Luận văn sư phạm Phương trình loại Elliptic

i h c s ph m Hà N i Khố lu n t t nghi p KHĨA LU N T T NGHI P Ph ng trình lo i Elliptic Ng i h ng d n: TS Tr n V n B ng Sinh viên: V Th Mai Khoa: Tốn Khóa : 2006-2010 V Th Mai K32B-Khoa Tốn i h c s ph m Hà N i 2 Khoá lu n t t nghi p L ic m n hồn thành khóa lu n t t nghi p này, tơi xin bày t lịng bi t n chân thành t i th y giáo cô giáo khoa Toán H c – Tr ng i H c S Ph m Hà N i 2, t n tình giúp đ ch b o su t th i gian theo h c t i khoa th i gian làm khóa lu n c bi t tơi xin bày t lịng bi t n sâu s c t i T.S Tr n V n B ng – Gi ng viên khoa Tóan H c - Tr tr c ti p h ng i H c S Ph m Hà N i 2, ng ng d n tôi, t n tâm ch b o đ nh h su t q trình làm khóa lu n đ tơi có đ i ng cho tơi c k t qu nh ngày hôm M c dù có r t nhi u c g ng, song th i gian kinh nghi m b n thân cịn nhi u h n ch nên khóa lu n không th tránh kh i nh ng thi u sót r t mong đ c s đóng góp ý ki n c a th y cô giáo, b n sinh viên b n đ c Hà N i, tháng n m 2010 Sinh viên V Th Mai V Th Mai K32B-Khoa Toán i h c s ph m Hà N i Khoá lu n t t nghi p M cl c N i dung Trang M đ u Ch ng Nh ng ki n th c chu n b Các khái ni m t ng quát M t s ph ng trình V t Lí-Tốn Phân lo i ph Ph ng trình n tính c p 13 ng trình t c 16 Bài tốn Cơsi Ch ng Ph ng trình lo i Elliptic Thi t l p ph Ph 19 ng trình 30 ng trình Laplace Hàm u hịa Tính nh t s ph thu c liên t c c a nghi m c a 34 toán biên M t s ví d v hàm Green 40 Ph 57 ng pháp tách bi n Fourier gi i toán biên Bài toán Dichlet mi n b ch n 62 Bài tốn Dirichlet mi n khơng b ch n 60 Bài toán Newman 72 K t lu n 73 Tài li u tham kh o 74 V Th Mai K32B-Khoa Toán i h c s ph m Hà N i Khoá lu n t t nghi p M đ u Toán h c m t môn khoa h c g n li n v i th c ti n S phát tri n c a Toán h c đ c đánh d u b i nh ng ng d ng c a Toán h c vào vi c gi i quy t toán th c ti n Trong l nh v c toán h c ng d ng th g p r t nhi u toán liên quan đ n ph Ra đ i t nh ng n m 60, ph kh ng đ nh đ ng ng trình vi phân đ o hàm riêng ng trình đ o hàm riêng nhanh chóng c v trí t m quan tr ng c a khoa h c nói chung Tốn h c nói riêng c bi t ph ng trình đ o hàm riêng lo i Elliptic có ng d ng r t l n khoa h c th c ti n Chúng ta bi t r ng, vi c nghiên c u tính ch t đ nh tính vi c tìm nghi m c a ph ng trình đ o hàm riêng lo i Elliptic r t khó kh n ph c t p V i kh n ng ng d ng r ng rãi khoa h c th c ti n, v y nhà Toán h c t p trung nghiên c u tìm đ ph ng pháp đ gi i tốn v ph c nhi u g trình đ o hàm riêng lo i Elliptic cs h ng d n t n tình c a T.S Tr n V n B ng v i lịng u thích mơn em xin m nh d n nghiên c u đ tài :Ph ng trình lo i