phương trình sóng phi tuyến có hệ số biến thiên

Chương 0 PHẦN TỔNG QUAN Trong luận văn này, chúng tôi xét một số bài toán giá trị biên và ban đầu cho phương trình sóng phi tuyến có hệ số biến thiên thuộc dạng dưới đây: Trong [7], Fi

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

- TRỊNH NGỌC PHÚC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS TRẦN MINH THUYẾT

ĐẠI HỌC KINH TẾ TP.HỒ CHÍ MINH

Thành phố Hồ Chí Minh

Năm 2009

Tôi xin gởi lời cám ơn Thầy TS Nguyễn Công Tâm và Cô, TS Lê Thị Phương Ngọc và các Thầy trong hội đồng chấm luận văn đã cho tôi những nhận xét quý báu

Xin trân trọng cám ơn Quý Thầy Cô Khoa Toán, Phòng Quản Lý Sau Đại Học, trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên đã giảng dạy và tạo điều kiện cho tôi hoàn tất khóa học

Tôi xin cám ơn các Anh Phạm Thanh Sơn, Nguyễn Văn Ý, Chị Trương Thị Nhạn, bạn Hồ Ngọc Kỳ, đã góp ý và giúp đở cho tôi rất nhiều

Cuối cùng, tôi xin gởi tặng luận văn này cho gia đình và những người thương yêu của tôi

Tp Hồ Chí Minh ngày tháng năm 2009

Trịnh Ngọc Phúc

MỤC LỤC

LỜI CÁM ƠN 1MỤC LỤC 2

Chương 2 SỰ TỒN TẠI TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM 11Chương 3 KHAI TRIỂN TIỆM CẬN CỦA NGHIỆM 36Chương 4 MINH HỌA BẰNG VÍ DỤ CỤ THỂ 54KẾT LUẬN 56TÀI LIỆU THAM KHẢO 57

Chương 0 PHẦN TỔNG QUAN

Trong luận văn này, chúng tôi xét một số bài toán giá trị biên và ban đầu cho

phương trình sóng phi tuyến có hệ số biến thiên thuộc dạng dưới đây:

Trong [7], Ficken và Fleishman đã chứng minh sự tồn tại, duy nhất và tính ổn định

nghiệm của phương trình

trong đó  là tham số bé, Ftuần hoàn theo thời gian

Trong [4], Caughey và Ellison đã hợp nhất các xấp xỉ trong các trường hợp trước

đây để bàn về sự tồn tại, duy nhất và tính ổn định tiệm cận của nghiệm cổ điển cho

một lớp các hệ đông lực phi tuyến liên tục

Trong [5], Alain Phạm đã nghiên cứu sự tồn tại, duy nhất và dáng điệu tiệm cận

khi   0 của nghiệm yếu của bài toán (0.1)-(0.3), trong đó số hạng phi tuyến có

( , , ).t

Nếu F C N([0, ]  2) thỏa F t( ,0,0) 0 với mọi t 0, các tác giả đã thu được

một khai triển tiệm cận của nghiệm bài toán (0.1)-(0.3) đến cấp N 1 theo  , với 

đủ nhỏ, mà điều này đã nới rộng kết quả cho phương trình đạo hàm riêng từ phương

trinh vi phân thường [3]

Trong luận văn này chúng tôi nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm địa

phương của bài toán (0.1)-(0.3) Chứng minh được dựa vào phương pháp Galerkin

liên kết với các đánh giá tiên nghiệm cùng với kĩ thuật hội tụ yếu và tính compact

Nhờ kết quả này chúng tôi tiến đến khảo sát bài toán nhiễu cấp cao theo một tham

số bé  , trong đó số hạng nhiễu là số hạng phi tuyến trên phương trình cùng dạng

và ở biểu thức của điều kiện đầu như bài toán sau:

và thỏa một số điều kiện phụ Luận văn này sẽ nghiên cứu khai triển tiệm cận của

nghiệm bài toán ( )P theo tham số bé, tức là nghiệm có thể xấp xỉ bởi một đa thức

theo  :

với  đủ bé, hằng số C T độc lập với tham số 

Luận văn được trình bày theo các chương sau:

Chương 0, phần tổng quan về bài toán khảo sát trong luận văn, điểm qua các kết

quả đã có trước đó, đồng thời nêu bố cục luận văn

Chương 1, chúng tôi trình bày một số kết quả chuẩn bị bao gồm việc nhắc lại một

số không gian hàm, một số kết quả về phép nhúng compact giữa các không gian hàm

Chương 2, chúng tôi nghiên cứu về sự tồn tại và duy nhất nghiệm của nghiệm yếu

của bài toán (0.1)-(0.3)

Chương 3, chúng tôi nghiên cứu khai triển tiệm cận của nghiệm yếu của bài toán

( )P theo một tham số 

Chương 4, là minh họa một ví dụ cụ thể về khai triển tiệm cận của nghiệm yếu

Kế đến là phần kết luận và danh mục các tài liệu tham khảo

Chương 1 CÁC CÔNG CỤ CHUẨN BỊ

1.1 Các không gian hàm thông dụng

Đầu tiên ta đặt các kí hiệu sau  (0,1), (0, ),Q T    T T 0 và bỏ qua

định nghĩa các không gian hàm thông dụng: Cm( ),  Lp( ),  Hm( ),  Wm p, ( ) 

Để cho gọn, ta kí hiệu lại như sau: Lp  Lp( ),  Hm  Hm( )   Wm,2( ), 

Chứng minh. Xem Adams[1] Xem (1.6)

Ta cũng sử dụng một không gian Sobolev đặc biệt hơn đó là không gian

1 1

1 0

,1

.2

Chú thích 1.2 Từ Bổ đề 1.3, ta dùng ký hiệu tích vô hướng  , trong L2 để

chỉ cặp tích đối ngẫu  , H 1 , H1 giữa H01 và H1 Chuẩn trong L2 được ký hiệu bởi

Ta cũng ký hiệu  X để chỉ chuẩn trong không gian Banach X và gọi X  là

không gian đối ngẫu của X

1.2 Không gian hàm Lp(0, ; ), 1 T X   p

Cho X là không gian Banach thực với chuẩn là  X. Ta kí hiệu Lp(0, ; ), T X

1   là không gian các lớp tương đương chứa hàm p u: (0, )T  X đo được

L T X là không gian Banach

1

p p

L  T X là đối ngẫu của L p(0, ; ).T X

Hơn nữa, nếu X phản xạ thì L p(0, ; )T X cũng phản xạ

Bổ đề 1.6. ( (0, ; ))L1 T X  L(0, ;T X ). Hơn nữa, các không gian

1(0, ; ),

L T X L(0, ;T X ) không phản xạ

Chú thích 1.3 Nếu X L p( ) thì (0, ; )  L p T X L p(   (0, )).T

1.3 Phân bố có giá trị trong không gian Banach

Định nghĩa 1.1. Cho X là không gian Banach thực Một ánh xạ tuyến tính

liên tục từ D((0, ))T vào X được gọi là một (hàm suy rộng) phân bố có giá trị

trong X. Tập hợp các phân bố có giá trị trong X kí hiệu là

((0, ; ))

D T X = L D( ((0, )); )T X = {u: D((0, ))T  X: u tuyến tính}

Chú thích 1.4. Ta kí hiệu D(0, )T thay cho D((0, ))T hoặc C c((0, ))T để

chỉ không gian các hàm thực khả vi vô hạn và có giá compact trong (0, ).T

Định nghĩa 1.2 Cho u D  (0, ; ).T X Ta định nghĩa đạo hàm du

dt theo nghĩa phân bố của u bởi công thức

1.4 Bổ đề về tính compact của Lions

Cho ba không gian Banach X X X0, , 1 với X0 ↪X ↪X1với các phép nhúng

liên tục, sao cho :

