Luận văn sư phạm Phương pháp giải một số bài toán chứa tham số

TR NG I H C S PH M HÀ N I KHOA tỐN ====== o0o ====== HỒNG TH C M NGUYÊN PH NG PHÁP GI I M T S BÀI TỐN CH A THAM S TĨM T T KHỐ LU N T T NGHI P Chuyên ngành: is Ng Hà N i – 2013 -1- IH C ih ng d n khoa h c GVC V NG THÔNG L IC M N Trong th i gian th c hi n đ tài khóa lu n t t nghi p, d b o t n tình c a th y h ng d n đ c phía nhà tr i s ch ng t o u ki n thu n l i Em có m t trình nghiên c u, tìm hi u h c t p nghiêm túc đ hoàn thành đ tài K t qu thu đ c không ch n l c c a b n thân mà cịn có s giúp đ c a q th y cơ, gia đình b n Em xin bày t lòng bi t n sâu s c t i th y cô giáo giúp đ em c bi t th y V thành t t đ tài v ph ng Thông th y h ng d n, h tr em hoàn ng pháp, lý lu n n i dung su t th i gian th c hi n khóa lu n t t nghi p -2- L I CAM OAN Khóa lu n đ thân s h c hồn thành d i s tìm hi u, nghiên c u c a b n ng d n t n tình c a th y giáo V ng Thơng Trong khóa lu n có tham kh o k t qu nghiêm c u c a m t nhà khoa h c Em xin kh ng đ nh k t qu c a khóa lu n khơng chép t b t kì đ tài Em xin ch u hoàn toàn trách nhi m v l i cam đoan c a Hà N i, tháng n m 2013 Sinh viên Hoàng th C m Nguyên -3- M CL C U M Lý ch n đ tài M c đích nghiên c u it ng ph m vi nghiên c u Nhi m v nghiên c u ng pháp nghiên c u Ph C u trúc khóa lu n Ch ng 1: M T S PH BÀI TOÁN CH A THAM S VÀ NG PHÁP GI I 1.1 Hàm s ch a tham s 1.1.1 Tìm m đ c bi t c a h hàm s 1.1.2 Cho h hàm s y  f ( x, m) , m tham s Tìm m đ h đ th t ng giao v i m t đ ng m t ph ng 13 1.1.3 Cho m M có t a đ ph thu c vào tham s m Tìm qu tích m M m thay đ i 18 1.2 Ph ng trình ch a tham s 26 ng trình f  x, m   có 1.2.1 Tìm u ki n c a tham s m đ h ph nghi m D 26 ng trình f  x, m   có 1.2.2 Tìm u ki n c a tham s m đ h ph nghi m th a mãn m t s u ki n D 31 1.3 B t ph ng trình ch a tham s 36 1.3.1 Tìm u ki n c a tham s m đ h b t ph 1.3.2 Tìm u ki n c a tham s f  x, m   -4- m đ h ng trình 36 b t ph ng trình có nghi m th a mãn m t s u ki n D 39 1.4 H ph ng trình ( b t ph ng trình) ch a tham s 42 1.5 Tìm giá tr l n nh t, nh nh t c a bi u th c toán h c 47 CH NG 2: XÉT M T S C U TRÚC IS D NG X  d  54   2.1 Bài toán xét c u trúc đ i s d ng   d   a  b d a, b   , d tham s 54 2.2 Bài toán xét c u trúc đ i s d ng X  1   a  ib a, b  X  X m t t p b t kì 57 K T LU N 59 DANH M C TÀI LI U THAM KH O 60 -5- M U Lý ch n đ tài i s m t ngành toán h c nghiên c u m t cách tr u t ng h th ng s đ m phép tính gi a chúng, bao g m c m t s ch đ cao c p nh lý thuy t nhóm, vành, tr ng i s gi ng d y ng ph thông ch y u liên quan đ n phép tính s th c, tr hàm s , ph ng trình đ th s c p Các nhà tốn h c g i môn đ i s s c p Trong nhà tr ng ph thông, môn tốn gi m t v trí h t s c quan tr ng Nó giúp h c sinh h c t t môn h c khác, công c c a nhi u ngành khoa h c khác, công c đ ho t đ ng đ i s ng th c t Mu n h c t t mơn tốn ngồi n m v ng lí thuy