Elliptic Khố lu n g m ph n *Ch *Ch V Th Mai ng : ng 2: Nh ng ki n th c chu n b Ph ng trình Elliptic K32B-Khoa Toán i h c s ph m Hà N i Ch Ph Khoá lu n t t nghi p ng 1: Nh ng ki n th c chu n b ng trình đ o hàm riêng n tính §1: Các khái ni m t ng qt M t ph ng trình liên h gi a n hàm u  x1 , x2 , , xn  , bi n đ c l p  x1 , x2 , , xn  đ o hàm riêng c a đ c g i ph ng trình vi phân đ o hàm riêng Nó có d ng:   u u  ku , , k1 , F  x1 , , xn , u, , , 0 kn     x x x x 1 n n   F hàm c a đ i s c a C p cao nh t c a u có m t ph ph ng trình đ c g i c p c a ng trình Ví d : Ph ng trình đ o hàm riêng c p có d ng:  u u  F  x1 , , xn , u, , ,  =0 x1 xn   Ph (1.1) ng trình đ o hàm riêng n tính c p c a hàm bi n có d ng:  u u  2u  2u  2u  F  x, y, u, , , , , 0 x y x y xy   Ph ng trình đ o hàm riêng đ c g i n tính n u nh n tính đ i v i n hàm t t c đ o hàm riêng c a nó: Ví d  2u  2u  2u u u  c  x, y   d  x, y   e  x, y  a  x, y   2b  x, y  x xy y x y  f  x, y  u  g  x, y  ây ph V Th Mai ng trình n tính c p K32B-Khoa Tốn i h c s ph m Hà N i Ph ng trình đ o hàm riêng đ Khoá lu n t t nghi p c g i n tính n u nh n tính v i m i đ o hàm c p cao nh t c a n hàm Ví d a  x, y, u, u x , u y   2u  2u  2u b x y u u u c x y u u u , , , , , , , ,     x y x y x2 xy y2  d  x, y, u, u x , u y   ây ph ng trình n tính c p ux , u y kí hi u c a u u , x y Gi s F xác đ nh mi n G c a không gian 2n+1 chi u Hàm u  u  x1, x2 , , xn  liên t c v i đ o hàm riêng c p c a mi n D c a không gian n chi u đ c g i nghi m c a ph ng trình (1.1) D n u : V i m i  x1, x2 , , xn   D a  u u  , , , , , , , , x x u x x     G n n x1 xn   Khi thay u  u  x1, x2 , , xn  vào (1.1) ta đ b c đ ng nh t th c D Bài tốn Cơsi: Tìm nghi m u    x1, x2 , , xn  c a ph ng trình (1.1) cho x1  x10 u    x1, x2 , , xn   m t hàm cho tr c ta c ng có th thay vai trị x1 b ng m t bi n l i V Th Mai K32B-Khoa Toán i h c s ph m Hà N i §2: M t s ph Ph Khoá lu n t t nghi p ng trình V t lí-Tốn ng trình truy n nhi t Gi s   R3 v t th v i biên tr n G i u  x, t   u  x1, x2 , t  nhi t đ t i th i m t (t>0) Theo đ nh lí v t lí m t s u ki n nh t đ nh (  -đ ng ng, u  x, t   C 2.1    [0,T ] , ) h u ( x, t ) th a mãn ph C ( x)  ( x) ng trình đ o hàm riêng c p sau: u   u     k( x)   f ( x, t ) t i 1 xi  xi  (2.1) Trong C ( x) -nhi t dung riêng c a  t i x  ( x) -kh i l ng riêng k( x) -h s truy n nhi t  c a x f ( x, t ) -h s ngu n nhi t riêng c a x t i th i m t c bi t C ( x) ,  ( x) , k( x) h ng s c,  , k (2.1) tr u  2u     f ( x, t ) t i 1 xi thành V i Kí hi u: k h s khu ch tán c n u   i 1  2u xi2 n=3 ta có ph ng trình u   