Lê Trường Giang
PHƯƠNG TRÌNH SĨNG MỘT CHIẾU VỚI HỆ SO BIEN THIEN LIEN KET VOI DIEU KIỆN BIÊN
CHUA TICH PHAN
LUAN VAN THAC Si TOAN HOC
Thành phó Hồ Chí Minh - 2008
Trang 2
Thuyết, lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất Thầy đã rất ân cần và tận tình
hướng dẫn, giúp cho tôi nắm được từng bước nghiên cứu và giải đáp những thắc
mặc khi tôi gặp phảị Sự tận tình hướng dẫn của Thầy đã giúp tơi hồn thành luận văn nàỵ
Xin trân trọng cảm ơn quý Thầy Cô trong và ngồi khoa Tốn — Tin học trường Đại học Sư phạm Tp Hồ Chí Minh đã tận tỉnh truyền đạt kiến thức và kinh nghiệm quý báu cho tôi trong suốt thời gian học tập tại trường
Chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán — Tin học, quý Thầy Cơ thuộc phịng quản lý Khoa học Công nghệ & Sau Đại học, thư viện trường Đại học Sư phạm Tp.HCM đã tạo điều kiện thuận lợi để tơi hồn thành chương trình
học cũng như trong quá trình làm thủ tục bảo vệ luận văn tốt nghiệp
Tôi vô cùng biết ơn Thầy Kiều Ngọc Tú, hiệu trưởng Trường THPT Trần
Hưng Đạo đã tạo điều kiện thuận lợi nhất để tơi được hồn thành khóa học Tôi cũng không quên gửi lời biết ơn đến gia đình tơi, chỗ dựa tinh than
vững chắc nhất của tơị
Sau cùng, vì kiến thức bản thân còn hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót Tơi rất mong nhận được sự chỉ bảo của quý Thầy Cơ và sự góp ý chân thành của các bạn bè đồng nghiệp Tôi xin chân thành cảm ơn
Thành phó Hồ Chí Minh, tháng 10 năm 2008
Trang 3(u, P) thỏa:
u„—u, +f(u,u,)=F(x,t),0<x<1,0<t<T, (1)
u, (0, t) = P(t), (2)
u(1,t)=0, (3)
u(x,0) =u,(x),u,(x,0) =u, (x) (4)
f(u,u,)= K(x,£)ư^()u, (5)
trong do K(x,t), Ăt), F(x,t), uạ, u, là các hàm cho trước thỏa các điều kiện mà ta sẽ chỉ ra saụ Hàm chưa biết u(x,t) và các giá trị biên chưa biết P(t) thỏa
phương trình tích phân phi tuyến sau đây
P(t) =g,(t) +2,u,(0,t) + K,|u(0,t)[” u(0,)
t (6)
_ Ỉ k,(t—s)u(0,s)ds,
0
trong đó œ>2, Kạ>0,A„>0 là các hằng số cho trước và gạ(t), kạ(t) là các hàm cho trước
Trong [2], Ð.Đ.Áng và Alain Phạm đã thiết lập một định lý tồn tại và
duy nhất nghiệm cho bài toán (1) — (5) với uạ, uạ, P là các hàm cho trước, với f(u,u,) =luj” sign(u,),(0< œ< 1) (7)
Tổng quát hóa kết quả trong [2], N.T.Long va Alain Pham [3 —5, 8, 10, 11 đã xét bài toán (1), (3), (4) liên kết với điều kiện biên không thuần nhất tại
x =0 sau đây có dạng
Trang 4Trong trường hợp H(s) = h.s, voi h > 0, bai toan (1), (2), (3), (4), (8), an
ham u(x,t) va gia tri bién chwa biét P(t) thỏa bài toán Cauchy cho phương trinh vi phan thuong nhu sau
P"(t)+@°P(t)=hu,, 0<t<T, (9)
P(0)=B, P(0)=P, (10)
trong dé @>0, h>0, P,, P, 1a cac hằng số cho trước ([1], [11])
Trong [1], N.T An và N.D Triều đã nghiên cứu một trường hợp đặc biệt của bài toán (1)-(4), (7), (9), (10) véi u, =u, =P, =0 va K(x,t)=K, Ăt)=^ trong đó K, ^„ là các hằng số đương cho trước Trong trường hợp này bài toán (1) — (4), (9), (10) là mơ hình tốn học mơ tả sự va chạm của một vật rắn và một thanh đàn hồi nhớt tuyến tính tựa trên một nền cứng
Trong trường hợp (7), bài toán (1) — (4), (9), (10) mô tả sự va chạm giữa một vật rắn và một thanh đàn hồi nhớt tuyến tính với ràng buộc đàn hồi
phi tuyến ở bề mặt, các ràng buộc liên hệ với lực cản ma sát nhớt
Từ (9), (10) ta biểu diễn P() theo Pạ, Pị, œ, h, u,,(0,t) va sau khi tich
phân từng phần, ta được
P(Œ) = gạ() + hu(0,t)— [kc —s)u(0,s)ds, (11)
trong đó
g,(t) =(P, —hu, (0) cost + ° (P,—hu,(0))sinot, (2)
k(t) =hosin at (13)
Trang 5Khi đó ta đưa bài toán (1) — (4), (9), (10) về bài toán (1) — (4), (11) —
