Thuật giải lặp cho phương trình sóng phi tuyến có hệ số chứa tích phân với điều kiện biên hỗn hợp thuần nhất

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH _ Nguyễn Thị Ngọc Hiền THUẬT GIẢI LẶP CHO PHƯƠNG TRÌNH SĨNG PHI TUYẾN CĨ HỆ SỐ CHỨA TÍCH PHÂN VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN HỖN HỢP THUẦN NHẤT LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2008 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thị Ngọc Hiền THUẬT GIẢI LẶP CHO PHƯƠNG TRÌNH SĨNG PHI TUYẾN CĨ HỆ SỐ CHỨA TÍCH PHÂN VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN HỖN HỢP THUẦN NHẤT Chun ngành: Tốn Giải Tích Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN THÀNH LONG Thành phố Hồ Chí Minh - 2008 Luận văn hồn thành Trường Đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh Người hướng dẫn: TS Nguyễn Thành Long Khoa Tốn – Tin học, Đại học Khoa học Tự nhiên TP Hồ Chí Minh Người nhận xét 1: PGS TS Lê Hồn Hố Khoa Tốn – Tin học, Đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh Người nhận xét 2: TS Lê Thị Phương Ngọc Trường Cao đẳng Sư phạm Nha Trang Học viên cao học: Nguyễn Thị Ngọc Hiền Luận văn bảo vệ Hội Đồng chấm luận văn Trường Đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh, vào lúc … giờ… ngày… tháng … năm 2008 Có thể tìm hiểu luận văn Phòng Sau Đại học, thư viện trường Đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh Thành phố Hồ Chí Minh – 2008 LỜI CẢM ƠN Lời tơi trân trọng kính gửi tới Thầy hướng dẫn, TS Nguyễn Thành Long, lòng biết ơn chân thành sâu sắc Người Thầy ân cần tận tình hướng dẫn, giúp cho tơi nắm bước nghiên cứu giải đáp thắc mắc tơi gặp phải Sự đam mê nghiên cứu khoa học tận tình hướng dẫn Thầy giúp tơi hồn thành luận văn Xin trân trọng cảm ơn Thầy Lê Hồn Hóa Cơ Lê Thị Phương Ngọc dành thời gian, cơng sức để đọc cho nhận xét q báu luận văn tơi Xin trân trọng cảm ơn q Thầy Cơ ngồi khoa Tốn – Tin học trường Đại học Sư phạm Tp Hồ Chí Minh tận tình truyền đạt kiến thức kinh nghiệm q báu cho tơi suốt thời gian học tập trường Chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Tốn – Tin học, q Thầy Cơ thuộc phòng quản lý Khoa học Cơng nghệ & Sau Đại học, thư viện trường Đại học Sư phạm Tp.HCM tạo điều kiện thuận lợi để tơi hồn thành chương trình học q trình làm thủ tục bảo vệ luận văn tốt nghiệp Xin cảm ơn anh chị lớp Cao học Giải tích Khóa 16, anh chị nhóm xemina Thầy tổ chức động viên nhiệt tình giúp đỡ tơi suốt thời gian qua Tơi khơng qn gửi lời biết ơn đến gia đình tơi, người hết lòng lo lắng ln bên tơi lúc khó khăn Sau cùng, kiến thức thân hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Tơi mong nhận bảo q Thầy Cơ góp ý chân thành bạn bè đồng nghiệp Tơi xin chân thành cảm ơn Thành phố Hồ Chí Minh, tháng năm 2008 