u  f ( x, t ) t Ph ng trình (2.2) đ c g i ph (2.2) ng trình truy n nhi t  Các u ki n b sung: i u ki n ban đ u u( x,0)  0 v i x  (2.3) i u ki n biên V Th Mai K32B-Khoa Toán i h c s ph m Hà N i + Th nh t   u t + Th hai Khoá lu n t t nghi p  1 ( x, t )  ( x, t )   [0,T] (2.4)  2 (2.5) Khái ni m: Bài tốn tìm nghi m c a ph ng trình đ o hàm riêng (2.2) th a mãn u ki n b sung: u ki n ban đ u (2.3) u ki n biên (2.4) ho c (2.5) đ đ i v i ph c g i toán biên ban đ u th nh t (th hai) ng trình truy n nhi t Ph ng trình Laplace, Poison Trong ph ng trình truy n nhi t, n u nhi t đ đ c gi n đ nh (không ph thu c vào th i gian t) u ( x) cho phân b nhi t d ng c a  Và (2.2) có d ng: (2.6) đ u  f ( x) x c g i ph ng trình Poisson f ( x)   u  -ph (2.6) ng trình Laplace Hàm u  C () th a mãn u  đ c g i hàm u hòa  Các u ki n b sung: i u ki n biên th nh t (Dirichlet) u i u kiên biên th hai (Newman) u    0   1  u  |       i u ki n biên th 3(h n h p)   u       Ph ng trình truy n sóng Nhi u ph ng trình dao đ ng (truy n sóng) có d ng:  2u  a u  f ( x, t ) t V Th Mai K32B-Khoa Toán i h c s ph m Hà N i Khoá lu n t t nghi p * Các u ki n b sung: u ( x,0)  0  i u ki n ban đ u: u  t ( x,0)  1  2u  a u  f ( x, t ) t V i n=1: ây ph ( x, t )  R  [0, T ] ng trình mơ t s dao đ ng c a s i dây i u ki n biên x [0, L] S i dây h u h n u (0, t )  u( L, t )  0t [0, T ] S i dây n a vô h n x[0, ] u (0, t )  u ki n v dáng u x   S i dây vơ h n x (, ) u ki n biên u ki n v dáng u x   Khi n=2 ph ng trình mơ t dao đ ng c a màng m ng:  2u  2u  2 u  a     f ( x, y, t ) t  x y  §3: Phân lo i ph Ph Phân lo i ph Xét ph ng trình n tính c p ng trình t c ng trình n tính c p tr ng h p bi n ng trình n tính c p v i h s th c: a ( x, y)U xx  2b( x, y)U xy  c( x, y)U yy  F ( x, y, u, u x , u y )  (*) Xét m ( x0 , y0 ) c đ nh Ph ( x0 , y0 ) đ V Th Mai ng trình (*) t i m c g i là: K32B-Khoa Toán i h c s ph m Hà N i 10 Khoá lu n t t nghi p a Thu c lo i Elliptic n u nh t i m   b  ac 0 c Thu c lo i parabonic n u nh t i m   b  ac =0 N u ph ng trình (*) t i m i m mi n G đ u thu c m t lo i ta nói r ng ph Ph ng trình y thu c lo i mi n G ng trình t c Nh n xét : Lo i c a ph ng trình (*) khơng thay đ i qua phép đ i bi n không suy bi n Ch ng minh Gi s có phép đ i bi n    ( x, y)     ( x, y) Khi ta có v i D( x, y)  x  x  0 D( , )  y  y U x  U  x  Ux U y  U  y  U y T U xx  ( x )2U  2 x xU  ( x )2U  U  xx  U xx U yy  ( y )2U  2 y yU  ( y )2U  U  yy  U yy U xy   x yU  ( x y   yx )U  x yU  U xy  U xy thay vào (*) ta đ c: a1 ( , )U  2b1 ( , )U  c1( , )U  M ( ,, u, u , u )  V i (**) a1  a x2  2b x