Phương trình sóng phi tuyến bị nhiễu xấp xỉ tuyến tính và dáng điệu tiệm cận của nghiệm

HỒ CHÍ MINH Nguyễn Văn Ý PHƯƠNG TRÌNH SÓNG PHI TUYẾN BỊ NHIỄU: XẤP XỈ TUYẾN TÍNH VÀ DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA NGHIỆM LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2008... HỒ CHÍ MIN

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Văn Ý

PHƯƠNG TRÌNH SÓNG PHI TUYẾN BỊ NHIỄU: XẤP XỈ TUYẾN TÍNH VÀ DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN

CỦA NGHIỆM

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2008

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Văn Ý

PHƯƠNG TRÌNH SÓNG PHI TUYẾN BỊ NHIỄU: XẤP XỈ TUYẾN TÍNH VÀ DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN

CỦA NGHIỆM

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 60 46 01

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS NGUYỄN CÔNG TÂM

Thành phố Hồ Chí Minh – 2008

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên, tôi xin kính gửi đến Thầy Nguyễn Công Tâm lời cảm

ơn sâu sắc nhất về sự giúp đỡ của Thầy trong việc hoàn thành luận văn Xin chân thành cảm ơn thầy Lê Hoàn Hóa và thầy Nguyễn Thành Long đã đọc và cho nhiều ý kiến đóng góp bổ ích

Xin chân thành cảm ơn quý Thầy Cô thuộc Khoa Toán – Tin học Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh và Đại học khoa học

tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh đã tận tình giảng dạy tôi trong suốt khóa học

Xin cảm ơn quý Thầy Cô thuộc phòng Khoa học Công nghệ và Sau đại học, thư viện trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, Ban Giám hiệu trường THPT Chuyên Hùng Vương – Bình Dương đã tạo mọi điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thành chương trình học

Xin cảm ơn các anh chị và các bạn trong lớp Cao học giải tích K16 cũng như các anh chị và các bạn trong nhóm xemina do Thầy Nguyễn Thành Long chủ trì đã hỗ trợ tôi nhiều mặt trong thời gian học tập và nghiên cứu

Và cuối cùng, lời thân thương nhất tôi xin được gửi đến gia đình tôi, nơi đã tạo cho tôi mọi điều kiện thuận lợi để học tập và hoàn thành luận văn này

Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 09 – 2008 Nguyễn Văn Ý

MỤC LỤC

Trang phụ bìa

Lời cảm ơn

Mục lục

MỞ ĐẦU 1

Chương 1: CÁC CÔNG CỤ CHUẨN BỊ 5

1.1 Các không gian hàm thông dụng 5

1.2 Không gian hàm L p(0, ; )T X , 1≤ ≤ ∞p 6

1.3 Phân bố có giá trị trong không gian Banach 7

1.4 Đạo hàm trong L p(0, ; )T X 8

1.5 Bổ đề về tính compact của Lions 8

1.6 Bổ đề về sự hội tụ yếu trong ( )L Q 9 q 1.7 Một số kết quả khác 9

Chương 2: SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM 10

2.1 Giới thiệu 10

2.2 Thuật giải xấp xỉ tuyến tính 10

2.3 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm 21

Chương 3: SỰ HỘI TỤ CẤP HAI 25

3.1 Dãy lặp cấp hai 25

3.2 Sự hội tụ bậc hai 34

Chương 4: DÁNG ĐIỆU NGHIỆM KHI λ → 0+, δ → 0+. 40

4.1 Dáng điệu tiệm cận của nghiệm yếu theo hai tham số λ δ 40 ,

4.2 Dáng điệu tiệm cận của nghiệm yếu theo một tham số λ 42

4.3 Khai triển tiệm cận theo tham số λ đến cấp 1.N + 45

Chương 5: KHẢO SÁT MỘT TRƯỜNG HỢP CỤ THỂ 54

KẾT LUẬN 56

TÀI LIỆU THAM KHẢO 57

MỞ ĐẦU

Các bài toán biên phi tuyến xuất hiện trong khoa học ứng dụng ( Vật lý, Hóa học, Cơ học, Kỹ thuật, ) rất phong phú và đa dạng Đây là nguồn đề tài

mà rất nhiều nhà toán học từ trước đến nay quan tâm nghiên cứu, chẳng hạn như trong [2, 4 – 12, 14 – 22] và các tài liệu tham khảo trong đó Chính vì vậy, tôi cho rằng đề tài nghiên cứu ở đây là cần thiết, có ý nghĩa lý luận và thực tiễn