Nguyễn Thị Ngọc Hiền MỤC LỤC Lời cảm ơn Mục lục MỞ ĐẦU Chương 1: MỘT SỐ CƠNG CỤ CHUẨN BỊ .7 1.1 Các khơng gian hàm thơng dụng 1.2 Khơng gian hàm Lp (0, T ; X ), ≤ p ≤ ∞ 1.4 Đạo hàm Lp (0, T ; X ) 10 1.5 Bổ đề tính compact Lions 11 1.6 Một kết lý thuyết phổ 12 1.7 Một số kết khác 13 Chương 2: THUẬT GIẢI LẶP CẤP MỘT 14 2.1 Giới thiệu tốn cơng cụ chuẩn bị 14 2.2 Thiết lập định lý tồn nghiệm thuật giải lặp cấp 16 Chương 3: THUẬT GIẢI LẶP CẤP HAI 37 3.1 Giới thiệu tốn 37 3.2 Thiết lập định lý tồn nghiệm thuật giải lặp cấp hai 37 KẾT LUẬN .60 TÀI LIỆU THAM KHẢO .62 MỞ ĐẦU Các tốn biên phi tuyến nói chung đề tài quan tâm nhiều tác giả, chẳng hạn [3 – 23] tài liệu tham khảo Loại tốn nầy chứa đựng nhiều mơ hình tốn học đặt lĩnh vực Kỹ thuật, Cơ học,… có nhiều ứng dụng thực tiễn Đó lý tơi chọn đề tài nầy Trong nhiều trường hợp, tốn giải dừng lại mức độ tồn nghiệm khơng cách thiết lập nghiệm Một cách thơng dụng mà nhiều nhà nghiên cứu hay làm phương pháp tuyến tính hóa, giống phép xấp xỉ liên tiếp ngun lý ánh xạ co Cách làm nầy bảo đảm hội tụ mặt tốn học, thực tế hệ số co nhỏ gần 1, phép lặp nầy hội tụ chậm đòi hỏi số bước lặp phải lớn, chí lớn Phương pháp lặp kiểu nầy người ta gọi phép lặp cấp hay lặp đơn Cải tiến phương pháp nầy, người ta thường tìm kiếm thuật giải có tốc độ hội tụ nhanh hơn, chẳng hạn thuật giải lặp cấp hai [17] cao [22] Ví dụ thuật giải xác định dãy lặp {um } gọi thuật giải cấp hai ta có đánh giá sai lệch số hạng um với nghiệm xác u theo bất đẳng thức (với chuẩn thích hợp ⋅ ) um − u ≤ C um−1 − u ∀m ∈ `, (0.1) C số độc lập với m Với đánh giá nầy, bước lặp u0 chọn đủ gần với nghiệm xác u cho β = C u0 − u < 1, ta có đánh giá sai số um − u ≤ 2m β = Rm(2) ∀m ∈ ` C Trong trường hợp lặp cấp ta có đánh giá (0.2) um − u ≤ C1α m = Rm(1) ∀m ∈ `, (0.3) ≤ α < 1, C1 số độc lập với m So sánh với hai đánh giá sai số (0.2) (0.3), ta thấy (0.2) có tốc độ hội tụ nhanh (0.3), ⎛ ⎞ m Rm(2) −2m ⎜⎝ ln(1/ β ) − 2m ln(1/ α ⎟⎠ = → 0, m → ∞ e Rm(1) CC1 (0.4) Trong luận văn này, chúng tơi xét số thuật giải lặp (cấp cấp hai) cho tốn giá trị biên ban đầu cho phương trình sóng phi tuyến có hệ số chứa tích phân thuộc dạng đây: ( utt − B u x (t ) )u xx ( + f (u , ut ) = F x, t , u , u x (t ) ), t ∈ (0, T ), x ∈ (0,1), (0.5) u x (0, t ) − u (0, t ) = u (1, t ) = 0, (0.6) u ( x,0) = u0 ( x), ut ( x,0) = u1 ( x), (0.7) u0 , u1 , f , F , B hàm cho trước thỏa điều kiện mà ta ( sau Trong phương trình (0.5), số hạng phi tuyến F x, t , u , u x (t ) ( B u x (t ) 2 ), ) , hàm có phụ thuộc vào tích phân u x (t ) = ∫ u x2 ( x, t )dx (0.8) Trong [13], Nguyễn Thành Long, Alain Phạm Ngọc Định Trần Ngọc Diễm nghiên cứu tốn ( ( utt − b0 + B ∇u )) ∆u = f ( x, t, u, u , u ), x ∈ (0,1), t ∈ (0,T ), x t (0.9) u (0, t ) = u (1, t ) = 