y  c y2  b1  a x x  b( x y   y x )  c y y  2 c1  a x  2b x y  c y (3.1)  D( , )  Ta có b  a1c1  (b  ac)( x y   y x )  (b  ac)    D(c, y)  V Th Mai 2 2 K32B-Khoa Toán i h c s ph m Hà N i 59 Khoá lu n t t nghi p Do u  u B '  u  h B  u  h B '/ B Do u hàm u hịa B nên theo ngun lí c c tr u  h B  B ' ta có u  h B' Nh n xét: i, Các k t qu t ng ng đ i v i hàm nh n đ c b i vi c thay hàm u b ng – u b đ ii, Gi s  hàm b ch n + M t hàm u u hòa d  i liên t c  đ c g i hàm ch a i đ i v i  n u th a mãn u    d + Và ng c l i hàm đ i v i u hàm u hòa Iii, Theo nguyên lí c c tr , hàm d hàm d i bé h n ho c c bi t n u i ( hàm trên) b ng hàm h ng giá tr c a không l n h n inf  (không nh h n sup  )   Kí hi u S t p t t c hàm d iđ iv i  nh lí 1: Hàm u ( x)  sup v( x) u hòa  xS Ch ng minh Do nguyên lí c c tr , n u u hàm b t k thu c  th a mãn v  sup => u hàm đ c xác đ nh kh p n i  Gi s y c đ nh thu c  Theo đ nh ngh a c a hàm u, t n t i dãy (vn )  S cho ( y)  u( y) hay max(vn ,inf )  u  (vn ) b ch n Ch n R >0 cho hình c u B  BR ( y)   G i Vn m c t u hòa c a đ i v i B V Th Mai K32B-Khoa Toán i h c s ph m Hà N i 60 Khoá lu n t t nghi p Khi Vn  S ,Vn ( y)  u( y)  (Vn )  (Vnk ) h i t đ u hình c u B ( y) v i bán kính   R t i hàm u hòa V B  v  u B v( y)  u ( y) Gi s v( z)  u ( z) v i z  B u  S / v( z)  u ( z) t w k  max{u, vnk } L y m c t u hòa w k c a hàm  (w k ) dãy tùy ý h i t t i hàm u hòa w cho v  w  u B v( y)  w( y)  u ( y) Theo nguyên lí c c tr v  w B i u mâu thu n v i gi thi t ch n u T suy u hàm u hịa  nh ngh a: Cho toán Dirichlet u   , u   nghi m nghi m w đ  N u có c xây d ng nh w đ c g i nghi m Perron nh ngh a:   Hàm w  w   C () đ c g i hàm ch n t i m  đ i v i  n u: i w hàm u hào  ii w>0  \ { }, u ( )  Cách xây d ng hàm ch n Gi s B hình c u, B  ,   B, m  inf w  V\B min(m, w( x)) x   B w( x)   m x  \ B  Là hàm ch n t i m  đ i v i  V Th Mai K32B-Khoa Toán i h c s ph m Hà N i nh ngh a: M t m biên đ 61 Khoá lu n t t nghi p c g i m đ u n u t i m t n t i hàm ch n B đ 5: G a s u hàm u hòa  đ c xác đ nh đ nh lí Khi n u  m đ u biên c a mi n  , hàm  liên t c t i  u ( x)   ( ) x   nh lí 2: Bài toán Dirichlet mi n b ch n gi i đ c đ i v i giá tr biên liên t c b t kì ch t t c cac điêm biên c a mi n đ u Ch ng minh N u hàm  liên t c m biên c a mi n đ u theo b đ 5, hàm xác đ nh đ nh lí nghi m t ng úng c a toán Dirichlet Ng c l i, gi s toán Dirichlet gi i đ c đ i v i t t c giá tr biên liên t c gi s  m t m tùy ý c a biên Khi hàm u hịa nghi m c a toán Dirichlet  v i hàm liên t c  | x   | c ng hàm ch n t i m    m đ u Suy đ nh lí ph i ch ng minh T ta có k