(13) hay (1), (3), (4), (12) — (14)
Cac tac gia Bergounioux, Long, Alain [3], va Long, Alain, Diễm [8] đã
nghiên cứu bài toán (1), (2), (4), (8) va
u,(1,0+K,u(1,t) + 2,u, (1, t) =0, (3’)
f(u,u,) =KưAu,, (15)
trong do K, 2, K,,A, la các hằng số không âm cho trước Bài toán (1), (2), (4), (8), (3), (15) mô tả sự va chạm của một vật rắn và một thanh đàn hồi
nhớt tuyến tính tựa trên một nền đàn hồi nhớt với ràng buộc đàn hồi tuyến
tính ở bề mặt, các ràng buộc liên kết với lực cản ma sát nhớt Luận văn được trình bày theo các chương mục sau:
Phần mở đầu tổng quan về bài toán khảo sát trong luận văn, điểm qua các kết quả đã có trước đó, đồng thời nêu bố cục của luận văn
Chương 1, chúng tơi trình bày một số công cụ chuẩn bị, bao gồm việc
nhắc lại một số không gian hàm, một số kết quả về các phép nhúng compact
giữa các không gian hàm
Chương 2, chúng tơi trình bày sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu của
bài toán (1) — (6) trong hai trường hợp (uạ,u,) e H'(0,1)xI(0,1),u¿()=0 và (uạ,u,)eH”(0,1)xH'(0,, uạ()=0, u,()=0 Chứng minh được dựa vào
phương pháp Galerkin liên kết với các đánh giá tiên nghiệm và phương pháp compact yếụ Trong phần này, định lý Schauder được sử dụng trong việc chứng minh tồn tại nghiệm xấp xi Galerkin
Chương 3, chúng tôi nghiên cứu sự ổn định và tính trơn của nghiệm bài
Trang 71.1 Các không gian hàm thông dụng
Chúng ta bỏ qua định nghĩa các không gian hàm thơng dụng và kí hiệu
gọn lại như sau:
VP=VQ), H™=H"Q), Hj=Hj/(0),
O=(0 0) Q¡¿=Ox(0,T)=(0,1)x(0,T), T>0
Ta dùng các ký hiệu (.„) và |||| để chỉ tích vô hướng và chuẩn sinh bởi
tích vơ hướng tương ứng trên LÝ Kí hiệu ( ) cũng dùng để chỉ cặp tích đối
ngẫu giữa một phiếm hàm tuyến tính liên tục với một phần tử của một không
gian hàm Ký hiệu |||„ dé chỉ chuẩn trong không gian Banach X Ta gọi X’ la
không gian đối ngẫu của X
Cac ky hiéu L?(0,T; X), 1< p <0, là không gian Banach của các hàm do duge u:(0,T) > X, sao cho
T 5
[el (0T;X) — lo a <+œ nếu l<p<œ
0
và
ltl,-.„;„, = esssup|u()|, nếu p=œ
Ta ki hiéu u(t), u(t) =u,(t)=u(t), u"(t)=u,(t)=u(t), u,(t), dé lần
au
ot?
1.2 Cac bé dé quan trong
Trang 8B,SB với phép nhúng compact (1.2)
Ta dinh nghia:
W={veL”(0,T;B,) ` =v'eL*(0,T;B,)},
trong đó 0< T<œ,l<p,<œ,¡=0,] Trang bị trên W một chuẩn như sau:
hv =o ors #ÍY Ï»azs›-
Khi đó W là không gian Banach Hiển nhiên W c L?°(0,T;B)
Ta có kết quả sau:
Bỗ đề 1.1 ([6], p.57) Dưới giả thiết (1.1), (1⁄2) và nếu l<p,<œ,
1=0,1 thì phép nhúng WGL”' (0,T;B) là compact
Bo dé 1.2 ([6], p.12) Cho Q là mở bị chặn của RẺ, g, g„ạ
ceL(Q),l<q<s thỏa
(i) |g„ÍL , <C, với mọi m,
(ii) g,, > g hau hết trong Q
Khi đó: g„ —>g trong Lˆ(Q) yếụ
Sau cùng, chúng tơi trình bày một kết quả về lý thuyết phổ được áp
dụng trong nhiều bài toán biên
Trước hết ta làm một số giả thiết sau:
Cho V và H là hai không gian Hilbert thực thỏa các điều kiện (1.3) () — Phép nhúng VGH 1a compact
Trang 9Chính xác hơn, ta gọi a là một dạng song tuyến tính:
(Gj) Nếu u->ău,v) tuyến tính từ V vào R với mọi veV và
v>ău,v) tuyến tính từ V vào R với mọi ue V
(j) Đối xứng nếu ău,v) =ăv,u), Vu,ve V
(jj) Liên tục nếu 3M >0:|ău,v)|< M|ul_ ||y| vỷ Vu,veV
(4j) Cudng bite néu 3ạ >0:ăv,v)Zalv., VveV
Khi đó ta có kết quả sau:
Bổ đề 1.3 ([12], Định lý 6.2.1, p.137) Dưới giả thiết (1.3), (1.4) Khi
đó, tồn tại một cơ sở trực chuẩn Hilbert {w;} của H gồm các hảm riêng w;
tương ứng với giá trị riêng À sao cho
0<A, SA, S SA,S , limd, = +00 joo
ăwi,V) =i, (wiv), vveV,Vj=12
Hơn nữa, dãy iwi cũng là một cơ sở trực chuẩn Hilbert của V đối với tích vơ hướng ặ )
