Xấp xỉ tuyến tính và áp dụng vào bài toán triển khai tiệm cận của nghiệm vào phương trình sóng phi tuyến tính

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC CẦN THƠ NGUYỄN THỊ THẢO TRÚC XẤP XỈ TUYẾN TÍNH VÀ ÁP DỤNG VÀO BÀI TOÁN KHAI TRIỂN TIỆM CẬN CỦA NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH SÓNG PHI TUYẾN TÍNH LUẬN VĂN THẠC SỸ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC CẦN THƠ

NGUYỄN THỊ THẢO TRÚC

XẤP XỈ TUYẾN TÍNH VÀ ÁP DỤNG VÀO

BÀI TOÁN KHAI TRIỂN TIỆM CẬN CỦA NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH SÓNG PHI TUYẾN TÍNH

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

CHUYÊN NGÀNH TOÁN GIẢI TÍCH

MÃ SỐ: 60.46.01

Người hướng dẫn khoa học:

1 TS NGUYỄN THÀNH LONG

THÀNH PHỐ CẦN THƠ

03-2003

Luận văn được hoàn thành tại:

Trường Đại học Cần Thơ

Người hướng dẫn khoa học:

1 TS Nguyễn Thành Long

2 TS Nguyễn Công Tâm

Khoa Toán- tin học,

Đại học Khoa Học Tự Nhiên Tp Hồ Chí Minh

Người nhận xét 1 : TS Đinh Ngọc Thanh

Khoa Toán- tin học,

Đại học Khoa Học Tự Nhiên Tp Hồ Chí Minh

Người nhận xét 2 : TS Đặng Đức Trọng

Khoa Toán- tin học,

Đại học Khoa Học Tự Nhiên Tp Hồ Chí Minh

Học viên cao học: Nguyễn Thị Thảo Trúc

Bộ môn Toán- Khoa Sư phạm,

Trường Đại học Cần Thơ

Luận văn sẽ được bảo vệ tại Hội Đồng chấm luận án cấp Trường tại Trường Đại học Cần Thơ, vào lúc ……giờ, ngày 19 tháng 4 năm 2003

Có thể tìm hiểu luận văn tại Phòng Sau Đại học, thư viện Trường Đại

Học Cần Thơ

THÀNH PHỐ CẦN THƠ

3- 2003

Lời đầu tiên, tôi xin kính gởi đến T hầy N guyễn T hà nh L ong và

T hầ y N guyễ n C ông T â m lời cảm ơn sâu sắc nhất về sự giúp đỡõ của quý

T hầ y trong việc hoàn thành luận văn này

Trọng, đọc cẩn thận luận văn của tôi và cho tôi nhiều nhận xét bổ ích

Học Khoa Học Tự Nhiên Thành Phố Hồ Chí Minh đã tận tình giảng dạy tôi trong suốt khóa học

Thơ nói chung, quý T hầ y C o â Bộ môn Toán- Khoa Sư Phạm nói riêng đã trang bị cho tôi kiến thức nền tảng và luôn động viên giúp đỡ tôi trong thời gian qua

Sau Đại học Trường Đại Học Cần Thơ đã tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp tôi hoàn thành chương trình học

Cảm ơn các B ạ n học viê n lớp cao học Khoá 7 đã hỗ trợ cho tôi nhiều mặt trong thời gian học

Lời thân thương nhất xin được gởi đến gia đình tôi, nơi đã tạo cho tôi mọi điều kiện thuận lợi để học tập và hoàn thành luận văn này

Nguyễn Thị Thảo Trúc

MỤC LỤC

Trang

1 Mục lục 0

2 Phần mở đầu 1

3 Chương 1 Một số công cụ chuẩn bị 5

1.1 Các ký hiệu về không gian hàm 5

1.2 Các bổ đề quan trọng 6

4 Chương 2 Khảo sát phương trình sóng phi tuyến liên kết với điều kiện biên hỗn hợp 8

2.1 Giới thiệu 8 2.2 Thuật giải xấp xỉ tuyến tính 10

2.3 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm 19

5 Chương 3 Khai triển tiệm cận của nghiệm 24

6 Chương 4 Khảo sát một trường hợp cụ thể 33

7 Kết luận 43

8 Tài liệu tham khảo 45

1

PHẦN MỞ ĐẦU

chiều liên kết với điều kiện biên không thuần nhất Chúng tôi thu được nghiệm bằng cách thiết lập một dãy qui nạp hội tụ mạnh trong các không gian hàm thích hợp Một số tính chất về khai triển tiệm cận của nghiệm theo tham số bé cũng được khảo sát sau đó