t cịn c n ph i làm nhi u t p luy n t p Trong mơn tốn d ng tốn ch a tham s đ ch ph thơng có r t nhi u c phân chia thành nhi u toán nh ng trình h c Tuy nhiên d ng toán ch a đ lo i rõ ràng h th ng đ y đ c ng ch a đ a đ gi i m t cách t h “Ph ng pháp ng minh V i mong mu n tìm hi u sâu h n v đ i t s c ph c phân ng d n c a th y h ng nói đ c ng d n, em quy t đ nh ch n đ tài ng pháp gi i m t s toán ch a tham s ” đ trình bày khóa lu n t t nghi p đ i h c M c đích nghiên c u M c đích c a khóa lu n phân d ng đ a ph pháp gi i m t cách chi ti t toán ch a tham s -6- ng it a) ng ph m vi nghiên c u it ng nghiên c u it ng nghiên c u ph ng pháp gi i c a d ng toán ch a tham s b) Ph m vi nghiêm c u Ph m vi nghiên c u m t s d ng t p ph ng pháp gi i toán ch a tham s Nhi m v nghiên c u Nhi m v nghiên c u phân lo i, h th ng d ng toán ch a tham s Ph ng pháp nghiên c u Phân tích t ng h p ki n th c C u trúc khóa lu n Khóa lu n g m ch ng: Ch ng : M t s tốn có ch a tham s Ch ng : Xét m t s c u trúc đ i s d ng X  d  -7- Ch ng 1: M T S PH BÀI TOÁN CH A THAM S VÀ NG PHÁP GI I 1.1 Hàm s ch a tham s 1.1.1 Tìm m đ c bi t c a h hàm s Gi s ta có h hàm s y  f (m, x) m tham s thu c t p h p A ( A có nhi u h n giá tr ) có m t hàm s c th t đ i, m  A ta đ ng v i m i giá tr m  A ta ng ng v i m t đ th c th Khi m thay c m t h hàm s có t ng ng m t h đ th Có th phân m m t ph ng t a đ thành lo i: - i m mà m i đ th c a h hàm s cho qua (đi m c đ nh), - i m ch có s đ th c a h cho qua, - i m khơng có đ th c a h cho qua 1.1.1.1 i m mà m i đ th c a h hàm s cho qua (đi m c đ nh) i m M ( x0 , y0 ) đ m i đ th c a h t a) Ph Ph ng ng v i m i m  A đ u qua M ng pháp gi i Có nhi u ph d ng ph c g i m c đ nh c a h hàm s cho ng pháp gi i cho tốn song ta th ng pháp đa th c ph ng s ng pháp gán giá tr ng pháp đa th c D a vào k t qu sau: m t đa th c b c n khơng có q n nghi m, đa th c b c n, f ( x)  a0 x n  a1 x ( n1)   an có nhi u h n n nghi m ch đa th c đ ng nh t b ng đa th c không, t c ch a0  a1    an  , t ta có h ph ph ng trình ta tìm đ c x0 , y0 -8- ng trình n x0 , y0 , gi i h c 1: G i M ( x0 , y0 ) m c đ nh c n tìm c a h hàm s - B y  f (m, x), m  A Khi đó, theo đ nh ngh a m M n m m i đ th c a h hàm s cho t c y0  f ( m, x0 )  m  A  hay y0  f  m, x0    m  A  (1)  a0  x0 , y0  m k  a1  x0 , y0  m k 1    ak  x0 , y0   (m  A) (2) Theo tính ch t c a đa th c t (2) ta suy ra:  a0  x0 , y0     a1  x0 , y0       ak  x0 , y0    -B  3 c 2: H (3) xã đ nh t a đ m M H (3) có nghi m h đ th hàm s có t ng y m c đ nh -B c 3: Th l i Chú ý: V i m t s tr Xem v ng h p ta xét f '( x0 , m)  s thu n ti n h n ph i c a đ ng th c m t hàm s đ i v i m: F  m   f  m, x0  F  m   y0  m  A  , t c F  m  h ng s đ i v i m T đây, suy ra: F '  m   (m  A)  A0 ( x0 )m n  A1 ( x0 )m( n1)   An ( x0 )  (m  A) T ta suy đ c h ph ng trình xác đ nh hồnh đ m M:  A0  x0 , y0     A1  x0 , y0       Ak  