 + 2x + (mod 19) (1) b) x3 + 6x2 + (mod 27) c) 9x2 + 29x + 62 (2) (mod 16) (3) Gi i a) (1)  3x2 – 17x + 20 (mod 19)  (x – 4)(3x – 5) (mod 19)  x  4(mod19)  x  4(mod19)  3x  5(mod19)  x  8(mod19)   64 p 1 ) ng trình (1) tu theo có chia h t cho p hay khơng Ví d Gi i ph xo (mod ho c có f ( xo ) p 1 b) Xét ph c a ph ng trình x3 + 6x2 + ng trình lƠ x (mod 3) , b ng phép th ta đ 1(mod 3) Ta có f’(x) = 3x2 + 12x vƠ f’(x) (mod 3) B i v y m i nghi m c a 1(mod 3) đ u nghi m ph x3 + 6x2 + ngh a lƠ (*) có nghi m x V ix (mod 3) f (1) =3 ng th i f(1) = nên nghi m x 1(mod 9) ta có ng trình (mod 9) (*) 1;4;7(mod 9) f (1) + t.f’(1)  + 15.t (mod 3) (mod 3) => khơng có giá tr nƠo c a t tho mƣn V ix f (4) + t.f’(4) 4(mod 9) ta có  18 + 96t (mod 3) (mod 3) t  1(mod 3)   t  2(mod 3) t  3(mod 3) => nghi m c a (2) lƠ x V i x 7(mod 9) ta có 13; 22; ( mod 27) f (7) + t.f’(7)  71 + 231.t (mod 3) (mod 3) => khơng có giá tr nƠo c a t tho mƣn V y ph c) Tr ng trình đƣ cho có nghi m lƠ x c h t ta gi i ph 13; 22; ( mod 27) ng trình f(x) = 9x2 + 29x + 62 Ta có c nghi m (*)  x2 + x  x(x + 1) (mod 2) (mod 2) 65 (mod 2) (*) Ph ng trình nƠy v i m i x, ngh a lƠ x 0; (mod 2) Ta có f’(x) = 18x + 29 f ( xo ) + t.f’(xo) + V i xo = ta có  31 + 29.t  Suy x (mod 4) f ( x1 ) + t.f’(x1) Bơy gi v i x1 = ta có  39 + 65t  Suy x  Suy x (mod 2) (mod 8) f ( x2 ) + t.f’(x2) 70 + 137t t  (mod 2) (mod 2) t1 x1 + t1.22 V i x2 = ta có (mod 2) (mod 2) to xo + to.2 (mod 2) (mod 2) (mod 2) (mod 2) (mod 16) + V i nghi m x Ví d Gi i ph (mod 2) lƠm t ng t nh ta đ cx (mod 16) ng trình đ ng d sau x3 + 6x2 + (mod 18) (1) Gi i Ta có 18 = 2.32 Xét ph ng trình x3 + 6x2 + D th y (*) có nghi m x Xét ph (mod 2) ng trình x3 + 6x2 + B ng phép th ta đ (mod 2) (*) (mod 9) (**) c nghi m c a ph f’(x) = 3x2 + 12x vƠ f’(x) ng trình lƠ x (mod 3) 66 1(mod 3) Ta có ng th i f(1) = nên nghi m x f (1) =3 (mod 3) B i v y m i nghi m c a 1(mod 3) đ u nghi m ph x3 + 6x2 + ngh a lƠ (**) có nghi m x ng trình (mod 9) 1;4;7(mod 9)  x  2(mod 2)(1) Ta có h : H (I)   x  1(mod 9)(2)  x  2(mod 2)(3) H (II)   x  4(mod 9)(4)  x  2(mod 2)(5) H (III)   x  7(mod 9)(6) Gi i h nƠy ta tìm đ c nghi m c a ph ng trình đƣ cho Gi i h (I): T (1) => x = + 2t, t Z thay vƠo (2) ta đ + 2t Thay tr l i x ta đ (mod 9)  t c (mod 9)  t = + 9u, u Z c x = 10 + 18u hay x 10 (mod 18) Gi i h (II) : T (3) => x = + 2t, t Z thay vƠo (4) ta đ + 2t Thay tr l i x ta đ (mod 9)  t c (mod 9)  t = + 9u, u Z c x = + 