Trong luận văn này, chúng tôi xét phương trình sóng phi tuyến sau đây

u tt −u xx = f(x,t,u,u x,u t),x∈ Ω = ( 0 , 1 ), 0 <t<T, (0.1) liên kết với điều kiện biên hỗn hợp không thuần nhất

u x(0,t)−h0u(0,t)= g0(t),u(1,t)= g1(t), (0.2) và điều kiện đầu

trong đó h0 là hằng số không âm cho trước và f, g0, g1,u~0,u~1 là các hàm cho trước

nhau đã được khảo sát bởi nhiều tác giả Cụ thể là một số trường hợp sau:

toàn cục và tính ổn định của nghiệm này cho phương trình

Trong [12] Rabinowitz đã chứng minh sự tồn tại của nghiệm tuần hoàn cho phương trình

2

trong đó ε là tham số bé và f tuần hoàn theo thời gian

về sự tồn tại duy nhất và ổn định tiệm cận của các nghiệm cổ điển cho một lớp các hệ động lực liên tục phi tuyến

của một nghiệm yếu của bài toán (0.1), (0.3) liên kết với điều kiện biên Dirichlet thuần nhất

với số hạng phi tuyến trong (0.1) có dạng

đã xét bài toán (0.1), (0.3), (0.6) với số hạng phi tuyến có dạng

cứu bài toán (0.1), (0.3) với số hạng phi tuyến có dạng

x t g t h u t k t s u s ds u t

3

(0.3) với trường hợp

u x( 0 ,t) −h0u( 0 ,t) =u x( 1 ,t) +h1u( 1 ,t) = 0 , (0.12) trong đó h0, h1 là hằng số không âm cho trước với h0 + h1 > 0

một dãy qui nạp tuyến tính bị chặn trong một không gian hàm thích hợp Sự tồn tại nghiệm của (0.1), (0.2), (0.3), (0,12) được chứng minh bằng phương pháp Galerkin và compat yếu Chú ý rằng phương pháp tuyến tính hóa trong các bài báo [4, 9] không dùng được trong các bài báo [7, 8]

của nghiệm theo một tham số nhiễu ε cho bài toán sau:

~ ) 0 , (

), ( ) , 1 ( ), ( ) , 0 ( )

, 0 (

, 0

, 1 0

), , , , , (

) , , , , ( )

(

1 0

1 0

0 1

x u x u x u x u

t g t u t g t u h t u

T t x

u u u t x f

u u u t x f u u P

t x

t x

t x tt

ε ε

ε ε

ε

ε ε ε

ε ε ε ε

C

điều kiện phụ, thì nghiệm uε của bài toán (Pε) có một khai triển tiệm cận đến cấp 3 theo ε , với ε đủ nhỏ Trong trường hợp f ≡ 0 ,f1 = f1(u) với f1∈C N(IR),

chúng tôi thiết lập kết quả khai triển tiệm cận của nghiệm đến cấp N+1 theo ε

(chương 4) Các kết quả trên đã tổng quát hóa tương đối của [1, 3, 4, 9 -11]

Toàn bộ luận văn này sẽ chia thành các chương mục sau đây:

Phần mở đầu nhằm giới thiệu tổng quát về bài toán và nêu ra các kết quả

trước đó, đồng thời giới thiệu tóm tắt các chương tiếp theo

Chương 1 giới thiệu một số kiến thức chuẩn bị, các ký hiệu và các không

gian hàm thông dụng Một số kết quả về phép nhúng cũng được nhắc lại ở đây

4

Chương 2 chúng tôi khảo sát bài toán (0.1) – (0.3), kết quả chính của

chương này là chứng minh một định lý tồn tại và duy nhất nghiệm yếu trong

0 3

mạnh Kết quả này đã tổng quát kết quả trong [1, 3, 4, 9 - 11] và chuẩn bị công bố