t qu : Bài tốn Dirichlet gi i đ c mi n b ch n v i biên thu c l p C2 v i hàm biên liên t c b t kì Ta c ng có th xây d ng đ c w đ n gi n h n b ng cách ch n   , hình c u B  BR ( y) cho   B    Rn2  | x  y |2n n    w( x)   | x y| n2  ln  R V Th Mai K32B-Khoa Toán i h c s ph m Hà N i 62 Khố lu n t t nghi p §7 Bài tốn Dirichlet đ i v i mi n khơng b ch n Phép ngh ch đ o bán kính vecto Cho m t c u SR tâm O bán kính R G i P m t m b t kì khơng gian, P’ m ngh ch đ o c a P đ i v i m t c u t c OP.OP '  R2 (7 1) Gi s t a đ c u c a P P (r , , )  t a đ c u c a P’ P '(r ', , ) , R2 v i r' r Gi s u (r , , )  th a mãn ph ng trình Laplace:   u    u   2u u(r , , )   r =0 (7 2)   sin      r sin  r r  r  r sin    Th c hi n phép ngh ch đ o (7 1) đ i v i SR Khi  bi n thành  ’ Ta s ch ng minh r ng hàm v(r ', , ) đ v(r ', , )  ru (r , , )  c xây d ng b i công th c R2 R2 u ( , , ) c ng th a mãn ph r' r' ng trình Laplace  ’ Ta có th gi s R=1  r '  Ta có: r   u   2u u  (ru)   r  r r  r  r r r r r Thay vào (7 2) ta đ c:  (ru )    u   2u    0 r u (r , , )   sin   r   sin    r  sin      2v    v   2v     0 sin   r r  sin      sin  r  V Th Mai K32B-Khoa Toán i h c s ph m Hà N i 63 Khoá lu n t t nghi p T r '   l y đ o hàm theo r ta có: r    dr '      r '2 r r ' dr r ' r r '  r '2   v    v   2v  2 r '  r ' sin   0     sin    2 sin r '  r '            r '4 v(r ', , )  hay v(r ', , )  Trong không gian n chi u (n>2) g i  (r , ),  (1,2 , ,n1 ) t a đ c a m t m t a đ c c c a m ngh ch đ o đ i v i m t c u đ n 1 v (r ', )  ( , ) v i r '  r' r N u u (r , ) hàm u hòa   v '(r ', )  r n1u (r , )  1 u ( , ) n2 r' r' Là hàm u hòa  ’ V i n=3: G a s u (r , , ) hàm u hòa mi n vô h n  gi thi t   S không chúa m O gi s m t biên S m t kín h u h n r   th a mãn b t đ ng th c: | u (r , , ) | A th c hi n phép đ i bi n Ken-vin biên mi n vô r h n  thành mi n gi i n i  ’ v i r '   Theo cách đ i bi n ta có: | v(r ', , ) || ru (r , , ) | A N u ta b sung cho v(r ', , ) giá tr t i m r’=0 đ cho v(r ', , ) hàm u hòa toàn mi n  ’ k c t i r’=0  u (r , , ) u hòa mi n  v(r ', , ) u hòa mi n gi i n i  ’ V Th Mai K32B-Khoa Toán i h c s ph m Hà N i 64 V y xét hàm u hịa ph Khố lu n t t nghi p ng trình Laplace mi n khơng b ch n ta có th chuy n v mi n h u h n Bài toán Dirichlet đ i v i mi n khơng b ch n Bài tốn đ c phát bi u nh sau: Gi s  mi n vô h n v i m t biên S kín, b ch n, tr n t ng m nh f ( x), x  ( x1, x2 , , xn , ) m t hàm cho tr c, liên t c S Tìm hàm u ( x) u hòa  , liên t c mi n đóng   S cho t i biên S, giá tr đ c tr ng v i hàm f ( x) nói u  Hay  u S  f ( x) (7 3) Khi x   ta có