Khi đó, W (0, ) T là không gian Banach Hiển nhiên W (0, ) T ↪ Lp0(0, ; ) T X

Ta có kết quả sau đây liên quan đến phép nhúng compact

Bổ đề 1.9. (Bổ đề về tính compact của Lions[8]) Với giả thiết (1.11), (1.12)

và nếu 1  pi    , i 0,1 thì phép nhúng W (0, ) T ↪Lp0(0, ; ) T X là

compact

Chứng minh. Có thể tìm thấy trong Lions[8], trang 57

1.5 Bổ đề về sự hội tụ yếu trong L Q q( )

G C trong đó C là hằng số độc lập với m và G m G hầu khắp nơi trong

Q Khi đó, G m G yếu trong L Q q( )

1.7 Một số kết quả khác

Bổ đề sau đây liên quan đến một bất phương trình tích phân và nó rất cần

thiết cho việc đánh giá tiên nghiệm trong các chương sau

Bổ đề 1.11 (Bổ đề Gronwall)

Giả sử f :[0, ]T  là hàm khả tích, không âm trên [0, ]T và thỏa bất

Trong chương này, chúng tôi sẽ kết hợp bài toán (2.1) – (2.3) với một thuật

giải quy nạp tuyến tính mà sự tồn tại và duy nhất nghiệm được chứng minh bằng

phương pháp Galerkin và phương pháp compact yếu

2.2 Các ký hiệu và giả thiết

Ta thành lập các giả thiết sau:

2.3 Thuật giải xấp xỉ tuyến tính

Trong phần này, với sự lựa chọn M và T thích hợp ta xây dựng một dãy

{ }u m trong W M T bằng quy nạp Dãy { }1( , ) u m sẽ được chứng minh hội tụ về

nghiệm yếu của bài toán (2.1) – (2.3)

Ta chọn số hạng đầu tiên u0  u0 Giả sử rằng

Sự tồn tại u m cho bởi định lý sau đây

Định lý 2.1 Giả sử rằng các giả thiết ( ) ( )A1  A3 đúng Khi đó, tồn tại các

hằng số M > và 0 T > sao cho, với 0 u0 =  tồn tại một dãy quy nạp tuyến tính u0,

1

{ }u m ÌW M T( , ) xác định bởi (2.8)-(2.11)

Bước 1 Xấp xỉ Galerkin

Giả sử { }w với j w x j( )= 2 sin(j x p ), j Î  là cơ sở đặc biệt của 1

0

H gồm

các hàm riêng w của toán tử j

2 2

¶-D =

Ta đặt Y =C0([0, ];T  là không gian các hàm liên tục Banach đối với chuẩn k)

Từ (2.32) suy ra (2.28) đúng với mọi p Î 

 Tồn tại p Î  sao cho V p :Y Y là ánh xạ co

U c -U d £q c d- "c d ÎY

Vậy U p :Y Y là ánh xạ co

)

iii U có điểm bất động duy nhất trong Y

Do toán tử U p :Y Y là co, nên theo nguyên lý ánh xạ co, suy ra p

c trên 0 t T  Vậy bổ đề 2.2 dược chứng minh hoàn tất

Bước 2 Các đánh giá tiên nghiệm

Đánh giá tiên nghiệm 1

Thay w j bởi ( )k

m

u trong (2.14), sau đó tích phân theo t

( ) ( ) 0

Ta viết lại (2.41) như sau

Đánh giá tiên nghiệm 2

Nhân hai vế của (2.14) với j, ta có

( )2

( )2

2 (1 3 ) ( )

t

k m

Đánh giá tiên nghiệm 3

Thay w j bởi ( )k

m u trong (2.14), ta được ( )k ( ), ( )k ( ) ( )k ( ), ( )k ( ) ( )k ( ), ( )k ( )

K

X s ds K T

 

0 2

0 0

Bước 3.Qua giới hạn

Từ (2.87), ta suy ra tồn tại một dãy con của dãy  ( )k ,

m

u mà vẫn ký hiệu  ( )k

m

u sao cho:

Vậy Định lý 2.1 được chứng minh hoàn tất

Chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm

Định lý 2.2. Giả thiết ( ) ( )A1  A3 là đúng Khi đó với các hằng số M 0,T 0

thoả (2.82)-(2.85) thì bài toán (2.1)-(2.2) có duy nhất nghiệm yếu u W M T 1( , )

Mặt khác, dãy qui nạp tuyến tính  u m được xác định bởi (2.9)-(2.11) hội tụ mạnh

về nghiệm u trong không gian hàm

trong đó k T 1và C là một hằng số không phụ thuộc vào m

a) Sự tồn tại của nghiệm

Trước hết , ta chú ý rằng W T1( )là không gian Banach đối chuẩn

1 ( ) (0, ; ) (0, ; )

W T L T L L T L

Ta sẽ chứng minh rằng  u m là một dãy cauchy trong W T1( )

Đặt v mu m1u m Khi đó v m thoả bài toán biến phân sau:

Ta cũng chú ý rằng u mW M T( , ), khi đó ta rút ra một dãy con của dãy  u m mà

vẫn kí hiệu là  u m sao cho :

Gọi u u1, 2 là hai nghiệm yếu của bài toán (2.134) sao cho u iW M T i1( , ), 1, 2.Khi

đó v u 1 u2 thoả bài toán biến phân sau

K S s ds



Chương 3 KHAI TRIỂN TIỆM CẬN CỦA NGHIỆM

Trong chương này, ta sẽ nghiên cứu khai triển tiệm cận của nghiệm yếu của

bài toán nhiễu theo một tham số bé 

Ta xét bài toán nhiễu dưới đây theo một tham số bé ,  1

Định lí 3.1. Giả sử rằng các giả thiết ( ) ( ), ( ), ( )A1  A3 B1 B2 đúng Khi đó với

hằng số M  0 sao cho, với mỗi  với   1, bài toán ( )P có duy nhất một nghiệm

yếu uW M T1( , ) thoả một đánh giá tiệm cận

4 ( , , ) 1

Trong phần tiếp theo, ta sẽ nghiên cứu khai triển tiệm cận của nghiệm yếu bài

toán nhiễu cấp cao theo tham số bé  , trong đó số hạng nhiễu là các đa thức bậc N

ở các điều kiện đầu như bài toán ( )P ở trên

Giả sử rằng

( )B F C N([0,1]   ), F C N([0,1]   ),

thỏa các điều kiện sau:

Ta nghiên cứu sự khai triển tiệm cận đến cấp N 1 của nghiệm yếu utheo  , của

Gọi u0 là nghiệm yếu cùa bài toán ( )P0 tương ứng với   0.

Ta xét các nghiệm yếu u iW M T i1( , ), 1, ,N (với các hằng số dương M T, thích

hợp ) được xác định bởi các bài toán dưới đây

1 1 1 0

1

i i i

Vậy, bổ đề 3.2 được chứng minh hoàn tất

Bổ đề 3.3 Giả sử ( ) ( ), ( )A1  A3 B3 đúng Khi đó tồn tại một hằng số K sao cho

2

1 (0, ; ) N ,

Bằng cách khai triển Maclaurin các hàm F h[ ] và F h1[ ] xung quanh điểm   0 lần

lượt đến cấp N 1và cấpN, ta thu được từ (3.37) rằng

1 (0, ; ) N ,

L T L

E  K 



trong đó K là một hằng số chỉ phụ thuộc vào M T N, , và các hằng số

1

K M T F  i N K M T F  i N

Chứng minh Bổ đề 3.3 được hoàn tất

Bây giờ, ta xét dãy hàm  v m được định nghĩa như sau:

1 0

Mặt khác dãy qui nạp tuyến tính  v m xác định bời (3.48) hội tụ mạnh trong không

gian W T1( ) về nghiệm yếu v của bài toán (3.29)