Chương 3 là phần nghiên cứu về khai triển tiệm cận theo một tham số bé

ε đến một cấp thích hợp cho nghiệm bài toán (0.1), (0.2), (0.3) với số hạng phi

tuyến f có dạng sau:

f(x,t,u,u x,u t) = f(x,t,u,u x,u t) + ε f1(x,t,u,u x,u t), (0.13)

f

Chương 4 là phần nghiên cứu về khai triển tiệm cận cho một bài toán

(0.1), (0.2), (0.3) cụ thể với f = εu2.

chuẩn bị công bố

Phần cuối cùng là kết luận về các kết quả thu được trong luận văn Sau

cùng là phần tài liệu tham khảo

5

CHƯƠNG 1 MỘT SỐ CÔNG CỤ CHUẨN BỊ

1.1 Các ký hiệu về không gian hàm

các ký hiệu gọn lại như sau:

0 ), , 0 ( ) 1 , 0 ( ) , 0 ( ),

1 , 0

(

), ( ),

( ),

= Ω

=

T T T

Q

H H H

H L

L

T

m m m

m p

p

Các ký hiệu 〈⋅,⋅〉 và . dùng để chỉ tích vô hướng và chuẩn sinh bởi tích vô hướng tương ứng trên L2 Ký hiệu 〈⋅, ⋅〉 cũng dùng để chỉ cặp tích đối ngẫu giữa phiếm hàm tuyến tính liên tục và một phần tử trong không gian hàm nào đó nằm trong L2. Ta ký hiệu X là chuẩn trên không gian Banach X. Gọi X/ là

đối ngẫu của X.

0 )

; , 0

p X X

; , 0

T t X

2

t x x

u t x x

u t x t

u t

6

1.2 Các bổ đề quan trọng

Cho ba không gian Banach B0, B, B1 với B0 ⊂ B⊂ B1,

/ )

; , 0

0 T B L T B L

W v p v p

Khi đó W là không gian Banach Hiển nhiên W ⊂ L p0 ( 0 ,T;B)

Ta có kết quả sau:

Bổ đề 1.1 ( [6], p.57)

Dưới giả thiết (1.1), (1.2) và nếu 1 < p i < ∞ , i= 0 , 1 , thì phép nhúng

W  L p0 ( 0 ,T;B) là compact

Bổ đề 1.2 ( [6], p.12)

Cho Q là mở bị chặn của IR N, g,g m∈L q(Q), 1 <q< ∞ thỏa

(i) g m L q(Q) ≤C, với mọi m,

(ii) g m →g hầu hết trong Q.

Khi đó g m →g trong L q (Q) yếu

Sau cùng, chúng tôi trình bày một kết quả về lý thuyết phổ được áp dụng trong nhiều bài toán biên

Trước hết ta làm một số giả thiết sau:

7

Cho V và H là hai không gian Hilbert thực thỏa các điều kiện (1.3)

(ii) V trù mật trong H

V

(j) Nếu u a a ( v u, ) tuyến tính từ V vào IR với mọi v∈V, và v a a ( v u, )

tuyến tính từ V vào IR với mọi u∈V.

(jj) Đối xứng nếu a(u,v) =a(v,u) ∀u,v∈V.

(jjj) Liên tục nếu ∃M ≥ 0 : a(u,v) ≤M u V v V ∀u,v∈V.

(4j) Cưỡng bức nếu ∃α> 0 :a(v,v) ≥α v V2 ∀v∈V.

Khi đó ta có kết quả sau:

Bổ đề 1.3 ( [13], Định lý 6.2.1, p.137)

Dưới giả thiết (1.3), (1.4) Khi đó, tồn tại một cơ sở trực chuẩn Hilbert

8

CHƯƠNG 2 KHẢO SÁT PHƯƠNG TRÌNH SÓNG PHI TUYẾN

LIÊN KẾT VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN HỖN HỢP

yếu của bài toán (2.1)-(2.3) bằng phương pháp xấp xỉ tuyến tính kết hợp với phương pháp Galerkin và phương pháp compact yếu Kết quả thu được ở đây là sự tổng quát hóa tương đối các kết quả trong [3, 4, 9-11] và chuẩn bị được công bố

và một dạng song tuyến tính trên V×V

).

0 ( ) 0 ( )

( ) ( ) ,

1

0

/ / x v x dx h u v u

v u

Hilbert đối với tích vô hướng của H1.