x0 , y0    Tìm đ c x0 , cho m m t giá tr đ tìm y0 -9- Ph ng pháp gán giá tr Không ph i đ th hàm s c ng có th đ a v d ng đa th c, s s d ng ph ng pháp tr ng h p c 1: Ta gán cho m giá tr th nh t, ta s có đ -B Gán cho m giá tr th hai, ta s tìm đ c hàm s c hàm s f1 ( x ) f ( x ) -B c 2: Tìm giao m c a hàm s -B c 3: Ta ch ng minh giao m m c n tìm f1 ( x) , f ( x) b) Ví d minh h a VD1: Cho h hàm s y  x   m  1 x   2m  3m   x  2m(2m  1) (*) m   tham s Tìm t t c nh ng m c đ nh c a h đ ng cong Gi i : Cách c 1: G i M ( x0 , y0 ) m c đ nh c n tìm Khi đó, B y0  x03   m  1 x02   2m  3m   x0  2m(2m  1) hay   x0  m   x0  x02   m   x03  x02  x0  y0   (m) i u t ng đ ng v i: 4  x0   3x0  x0     x0  x0  x0  y0  B c 2: H có m t nghi m nh t x0  2; y0  B c 3: Ng c l i: thay x0  2; y0  vào h hàm s ta đ 23  (m  1)22  (2m  3m  2).2  2m(2m  1)    m   4m  6m   4m  2m    0m  v i m - 10 - c: VD3: Tìm p đ h sau vô nghi m ( p  x )( p  x  2)    x  Gi i H cho vô nghi m ch f ( x )  ( p  x )( p  x  2)  ;  x  i u ki n c n: Gi s f ( x)  ;  x  nh v y ta có:  f (1)    f (0)    f (1)  ( p  1)( p  3)  p 0  (1) p( p  2)      p     ( p  1)( p  1)  V y (1) u ki n c n đ f ( x)  ;  x  i u ki n đ : i) N u p  p  x  (x) Do 1  x   p  x   1  ( p  x )( p  x  2)  ; x  ii) N u p  Do 1  x   p  x   p  x   ( p  x )( p  x  2)  ; x  V y p  ho c p  u ki n c n đ đ h cho vô nghi m c) Bài tốn áp d ng Bài 1: Tìm a đ h sau có nghi m  x  ( y  3)  (1)  (2)  y  2ax áp s : a   - 51 - 3 16 Bài 2: Tìm a, m đ h sau có nghi m nh t   (  x   y )sin a  (  y   x )cos a  m sin(a  )  (  x   y )cos a  (  y   x )sin a  m cos(a   )  áp s : m  4; a Bài 3: Tìm a, b, c đ h sau có nghi m a cos x  b sin x  c   2 a sin x  b cos x  c  áp s : a  b  2c  1.5 Tìm giá tr l n nh t, nh nh t c a bi u th c toán h c a) Bài toán Cho m t bi u th c toán h c ch a tham s , m i giá tr c a tham s s cho ta m t bi u th c toán h c khác Lúc bi u th c có th có ho c khơng có GTLN, GTNN Mu n tìm GTLN, GTNN c a bi u th c toán h c ta có th làm theo m t s ph ng pháp sau ng pháp b t đ ng th c Ph Cho hàm s f ( x) xác đ nh mi n D Ta nói r ng: S M GTLN c a f ( x) D, n u đ ng th i th a mãn hai u ki n sau đây: i) f ( x)  M x  D ii) T n t i x0  D , cho f ( x0 )  M Khi ta s kí hi u M  max f ( x) xD S m GTNN c a f(x) D, n u đ ng th i th a mãn hai u ki n sau đây: - 52 - i) f ( x)  m x  D ii) T n t i x0  D , cho f ( x0 )  m Khi ta s kí hi u m  f ( x) xD ng pháp b t đ ng th c d a tr c ti p vào đ nh ngh a Nh v y Ph s d ng ph ng pháp đ tìm GTLN, GTNN c a hàm s m t mi n D ta s ti n hành theo hai b c: -B c 1: Ch ng minh m t b t đ ng th c -B c 2: Tìm m t m mi n D cho ng v i giá tr đ ng th c v a tìm đ Ph f ( x) y, b t c tr thành đ ng th c ng pháp mi n giá tr hàm s c 1: G i y0 m t giá tr tùy ý c a hàm s xét mi n cho -B i u có ngh a h ph ng trình sau ( n x) có nghi m  f ( x)  y0  x  D c 2: Tùy d ng c a h ph ng trình mà