Trong luận văn nầy, chúng tôi muốn sử dụng các phương pháp của Giải tích hàm phi tuyến như: phương pháp Galerkin, phương pháp compact và đơn điệu, phương pháp xấp xỉ tuyến tính liên hệ với các định lí điểm bất động, phương pháp khai triển tiệm cận nhằm khảo sát một bài toán biên có liên quan đến các vấn đề trong khoa học và ứng dụng

Trong luận văn này, chúng tôi xét bài toán giá trị biên và ban đầu sau (0.1) u tt ( , )u u x u t F x t( , ), 0 x 1, 0 t T,

∂

∂ (0.2) u(0, )t =u t(1, ) 0,=

(0.3) u x( ,0)=u x u x0( ), t( ,0)=u x1( ),

(0.4) σ( , )u u x =u x +δ f u( ),

trong đó λ, δ là các hằng số không âm cho trước; f F, ,u u0, là các hàm 1,

cho trước thỏa các điều kiện mà ta sẽ chỉ ra sau

Trường hợp σ σ= ( , )u u x xt đã có rất nhiều công trình nghiên cứu Khởi đầu với trường hợp σ σ= ( , )u u x xt =β( )u x +λu xt, λ >0, β ∈C2( ),\ β(0) 0,=

0,

β ε′ ≥ > bài toán (0.1) – (0.3) đã được xét bởi Greenberg, MacCamy, Mizel [10] Đây là mô hình toán học mô tả dao động dọc của một thanh đàn hồi nhớt phi tuyến, ( , )u x t là độ dịch chuyển so với vị trí cân bằng Từ khi xuất hiện

công trình [10], đã có rất nhiều công trình công bố liên quan đến bài toán nầy, chẳng hạn như: Greenberg [11], Greenberg, MacCamy [12], Dafermos [6], Andrews [2], Clements [4]

Phương trình (0.1) với (0.4) về mặt hình thức có dạng

(0.5) u tt −u xx = f x t u u u( , , , , ),x t

trong đó f x t u u u( , , , , )x t =F x t( , )+δ f u u′( ) x −λu t, tuy nhiên về mặt ý nghĩa thì có những điểm khác biệt riêng

Trong [9], Ficken và Fleishman đã chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình

xx tt t

u −u − αu −α u=εu + với 0b ε > bé

Trong bài báo của Caughey và Ellison [5], đã hợp nhất các xấp xỉ trong các trường hợp trước đây để bàn về sự tồn tại, duy nhất và tính ổn định tiệm cận của nghiệm cổ điển cho một hệ động lực phi tuyến liên tục

Trong [7], Alain Phạm đã nghiên cứu sự tồn tại, duy nhất và dáng điệu tiệm cận khi ε → của nghiệm yếu của bài toán (0.3), (0.5) liên kết với điều 0 kiện biên Dirichlet thuần nhất

(0.7) u(0, )t =u t(1, ) 0,=

trong đó các số hạng phương trình (0.5) cho bởi

(0.8) f =ε f t u u1( , , ).t

1 N([0, ] )

f ∈C ∞ × \ thỏa f t1( ,0,0) 0= với mọi 0,t≥ một khai triển tiệm cận của nghiệm bài toán (0.3), (0.7), (0.8) đến cấp 1N + theo ε thu được với ε đủ nhỏ

Trong [14, 15], Long và Alain Phạm đã nghiên cứu bài toán (0.3), (0.5) với số hạng phi tuyến có dạng f = f u u1( , ).t

Trong [14], các tác giả xét nó với điều kiện biên hỗn hợp thuần nhất (0.9) u x(0, )t =hu(0, )t + g t u t( ), (1, ) 0,=

trong đó 0h> là hằng số cho trước và trong [15] với điều kiện tổng quát hơn (0.10)

0

x

u t =g t +hu t −∫k t s u− s ds u t = Trong [16], Long và Diễm đã nghiên cứu bài toán (0.3), (0.5) với điều kiện biên hỗn hợp thuần nhất

(0.11) u x(0, )t −h u0 (0, )t =u x(1, )t +h u t1 (1, ) 0,=

trong đó h h là các hằng số không âm cho trước với 0, 1 h0 + > và các số h1 0 hạng phi tuyến vế phải có dạng

(0.12) f = f x t u u u( , , , , )x t +ε f x t u u u1( , , , , ).x t

1

f ∈C × ∞ ×\ f ∈C × ∞ ×\

các tác giả đã thu được một khai triển tiệm cận của nghiệm yếu uε đến cấp hai theo ε, với ε đủ nhỏ [16]