0, (0.10) u ( x,0) = u0 ( x), ut ( x,0) = u1 ( x) (0.11) Trong [14], Nguyễn Thành Long Bùi Tiến Dũng nghiên cứu tồn nghiệm tốn 2 utt − B( ∇u )∆u = f ( x, t , u, u x , ut , ∇u ), x ∈ (0,1), t ∈ (0, T ), (0.12) u x (0, t ) − h0u (0, t ) = u (1, t ) = 0, (0.13) u ( x,0) = u0 ( x), ut ( x,0) = u1 ( x), (0.14) B, f , u0 , u1 hàm cho trước h0 ≥ cho trước Trong [10, 12], tác giả nghiên cứu tồn nghiệm phương trình utt + λ∆ 2u − B ( ∇u )∆u + ε ut α −1 ut = F ( x, t ), x ∈ Ω, t > 0, (0.15) λ > 0, ε > 0, < α < số cho trước Ω tập mở bị chặn \ n Trong luận văn này, chúng tơi tập trung giải hai vấn đề Vấn đề thứ nhất: Khảo sát thuật giải lặp cấp Chúng tơi chứng minh tồn nghiệm địa phương tốn (0.5) – (0.7) Ý tưởng cơng cụ để khảo sát tồn nghiệm thiết lập dãy quy nạp tuyến tính liên kết với tốn, sau sử dụng xấp xỉ Galerkin phương pháp compact để chứng minh dãy hội tụ mạnh nghiệm yếu tốn (0.5) – (0.7) khơng gian hàm thích hợp với giả thiết mà ta đặt thêm Sự tồn nghiệm nhờ vào việc vận dụng định lý ánh xạ co (tốn tử co dạng lặp) nghiệm chứng minh nhờ vào bổ đề Gronwall sau số phép tính tốn đánh giá cụ thể Vấn đề thứ hai: Khảo sát thuật giải lặp cấp hai Bài tốn (0.5) xét với F = F ( x, t ), f = f (u ) = K u q−2 u, q > B ∈ C (\ + ), b0 ≤ B ( z ) ≤ d z p + d0 , B′( z ) ≤ d1 z p −1 + d1 , b0 > 0, p > 1, d , d0 , d1 , d1 ≥ số cho trước Chúng tơi liên kết phương trình (0.1) với dãy quy nạp phi tuyến {um } xác định ( ∂ 2u m − B ∇um (t ) ∂t 2 ) ∂ 2u m = F ( x, t ) − f (um−1 ) − f ′(um−1 )(um − um−1 ), ∂x với um thỏa (0.6), (0.7) Khi đó, luận văn chứng tỏ dãy lặp {um } hội tụ bậc hai nghiệm yếu tốn (0.5) – (0.7) Trong chứng minh tồn nghiệm địa phương, định lý điểm bất động Banach sử dụng Luận văn trình bày theo chương mục sau Phần mở đầu tổng quan tốn khảo sát luận văn, điểm qua kết có trước đó, đồng thời nêu bố cục luận văn Chương 1, chúng tơi trình bày số kết chuẩn bị bao gồm việc nhắc lại số khơng gian hàm, số kết phép nhúng compact khơng gian hàm quan trọng Chương 2, chúng tơi sử dụng kỹ thuật tuyến tính hố số hạng phi tuyến, kết hợp với phương pháp Galerkin, với đánh giá tiên nghiệm, hội tụ yếu tính compact Phương pháp nầy dẫn đến thuật giải cấp hội tụ nghiệm tốn (0.5) – (0.7) Trong phần xấp xỉ Galerkin, luận văn sử dụng định lý ánh xạ co việc chứng minh tồn nghiệm hệ phương trình vi phân Tính nghiệm chứng minh cách sử dụng bổ đề Gronwall Chương 3, phần khảo sát thuật giải lặp cấp hai Trong mục này, tốn giá trị đầu giá trị biên xét với f = f (u ) = K u q−2 u, B = B( z ) điều kiện cho cụ thể Một lần định lý ánh xạ co đựơc sử dụng việc chứng minh tồn nghiệm Kế đến phần kết luận sau danh mục tài liệu tham khảo 7 Chương 1: MỘT SỐ CƠNG CỤ CHUẨN BỊ 1.1 Các khơng gian hàm thơng dụng Ta đặt ký hiệu Ω = (0,1), QT = Ω × (0, T ), T > bỏ qua định nghĩa khơng gian hàm thơng dụng: C m (Ω), Lp (Ω), H m (Ω), W m , p (Ω) Để cho gọn, ta ký hiệu lại sau: Lp (Ω) = Lp , W m, p (Ω) = W m, p , H m (Ω) = W m ,2 (Ω) = H m Có thể xem [1, 2] Ta định nghĩa L2 = L2 (Ω) khơng gian Hilbert với tích vơ hướng u , v = ∫ u ( x)v( x)dx, u , v ∈ L2 (1.1) Ký hiệu ⋅ để chuẩn sinh tích vơ hướng (1.1), nghĩa 1/ ⎛1 ⎞ u , u = ⎜ ∫ u ( x)dx ⎟ ⎝0 ⎠ u = , u ∈ L2 (1.2) Ta định nghĩa khơng gian Sobolev cấp H = {v ∈ L2 : vx ∈ L2 } (1.3) Khơng gian khơng gian Hilbert với tích vơ hướng u, v H1 ⋅ Kí hiệu u H1 = u , v + u x , vx H1 = (1.4) để chuẩn sinh tích vơ hướng (1.4), nghĩa u, u H1 ( = u + ux ) 1/ , u ∈ H (1.5) Liên hệ hai khơng gian H C (Ω) ta có bổ đề sau: Bổ đề 1.1 Phép nhúng H v C0 (Ω) ≤ v H1 C (Ω) compact , ∀v ∈ H (1.6) Bổ đề 1.2 Đồng L2 với L2 ≡ ( L2 )′ (đối ngẫu L2 ) Khi ta có ( H )′ L2 ≡ ( L2 )′ H1 (1.7) với phép nhúng liên tục nằm trù mật Chú thích 1.1 Từ bổ đề 2, ta dùng ký hiệu tích vơ hướng ⋅, ⋅ L2 để cặp tích đối ngẫu ⋅, ⋅ H ( H )′ Chuẩn L2 ( H )′ , H ký hiệu ⋅ Ta ký hiệu ⋅ X để chuẩn khơng gian Banach X gọi X ′ khơng gian đối ngẫu X 1.2 Khơng gian hàm Lp (0, T ; X ), ≤ p ≤ ∞ Cho X khơng gian Banach thực với chuẩn ⋅ X Ta ký hiệu Lp (0, T ; X ), ≤ p ≤ ∞ khơng gian lớp tương đương chứa hàm u : (0, T ) → X đo cho T ∫ u (t ) p X dt < ∞, ≤ p < ∞ hay ∃M > : u (t ) X ≤ M , a.e t ∈ (0, T ), với p = ∞ Ta trang bị cho Lp (0, T ; X ), ≤ p ≤ ∞ chuẩn sau u Lp (0,T ; X ) ⎛T = ⎜ ∫ u (t ) ⎝0 ⎞ dt ⎟ , 1≤ p < ∞ X ⎠ p p u Lp (0,T ; X ) = ess sup u (t ) X = inf {M > : u (t ) X < M , a.e t ∈ (0, T )} , p = ∞ Khi ta có bổ đề mà chứng minh chúng tìm thấy Lions [8] Bổ đề 1.3 (Lions[8]) Lp (0, T ; X ), ≤ p ≤ ∞ khơng gian Banach.„ Bổ đề 1.4 (Lions [7]) Gọi X ′ đối ngẫu X Khi đó, với p′ = p , < p < ∞ Lp′ (0, T ; X ′) đối ngẫu Lp (0, T ; X ) Hơn nữa, p −1 X khơng gian phản xạ Lp (0, T ; X ) phản xạ.„ Bổ đề 1.5 (Lions [8]) ( L1 (0, T ; X ) )′ = L∞ (0, T ; X ′) Hơn nữa, khơng gian L1 (0, T ; X ), L∞ (0, T ; X ′) khơng phản xạ.„ Chú thích 1.2 Nếu X = Lp (Ω) Lp (0, T ; X ) = Lp (Ω × (0, T )) 1.3 Phân bố có giá trị khơng gian Banach Định nghĩa 1.1 Cho X khơng gian Banach thực Một ánh xạ tuyến tính liên tục từ D ( (0, T ) ) vào X gọi phân bố có giá trị X , ký hiệu D′(0, T ; X ) = L( D(0, T ); X ) = {u : D(0, T ) → X : u tuyến tính liên tục} Chú thích 1.3 Ta ký hiệu D(0, T ) thay cho D ( (0, T ) ) Cc∞ ( (0, T ) ) để khơng gian hàm số thực khả vi vơ hạn có giá trị compact (0, T ) Định nghĩa 1.2 Cho u ∈ D′(0, T ; X ) Ta định nghĩa đạo hàm du theo dt nghĩa phân bố u cơng thức du dφ ,φ = − u , , ∀φ ∈ D(0, T ) dt dt (1.8) Các tính chất a) Cho v ∈ LP (0, T ; X ) Xét ánh xạ Tv : D(0, T ) → X sau T Tv ,φ = ∫ v(t )φ (t ) dt , ∀φ ∈ D(0, T ) (1.9) 10 Ta nghiệm lại Tv ∈ D′(0, T ; X ) Thật vậy: i) Ánh xạ Tv : D(0, T ) → X tuyến tính ii) Ta nghiệm lại ánh xạ Tv : D(0, T ) → X liên tục Giả sử {φm } ⊂ D(0,T ) cho φm → Tv ,φm D(0, T ) Ta có T X = ∫ v(t )φm (t )dt X T ≤ ∫ v(t )φm (t ) X dt p p′ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ≤ ⎜ ∫ v(t ) X dt ⎟ ⎜ ∫ φm (t ) dt ⎟ → 0, m + ∞ ⎝0 ⎠ ⎝0 ⎠ T p T p' (1.10) Vậy Tv ∈ D′(0, T ; X ) b) Ánh xạ v Tv đơn ánh, tuyến tính từ LP (0, T ; X ) vào D′(0, T ; X ) Do đó, ta đồng Tv = v Khi ta có kết sau Bổ đề 1.6 (Lions [8]) Lp (0, T ; X ) ⊂ D′(0, T ; X ) với phép nhúng liên tục 1.4 Đạo hàm Lp (0, T ; X ) Do bổ đề 7, phần tử u ∈ Lp (0, T ; X ) du phần tử dt D′(0, T ; X ) Ta có bổ đề sau mà chứng minh tìm thấy Lions [8].„ Bổ đề 1.7 (Lions[8]) Nếu f , f ′ ∈ Lp (0, T ; X ), ≤ p ≤ ∞ f hầu hết với hàm thuộc C ([0, T ]; X ) „ 11 1.5 Bổ đề tính compact Lions Cho khơng gian Banach B0 , B, B1 với B0 B B1 với phép nhúng liên tục cho: - B0 , B1 phản xạ (1.11) - B0 (1.12) B phép nhúng compact Ta định nghĩa W (0, T ) = {v ∈ Lp (0, T ; B0 ) : dv = v′ ∈ Lp (0, T ; B1 )}, dt (1.13) < T < ∞, ≤ p i ≤ ∞, i = 0, Trang bị W (0, T ) chuẩn sau v W (0,T ) = v Lp0 (0,T ; B0 ) + v' L p1 (0,T ; B1 ) (1.14) Khi đó, W (0, T ) khơng gian Banach Hiển nhiên W (0, T ) Lp (0, T ; B) Ta có kết sau liên quan đến phép nhúng compact Bổ đề 1.8 (Bổ đề tính compact Lions [8]) Với giả thiết (1.11), (1.12) < pi < ∞, i = 0, phép nhúng W (0, T ) Lp (0, T ; B ) compact Bổ đề 1.9 (Lions [8], p.12) Cho Q mở bị chận \ N , g , g m ∈ Lp (Q), < q < ∞, thỏa (i) g m Lp ( Q ) ≤ C C số độc lập với m, (ii) g m → g hầu hết Q, g m → g Lp (Q ) yếu 12 1.6 Một kết lý thuyết phổ Một số kết lý thuyết phổ áp dụng nhiều tốn biên Trước hết ta làm số giả thiết sau Cho V H hai khơng gian Hilbert thực thỏa mãn điều kiện (i) Phép nhúng V H compact, (1.15) (ii) V trù mật H (1.16) Cho a : V × V → \ dạng song tuyến tính đối xứng, liên tục V × V cưỡng V Chính xác hơn, ta gọi a dạng song tuyến tính (j) Nếu u a (u , v) tuyến tính từ V vào \ với v ∈V v a (u , v) tuyến tính từ V vào \ với u ∈V (2j) Đối xứng a (u, v) = a(v, u ), ∀u, v ∈V (3j) Liên tục ∃C1 ≥ : a(u, v) ≤ C1 u V v V , ∀u, v ∈V (4j) Cưỡng ∃C0 > : a (v, v) ≥ C0 v V , ∀v ∈V Khi ta có kết sau Bổ đề 1.10 Dưới giả thiết (1.15), (1.16) Khi tồn sở trực chuẩn Hilbert {w j } H bao gồm hàm riêng w j tương ứng với giá trị riêng λ j cho < λ1 ≤ λ2 ≤ ≤ λ j ≤ , lim λ j = +∞, j →∞ a ( w j , v) = λ j w j , v , ∀v ∈V , ∀j = 1, 2, { Hơn nữa, dãy w j / λ j (1.17) (1.18) } sở trực chuẩn Hilbert V tích vơ hướng a (⋅ , ⋅) Chứng minh bổ đề 1.10 tìm thấy [20] Định lý 6.2.1, p.127 13 1.7 Một số kết khác Bất đẳng thức Gronwall Giả sử f : [0, T ] → \ hàm khả tích, khơng âm [0, T ] thỏa mãn bất đẳng thức t f (t ) ≤ C1 + C2 ∫ f ( s )ds, ∀t ∈ [0, T ], C1 , C2 