có u ki n có nghi m thích h p Trong nhi u tr ng h p, u ki n y sau bi n đ i -B rút g n s đ a v d ng   y0   c 3: Vì y0 m t giá tr b t kì c a f ( x) , nên t u ta suy -B đ c f ( x )   xD Ph Ph xD ng pháp chi u bi n thiên ng pháp xét chi u bi n thiên c a hàm s đ tìm GTLN GTNN c a m t hàm s xét mi n D đ -B max f ( x)   c ti n hành nh sau: c 1: B ng cách s d ng ki n th c v tam th c b c 2, nh th c b c nh t, ta l p b ng bi n thiên c a hàm s mi n D cho - 53 - -B c 2: D a vào b ng bi n thiên so sánh giá tr đ c bi t đ đáp s c a toán Khi s d ng ph ng pháp ta c n l u ý nh ng u sau đây: N u trình gi i, ta dùng phép bi n đ i ( đ cho tốn đ n gi n h n) , toán m i t đ nh m i mà ta s tìm đ ng đ ng, ta ph i xác đ nh l i mi n xác c GTLN, GTNN c a hàm s đ c đ n gi n hóa b) Ví d minh h a VD1: Tìm GTNN c a hàm s f ( x, y, z )  xy  yz  zx  mxyz , xét mi n D  ( x, y, z ) : x  0, y  0, z  0; x  y  z  1 bi n lu n theo tham s m Gi i N u ( x, y, z )  D , áp d ng theo b t đ ng th c Cauchy ta có: x yz xyz       27 (1) N u ( x, y, z )  D x  0, y  0, z  , ta có b t đ ng th c Cauchy 1 1 ( x  y  z)      x y z 1 1  xy  yz  zx  xyz     x y z Do x  y  z   xy  yz  zx  xyz N u ( x, y, z )  D xyz  , rõ ràng xy  yz  zx  xyz V y ta có ( x, y, z )  D xy  yz  zx  xyz T ta suy ra: f ( x, y, z )  (9  m) xyz ( x, y, z )  D (2) Xét kh n ng sau: - N u m  , t (2) ta có: f ( x, y, z )  ( x, y, z )  D - 54 - L i có f (0,0,1)  f (0,1,0)  f (1,0,0)  (0,0,1);(0,1,0);(1,0,0)  D V y tr ng h p f ( x, y , z )  ( x , y , z )D - N u m   m  t (1) (2) ta có: f ( x, y , z )  9m ( x, y, z )  D 27 1 1 9m 1 1 L i có f  , ,    , ,   D 27 3 3 3 3 Trong tr ng h p f ( x, y, z )  ( x , y , z )D 0  V y ta có f ( x, y, z )    m ( x , y , z )D  27 VD2: Cho hàm s f ( x)  9m 27 m9 m9 x  px  q , x   Tìm p q cho x2  max f ( x)  f ( x)  1 x x Gi i G i y0 giá tr tùy ý c a hàm s , ph ng trình sau có nghi m ( n x) x  px  q  y0 (1) x2  D th y (1)  ( y0  1) x  px  ( y0  q )  (2) Xét kh n ng: N u y0  , (2) có nghi m p  ho c p  0; q  N u y0  , (2) có nghi m   4 y02  4(q  1) y0  p  4q  - 55 - ng trình : 4t  4(q  1)t  ( p  4q)  (4) Xét ph G i t1 , t2 nghi m c a ph ng trình (4), nghi m c a (3) là: t1  y0  t2 D th y r ng t1   t2 V y k t h p tr ng h p ta đ c a (2) là: t1  y0  t2 , t1 , t2 nghi m c a ph ta đ c nghi m ng trình (4) T c: max f ( x)  t2 ; f ( x)  t1 x x Nh v y tốn cho tr thành: Tìm p q cho ph ng trình (4) có nghi m 1 Theo đ nh lý Viet ta có:  4(q  1) 8    4q  p  9  q    p  8 V y có c p giá tr th a mãn toán : ( p  8; q  ) ho c ( p  8; q  7) VD3: Tìm GTLN, GTNN c a hàm s f ( x)   x  mx  mi n 1  x  Gi i Ta nhân th y f ( x)   x  mx  m t parabol có a  1  có hồnh đ đ nh x  m T ta xét kh n ng sau: N u m  ta có b ng bi n thiên sau x 1 f ( x) - 56 - m T suy max f ( x)  f (1)  m 1 x 1 f ( x)  f (1)   m 1  x 1 N u m  2 ta có b ng bi n thiên sau x m 1 f ( x) T suy max f ( x)  