Trong luận văn này chúng tôi nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm địa phương của bài toán (0.1) – (0.4) Chứng minh được nhờ vào phương pháp Galerkin liên kết với các đánh giá tiên nghiệm cùng với kỹ thuật hội tụ yếu và tính compact Tiếp đến chúng tôi khảo sát sự tồn tại của dãy lặp cấp hai và sự hội tụ của dãy này về nghiệm yếu của bài toán (0.1) – (0.4) tương ứng Sau cùng chúng tôi nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của nghiệm yếu uλ δ,

(phụ thuộc λ, δ ) của bài toán (0.1) – (0.4) khi ( , )λ δ →(0 ,0 )+ + cũng như sự

đến cấp N +1, tức là nghiệm có thể xấp xỉ bởi một đa thức theo λ

0

k k

u x tλ u x t λ

=

theo nghĩa cần chỉ ra các hàm u x t kl( , ),k =0,1, , ,N và thiết lập đánh giá theo dạng

(0.14) l l

1

k L T L k L T H

+

Luận văn được trình bày theo các chương mục sau:

Phần mở đầu, tổng quan về bài toán khảo sát trong luận văn, điểm qua

các kết quả đã có trước đó, đồng thời nêu bố cục của luận văn

¾ Chương 1, chúng tôi trình bày một số kết quả chuẩn bị bao gồm

việc nhắc lại một số không gian hàm, một số kết quả về các phép nhúng compact giữa các không gian hàm

¾ Chương 2, chúng tôi tập trung nghiên cứu về sự tồn tại và duy nhất

nghiệm yếu của bài toán (0.1) – (0.4)

¾ Chương 3, chúng tôi tập trung nghiên cứu về sự tồn tại và hội tụ của

dãy lặp cấp hai về nghiệm yếu của bài toán (0.1) – (0.4)

¾ Chương 4, chúng tôi nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của nghiệm yếu

của bài toán (0.1) – (0.4) và sự khai triển tiệm cận theo tham số λ đến cấp 1

N +

¾ Chương 5, minh họa cho khai triển tiệm cận theo λ ở chương 4 bằng một trường hợp cụ thể

Chương 1: CÁC CÔNG CỤ CHUẨN BỊ

1.1 Các không gian hàm thông dụng

Đầu tiên ta đặt các kí hiệu sau Ω =(0,1), Q T = Ω ×(0, ),T T > và bỏ 0 qua định nghĩa các không gian hàm thông dụng: C m( ),Ω L p( ),Ω H m( ),Ω , ( )

m p

W Ω Để cho gọn, ta kí hiệu lại như sau: L p = L p( ),Ω ( )H m = H m Ω ,2( ),

m

W

= Ω W m p, =W m p, ( ).Ω ( có thể xem trong [1, 3])

Ta định nghĩa L2 = L2( )Ω là không gian Hilbert với tích vô hướng (1.1.1)

1

2

0

u v u x v x dx u v L

Kí hiệu để chỉ chuẩn sinh bởi tích vô hướng (1.1.1), nghĩa là (1.1.2)

1

0

u u u u x dx u L

Định nghĩa không gian Sobolev cấp 1 (1.1.3) H1 = ∈{v L v2: ′∈L2}

Không gian này cũng là không gian Hilbert đối với tích vô hướng (1.1.4) u v, H1 = u v, + u v′ ′,

Kí hiệu H1 để chỉ chuẩn sinh bởi tích vô hướng (1.1.4), nghĩa là

1

u = u u u H∈

Ta có bổ đề liên hệ giữa hai không gian L2 và H sau 1

Bổ đề 1.1 Phép nhúng H1-C0( )Ω là compact và

1

v Ω ≤ v ∀ ∈v H

Chứng minh Xem Adams[1]

Ta cũng sử dụng một không gian Sobolev đặc biệt hơn đó là không gian

(1.1.7)

1 1

1

H =D Ω =C∞ Ω

Bổ đề 1.2 Ta có phép nhúng từ 1 0

H -C Ω là compact và

(1.1.8)

0

1 0 ( )

1 0

, 1

2

x

x

Ω

⎪

⎨

⎪

⎩ Chứng minh bổ đề 1.2 không khó khăn

0

H là

H = ∈v H v =v =

Bổ đề 1.3 Đồng nhất L với 2 ( )L ′ (đối ngẫu của 2 L ) Khi đó ta có 2 1

0

H - L2 ≡( )L ′2 -(H10)′ ≡H−1 với các phép nhúng liên tục và nằm trù mật

Chú thích 1.2 Từ Bổ đề 1.3, ta dùng ký hiệu tích vô hướng ,⋅ ⋅ trong

2

L để chỉ cặp tích đối ngẫu ⋅ ⋅, H− 1 , H1 giữa 1

0

H và H−1 Chuẩn trong L2 được

ký hiệu bởi Ta cũng ký hiệu ⋅ để chỉ chuẩn trong không gian Banach X

X và gọi X ′ là không gian đối ngẫu của X

1.2 Không gian hàm p(0, ; ), 1≤ ≤ ∞

p

L T X

(0, ; ),

p

L T X 1≤ ≤ ∞p là không gian các lớp tương đương chứa hàm : (0, )