đánh giá: n  | u ( x) | C r n2 n  | u ( x) | C Ta xét toán v i tr ng h p n=3 nh lí 1: Bài tốn Dirichlet (7 3) ch có nghi m nh t Ch ng minh Gi s tốn có nghi m u1 ( x), u2 ( x)  u1 ( x), u2 ( x) đ u th a mãn (7 3) | u1 ( x) | C C ,| u2 ( x) | r r Xét hi u v( x)  u1 ( x)  u2 ( x) v   v S  | v( x) | C r   r Ta ch ng minh v( x)  toàn  Xét m t m x'  ( x1' , x2' , , xn' , )  ch ng minh r ng | v( x ') |  ;   tùy ý cho tr V Th Mai c K32B-Khoa Toán i h c s ph m Hà N i 65 Khoá lu n t t nghi p Xét m t c u SR tâm O bán kính R l n ch a m x ' SR ta có | v( x) | C  r C-const G i R mi n gi i h n b i m t biên S m t c u SR  v( x) S  Và SR t c biên S  SR ta đ u có | v( x) |  Do v( x) hàm u hòa R , liên t c mi n đóng R  S  SR nên t ngun lí c c đ i ta có | v( x) |  toàn R | v( x ') |  Do m i   tùy ý u1 ( x)  u2 ( x)  Tính nh t nghi m c a tốn nh lí 2: Nghi m c a toán Dirichlet ph thu c liên t c vào u ki n biên Ch ng minh Trên biên theo ch ng minh là: | v( x) |  | u1 ( x)  u2 ( x) |  (*) Theo h qu c a nguyên lí c c đ i | u1 ( x)  u2 ( x) |   Do u1 S  f1; u2 S  f2 n u | f1  f2 |  | u1 ( x)  u2 ( x) |  Suy nghi m c a toán ph thu c liên t c vao d ki n biên Công th c Poisson đ i v i mi n không b ch n c a hình c u i v i mi n khơng b ch n c a hình c u, ta xét toán u   u SR  f ( x), x  (r , , ) V i n=3 ta có | u | C ; r  x2  y2  z2 r Dùng phép đ i bi n Ken-vin ta có rr '  R2  u(r , , )  r ' v(r ', , ) V Th Mai K32B-Khoa Toán i h c s ph m Hà N i 66 Khoá lu n t t nghi p Khi ta có tốn đ i v i mi n không b ch n  ’ c a hình c u: v     v S  R R u (r , , ) SR  f ( x) R i v i mi n b ch n ta có cơng th c Poisson nh sau: v(r ', , )  4 R2  r '2 S  3R R f ( x')dSx' R r'  u (r , , )  r ' v(r ', , )  4 x '  (r ', , ) R2  r '2 S  3R2 f ( x')dSx' R R2 R ; x  SR Mà r '  ;  '  r r  u (r , , )  4 r  R2 S  3R f ( x')dSx' R ây công th c Poisson cho mi n không b ch n c a hình c u Và m r ng khơng gian n-chi u ta có: r  R2 u( x)  f ( x)dSx ' | S1 | SR  n R §8 Bài tốn Newman Bài toán Newman nh ngh a: G a s u ( P ) m t hàm xác đ nh mi n  v i  biên S, n pháp n c a m t S t i m P thu c S  G i Q m n m pháp n n qua m P n u t n t i u ( P ) ; Q  S gi i h n hàm liên t c c a m P thu c P Q n Q lim S đ u đ i v i m i m Q thu c S ta nói r ng u ( P ) hàm có V Th Mai K32B-Khoa Tốn i h c s ph m Hà N i 67 Khoá lu n t t nghi p đ o hàm đ u pháp n biên S đ o hàm b ng gi i h n Nh n xét: N u u(P) th a mãn: + Là hàm liên t c + Có đ o hàm riêng c p liên t c mi n đóng   S Suy u ( P ) có đ o hàm đ u theo pháp n S nh ngh a: Biên S đ c g i m t đ u n u: + T i m i m Q thu c S đ u t n t i pháp