số khơng âm Khi f (t ) ≤ C1eC t , ∀t ∈ [0, T ] Ký hiệu u (t ), ut (t ) = u (t ), utt (t ) = u(t ), u x (t ) = ∇u (t ), u xx (t ) = ∆u (t ) thay cho u ( x, t ), (∂u / ∂t )( x, t ), (∂ 2u / ∂t )( x, t ), (∂u / ∂x)( x, t ), (∂ 2u / ∂x )( x, t ) tương ứng Ngồi ra, với F = F ( x, t , u, v), ta đặt D1 F = ∂F / ∂x, D2 F = ∂F / ∂t , D3 F = ∂F / ∂u, D4 F = ∂F / ∂v 14 Chương 2: THUẬT GIẢI LẶP CẤP MỘT 2.1 Giới thiệu tốn cơng cụ chuẩn bị Trong chương nầy, chúng tơi xét tốn giá trị biên ban đầu sau đây: ( utt − B u x (t ) )u xx ( + f (u , ut ) = F x, t , u , u x (t ) ), t ∈ (0, T ), x ∈ (0,1), (2.1) u x (0, t ) − u (0, t ) = u (1, t ) = 0, (2.2) u ( x,0) = u0 ( x), ut ( x,0) = u1 ( x), (2.3) ⎧⎪ F ∈ C ([0,1] × \ + × \ × \ + ), ⎨ q−2 p−2 ⎪⎩ f (u , ut ) = K u u + λ ut ut , q > 2, p > 2, K > 0, λ > (2.4) u0 , u1 , B hàm cho trước Trong chương ta thiết lập định lý tồn nghiệm yếu tốn (2.1) – (2.4) thuật giải lặp cấp kết hợp với phương pháp Galerkin phương pháp compact yếu Trước hết ta sử dụng khơng gian Sobolev đặc biệt khơng gian V = {v ∈ H (0,1) : v(1) = 0} (2.5) Khi V khơng gian đóng H V khơng gian Hilbert tích vơ hướng H Ngồi ra, V , v v 1/2 v H1 ⎛1 ⎞ vx , vx = ⎜ ∫ vx ( x) dx ⎟ hai chuẩn tương đương Điều cho ⎝0 ⎠ bổ đề sau Bổ đề 2.1 Phép nhúng từ V C (Ω) compact 15 v C0 (Ω ) ≤ vx , ∀v ∈V (2.6) Chứng minh bổ đề 2.1 dễ dàng mà chứng minh tìm thấy nhiều tài liệu liên quan đến lý thuyết khơng gian Sobolev, chẳng hạn [1, 2] Trên sử dụng dạng song tuyến tính V × V a (u , v) = ∫ u x ( x)vx ( x)dx + u (0)v(0), u , v ∈V (2.7) Bổ đề 2.2 Dạng song tuyến tính đối xứng a(⋅ , ⋅) định nghĩa (2.6) liên tục V × V cưỡng V Cụ thể ta có (i) a (u , v) ≤ u x vx , ∀u , v ∈V , (ii) a (v, v) ≥ vx , ∀v ∈V Chứng minh bổ đề 2.2 dễ dàng suy từ (2.7) bổ đề 2.1 Kết bổ đề 2.2 cho thấy V khơng gian Hilbert tích vơ hướng a (⋅ , ⋅) Hơn V ba chuẩn v6 v H1 , 1/2 v vx = ⎛1 ⎞ vx , vx = ⎜ ∫ vx ( x) dx ⎟ ⎝0 ⎠ 1/ 2 ⎛1 ⎞ v v V = a(v, v) = ⎜ ∫ vx ( x) dx + v (0) ⎟ ⎝0 ⎠ tương đương Bổ đề 2.3 Tồn sở trực chuẩn Hilbert {w j } L2 gồm hàm riêng w j tương ứng với giá trị riêng λ j cho < λ1 ≤ λ2 ≤ ≤ λ j ≤ , lim λ = +∞, j →+∞ j a ( w j , v) = λ j w j , v , ∀v ∈V , ∀j = 1, 2, (2.8) (2.9) 16 { Hơn nữa, dãy w j / λ j } sở trực chuẩn Hilbert V tích vơ hướng a (⋅ , ⋅) Mặt khác, ta có w j thỏa mãn tốn biên ⎧−∆w j = λ j w j Ω, ⎪ ⎨ w jx (0) − w j (0) = w j (1) = 0, ⎪ ∞ ⎩ w j ∈V ∩ C ([0,1]) (2.10) Chứng minh bổ đề suy từ bổ đề 1.10, với H = L2 , V , a(⋅ , ⋅) xác định (2.5) (2.7) 2.2 Thiết lập định lý tồn nghiệm thuật giải lặp cấp Ta viết phương trình (2.1) dạng ( utt − B u x )u xx ( = G x, t , u , ut , u x ) , ( x, t ) ∈ (0,1) × (0,T ), (2.11) 2 G ( x , t , u , ut , u x ) = F ( x , t , u , u x ) − K u q−2 u − λ ut p−2 ut , q > 2, p > 2, K > 0, λ > (2.12) Ta