1

(0, ; )

0

p

p

u ⎛ u t dt⎞

và

(0, ; )

0

sup ( ) ,

p

t T

u ess u t

< <

thấy trong Lions[13]

Bổ đề 1.4. p(0, ; ), 1≤ ≤ ∞

p

Bổ đề 1.5 Gọi X ′ là đối ngẫu của X Khi đó, với ,

1

p p

p

′ =

−

1< < ∞ p , L p′(0, ;T X ′ là đối ngẫu của (0, ; ).) L p T X

Hơn nữa, nếu X phản xạ thì L p(0, ; )T X cũng phản xạ

Bổ đề 1.6. ( (0, ; ))L1 T X ′=L∞(0, ;T X′). Hơn nữa, các không gian

1(0, ; ),

L T X L∞(0, ;T X ′ không phản xạ )

Chú thích 1.3 Nếu ( ) X =L p Ω thì L p(0, ; )T X =L p(Ω ×(0, )).T

1.3 Phân bố có giá trị trong không gian Banach

Định nghĩa 1.1. Cho X là không gian Banach thực Một ánh xạ tuyến

tính liên tục từ ((0, ))D T vào X được gọi là một (hàm suy rộng) phân bố có giá trị trong X Tập hợp các phân bố có giá trị trong X kí hiệu là

((0, ; ))

D′ T X = ( ((0, )); )L D T X = {u: ((0, )) D T →X: u tuyến tính, liên tục}

Chú thích 1.4. Ta kí hiệu (0, )D T thay cho ((0, )) D T hoặc ((0, )) C c∞ T

để chỉ không gian các hàm thực khả vi vô hạn và có giá compact trong (0, ).T

Định nghĩa 1.2 Cho (0, ; ).u D∈ ′ T X Ta định nghĩa đạo hàm du

dt theo

nghĩa phân bố của u bởi công thức

ϕ

Bổ đề 1.7. L p(0, ; )T X ⊂D′(0, ; )T X với phép nhúng liên tục

Chứng minh của bổ đề 1.7 có thể tìm thấy trong Lions[13]

1.4 Đạo hàm trong L p(0, ; ).T X

Do bổ đề 1.7, u ∈ (0, ; )L p T X ta có thể coi u D∈ ′(0, ; )T X và do đó du

dt

là phần tử của (0, ; ).D′ T X Ta có kết quả sau:

Bổ đề 1.8. Nếu , (0, ; ) u u′∈L p T X thì u bằng hầu hết một hàm liên tục

từ [0, ] T vào X

Chứng minh của bổ đề 1.8 có thể tìm thấy trong Lions[13]

1.5 Bổ đề về tính compact của Lions

Cho ba không gian Banach X X X với 0, , 1 X0- -X X1 với các phép nhúng liên tục sao cho

(1.5.1) X X là phản xạ, 0, 1

Với 0< < +∞ ≤T , 1 p i ≤ +∞ =,i 0,1 Ta đặt

(0, ) p (0, ; ) : p (0, ; )

W T = ∈v L T X v′∈L T X

Ta trang bị cho (0, )W T chuẩn sau

(0, ) p (0, ; ) p (0, ; )

v = v + v′

Khi đó (0, )W T là không gian Banach Hiển nhiên (0, ) W T - L p0(0, ; ).T X

Ta có kết quả sau đây liên quan đến phép nhúng compact

Bổ đề 1.9. (Bổ đề về tính compact của Lions[13]) Với giả thiết (1.5.1), (1.5.2) và nếu 1< p i < ∞ =, i 0,1 thì phép nhúng W(0, )T -L p0(0, ; )T X là compact

Chứng minh. Có thể tìm thấy trong Lions[13], trang 57

1.6 Bổ đề về sự hội tụ yếu trong ( ).L Q q

Bổ đề 1.10 Cho Q là tập mở, bị chặn của \ và N

m

G G L Q∈ < < +∞q sao cho, G m L q ≤C, trong đó C là hằng số độc lập với m và G m →G hầu khắp nơi trong Q Khi đó, G m →G yếu trong

( )

q

L Q

1.7 Một số kết quả khác

Bổ đề sau đây liên quan đến một bất phương trình tích phân và nó rất cần thiết cho việc đánh giá tiên nghiệm trong các chương sau