Trang 102.1 Giới thiệụ
Trong chương II chúng tơi xét bài tốn sau:
Tìm một cặp các hàm (u, P) thỏa:
u„—u,.+K(x,Ðư^(0u, =F(x,9,0< x<1,0<t<T, (1)
u, (0,t) = P(t), (2)
u(1,t)=0, (3)
u(x,0) = uy(x),u,(x,0) =u, (x) (4)
trong dé K(x,t), Ăt), F(x,t), up, u, 14 cdc hàm cho trước thỏa các điều kiện
mà ta sẽ chỉ ra saụ Ham chua biét u(x,t) va các giá trị biên chưa biết P(t) thỏa phương trình tích phân phi tuyến sau đây
PŒ)=gạ(t)+2„u,(0,9 + K,|u(0,Đ|” u(0,)
t (5)
- Ỉ k, (t—s)u(0,s)ds,
0
trong đó œ>2, K, >0, A,>0 là các hang số cho trước va g,(t), k,(t) 1a cdc
hàm cho trước
Trong chương này, ta sẽ thiết lập một định lý tồn tại và duy nhất nghiệm yếu của bài toán (1) — (5) Chứng minh được dựa vào phương pháp
Galerkin liên hệ với các đánh giá tiên nghiệm, từ đó rút ra các dãy con hội tụ
yếu trong các khơng gian thích hợp nhờ một số các phép nhúng compact
Trong phần này định lý Schauder về điểm bất động được sử dụng trong việc
chứng minh tồn tại nghiệm xấp xi Galerkin
Trước hết chúng ta đặt:
Trang 110
V là một không gian con đóng của HÌ, do đó cũng là một khơng gian
Hilbert đối với tích vơ hướng của HÌ
Khi đó ta có các bơ đề sau:
Bồ đề 2.1.1 Phép nhúng VGC°([0,1]) là compact và
|*Ì-:.„p Ss hal Ss |
1
2lYla <lyl<|vl, <lvl¿ Ye: (2.1.3)
Bồ đề 2.1.2 Dạng song tuyến tính đối xứng ặ,.) được xác định bởi (7), liên tục trên VxV và cưỡng bức trên V
Các bổ đề 2.1.1 và 2.1.2 là kết quả quen thuộc mà chứng minh của nó
có thể tìm thấy trong nhiều tài liệu liên quan đến lý thuyết về không gian Sobolev, chẳng hạn [6]
Chú thích 2.1.1 Ta suy ra từ (2.1.3) rằng, trên V cả ba chuẩn ||v| |v|[,= Jăv.v) là tương đương
ả vị và
2.2 Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm
Ta thiết lập các giả thiết sau
Trang 12(2’): uyeV,u, eV
Khi đó, ta có định lý sau:
Dinh lý 2.2.1 Với các giả thiết (F), (gạ), (K), (A), (kạ), (1L), (2) được thỏạ Khi đó tôn tại một nghiệm yếu (u,P) của bài toán (1) — (5) thỏa
u c1(0,T;V), u, 1”(0,T; 12), u(0,.) ¢ H'(0,T) (2.2.1)
PeL(0,T) (2.2.2)
Hơn nữa, nếu œ=2 hoặc œ >3 thì nghiệm (u,P) la duy nhất
Chứng minh Việc chứng minh được chia làm nhiều bước
Bước 1 Xấp xỉ Galerkin
Xét một cơ sở trực chuẩn {w j trong V gồm các vectơ riêng w ¡ của
toán tử Laplace—ô” /ôx”,
w;()=.J2/+Aj) cos(A,x), À; =0j~D2, j=l,2, (2.2.3) Đặt
u,,(t) = Ÿ`e„ (0w „ (2.2.4)
jel
trong đó c„(t) thỏa hệ phương trình vi phan phi tuyến
Trang 13Uy (0) = Upm =), Oj); => uạ manh trong HỈ jal
~ (2.2.7)
u,,(0) =Ujm = 5 P„w ¡ >uạ manh trong U
jel
Hệ phương trình này được viết lại dưới dạng e„(0+Äje„(0=-— z[P„(0w,(0)
Iv I
+(K(x, tu, (t)+Ăt)u, (t),w;) (2.2.8)
— (F(x,t),w )|
P,,(t) = go(t) + AoUin(t) + Ko [un (0,)[" “u„(0,9 t
(2.2.9) — [ko(t-s)u,,(0,s)ds,
0
¢,;(0)=O,;5 Cy (0) =B,j5 1S j<m (2.2.10)
Hệ phương trình này tương đương với hệ phương trình vi tích phan c„¡(£) =G,¡(£)— i N,(t-9[ Au, w,(0) rs [9 ˆ2u(8,2)w,(0) (2.2.11) ets 9u„(Œ)+^Ă9u„(), w¡) lửt
"8 Pe On, (t- oie (t—s)u,,(0,s)ds, 1< j<m, W,
trong đó
N,(t) =n À, (2.2.12)
Trang 14Gy (t) = a yNj(t) + BN j(O)— wiry, (t—+)go()dt Pt
b | (2.2.13)
1 in, (t— t)Ƒ@, T),W, ;) dt
fy l
Khi đó ta có bổ đề sau
Bỗ đề 2.2.1 Giả sử các giả thiết (F), (gạ), (K), (4), (ko), (1’), (2’) thỏạ Khi đó với mỗi T >0 cơ định, hệ phương trình (2.2.11) — (2.2.13) có
nghiệm c„ = (Cạx, ,C„„) rên [0, T„ | [0,7]
Chứng minh Ta bỏ qua chỉ số m, hệ (2.2.11) — (2.2.13) duge viét lai
dưới dạng c=Uc, (2.2.14) trong do c=(¡, ,c„)„ UDc = ((Uc),, ,(Úc)„„), (Uc);@)=G,()+ ịN, (t—t)(Ve),(t)dt, (2.2.15) (Ve),(t) =f,;(c(t),c'(D) + fee —s,c(s))ds, (2.2.16)