f (1)  m 1 x 1 f ( x)  f (1)  m 1  x 1 N u 2  m  ta có b ng bi n thiên sau x m 1 f ( x) m 4m T suy max f ( x)  f    1  x 1 2 f ( x)   f (1), f (1)  m, m 1 x 1   m,  m    m,   m  V y m2  m,    m2 max f ( x)   , 2m2 1  x 1  m  2  m, - 57 -   m, m  f ( x)   1  x 1  m, m  c) Bài toán áp d ng Bài 1: Tìm GTLN c a hàm s f ( x, y, z )  x  y  z xét mi n D  ( x, y, z ) : x  0, y  0, z  : x  my  36,2 x  z  72 bi n lu n k t qu theo m  cho tr c ,m  36  áp s : max f ( x, y, z )   36 ( x , y , z )D m 24 ,0     m Bài 2: Cho hàm s đ f ( x)  x  4ax  a  2a, xét 2  x  Tìm a f ( x)  2 x 0 áp s : a   ho c a  1 Bài 3: Cho hàm s f ( x)  2 x  x  a , xét 1  x  Tìm a đ max f ( x) đ t giá tr nh nh t 1 x 1 áp s : a  - 58 - 23 16 CH NG 2: XÉT M T S C U TRÚC IS D NG X  d    2.1 Bài toán xét c u trúc đ i s d ng   d   a  b d a, b   , d tham s Ta xét m t s tr ng h p sau:  V i d = Ta có   d        Vành s nguyên  v i ánh x :  :  *  n n m t vành clit Ta có  m t mi n nguyên Ánh x  :  *  Ta ph i ch ng minh  m t ánh x clit Th t v y : - N u a, b  * b a a   (b)  b  a   (a ) - V i ph n t a , b tùy ý c a  , b  ta ln có q, r  cho : a  bq  r r  b suy :  (r )   (b) n u r  ( đccm) V y  m t ánh x clit  V i d = 1 Ta có   d     1    i  Vành  i  v i ánh x  :  i  *  a  bi  a  b m t vành clit - T đ nh ngh a ta có th d dàng nhìn th y : n u a, b  i  b a a   (b)   (a) - 59 - - V i x, y   i  ta ph i tìm q, r thu c  i  cho x  yq  r ; n u * r   (r )   ( y) Mu n v y xét gi c ng tìm đ x     i  (i ) Ta bi t r ng m t s h u t  bao y c m t s nguyên a cho  a  1 hay   a  C ng làm nh v y v i s h u t  , ta có b   cho:  b  1 hay   b  4 t q  a  bi , ta có: 2 x  yq x   q     i    a  bi  y y  (  a )  i (   b)  (  a )  (   b)  1   1 4 2 x  yq 2 V y  hay x  yq  y y t r  x  yq , ta đ V y  m t ánh x c x  yq  r v i  (r )   ( y) n u r  clit hay  i  m t vành clit  V i d =  Ta có   d     3    i  Vành  i  v i ánh x  :  i  *  a  bi  a  3b2 - 60 - V i m i s   a  bi ph c ta g i chu n c a N ( )    a  b2 Khi n u  ,  hai s ph c ta có N ( )  ( )( )        N ( ) N (  ) Nh v y n u    i  mà  c c a N ( )  Ta có : N (2)  4; N (1  i 3)  4; N (1  i 3)  Do s 2;  i 3;  i không ch ng minh khơng có c c a Bây gi ta ph i c th c s A Gi s   x  yi m t c c a N (  )  x  y ph i c c a T c ho c N ( )  ho c N (  )  ho c N ( )  N u N ( )     0i ho c   1  0i nên  cc a N u N (  )  x  y  u không th x y N u N ( )  ta có:  c th c s c a nên ta có   , mà N (  )   N (2) nên ta suy N ( )  hay   1 nên ta có  liên k t v i V y khơng có c th c s  i  , ph n t b t kh quy  i  T ng t ta ch ng minh đ c  i 3;  i c ng nh ng ph n t b t kh quy  i  Nh v y  i  , có s phân tích thành m t tích nh ng ph n t b t kh quy:  2.2  (1  i 3)(1  i 3) V y  i  không m t vành chính, c ng khơng m t vành clit ( Ta có đ nh lí : N u A m t vành clit A s m t vành ) - 61 - 2.2 Bài tốn xét c u trúc đ i s d ng X  1   a  ib a, b  X  X m t t