thành lập giả thiết ( H1 ) u0 ∈V ∩ H , u1 ∈V ; ( H ) B ∈ C1 (\ + ), B( z ) ≥ b0 > 0; ( H ) F ∈ C1 ([0,1] × \ + × \ × \ + ) với F (1, t , u , z ) = ∀t , z ≥ 0, ∀u ∈ \ Với B F thỏa giả thiết ( H ) ( H ) tương ứng, ta xây dựng số sau M > 0, T > Đặt K = K ( M , T , F ) = sup F ( x, t , u , z ) , K1 = K1 ( M , T , F ) = sup ∑ Di F ( x, t , u , z ) , i =1 (2.13) (2.14) 17 đây, trường hợp, sup lấy miền ≤ x ≤ 1, ≤ t ≤ T , u ≤ M , ≤ z ≤ M 2, K = K ( M , B) = sup B( z ), (2.15) 0≤ z ≤ M K = K ( M , B′) = K ( M , B′ ) = sup B′( z ) (2.16) 0≤ z ≤ M Với M > 0, T > chọn sau, ta đặt W ( M , T ) = {v ∈ L∞ (0, T ;V ∩ H ) : vt ∈ L∞ (0, T ;V ), vtt ∈ L2 (QT ), v ∞ L (0,T ;V ∩ H , vt ) ∞ L , vtt (0,T ;V ) L ( QT ≤ M }, ) W1 ( M , T ) = {v ∈W (W , T ), vtt ∈ L∞ (0, T ; L2 )} (2.17) (2.18) Ta mơ tả thuật giải cấp cho tốn (2.2), (2.3), (2.11) sau (i) Chọn số hạng u0 = u0 (ii) Giả sử um−1 ∈W1 ( M , T ) (2.19) (iii) Sau tìm um ∈W1 ( M , T ) thỏa tốn biến phân tuyến tính um (t ), v + bm (t )a (um (t ), v) = Gm (t ), v , ∀v ∈V , (2.20) um (0) = u0 , um (0) = u1 , (2.21) ( ) ⎧b (t ) = B ∇u (t ) , m −1 ⎪ m ⎪ ⎨Gm ( x, t ) = F x, t , um−1 (t ), ∇um−1 (t ) ⎪ q −2 p −2 ⎪ − K um−1 (t ) um−1 (t ) − λ um−1 (t ) um−1 (t ) ⎩ ( ) (2.22) Khi đó, ta có Định lý 2.4 Giả sử ( H1 ) – ( H ) thỏa Khi tồn số dương M T dãy quy nạp tuyến tính {um } ⊂ W1 ( M , T ) xác định (2.19) – (2.22) [...]... hàm cho trước Trong chương này ta sẽ thiết lập định lý tồn tại và duy nhất nghiệm yếu của bài tốn (2.1) – (2.4) bằng thuật giải lặp cấp một kết hợp với phương pháp Galerkin và phương pháp compact yếu Trước hết ta sử dụng một khơng gian Sobolev đặc biệt hơn đó là khơng gian V = {v ∈ H 1 (0,1) : v(1) = 0} (2.5) Khi đó V là một khơng gian con đóng của H 1 và do đó V cũng là khơng gian Hilbert đối với tích. .. phổ Một số kết quả về lý thuyết phổ dưới đây được áp dụng trong nhiều bài tốn biên Trước hết ta làm một số giả thiết sau Cho V và H là hai khơng gian Hilbert thực thỏa mãn các điều kiện (i) Phép nhúng V H là compact, (1.15) (ii) V trù mật trong H (1.16) Cho a : V × V → \ là một dạng song tuyến tính đối xứng, liên tục trên V × V và cưỡng bức trên V Chính xác hơn, ta gọi a là một dạng song tuyến tính... 1.1 Cho X là khơng gian Banach thực Một ánh xạ tuyến tính liên tục từ D ( (0, T ) ) vào X gọi là một phân bố có giá trị trong X , ký hiệu là D′(0, T ; X ) = L( D(0, T ); X ) = {u : D(0, T ) → X : u là tuyến tính liên tục} Chú thích 1.3 Ta ký hiệu D(0, T ) thay cho D ( (0, T ) ) hoặc Cc∞ ( (0, T ) ) để chỉ khơng gian các hàm số thực khả vi vơ hạn có giá trị compact trong (0, T ) Định nghĩa 1.2 Cho u... ứng với giá trị riêng λ j sao cho 0 < λ1 ≤ λ2 ≤ ≤ λ j ≤ , lim λ j = +∞, j →∞ a ( w j , v) = λ j w j , v , ∀v ∈V , ∀j = 1, 2, { Hơn nữa, dãy w j / λ j (1.17) (1.18) } cũng là một cơ sở trực chuẩn Hilbert của V đối với tích vơ hướng a (⋅ , ⋅) Chứng minh bổ đề 1.10 có thể tìm thấy trong [20] Định lý 6.2.1, p.127 13 1.7 Một số kết quả khác Bất đẳng thức Gronwall Giả sử f : [0, T ] → \ là hàm khả tích, ... ) và do đó du là phần tử của dt D′(0, T ; X ) Ta có các bổ đề sau đây mà chứng minh có thể tìm thấy trong Lions [8].