G;(t)=a,,,N;(t) +B,,Nj\(0)— WO ry, (t—1)go(t)dt |
| tử) e217
z|(FŒ.+),w,)dr
fy Ís
Trang 15œ-2 [emo fyi f,,(c,d)=— al lS lvl sienbmsten (2.2.18) f(t, c= wi) (2.2.19) = Với mỗi T, >0,M >0, ta đặt s=ÍceC!((0,T„];R°):|c|, < MÌ trong đó „ |eŒ|,= (2.2.20)
kl =|el,+lel, vớ fe, = sup lott
Dễ nhận thấy S là một tập con lồi đóng và bị chặn của
Y =C'((0,T,,];R”) Ap dung dinh ly diém bat động Schauder, chúng ta sẽ chứng minh toán tử U:S-—> Ỵ được xác định bởi (2.2.15) — (2.2.19) có điểm
bất động Điểm bất động này là nghiệm của hệ (2.2.1 1)
a) Trước hết, ta chứng minh U là ánh xạ từ S vào chính nó Trước hết, ta chứng minh U: Y —› Ỵ Lấy ce Y, để chứng minh
UceY ching ta cần bổ dé sau
B6 dé 2.2.3: Voi ham F:[0,T] > R, FEL (0,T) thi ham
H(t) -[N, (t—1)F(t)dt €C'([0,T])
Trang 16Từ và và H(+h)-H() =JL[ nh th-0-snÀ@=9 h ị J0 h Ni sinA,(t+h—3) { F(t)dt F(t)dt sind (t+h—t)—sind,(t—1) h F(t)|< 2|F(a)| sind (t+h-—t)—sind,(t—t) h
Theo dinh ly Lebesgue
F(t) >A, cosd,(t—1)F(t) khi h > 0
1 ;sinA,(t+h—+)—sinA¡(t— +)
TH ưng F(t)dt > [sos^ (t— ®F(®dr khi h->0
Tương tự, ta cũng có:
— <2|F@) ind.(t+h—
thsinA (t+h— [ore Fede > 0 khi h~v0
t
Do đó
t
H\t)= Joos ,(t-t)F(t)dt 0
Lai sử dụng định lý về sự hội tụ Lesbegue, ta cũng chứng minh được
Ht(t,)—>H() với mọi dãy t„ —> t trong[0,T]
Do d6 HeC'({0,T])
Trang 17Str dung bé dé 2.2.3 va cac gia thiét (F), (g, ), (K), (2), (ky), (1), (2”), ching ta suy ra G, €C'([0,T];R) va (Ve); €C°([0,T,,];R) voi mọi
ceC! ([0.T,,]:R") hơn nữa từ (2.2.15) suy ra
(Ue)'()=G',Œ)+ iy (t-1)(Ve),(t)de (2.2.21)
va U:Y >Ỵ Lay ceS, ta suy ra tir (2.2.15) — (2.2.21) rang
|(Uc)(t)}, <|G(t)], +n, Vel, (2.2.22) (0c), <|G'@|,+mT,,|Vc|, (2.2.23) Mặt khác, ta suy ra từ (F), (gạ), (K), (4), (Ko), (1’), (2’) va (2.2.16), (2.2.18), (2.2.19) rằng Vel, < m2 [Nuff »M)+TN,(f,;,M.T) | (2.2.24) =j(M,T) VceS trong đó N,Œ,,M) =sup ||f,(y,2)|:|y||,„ <M.|z|,.„ <M] 6229 N;Œ,,,M,T) = sup ||f,,(t,) :0<t<T,|y||.„ < M| Do vay tir (2.2.22) — (2.2.25) ta thu được
1
Uc], < |G] ++ 2.)T„B(M,T), (2.2.26)
1
trong đó
GI, = lGl,; + IS, = sup|G@), + sup |G'), (2.2.27)
Chon M>0 va T,, >0 sao cho
1 M
Trang 18Do đó, Uc|| <M Ve eS, có nghĩa là U là ánh xạ từ S vào chính nó
b) Bây giờ ta chứng minh toán tử U liên tục trên S Lấy c,d S, ta có
t
(Uc), (t)—(Ud);(t) = JN, (t- +)| (Vo), (t)-(Vd), () |ử (2.2.29)
0 Vì vậy |Uc-Ual, <-—T,,|Ve = Vdl, (2.2.30) 1 Tương tự, cũng từ đẳng thức t
(Uc)',(t)— (Ud)'(t)= J N4,(t—2)] (Ve), ()- (Va), (x) de 2.2.31) 0
Ta thu được
\|(Uc)'- (Ud)'|, <T,, |Ve- Vad], (2.2.32)
Nhờ các đánh giá (2.2.30), (2.2.32), ta chỉ cần chứng minh rằng toán tử V:y->Œœ ([0.T,„];R") là liên tục trên S Ta có
(Ve),(t)-(Vd),(t) =£,,(e(t),¢'(t)) -£ (ăt), (0)
+ {(f(t-ss0(8)) -fy(t-s.€(6)))
ds (2.2.33)
Từ các gia thiét (F), (g, ), (K), (1), (ko), (1’), (2’) ta suy ra rằng tồn tại
một hằng số Kạụ > 0 sao cho
‘sup St ;(e(„e(9)—f,(4(),d'(9)| (2.2.34)
<Ky(Je-dl,+|e-dll) Yẹde§ Ta có bồ dé sau
Trang 19(W,c)(t) = [ J3,(—s,c(s))ds, ceeC"([0,7„];JR”) (2235) Khi đó tốn tử JW, : C°([0,7,,];IR”)—> C°([0,7,,];I) là liên tục trên S
Chứng minh Bồ đề được suy ra một cách đễ dàng nhờ vào tính liên
tục đều của hàm f,, trên [0,T,„]x[—M,M]”
Từ (1.2.34), (1.2.35), (1.2.36) ta suy ra |ve—Val, = sup DO Œ)~(V4),@) <K(Je- 4, +|e— d1) (2.2.36) , Ve,deS 0St<Ty 42 + sup Ÿ'|(WeJ()~(W/4)@) Sử dụng bé dé 2.2.2 và bất đẳng thức (2.236) chứng tỏ rằng
V:yY-Œœ ([0.T,„];R") là liên tục trên S
c) Bây giờ ta sẽ chứng minh rằng tập US là một tap con compact cua