} , 1 max{

2

1

,

1 1

0

0 /

/ ]) 1 , 0 ([

V v v

h v

v v

v v

v

H V

H

V C

tìm thấy trong nhiều tài liệu liên quan đến lý thuyết về không gian Sobolev, chẳng hạn [6]

~ ) 0 (

~ ) 0 (

~

), 1 , 0 ( ,

~

~

0

C V w

w w

h w

trong w

w

j

j j

jx

j j

j λ

(2.9)

Chứng minh của bổ đề này được suy từ bổ đề 1.3, với H = L2, và V, a(,⋅)

được xác định bơiû (2.4), (2.5)

2.2 Thuật giải xấp xỉ tuyến tính

(H2) g0, g1∈C3(IR+);

(H3) u~0∈V ∩H2, u~1∈V;

(H4) f ∈C1 ([ 0 , 1 ] ×IR+×IR3 ) thỏa các điều kiện sau

f(1,t,u,v,w)=0 với mọi t≥ 0 và (u,v,w) ∈IR3.

Thay vì xét bài toán (2.1)-(2.2), ta sẽ xét đưa nó về một bài toán với điều kiện biên thuần nhất như sau:

Đặt

1

1 ) ,

0

0 g t e

t g x h t

, 1 0

), , , , , (

~

T t x

v v v t x f v

với điều kiện biên hỗn hợp thuần nhất

, 0 ) , 1 ( ) , 0 ( ) , 0 ( t −h0v t =v t =

và điều kiện đầu

), (

~ ) 0 , ( ), (

~ ) 0 ,

11

trong đó

~f(x,t,v,v x,v t) = f(x,t,v+ϕ,v x +ϕx,v t+ϕt) +ϕxx −ϕtt, (2.15)

), 0 , ( ) (

~ ) (

~ ), 0 , ( ) (

~ ) (

~

1 1

~ ) 0 , 1 ( ) 0 (

), 0 (

~ ) 0 (

~ ) 0 , 0 ( ) 0 , 0 ( ) 0 (

0 1

0 0

/ 0 0

0

u u

g

u h u

u h u

Cho trước M > 0 ,T > 0 , ta đặt

K0 = K0(M,T,~f) = sup{ ~f(x,t,u,v,w) : (x,t,u,v,w) ∈A~}, (2.18)

},

~ ) , , , , ( : ) , , , , )(

~

~

~

~ sup{(

)

~ , , (

/ / / / 1 1

A w v u t x w v u t x f f f f

f T M K

K

w v u

}, ,

,

), ( ),

; , 0 ( :

)

; , 0 ( { ) ,

(

) ( )

; , 0 ( )

; , 0 (

2 2

2

v

Q L v V T L v H V T L v T

M

W

T

Q L tt V L t H V L

T tt

) , ( { ) ,

12

Chọn số hạng ban đầu: v0∈W1(M,T). Giả sử rằng:

Ta liên kết bài toán (2.12)-(2.14) với toán biến phân tuyến tính sau:

Tìm v m∈W1(M,T) thỏa bài toán biến phân tuyến tính sau:

〈 &&v m(t) ,w〉 +a(v m(t) ,w) = 〈F m(t),w〉 ∀w∈V, (2.24)

trong đó

F m(x,t) = ~f(x,t,v m−1(t), ∇v m−1(t),v&m−1(t)). (2.26) Sự tồn tại của v m cho bởi định lý sau đây

Định lý 2.1

Giả sử (H1) − (H4) là đúng Khi đó, tồn tại các hằng số dương M , T và một dãy qui nạp tuyến tính {v m} ⊂W1(M,T) xác định bởi (2.24)-(2.26)

Chứng minh Gồm các bước sau đây:

Bước 1 Xấp xỉ Galerkin

Xét một cơ sở {w j} của V như bổ đề 2.3, với w j =w~j/ λj Đặt

k

m t c t w v

1

) ( )

trong đó c mj(k)(t) thỏa các hệ phương trình vi phân tuyến tính

〈 &&v m(k)(t),w j〉+a(v(m k)(t),w j)=〈F m(t),w j〉, 1≤ j≤k, (2.28)

v m(k)( 0 ) =~v0k,v&m(k)( 0 ) =~v1k, (2.29) trong đó

1

) (

k ≡∑ →

=

13

1

) (

k ≡∑ →

=

( )

( )

(

∫

+ +

m

k m

k m

( ), ( ( )

~ ) 0 , 1 ( 2 ) 0 ( )

)

(

k m

k m

t

k m

m s v s ds a F s v s ds F

0

) ( 0

)

), (

∫ ∫ ∇

∂

∂ +

m m

t k

s ds

s v

0

) ( 0

2 ) ( ( ) 2 ( ( 1 , )) ( 1 , )

).