n xác đ nh + T i m i m Q thu c S ta có th xây d ng m t h t a đ  ( x1, x2 , x3 ) tr c ch a x3 trùng v i pháp n n , x1, x2 thu c m t ph ng ti p xúc c a S t i m Q ph n m t S lân c n m Q có th vi t d i d ng: x3  f ( x1, x2 ) v i f ( x1, x2 ) hàm liên t c có đ o hàm liên t c cho t i c p  Bài tốn Newman có d ng: u    lim u  P Q n Q  S  f (P) -N u  mi n b ch n ta có tốn Newman -N u  mi n không b ch n v i biên S b ch n ta có tốn Newman ngồi Bài tốn Newman i u ki n đ t n t i nghi m   T i m i m Q thu c S d ng pháp n n n l y Q’ cho d (Q, Q ')  h , h>0 c đ nh Khi Q ch y m t S Q’ t o nên m t m t kí hi u Sh Sh đ V Th Mai c g i m t song song c a m t S K32B-Khoa Toán i h c s ph m Hà N i 68 Khoá lu n t t nghi p  Theo hình h c vi phân, h đ nh , S-tr n Sh tr n n pháp  n c a S n c ng pháp n c a Sh G i Wh mi n t o gi a m t S Sh  h mi n l i t c h   \ W h Do u(P) hàm u hòa   u ( P ) liên t c có đ o hàm riêng c p mi n đóng h  Sh   Sh u dSh  n Mà u ( P ) có đ o hàm theo pháp n h  ta đ (8 3) c u S n dS  hay  f (Q)dS Q 0 (8 4) S V y u ki n đ tốn Newman có nghi m có u ki n (8 4) Bài tốn khơng có nghi m nh t Gi s (8 1), (8 2), (8 4) x y tốn có nghi m u ( P ) ta có đ t v( P )  u ( P )  C , C-const Th t v y t u   v  u v  f ( P )  lim  f ( P) P Q n P Q n Q Q lim  f (Q)dS Q  luôn th a mãn S Suy u ( P )  C nghi m c a tốn nh lí 1: Hai nghi m b t kì c a tốn Newman c a ph ng trình Laplace ch có th sai khác m t h ng s c ng V Th Mai K32B-Khoa Toán i h c s ph m Hà N i 69 Khoá lu n t t nghi p Ch ng minh Gi s u1 ( P ), u2 ( P ) nghi m c a toán (8 1), (8 2) t v( P )  u1 ( P )  u2 ( P ) Ta ch ng minh v( P )  const Theo u gi s  u1 ( P ), u2 ( P ) th a mãn (8 1), (8 2)  v  (u1 ( P )  u2 ( P ))  u1 ( P )  u2 ( P )  v( P ) (u1 ( P )  u2 ( P )) v  lim  P Q n P Q  n n Q Q lim S 0 Áp d ng công th c Green th nh t   h , u( P )  v( P )  v 2  v 2  v 2   v  Khi ta có           dV   v  dSh  n  Sh  h   x   y   z   Hàm v( P ) liên t c   S nên v( P ) b ch n Theo u1 ( P ), u2 ( P ) có đ o hàm đ u theo pháp n, nên v n Sh  v n S Do cho h  ta có  v 2  v 2  v 2           dV      x   y   z    v v v   0 x y z Suy v( P )  const Bài tốn Newman ngồi Bài tốn Newman ngồi có d ng: u   u  n S  f ( P ) | u ( P ) | C ;P   r nh lí: Bài tốn Newman ngồi (8 5) có nghi m nh t Ch ng minh V Th Mai K32B-Khoa Toán i h c s ph m Hà N i 70 Khoá lu n t t nghi p G a s u1 ( P ), u2 ( P ) ngi m c a toán (8 5)  u    u t v( P )  u1 ( P )  u2 ( P ) s tho mãn  S  f (P )  n  C   | ( ) | ,P   v P  r Xét m t ph ng song song Sh c a S   m t c u SR tâm O, Rđ l n, cho m i h đ nh Sh  SR G i hR mi n gi i h n