Lấy ceS, t,t'e[0,T,,] Tir (2.2.15) ta viét lai
Trang 20\(Uey(t) —(Uey(t}, = [ve ()-(Ue),(t|
<|G(t)-G(t’)}, +(T,, +2) -t||Ve|, (2239)
<|GŒ)—G(|,+B(M,T)(T„ +t -t|
Tương tự, từ (2.2.21) — (2.2.24), ta cũng thu được
(Uc) '(t) — (Uc) (t}|, <|G'(t)-— Gt], + BOM, T)(A,,T,, + D|t— t}
(2.2.40)
Do USCS va tir danh gia (2.2.39), (2.2.40), ta suy ra được rằng họ các ham US= {Uc,c Ee S} là bị chặn và đẳng liên tục đối với chuẩn lÍ, của khơng
gian Ỵ Áp dụng định lý Arzela-Ascoli đối với không gian Y, ta suy ra được
US 1a compact trong Ỵ Do định lý điểm bất động Schauder nên U có điểm
bất động c eS, cũng chính là nghiệm của hệ (2.2.11) Bồ đề 2.2.1 được chứng
minh hoàn tất
Dùng bổ đề 2.2.1, hệ phương trình (2.2.5) - (2.2.7) có nghiệm
(u„(Đ,P„(Ð) trong một khoảng [0,T, ] Các đánh giá tiên nghiệm tiếp theo cho phép chúng ta lấy T„ =T với mọi m
Bước 2: Đánh giá tiên nghiệm
Thế (2.2.6) vào (2.2.5), sau đó nhân phương trình thứ j của hệ (2.2.5) cho c„„'{©) và cộng các phương trình theo chi số j, ta có
(un()20z() + (02,02, ) + gạ()02,(0,1)
+Äu|uz(0,Đ) + K,|u„(0,Đ|T” u„(0,90(0,)
—u„(0, of k,(t—s)u,, (0,s)ds
Trang 21Tích phân từng phần (2.2.41) theo biến thời gian từ 0 đến t, chúng ta có được phương trình sau bằng vài sự sắp xếp lại
S(t) =S,, (0) + 2g, (0)U gn (0) — 2g9(t)u,, (0, t)
+ 2[(F@).u„, (s))ds— 2](K(x,s)u, (s),u,, (s))ds
t
~2|(As)u„ (s),u,, (s)) ds+ 2| #ăs)u,„ (0,s)đs
+ 2| u,,(0,r) Í k,@-s)u,, (0, 9°) dr
=S,, (0) + 2g, (0)Uom (0) — 289 (t)u,, (0, t)
+1,4+1,+h,4+1,4+1, (2.2.42)
voi
S,,(t)=|u,,()] +e (Of + =k, lu,,(0,t)|°
+ 2h flú(058) "ds (2.2.43)
0
Sử dụng bất đẳng thức
2ab < eả + ch, Va,belR,Ve>0 (2.2.44)
và các bất đẳng thức sau
|u,,(0,t)| <|u, Oleg < Max (Ol V8, (2.2.45)
t t
lun? <2[uoaf +2ffun(f 4s<2luynf +2fS,)ds 2246
0 0
Chúng ta đánh giá về phải của (2.2.42) như sau
Trang 22L= 2] (F(x,s),u,, (s))ds < fl ‡ IF(s)|Ÿ ds + ile, (s)[ ds 0 |F(s)| ds + j5„6& t t L =~2[(K(x,s)u„(s),u,„(s))ds < 2|K|, on ÍS„)4s 0 t I= ~2[(As)u„(s).u„ (s))ds= | Ăs)|u„ (f° ds 0 t <2|Alssa, Ỉ S,,(s)ds 0 A= 2 go(s)u,„(0,s)ds < [go 0 t ont J u (0,s)đs L2( “lẹ +[S„@)đs 0 L2(0,T) t T
I,=2 Ỉ wt Ỉ kạ(r—s)u, (0, oes
Trang 233 +2 (0,1) 1 \ *[Slkllsas + 2/T|k, k.(0)|Ì,6) (2.2.52) 0 Mặt khác, từ (2.2.7), (2.2.43), (go), (ko), (1’), (2”) va bé dé 2.1.1, ta có S,, (0) + 2g,(0)u,, (0)
=lu„(0Ê + |u„.(0) + =x, lus„(0|°+2g,(0)u,„(0)— (22353)
<C,, Vm
trong đó: C¡ là hằng số chỉ phụ thuộc vào 0ạ,u,Øạ„Kkạ,Œ
Két hop (2.2.42), (2.2.43), (2.2.47) — (2.2.53) ta được 1 "-
S„(Đ<C, + |EdL-e +||E› vont IFlÍ:,„,, + 2eS„(Ð)
1
+(2+|K|, +2|A|, + slkllxaz, +2T|k von (2259
t +2{k,(0)) [S,,(s)ds 0 Chọn £ =2 Từ (2.2.54) ta có: t S,,(t) <M? +N [S,,()ds (2.2.55) 0 voi: 1 qj MỶ = +; + [ole +|g0 12(0,T) +|Fll„,) 1
N? =2( +|K|, +2|A||, + lol on t2NT [ky se; ‡ 2lko(0)) (2.2.56)
St dung bé dé Gronwall, ching ta rut ra tir (2.2.55), (2.2.56) la
Trang 24<CP +, (2.2.58) C Íu, (0,.)Ÿ bon < 2 (2.2.59) Từ (2.2.58), (2.2.59) suy ra: |P he, T) "lÌl- () ‘a T 1 2 2 “|| +À o [Um 7 0 (2.2.60) 1 T ~(l) 2 T , 2 2 “le dr+2[2j|u a 0 0 1 ( =) 2x < 21(é1’) +A„C; | =Cr, Vm
voi Gr là hằng số dương chỉ phụ thuộc vào T
Bước 3: Qua giới hạn
Từ (2.2.43), (2.2.58) - (2.2.60) ta suy ra rằng, tồn tại một dãy con của
đãy {um, Pm}, vẫn kí hiệu là {um, P„}, sao cho:
u„->u trong L*(0,T;V) yếu* (2.2.61a)
u„ cu! trong I7(0,T;Ỉ) yếu* (2.2.61b)
u„(0,t)—>u(0,t) tronglI7(0,T) yếu* (2.2.61c) ụ,(0,t) > ú(0,t) trong L’(0,T) yếu (2.2.61d)
Trang 25Ap dung bé dé vé tinh compact ctia Lions (xem [6], p.57), kết hợp với