Bổ đề 1.11 (Bổ đề Gronwall)

Giả sử f : 0,[ ]T → \ là hàm khả tích, không âm trên [ ]0,T và thỏa bất

đẳng thức 1 2

0

t

f t ≤C +C ∫ f s ds với hầu hết t∈[0, ],T trong đó C C1, 2 là các hằng số không âm

Khi đó 2

1 ( ) C t,

f t ≤C e với hầu hết t∈[0, ].T

Cuối cùng ta cần đến bổ đề sau

Bổ đề 1.12 Cho dãy { }ηm thỏa mãn

(1.7.1) η0 =0, 0≤ηm ≤ζηm−1+τ, m=1,2,

trong đó 0≤ <ζ 1, τ ≥ là các hằng số cho trước Khi đó 0

1

m

τ η

ζ

≤

− với mọi m ≥ 1.

Trong luận văn ta kí hiệu ( )u t , ( )u t t = u t( ), ( )u t tt = u t( ), ( )u t x = ∇u t( ),

xx

u t = Δu t để lần lượt chỉ

u x t x t x t x t x t

Chương 2: SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM

2.1 Giới thiệu

Trong chương này chúng tôi xét bài toán biên và giá trị đầu sau:

(2.1.1)

(0, ) (1, ) 0, ( ,0) ( ), ( ,0) ( ),

tt x x t

t

u u f u u F x t x t T

u t u t

u x u x u x u x

⎧

⎪

⎨

trong đó ,λ δ là các hằng số không âm cho trước; f F u u, , 0, 1 là các hàm cho trước thỏa các điều kiện mà ta sẽ chỉ ra sau

Trong chương này, ta sẽ thiết lập một định lí tồn tại và duy nhất nghiệm yếu của bài toán (2.1.1) bằng phương pháp xấp xỉ tuyến tính kết hợp với phương pháp Galerkin và phương pháp compact yếu

Xét một cơ sở trực giao { }w j của 1

0

H và trực chuẩn trong L2 gồm các hàm w j = 2 sin(j x jπ ), =1,2, được lập từ các hàm riêng của toán tử Laplace

2

2

x

∂

−Δ = −

∂ sao cho

0

w λ w λ jπ w H H j

Hơn nữa, dãy {w j/λj} cũng là một cơ sở trực chuẩn Hilbert của 1

0

H

đối với tích vô hướng

(2.1.2) u v, H1 =a u v( , )= u v x, x

2.2 Thuật giải xấp xỉ tuyến tính

Ta thành lập các giả thiết sau:

1

(H ) λ >0,δ ≥ 0,

2

u ∈H ∩H u ∈H

3

(H ) F, F L (0, ; ),L2

x

∞

∂ thỏa (0, )F t =F t(1, ) 0,= ∀ ≥t 0,

(H ) f ∈C2( )\ và f ′(0) 0.=

Bài toán (2.1.1) được viết lại (2.2.1) u u− xx +λu=if x t u u( , , , ), 0x < <x 1, 0< <t T,

(2.2.2) (0, )u t =u t(1, ) 0,=

(2.2.3) u x( ,0)=u x u x0( ), ( ,0) =u x1( ),

trong đó

(2.2.4) i( , , ( , ), ( , ))f x t u x t u x t x =F x t( , )+δ f u x t u x t′( ( , )) ( , ).x

Với 0,M > T > ta đặt: 0, (2.2.5) ( , ) sup{ ( )i ( ) : 2 (} 1, 2),

K =K M f = f u u ≤M i=

(2.2.6)

(0, ; ) (0, ; ) ( )

T

T

W M T v L T H H v L T H v L Q

∩

≤

1( , ) ( , ) : (0, ; )

W M T = ∈v W M T v L∈ ∞ T L

Tiếp theo, ta xây dựng dãy { }u m trong W M T1( , ) bằng qui nạp và

chứng minh nó hội tụ về nghiệm yếu của bài toán (2.2.1) – (2.2.3) với sự lựa

chọn 0,M > T > thích hợp 0

Ta xét thuật giải xấp xỉ tuyến tính sau:

Chọn số hạng đầu u0∈W M T1( , ) Giả sử rằng

(2.2.8) u m−1∈W M T1( , )

Ta liên kết bài toán (2.2.1) – (2.2.3) với bài toán biến phân sau:

Tìm u m∈W M T1( , ) sao cho

0

u t v +a u t v +λ u t v = F t v ∀ ∈v H

(2.2.10) u m(0)=u u0, m(0)=u1,

trong đó