b i Sh SR  mi n gi i h n b i SR S Áp d ng công th c Green th nh t cho hàm v( P ) mi n hR (vì v( P ) có đ o hàm riêng c p liên t c hR  v 2  v 2  v 2  v h vudV  h  x    y    z   dV  S S v n dS  R R  h R  Cho h  ta có:  v 2  v 2  v 2  v dV v dS                x y z n            R  SR  Ta có | v C C' v v C '' | ;| v | |  v dS |   | v || | dS   dS n R R n n R SR SR SR  C '' C ''    R   R R3 R (8 7) Cho R   t (8 6), (8 7) ta có: V Th Mai K32B-Khoa Toán i h c s ph m Hà N i 71 Khoá lu n t t nghi p  v 2  v 2  v 2           dV   R   x   y   z   v v u      v( P )  const x y z Và lim v( P )   v( P )  P  Suy u ph i ch ng minh V Th Mai K32B-Khoa Toán i h c s ph m Hà N i 72 Khoá lu n t t nghi p K t lu n Trên toàn b n i dung khoá lu n c a em Trong khoá lu n t t nghi p này, em trình bày nh ng hi u bi t c a v nh ng ki n th c c b n v ph ng trình vi phân đ o hàm riêng ki n th c v toán Cơsi tốn Dirichlet, Newman c a ph ng trình đ o hàm riêng lo i Elliptic Ngồi ra, q trình nghiên c u ph Elliptic cịn giúp em th y đ m t l p toán v t lí c a ph ng trình đ o hàm riêng lo i c ng d ng c a vi c gi i quy t ng trình truy n sóng Qua giúp em hi u h n r ng khoa h c c ng nh th c ti n ph ng trình đ o hàm riêng co ng d ng to l n nh th Qua vi c th c hi n nghiên c u đ tài này, em đ hi u bi t v ph c m r ng t m ng trình vi phân đ o hàm riêng làm quen v i vi c nghiên c u khoa h c M c dù có nhi u c g ng song th i gian có h n c ng v n đ m i đ i v i b n thân em, nên trình vi t c ng nh trình in n, khố lu n khơng tránh kh i nh ng thi u sót Em kính mong th y giáo b n sinh viên đóng góp ý ki n giúp em hồn thành khố lu n c a Em xin trân tr ng c m n th y giáo Khoa Tốn, tr ng H s ph m Hà N i giúp đ t o u ki n giúp em hoàn thành khoá lu n V Th Mai K32B-Khoa Toán i h c s ph m Hà N i 73 Khoá lu n t t nghi p Tài li u tham kh o Nguy n Th a H p – Giáo trình phu ng trình đ o hàm riêng – NXB H & THCN – 1976 Nguy n M nh Hùng -Ph ng trình đ o hàm riêng- NXB HSP-1996 V Tu n – Ph V Th Mai ng trình vi phân-NXBGD-1992 K32B-Khoa Tốn ... ng quát M t s ph ng trình V t Lí-Tốn Phân lo i ph Ph ng trình n tính c p 13 ng trình t c 16 Bài tốn Cơsi Ch ng Ph ng trình lo i Elliptic Thi t l p ph Ph 19 ng trình 30 ng trình Laplace Hàm u... ) ây ph ng trình t c c a ph      ph       t ng trình lo i Hypebonic ng trình có d ng U  U   N1 ( ,  , u, u , u ) ây ph V Th Mai ng trình t c th hai c a ph ng trình lo i... đ c U  U  N( , , u, u , u ) ây ph Ph Ph ng trình t c c a ph ng trình lo i Elliptic ng trình đ o hàm riêng c p c a hàm n bi n ng trình đ o hàm riêng c p c a hàm n bi n có d ng: n  a