H'(0,T)GC°([0,T]), ta có thể suy từ (2.2.61a) - (2.2.61d) rang tn tai một dãy con vẫn ký hiệu là {un}, sao cho:
u„->u trong L’(Q,) manh vaạe trong Qy (2.2.62a)
u,,(0,t) > u(0,t) trong C°(0,T}) (2.2.62b) Từ (2.2.62b), ta có: P„(Ð =gạ( + K,lu„(0,ĐJ” u„(0,1) ‘ - (2.2.63) - Ỉ k,(t—s)u,,(0,s)ds — P(t) trong C°([0,7]) mạnh với
P(t) =g,(t)+K,|u(0,t) “”u(0,t)— fk, (t—s)u(0,s)ds (2.2.64)
Kết hợp với (2.2.61đ), ta được
P„()=P„()+^u„(0,) — P(t) +A,ú(0,t) = P(t) (2.2.65)
trong Ỉ(0,7) yếu
Qua giới hạn trong (2.2.5) — (2.2.7) nhờ vào (2.2.61a), (2.2.61b), (2.2.61e), (2.2.65) ta có
dj;
a (Đ,v)+(u,,v„)+P(Đv(0)
+ (K(x, t)u(t) +Ătyu (t),v)= (F(x, t), v) , VveVv
u(0) =u,, u(0) =u,, (2.2.65)
PŒ)=g,(t)+2„u,(0,9+ Kạ|u(0,Đ|”” u(0,)
- fk, (t—s)u(0,s)ds,
Trang 26Bước 4: Sự duy nhất nghiệm
Giả sử (u, P), (8, P) là hai nghiệm yếu của bài toán (1) — (5) thỏa u,ueL*(0,T;V); u,,u, e1I7(0,T;12)
u(0,.),0(0,.) € H'(0,T) (2.2.67)
P,PeL(0,T)
thi (v, Q) voi v=u—u, Q=P-—P la nghiém yếu của bài toán sau:
Vie — Vax + K(x,f)v+À(£)v,=0 v,(0,t) = Q(t), v(t) = 0 v(x, 0) = 0,v,(x,0)=0 (2.2.68) Q(t) =Aov,(0,t) + Ku(((0,9)= H(6(0,0))) - |kú —s)v(0,s)ds véi H(z) = \z\"* Z thi: Chúng ta xét bổ đề sau:
B6 dé 2.2.3 Cho ula nghiém yếu của bài toán
Uy —Uy, +O, =0, O< x <1,0<t<T
u,(0,t) = h0),u(1,£)=0 u(x, 0) =uy,u,(x,0) =u,
w„e17(0,T;V),u,ce I”(0,T;12)
Slẻ + lẹ + [RomỌs)d + [locos ds
Seal +e
Hơn nữa: nếu tạ =u, =0 thì xảy ra dau bang ở bat dang thức trên
2
Trang 27Chứng minh của bổ đề có thé tim thấy trong [3] Sử dụng bổ đề 2.23 với $¿=K(x,fv+^(9v, P,@)=Q(), uạ =u; =0 chúng ta có 2IY(ĐÊ+2lv,(9Ệ + |Q6)v(0s)6 t + Ỉ (K(Œ&,Ðv+Ă)v',v'(s)) đs =0 (2.2.69) 0
Thay (2.2.68) vào (2.2.69) ta được:
Trang 28=2v(0, of k,(t—r)v(0,r)dr — 2k, (| v2(0,s)ds - 2 v(0, o[ jr —r)v(0, ner is 2 2 1(0,T) +TÍk, I(0,T) <2Z6+|2|ki + 2k, (0) +1) 2¢s)as (2.2.73) 0 Tw (2.2.70) — (2.2.73) ta có: Z(t) + 4K [HOv'O, s)ds + 4[[x40, s)| ds 2 12(0,T) <(4]K! L*(Qr) +A4lr L*(0,T) +4|k,| +27 |k, L2(0,T) (2.2.74) +4lk,(0)| +2) | Z(s)ds 0
Chúng ta xét hai trường hợp cua ạ
Trường hop 1: «=2, H,(t) = H(u(0,t)) — H(u(0,t)) = u(0, t) — u(0, t)
Chúng ta có: t t 4K, [H,(s)v'(0, s)ds = 4K, | v(0, s)v'(0,s)ds 0 0 (2.2.75) = [2K.v°(0.s) J =2K,v2(0,t)>0 Do do: 2 2 1(0,T) Z()<[4|K| L*(Qr) +4ÍJ2 L*(0,T) +4|k,| +27 |k, 1 (0,7) t (2.2.76) +4|k,(0)|+ 21] Z(s)ds 0
Sử dung bé dé Gronwall ching ta suy ra Z=0, nghia la u= ụ
Trang 29ax] H,(s)v'(0,s)ds
KT do 5H (u(0,s) + 0v(0, s)je|x 10,s)ds
=2 ki lãi H(u@, s) + Ov(0, s))|a 0|» (0,t)
- 2K,[Y 0508 [Ir(6t0a) + 6v(0,s)}.|0'(0,s) + ye)
> 2K,(a-Na-2)R™ fo, (s)Z(s)ds (2.2.77)
với: R=maxl|, + ;IJu |o@=l
L”(0,T;V)
Sử dụng bổ đề Gronwall, từ (2.2.74) — (2.2.77), ta có Z=0, nghĩa là
u=0ụ Định lý 2.2.1 được chứng mỉnh
Chúng tôi thành lập các giả thiết mạnh hơn:
Œ?: F,EeL(Q,) (80): So <H'([0,T}) (K’): KeL*(Q;), K, €L*(Qr) (1): xel”(0,T}, A, e L*((0,T]) (k,’): ky €H'(0,T) (1’’): a22,K, 20,A,>0 (2”’): up €H’ AV, u, EV
Dinh ly 2.2.2 Với các giả thiết (F), (gạ ) (K”), (⁄), (kạ ) (17), (2”)
Trang 30ue1”(0,T;H?),u,c I”(0,T;H'),u„ eI”(0,7;12)
{te €H°(0,T), Pe H'(0,T)
Hơn nữa, nếu a@=2 hodc a>3 thi nghiém (u,P) la duy nhất
Chứng minh:
Việc chứng minh được chia làm nhiều bước Bước 1 Xấp xỉ Galerkin
Xét một cơ sở trực chuẩn {w jt trong V gồm các vectơ riêng w ¡ của tốn tử Laplace—ơ” /ơx?,
2 ye TU 2
w(x) =, J2/+ hj) cos(A;x), A; =(2j- D> j=1,2 Dat
u,, (t) = Don (t)w,,
+
trong d6 c,,,(t) thỏa hệ phương trình vi phan phi tuyén
(uw), (€),W,) + (Us Wie) + Pa (tw, ; (0) (2.2.78) +(K(x,t)u,, (t) + Ăt)u,, (t),w;) =(F(x,t),w;)