p b t kì Ta xét m t s tr ng h p sau:  V i X   ta có X  1    i  vành s nguyên Gauss xét  V i X   ta có X  1    i  Ta có  i  vành c a  Th t v y: V i n  , n  n  0i    i  ,    i  nên  i    Gi s a  bi, c  di  i  , v i a, b, c, d  Ta có: (a  bi )  (c  di )  (a  c)  (b  d )i   i  ( a  c  ; b  d   ) (a  bi )(c  di )  (ac  bd )  (ad  bc)i   i  ( ac  bd  ; ad  bc   ) V y  i  vành c a  , Vì  giao hốn nên  i  c ng giao hốn, có đ n v  0i , ph n t  0i Ta tìm nh ng m  ni; p  qi   i  c c a không vành  i  Gi c c a khơng T ta có m  ni; p  qi   0i (m  ni)( p  qi)   0i Mà (m  ni)( p  qi)  (mp  nq)  (np  mq)i Do m, n, p, q  m, n, p, q  nên mp  nq  mp  nq (1)  (m  ni )( p  qi )   0i   np  mq  np   mq (2) - 62 - s T (1) ta có : m q  n p T (2) ta có: m p  n q Suy : q p    q  p  vơ lí p, q  ; p, q  p q V y gi s sai,  i  khơng có c c a V y  i  m t mi n nguyên  V i X   ta có X  1    i    tr ng s ph c  V i X   ta có X  1    i    tr ng s ph c - 63 - K T LU N Ph n n i dung c a khóa lu n trình bày v ph ng pháp gi i m t s toán ch a tham s m t s v n đ liên quan Qua khóa lu n này, em đ t đ c nh ng k t qu ch y u sau : - Trong ch ng em có t ng k t đ ph thông ph ng pháp gi i c a chúng - Trong ch tr c m t s d ng toán c b n ng em nêu toán m i xét đ cm ts ng h p đ n gi n c a tốn Sau q trình nghiên c u, em hi u thêm đ c nhi u ki n th c m i, c ng c cho thêm nhi u ki n th c v đ i s Dù có nhi u c g ng song u ki n khách quan c ng nh ch quan, khóa lu n khơng tránh kh i nh ng thi u sót, em mong nh n đ s ch b o c a th y cô giáo Hà N i, tháng n m 2013 Sinh viên Hoàng Th C m Nguyên - 64 - c DANH M C TÀI LI U THAM KH O Ph m V n i u (2001) , M t s ph toán s c p 1, 2, , Nxb Phan Huy Kh i (1999) , Ph ng pháp ch n l c gi i i h c Qu c gia, Hà N i ng pháp đ th đ bi n lu n h có tham s , Nxb Giáo d c, Hà N i Phan Huy Kh i (1999), trình b t ph i u ki n c n đ đ bi n lu n ph ng ng trình ch a tham s , Nxb Giáo d c, Hà N i Phan Huy Kh i (2002), Các ph ng pháp tìm giá tr l n nh t, giá tr nh nh t, Nxb Giáo d c, Hà N i Hồng Xn Sính (2008), is đ ic ng, Nxb Giáo d c, Hà N i Bùi Huy Hi n (2009), Bài t p đ i s đ i c ng, Nxb Giáo d c, Hà N i Nguy n L u (2012), “ S d ng h đ i x ng hai n lo i II đ gi i ph ng trình”, T p chí Tuy n ch n theo chuyên đ toán h c & tu i tr , quy n 6, tr 11 – 12, Nxb Giáo d c Vi t Nam - 65 - ... ng pháp gi i c a d ng toán ch a tham s b) Ph m vi nghiêm c u Ph m vi nghiên c u m t s d ng t p ph ng pháp gi i toán ch a tham s Nhi m v nghiên c u Nhi m v nghiên c u phân lo i, h th ng d ng toán. .. th c toán h c 47 CH NG 2: XÉT M T S C U TRÚC IS D NG X  d  54   2.1 Bài toán xét c u trúc đ i s d ng   d   a  b d a, b   , d tham s 54 2.2 Bài toán. .. đ tài ng pháp gi i m t s toán ch a tham s ” đ trình bày khóa lu n t t nghi p đ i h c M c đích nghiên c u M c đích c a khóa lu n phân d ng đ a ph pháp gi i m t cách chi ti t toán ch a tham s -6-