18u hay x (mod 18) Gi i h (III) : T (5) => x = + 2t, t Z thay vƠo (6) ta đ + 2t Thay tr l i x ta đ V y ph (mod 9)  t c (mod 9)  t = + 9u, u Z c x = 16 + 18u hay x ng trình đƣ cho có nghi m lƠ : x 67 16 (mod 18) 4; 10; 16 (mod 18) K t lu n Trong khoá lu n Ph cách gi i v ph ng trình nghi m nguyên em đƣ trình bƠy nh ng ng trình nghi m nguyên: ph ph ng trình b c nh t nhi u n, ph ph ng trình Fermat ng trình b c nh t hai n, ng trình Pell, ph ng trình Pitago, Trong khố lu n em c ng đƣ đ a m t s ví d vƠ l i gi i c th đ i v i t ng d ng ph ng trình M c dù khố lu n có đ a m t s ph ng trình nghi m ngun nhiên r t nh so v i ki n th c v ph ng trình nghi m ngun, song khố lu n nƠy c ng lƠ tƠi li u cho em h c sinh, đ c bi t lƠ em h c sinh gi i, th y cô giáo, b n sinh viên tham kh o Dù đƣ c g ng r t nhi u song khố lu n c ng khơng tránh kh i nh ng thi u sót em r t mong nh n đ c s góp ý c a th y cô b n sinh viên vƠ b n đ c đ khoá lu n c a em đ c hoƠn thi n h n n a Em xin chơn thƠnh c m n M t l n n a em xin g i l i c m n chơn thƠnh vƠ sơu s c t i cô giáo D ng Th Luy n, th y cô giáo b n sinh viên Khoa Toán Tr ng i H c S Ph m HƠ N i II đƣ giúp em hoƠn thƠnh khoá lu n nƠy Hà N i, tháng n m 2010 Sinh viên Nguy n Th H ng H nh 68 TƠi li u tham kh o Phan Huy Kh i, Ph ng trình nghi m nguyên, NXB Giáo D c Hà Huy Khoái, Chuyên đ b i d ng h c sinh gi i ph thông s h c, NXB Giáo D c L i c Th nh, Giáo trình s h c, NXB Giáo D c Nguy n Ti n Quang, Bài t p s h c, NXB Giáo D c V H u Bình, Ph ng trình toán v i nghi m nguyên, NXB Giáo D c Tuy n ch n theo chuyên đ toán h c tu i tr ( Quy n 1) , NXB Giáo D c Nguy n V Thanh, Chuyên đ b i d ng chuyên toán c p – s h c, NXB tr Nguy n V n M u, M t s v n đ s h c ch n l c, NXB Giáo D c Ngô Thúc Lanh, i s s h c t p 1, NXB Giáo D c 10 Bùi Huy Hi n _ Nguy n H u Hoan , Bài t p NXB Giáo D c 69 i s s h c t p 1, ... h s nguyên vƠ n x,y,z, nh n giá tr nguyên 2.1.Ph đơy ta ch xét ph ng trình iơph ng b c nh t ng trình b c nh t hai n.(ph LƠ ph ng trình vơ d nh) ng trình có d ng ax + by = c (1) a,b,c lƠ s nguyên, ... ph ng trình nghi m nguyên Song v n có m t s ph nguyên có cách gi i riêng : ph Pitago, ph ng trình nghi m ng trình b c nh t m t n, ph ng trình Pell, nh ng chúng ch a đ ng trình c h th ng m t... c hi n a vƠ b 1.6 Ph ng trình nghi m nguyên Gi i ph ng tình ch a n x, y, z, v i nghi m nguyên lƠ tìm t t c b s nguyên (x, y , z ) tho mƣn ph Khi gi i ph ng trình ng trình nghi m ngun ph i l