P,,(t)= go(t) + Aon (t) + Koln (0,t)[" “u„(0,9
t (2.2.79)
- fk (t—s)u,,(0,s)ds,
0
voi
U,, (0) = Upm = —>uạ manh trong H” (2.2.80)
Al
u,,(0)=u,,, = “8,77; > Uy manh trong H! (2.2.81)
Trang 31Theo gia thiét cua dinh ly 2.2.2, hé phuong trinh (2.2.78) — (2.2.81) c6
nghiém (u,,(t),P,,(t)) trong miền [0,T, ] Các đánh giá tiên nghiệm tiếp theo cho phép chúng ta lay T,, = T với mọi m
Bước 2: Đánh giá tiên nghiệm Đảnh giá tiên nghiệm 1:
Trong chứng minh của định lý 2.2.1, chúng ta có được đánh giá sau với
giả thiết Œ”), (gạ °)„ (), (A”), (kạ”), (1””), (2””):
S„()<C;, Vte[0,T], Vm (2.2.82)
trong đó:
t
S„(Ð=|u„(Đ|” + lu„„(ĐI + TK, Ju„(0,0|ˆ+2Aa[|u„(0,s)[ ds
0
(2.2.83)
Đảnh giá tiên nghiệm 2:
Lay dao ham (2.2.78) theo biến thời gian t, ta có:
(u2(),w,)+(0,„(9),w„„) + P2 (9)w,(0)
+(K(x,tu,,() +4 (Du, ()+K(x, du, (t)+ (tu, (0) w;)
=(F'(x,t),w;) (2.2.84)
Nhân phương trình thứ j của hệ (2.2.84) cho Cy (t) va cong cdc phuong
trình theo chỉ số j, sau đó tích phân từng phần theo biến thời gian từ 0 đến t, chúng ta có được phương trình sau với vài sự sắp xếp lạị
X,,(t) = X,,(0)- 2f g'(s)u,,(0,s)ds
mà
Trang 32
+2 u,,(0,r) & (0)u,„(0,r)+ fi, (r—s)u„(0, 9) dr
t
2] (K(x, s)u,,(S),U,, (s)) ds
0 t
2 J (K(x,s)u,, (S),u,, (s)) ds — 2 (Á(s)u,, (S),u, (s)) t ds (2.2.85)
0 0
eH? : 2 re 2
voi: X(t) =u, Of +fun.(O] +2% flu; (@.)| ds (2.2.86)
0
Tir cdc gid thiét (F’), (go ”), (K’), (’), (ky”), (1”’), (2ˆ), (2.80) và phép nhúng compact tir H'(0,1) vao L?(0,1) ta cé:
" 2 ' 2
x„t0=|k¿(Đ| +]¿ 9|
S (ome +1
2
aolwasl: +[46)||u„[2 +|E(0)|) 2.2.87)
l=œ
+|u„||<D, vm
Chúng ta đánh giá các tích phân tiếp theo:
Trang 33aC 1
+eK eK, (a if ,(a—1)| 1+ — |——-X,(t oe | m(t) ( 2.2.89 )
I,=2 i uỷ (0,r)k,(0)u,„(0,r)dr
CÔ (2.2.90) 0 € 0 0 1 1 C < c|k,(Đ|„X„(Ð biol + al 0
+ = fu, (0, off (r-s)u,, (sso
fw (kŒ— s)) as} {fv (0, oes) dr (2.2.91) 1 C, "co 1; = -2|(Kœsu, (s),U,, (s)) ds <2|K.„„ [Ju„)4,,@|ds : : (2.2.92)
<|K oro, ( JIu„(@JŸ ds+ffu,, (of |
<|K joc) Cr +1 thece | Xm(S)ds
1,=-2|(KGs)„6).w„6))đs<|K|„„,[X„6ds — 2.2.93)
L= -|Úa (s)u„(s),un(s))đs < |A Í|-„„, [x, (s)ds (2.2.94)
Trang 34
1 ko] (0)|
X m(Đ< lạc —+K,(a-2 s(œ fu oe) ma) mt) 2À, X
l0 aC, Cry 1 4 aCr
im le if, +Ky(a- 2 [1 2 | +k con{ts 5c |
LƑCC, af
*|sTz= „ +|K|„ +|t||„ |[X„@0ds — (2295)
0
-1
Chon e=t -L +K,(@œ-2) ¡+ #Ct A, ko) 2| 2a, 2K, }2A, 2A, Ta viét lai (2.2.95):
t
X, (t) <M,” +N,°[X, @ds (2.2.96)
0
—~(2) M, =2(D, 1280," +a, +Kla—2{ 1+ SE) 1a ,+K,(a—2)| 1 aC, | C; Sr
+= “lk, (0|T0+ Ko)
với: (2.2.97)
N,? = {in Ir< an, [Ke 2 tẠ |
Nhưng 2| 2h, 2K, }2%q 2A;
Ap dung bé dé Gronwall, ta rat ra:
X„()<M¿ ”exp(TN,®)=C,®, vee [0,T] (2.2.98)
Mặt khác, từ giả thiết (go’), (2.2.79), (2.2.82), (2.2.86), (2.2.98), ching
ta rut ra
Trang 35Tit (2.2.43), (2.2.82), (2.2.86), (2.2.98), (2.2.99) ta suy ra
một dãy con cua day {Um, Pm}, vẫn kí hiệu là {um, P„}, sao cho: u„>u trong I”(0,T;V) yếu*
u„ >u! trong I7(0,T;V) yếu* wu" trong I7(0,T;Ỉ) yéu* u,,(0,t) > u(0,t) trong H(0,T) yếu
P„->P trong H'(0,T) yếu rằng, tồn tại (2.2.100a) (2.2.100b) (2.2.100c) (2.2.100d) (2.2.100e)
Ap dung bé dé vé tinh compact ctia Lions (xem [6], p.57), kết hợp với
H?(0,T)GH'((0,T)), H'(0,T)GC°((0,T]), ta co thé suy từ (2.2.100a) - (2.2.100e) rang tén tai một dãy con vẫn ký hiệu là {um, P„m}, sao cho:
u„ạ >u trong L’(Q,) mạnh ú, >ú trong L’(Q,) manh
u,,(0,t) > u(0,t) trong H'({0,T]) manh
ú (0,f)—>u1(0,t) trong C°([0,T]) mạnh
P,P trong C°([0,T]) mạnh Tw (2.2.79), (2.2.101c), (2.2.101đ) ta có:
P„(Ð — gạ(Đ + Agú() + Ka|ă0,Đ|” ` u(0,t)