, 1 ( ) 0 , 1 ( 2 ) , 1 ( )) , 1 ( (

0

t v F

t v ds s F s

k m m

k m

Chứng minh bổ đề 2.4

Nhân (2.28) bởi c&mj(k)(t),sau đó lấy tổng theo j, ta được

14

.)(),())]

(),(()([2

1)(2

〉

〈

=+

dt

d t

X

dt

m m

k m

k m

k m

k

Tích phân theo t ta được

) ( ), ( 2 ) 0 ( )

(

0

) ( )

( )

m m

k m

),((),

k

m t w a v t w F t w

v&& (2.37) Chú ý rằng các công thức sau đây là đúng

),),((),

),(

( ( ) −∆ =〈∆ (k) ∆ j〉

m j

) ( ) , ( )

0 ( )

1 ( ) , 1 (

) ( ) , ( ),

(

1

0 0

1

0

j m j

m

j m

j j

m

j m

j m

w t F a w t F

dx x w t x F w

h w t F

dx x w t x F w

( )

), ( (v m(k) t w j v m(k) t w j a F m t w j F m t w j

Trong (2.41) thay w j bởi v&m(k)(t), ta được

).

, 1 ( ) , 1 ( )) ( ), ( (

) ( ), ( ))

( ), ( (

) ( )

(

) ( ) ( )

( ) (

t v t F t v t F a

t v t v t

v t v a

k m m

k m m

k m

k m

k m

k m

(2.42) hay

)

,1(),1())(),((

])())

(),(([2

1)(2

1

) ( )

(

2 ) ( )

( ) ( )

(

t v t F t v t F a

t v t

v t v a dt

d t

Y dt d

k m m

k m m

k m

k m

k m

k m

=

(2.43) Tích phân theo t, ta được

15

) , 1 ( ) , 1 ( 2 )) ( ), ( ( 2 ) 0 ( )

(

0

) ( 0

) ( )

( )

t

k m m

t

k m m

k m

t k m m

t

k m m

ds s v s F s s

v s F

ds s v s F

0

) ( 0

) ( 0

) (

) , 1 ( )) , 1 ( ( 2 ) , 1 ( ) , 1 ( 2

) , 1 ( ) , 1 (

(2.45)

) , 1 ( )) , 1 ( ( 2 ) 1 (

~ ) 0 , 1 ( 2

) , 1 ( ) 0 , 1 ( 2 ) , 1 ( )) , 1 ( ( 2

) , 1 ( )) , 1 ( ( 2 ) 0 , 1 ( ) 0 , 1 ( 2

) , 1 ( ) 0 , 1 ( 2 ) , 1 ( )]

0 , 1 ( ) , 1 ( [ 2

) , 1 ( )) , 1 ( ( 2

) 0 , 1 ( ) 0 , 1 ( 2 ) , 1 ( ) , 1 ( 2

0

) ( 0

) ( )

( 0

0

) ( )

(

) ( )

( 0

) (

) ( )

∇ +

∇ +

∇ +

k m

k m m

k m

t m

t

k m m

k m m

k m m

k m m

m

t

k m m

k m m

k m m

ds s v s F s v

F

t v F

t v ds s F s

ds s v s F s v

F

t v F

t v F

t F

ds s v s F s

v F

t v t F

Viết lại (2.44):

) , 1 ( )) , 1 ( ( 2 ) 1 (

~ ) 0 , 1 ( 2

) , 1 ( ) 0 , 1 ( 2 ) , 1 ( )) , 1 ( ( 2

)) ( ), ( ( 2 ) 0 ( )

(

0

) ( 0

) ( )

( 0

0

) ( )

( )