„ Bổ đề 1.7 (Lions[8]) Nếu f , f ′ ∈ Lp (0, T ; X ), 1 ≤ p ≤ ∞ thì f bằng hầu hết với một hàm thuộc C 0 ([0, T ]; X ) „ 11 1.5 Bổ đề về tính compact của Lions Cho khơng gian Banach B0 , B, B1 với B0 B B1 với các phép nhúng liên tục sao cho: - B0 , B1 phản xạ (1.11) - B0 (1.12) B là phép... trong Ω, ⎪ ⎨ w jx (0) − w j (0) = w j (1) = 0, ⎪ ∞ ⎩ w j ∈V ∩ C ([0,1]) (2.10) Chứng minh bổ đề này được suy từ bổ đề 1.10, với H = L2 , và V , a(⋅ , ⋅) được xác định bởi (2.5) và (2.7) 2.2 Thiết lập định lý tồn tại và duy nhất nghiệm bởi thuật giải lặp cấp một Ta viết phương trình (2.1) dưới dạng ( utt − B u x 2 )u xx ( = G x, t , u , ut , u x 2 ) , ( x, t ) ∈ (0,1) × (0,T ), (2.11) trong đó 2 2 G... trong Tv ,φm D(0, T ) Ta có T X = ∫ v(t )φm (t )dt 0 X T ≤ ∫ v(t )φm (t ) X dt 0 1 p 1 p′ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ≤ ⎜ ∫ v(t ) X dt ⎟ ⎜ ∫ φm (t ) dt ⎟ → 0, m + ∞ ⎝0 ⎠ ⎝0 ⎠ T p T p' (1.10) Vậy Tv ∈ D′(0, T ; X ) b) Ánh xạ v 6 Tv là một đơn ánh, tuyến tính từ LP (0, T ; X ) vào D′(0, T ; X ) Do đó, ta có thể đồng nhất Tv = v Khi đó ta có kết quả sau Bổ đề 1.6 (Lions [8]) Lp (0, T ; X ) ⊂ D′(0, T ; X ) với phép nhúng liên... chuẩn Hilbert {w j } của L2 gồm các hàm riêng w j tương ứng với giá trị riêng λ j sao cho 0 < λ1 ≤ λ2 ≤ ≤ λ j ≤ , lim λ = +∞, j →+∞ j a ( w j , v) = λ j w j , v , ∀v ∈V , ∀j = 1, 2, (2.8) (2.9) 16 { Hơn nữa, dãy w j / λ j } cũng là một cơ sở trực chuẩn Hilbert của V đối với tích vơ hướng a (⋅ , ⋅) Mặt khác, ta cũng có w j thỏa mãn bài tốn biên dưới đây ⎧−∆w j = λ j w j trong Ω, ⎪ ⎨ w jx (0) −... đương chứa hàm u : (0, T ) → X đo được sao cho T ∫ u (t ) p X dt < ∞, 1 ≤ p < ∞ 0 hay ∃M > 0 : u (t ) X ≤ M , a.e t ∈ (0, T ), với p = ∞ Ta trang bị cho Lp (0, T ; X ), 1 ≤ p ≤ ∞ chuẩn như sau u Lp (0,T ; X ) ⎛T = ⎜ ∫ u (t ) ⎝0 1 ⎞ dt ⎟ , 1≤ p < ∞ X ⎠ p p và u Lp (0,T ; X ) = ess sup u (t ) X = inf {M > 0 : u (t ) X < M , a.e t ∈ (0, T )} , p = ∞ Khi đó ta có các bổ đề dưới đây mà chứng minh của chúng có. .. dt nghĩa phân bố của u bởi cơng thức du dφ ,φ = − u , , ∀φ ∈ D(0, T ) dt dt (1.8) Các tính chất a) Cho v ∈ LP (0, T ; X ) Xét ánh xạ Tv : D(0, T ) → X như sau T Tv ,φ = ∫ v(t )φ (t ) dt , ∀φ ∈ D(0, T ) 0 (1.9) 10 Ta có thể nghiệm lại rằng Tv ∈ D′(0, T ; X ) Thật vậy: i) Ánh xạ Tv : D(0, T ) → X là tuyến tính ii) Ta nghiệm lại ánh xạ Tv : D(0, T ) → X là liên tục Giả sử {φm } ⊂ D(0,T ) sao cho φm →