-[k,(t—s)u(0,5)8s =P(_ trong C°([0,T]) mạnh
Kết hợp (2.2.102) với (2.2.101e), ta được
Trang 36<(u (0), v) + (uy „Ấy ) +P(t)v(0)+ (KG, t)u(t)+Ăt)u (t), v)
(2.2.104)
= (F(x, t),v), VveV
u(0) =U, u’(0) =u, (2.2.105)
P(t) =g,(t) +2,u,(0,t) + K,|u(0,Đ|” u(0, t)
fk, (t—s)u(0,s)ds, (2.2.106)
Mặt khác, từ (2.2.101a), (2.2.101b), (2.2.101e), (2.2.104) và giả thiết
(F”), (K”), (A”), ta suy ra
u,, =u"+ K(x,tu +Ă0ú—F(,Ð eL7”(0,T;12)
Vì thế ue1L”(0,T;V ¬H?) Sự tồn tại nghiệm yếu được chứng minh
Nghiệm yếu của bài toán (1) — (5) là duy nhất, điều này được chỉ ra tương tự như trong chứng minh của định lý 2.2.1
Trang 37Chuong 3
TINH ON DINH VA TINH TRON CUA NGHIEM
Trong chương này, luận văn muốn đề cập đến tính ồn định và tính trơn
của nghiệm yếu của bài toán (1) — (5) theo điều kiện đầụ
3.1 Tính ốn định của nghiệm
Trong phần này, ta giả sử œ = 2 trong (5) và các hàm F, k,2, go, ky thoa
(),(g,),&),@),®&¿),(19,(2) Chúng ta cố định hàm F(x,Ð, do định lý 2.2.1 bài tốn (1) — (5) có duy nhất nghiệm (u, P) phụ thuộc vào k,4, gọ, kọ
u=ulk,/, Zo, ko) P = P(, 4, gọ, ko)
trong đó k,2, gọ, kọ thỏa các giả thiết (g,),(K),(A),(k,) va cac ham F, uo, uy cố
định thỏa (F),(2)
Khi đó, ta có định lý sau
Dinh ly 3.1 Gid sve a =2 va (F),(g,),(K),),(k,),(1'),(2') là đúng Khi
đó, với mọi T > 0, nghiệm của bài toán (1) — (5) la 6n định với các dữ kiện k,
X, Zo Kọ
Chính xác hơn, ta có:
Nếu
(KA,Sosk, alk 8o;Kq,) € L°(O,) x L°([0,7]) x Á([0,7]) x H'(0,7) sao cho
(k;.A, Bok) > (K,Ạ89,k,) trongL*(Q,) x L*([0,T]) x A’ ((0,7]) x H' (0,7)
Trang 38Khi do: (u,,u;,u,(0,t),P,) —>(u,ú,u(0,t),P) trong
1”(0,T;VY)x F”(0,T7;)x C°(0,TĐx C°(0,7) mạnh khi ]—> +œ
trong do: uj = H(Ñ, Àj, gụ, kụ) P = P(&, Àj gụ, kụ)
Chứng minh định lý
Trước hết, ta chú ý rằng, nếu các dữ kiện (k, 4, gọ, kọ) thỏa
|k|, < Ạ|A|, < B.|su| <C Le vy k,|j„¿ <D
Khi đó, các đánh giá tiên nghiệm của dãy xấp xỉ {u„} và {P„} trong
chứng minh định lý 2.2.1 thỏa:
le„(Ðl +lu„ (Đƒ + K,u,(, t)
a +2, ! |u,,(0,s)| ds rh 2 < Cy, (3.12) Vte[0,T], VT >0
t
[IP„G)| dt<€¿,vte[0,T],VT >0 (3.1.3)
0
trong đó Cr là hằng số chỉ phụ thuộc vào T,uạ,u,,F,A,B,C,D (độc lập với k, À, Bo, ko)
Do đó, giới hạn (u, P) trong không gian các hàm thích hợp của dãy (um,
Pm) được xác định bởi (2.4) — (2.7) là nghiệm của bài toán (1) — (5) thỏa mãn các đánh giá tiên nghiệm (3.1.2), (3 1.3)
Bây giờ do (3.1.1) ta có thể giả sử rằng, tồn tại các hằng số dương kụ,
Xo, Zoo, Koo sao cho:
|k; J
Khi đó, do chú ý ở trên, ta cé cac nghiém uj, P; cua bai toan (1) — (5)
tương ứng với (k, 1, go, ko) = (kj, 4j, So), Koj) thỏa mãn các đánh giá:
Trang 39' 2 2 2 a ty , 2
[eel + fa, COf += Koụ + 2ho| fais) đ<SCm B15) Vt €[0,T], VT >0 t [Pf dts C,, vt €[0,T],vT >0 (3.1.6) 0 Đặt K,=K,—K,Ä, =À, —À 8u, = 8o; — Bọ; Kạ, = kạ; — kọ (3.1.7)
Khi d6 v, =u, —u, Q; =P, —P thoa bai toán sau:
vị—V,„+⁄¿=0, 0<x<10<t<T V;<(0,t) =Q;(t),v,(,t) =0 (3.1.8) v;(x,0)=v;(x,0)=0 trong đó: x¡=Kjm,—Kư^u;—^ú + Q,=8u,+A,v,(0,9+ Kạv,(0,1)~ Ỉ kg(t—s)v,(0,s)đs (3.1.9) 0
Boj = Boj ~ | Koy (t-s)u,(0,8)ds
Trang 40-2| v0, s)ds (3.1.11) 0 Đặt: Z(t) =ly,@Ï +Ív,„( í +22„|Ìv,(0,s)Ï +K,v3(0,t) (3.1.12) 0
Thực hiện đánh giá giống (2.2.52), ta có:
2[v;(0,r ifs (r—s)v;(0, os < eZ(t)
" ‘ t (3.1.13)
#+(2klown +2VT fk +2lku(0)) [z0s)as
0
2(0,T)
Đánh giá tiếp theo giống (2.2.47), (2.2.51), (2.2.53)
2[ #a;V,(0,)ds < : &, +eZ(t)+|g,,' lon * [2004 (3.1.14)
Danh gia tiép theo:
t 2) (x j(8),V; s)) ds 0 t t <2|(K,@)u,,, \s))|ds +2[||K()v„ v,())|ds 0 0 t +2] 0 ~ | 2 2 ' 2 2
“|EJ Jdhj +Í»;[ 4s+lI: [dvj +|v,[oá