∇ +

k m

k m m

k m

t m

t

k m m

k m

k

m

ds s v s F s v

F

t v F

t v ds s F s

ds s v s F a Y

∫t k

m s ds v&& ta thu được (2.35) và do đó bổ đề 2.4 được chứng minh

Ta viết (2.35) dưới dạng

16

), , 1 ( ) 0 , 1 ( 2

) 1 (

~ ) 0 , 1 ( 2 ) 0 ( )

(

) ( 5

1

0 )

( )

(

t v F

I I

v F

S t S

k m m

k m

k m

k m

∇

− + + +

∇ +

=

(2.47) trong đó các ký hiệu I1, , I5 là 5 tích phân theo thứ tự xuất hiện trong công thức (2.35)

Sau đây, ta sẽ lần lượt đánh giá các tích phân trong vế phải của (2.47)

Tích phân thứ nhất

) ( 2

) ( ) ( 2 ) ( , ) ( 2

0

) ( 0 0

) ( 0

) ( 1

t

k m m

t

k m m

ds s S K

ds s v s F ds

s v s F

V

k m V m

t

k m

m s v s ds F s v s ds F

a I

0

) ( 0

) (

0

) ( 0 0

2

≤

t k

m s ds S

K h M

17

) ( 2 ) ( 2

) ( 2 )

( )

(

0

2 0

) (

2 2

) ( 2

) (

t k m

m

k m

k m

ds s F ds

s S

ds s F ds

s v ds

s v&&

) (

I

k m

) ( )

( ))

, 1 ( (

1

///

1 0

/ 1 0

2 0

///

1

/ 1

2 0

T M D t g t

g h

t g t g h t F t

T t T

t

m

≡ +

( )

( ( 1 ,t) v ( 0 ,t) v (x,t)dx

0

) ( )

T M D h

0 1

1 ) , ( ) 1 ( 3

) ( ) , ( ) 1 ( 2

) , 1 ( )) , 1 ( ( 2

) ( 2

1

2 0

) ( 1

0

) ( 0

5

t S T M D h

t S T M D h

t v ds s F s I

k m

k m

k m

t m

+ +

1

~ 4

3 ) (

~

) ( ]

0 ( ) 0 ( )[

1 ( 2 ) , 1 ( ) 0 ,

1

(

2

) ( 2 0 )

( 0

) ( //

1 1

2 0 0 )

(

t S D t

S D

t S g

g h h t

v F

k m

k m

k m

k m m

+

≤

≡

+ +

) ( )

4

9)1(

~)0,1(6)0(3)

S m k ≤ m k + m ∇ k +

, ) ( 9

) , (

0

) (

m s ds S

T M

9 ) 1 (

~ ) 0 , 1 ( 6 ) 0 (

3S m(k) + F m ∇v0k + D02 ≤ M2 với mọi k và m. (2.64) Chú ý rằng, từ giả thiết (H4), ta suy ra

2

M T T

M C

k

Do bổ đề Gronwall ta suy từ (2.68) rằng

0

, ) 9 exp(

) 9 exp(

i.e., T m(k) =T. Vậy ta có

Từ (2.70) ta có thể lấy từ {v m (k)} một dãy con { (k i)}

1 M T W

20

(2.24)-(2.26) trong L2( 0 ,T) yếu và do đó định lý 2.1 được chứng minh

2.3 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm

T L m V T L

Sự tồn tại nghiệm

Đầu tiên, ta chú ý rằng W1(T) là một không gian Banach đối với chuẩn

1T L T V L T L

v = ∞ + & ∞ (Xem [6]) (2.77)

Ta sẽ chứng minh rằng {v m} là một dãy Cauchy trong W1(T).

Đặt w m =v m+1−v m Khi đó w m thỏa bài toán biến phân

〈w&&m(t),w〉 +a(w m(t),w) = 〈F m+1(t) −F m(t),w〉 , với mọi w∈V, (2.78)

w m( 0 ) =w&m( 0 ) = 0

Ta lấy w=w&m trong (2.78), sau đó tích phân theo biến t

21

0 1 2

m m

m m

) ( 4

)) ( , ) ( ( ) (

)

; , 0 ( )

( 1 1

1

0 ) ( 1 1 2

2 1

1

L T L m T W m

m T W m m

m m

w w

TK

ds s w w

K t w t w a t w

W m p m

k

k v

v v

v

1

) ( 0 1 )