Do đó, cho m  trong (3.74), ta được

1 (0, ; ) (0, ; ) T N ,

uW M T thoả một đánh giá tiệm cận đến cấp N 1 theo  như trong (3.76),

các hàm u u0, , ,1 u N là các nghiệm yếu của các bài toán ( ), ( ), , ( ).P0 L1 L i

Chương 4 MINH HỌA BẰNG VÍ DỤ CỤ THỂ

Trong chương này, chúng tôi xét bài toán cụ thể để minh họa phương pháp thiết

lập khai triển nghiệm cho bài toán ( )P ứng với 4

1

F F u N  Gọi u u u, , , ,0 1 u3 lần lượt là nghiệm yếu của các bài toán sau:

v u  u u h



    là nghiệm yếu của bài toán

KẾT LUẬN

Qua luận văn này, tác giả bắt đầu làm quen với công việc nghiên cứu khoa học

một cách nghiêm túc và có hệ thống Tác giả cũng học tập được phương pháp

nghiên cứu trong việc đọc tài liệu, thảo luận trong nhóm sinh hoạt học thuật Tác giả cũng học tập được công cụ của Giải tích hàm phi tuyến để khảo sát sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu của bài toàn biên phi tuyến , chẳng hạn như : phương pháp Galerkin liên hệ với các kĩ thuật đánh giá tiên nghiệm, kĩ thuật về tính compact và hội tụ yếu Tác giả cũng có dịp được sử dụng các công cụ cùng với các kĩ thuật đánh giá khai triển tiệm cận nghiệm của bài toán nhiễu Tuy nhiên với sự hiểu biết hạn chế của bản thân, tác giả rất mong học hỏi từ sự đóng góp và chỉ bảo của Quý

Thầy Cô trong và ngoài Hội đồng

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] R.Adams, Sobolev space, Academic Press, 1975

[2] H.Brézis, Analyse fonctionnele, Théorie et Applications, Masson Paris, 1983 [3] Boujot J, Alain Pham Ngoc Đinh, Veyrier J.P., Oscillateurs harmoniques

faiblement perturbés : L’algorithme numérique des ‘ par de géants’, RAIRO,

Analyse numérique 14 (1980), 3-23

[4] Caughey T., Ellison J., Existence, uniqueness and stability of solutions of a

class of nonlinear differential equations, J Math Appl 51 (1975) 1-32

[5] Alain Pham Ngoc Đinh, Sur un problèms hyperboliqe faiblement nonlinéaire

en dimension, Demonstratio Math 16 (1983) 269-289

[6] Alain Pham Ngoc Đinh, Nguyen Thanh Long, Linear approximation and

asymptotic expansion associated to the nonlinear wave equation in one dimension,

Demonstratio Math 19 (1) (1986) 45-63

[7] Ficken F., Fleishman B., Initial value problems and time periodic solutions for

a nonlinear wave equation, Communs Pure Appl Math 10 (1957) 331-356

[8] J L Lions, Quelques methods de resolution des problèmes aux limites

nonlinéaires, Dunod; Gauthier Villars, Paris 1969

[9] Nguyen Thanh Long, Nguyen Cong Tam, Nguyen Thi Thao Truc, On the

nonlinear wave equation with the mixed nonhomogeneous conditions: Linear approximation and asymptotic expansion of solutionm, Demonstratio Math.38

(2005), No.2, 365-386

[10] Nguyen Thanh Long, Alain Pham Ngoc Dinh, Tran Ngoc Diem, Asymptotic

expansion of the sploution for nonlinear wave equation with mixed nonhomogeneous conditions, Demonstratio Math 36 (3) (2003), 683-695

[11] Nguyen Thanh Long, Tran Minh Thuyet, A semilinear wave equation

associated with a nonlinear integral equation, Demonstratio Math 36(4) (2003),

915-938

[12] Rabinowitz P.H., periodic solutions of nonlinear hyperbolic differential

equation, Communs Pure Appl Math 20 (1967), 145-205