Khôi phục một lớp hàm nguyên và áp dụng vào phương trình truyền nhiệt

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH - Nguyễn Quốc Cường KHÔI PHỤC MỘT LỚP HÀM NGUYÊN VÀ ÁP DỤNG VÀO PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2011 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH - Nguyễn Quốc Cường Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS ĐẶNG ĐỨC TRỌNG Thành phố Hồ Chí Minh - 2011 LỜI CÁM ƠN Tôi xin đặc biệt bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc đến Thầy tôi, PGS TS Đặng T Đức Trọng tất hướng dẫn, góp ý, dạy, giúp đỡ, động viên, khích lệ nhiệt tình tận tâm Thầy suốt trình nghiên cứu hoàn thành Luận văn Tôi xin chân thành cám ơn đến toàn thể Quý Thầy Cô Tổ Toán Giải tích Trường T Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh giảng dạy tận tình, khích lệ đường học tập nghiên cứu Toán học Tôi xin chân thành cám ơn Quý Thầy Cô phản biện đọc góp ý để hoàn chỉnh Luận T văn Tôi xin chân thành cám ơn Thầy Cô Hội đồng chấm Luận văn đọc cho T nhiều ý kiến quý báu để thấy thiếu sót Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc chân thành tới thầy giáo, cô giáo Khoa Toán T T - Tin Phòng Sau đại học Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh tận tình giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho suốt trình học tập, nghiên cứu hoàn thành T Luận văn T Tôi gửi lời cám ơn chân thành tới bạn bè, đồng nghiệp hỗ trợ, động viên tạo điều T kiện cho thời gian học tập, nghiên cứu hoàn thành Luận văn Tôi đặc biệt bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến gia đình tôi, bên tôi, giúp đỡ, động T viên, tạo điều kiện thuận lợi để vượt qua khó khăn trình học tập hoàn thành Luận văn Nguyễn Quốc Cường T MỤC LỤC PHẦN MỞ ĐẦU Việc khảo sát toán khôi phục hàm nguyên bắt nguồn từ thực tế, lĩnh vực điều T khiển học, vật lý, kinh tế, y khoa, thăm dò, nhận dạng,… đặc biệt toán không chỉnh Đây lĩnh vực toán học thực tiễn, sâu rộng, nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu đạt nhiều thành tựu quan trọng Trong trình giải toán khôi phục, kết thu có nhiều ứng dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực phương trình đạo hàm riêng, xử lý tín hiệu, lý thuyết hệ thống, nhận dạng tình xấu nhất,… Trong Luận văn này, trình bày toán khôi phục lớp hàm nguyên từ giá T trị chúng tập hợp điểm nguyên Các kết áp dụng để kiểm tra hai T toán liên quan đến phương trình truyền nhiệt: toán việc giải phương trình truyền nhiệt mà điều kiện đầu điều kiện cuối toán thứ hai việc xác định nguồn nhiệt toán nhiệt ngược thời gian Cụ thể sau: Cho σ > , ký hiệu Lσ2 không gian hàm nguyên f ∈ L2 ( ¡ = f ( z ) const.e σz ) thỏa mãn , z ∈£ Do định lý Paley-Wiener (xem Rudin [18, Chương 19]), hàm f ∈ Lσ2 biểu diễn biến đổi Fourier hàm g ∈ L2 ( −σ , σ ) , nghĩa f ( z) = σ ∫σ g ( t ) e itz dt , z ∈ £ − Chúng quan tâm đến toán khôi phục hàm Lσ2 từ giá trị tập biết ¡ , vấn đề biết xem xét số phương trình đạo hàm riêng Trước tiên, xem xét phương trình nhiệt ut − u xx= f ( x, t ) , ( x, t ) ∈ Q=: ( 0,1) × ( 0, T ) ,  ( 0, t ) u x= (1, t ) u= (1, t ) 0, u x = (1) u ∈ C1 ([ 0, T ] ; L1 ( 0,1) ) ∩ L2 ( ( 0, T ) ; H ( 0,1) ) biết Ở đây, nhớ lại rằng, C1 ([ 0, T ] ; L1 ( 0,1) ) không gian tất hàm liên tục f : [ 0, T ] → L1 ( 0,1) có f ' : [ 0, T ] → L1 ( 0,1) liên tục L2 ( ( 0, T ) ; H ( 0,1) ) không gian tất hàm f : ( 0, T ) → H ( 0,1) thỏa mãn T ∫ f (t ) H ( 0,1) < ∞ Đây loại toán gọi “bài toán điều kiện đầu” T Năm 1935, Tikhonov [25] chứng minh tính nghiệm phương trình truyền T nhiệt ut − ∆u= 0, − ∞ < t < ∞ Năm 1990, Safarov [19] giải toán cho miền không bị chặn x > T T T cho < x < l Sau đó, phương trình truyền nhiệt không mà điều kiện đầu T T xem xét nhiều tác Shmulev [23], Kirilich [13] Guseinov [12] Các tác giả T kiểm tra toán điều kiện −∞ < t < ∞ −∞ < t < T họ đòi hỏi số giả thiết điều kiện nhiệt độ −∞ điều kiện tuần hoàn để toán giải Trong Luận văn này, trình bày toán không thời gian hữu T hạn < t < T , việc làm hợp lý cho ứng dụng thực tế Việc thiếu điều kiện đầu u (.,0 ) 0T T T T bù đắp cách thêm điều kiện biên u (1,.) Chúng muốn chứng minh toán (1) T T T có nhiều nghiệm giải số Với α ∈ ¡ , nhân vào hai vế phương trình (1) với v ( x ) = cos (α x ) sử T T T 0T T dụng tích phân phần, ta có 1 0 ∫ ut ( x, t ) cos (α x ) dx − ∫ uxx ( x, t ) cos (α x ) dx = ∫ f ( x, t ) cos (α x ) dx , x =1 d u ( x, t ) cos (α x ) dx − u x ( x, t ) cos (α x ) + α u ( x, t ) sin (α x )  ∫ x=0 dt 1 0 + α ∫ u ( x, t ) cos (α x ) dx = ∫ f ( x, t ) cos (α x ) dx, d F ( u (., t ) ) (α ) − u x (1, t ) cos α + α u (1, t ) sin α − u x ( 0, t ) cos − α u ( 0, t ) sin  dt F ( f (., t ) ) (α ) + α F ( u (., t ) ) (α ) = Do u x = ( 0, t ) u x= (1, t ) u= (1, t ) nên d F ( u (., t ) ) (α ) + α F ( u (., t ) ) (α ) = F ( f (., t ) ) (α ) dt F viết tắt biến đổi Fourier Cosin L2 ( 0,1) , nghĩa 0T T T T T F= ( w )( z ) : ∫ w ( x ) cos ( zx ) dx, w ∈ L2 ( 0,1) , z ∈ £ Từ phương trình T 0T d F ( u (., t ) ) (α ) + α F ( u (., t ) ) (α ) = F ( f (., t ) ) (α ) , ta suy dt T ( ) d α 2t e F ( u (., t ) ) (α ) = eα t F ( f (., t ) ) (α ) , dt ( T ) T d α 2t α 2t ∫0 dt e F ( u (., t ) ) (α ) dt = ∫0 e F ( f (., t ) ) (α ) dt , eα t F ( u (., t ) ) (α ) α 2T e t = T T α 2t = e F ( f (., t ) ) (α ) dt , t = ∫0 T α t F ( u (., T ) ) (α ) − F ( u (.,0 ) ) (α ) = ∫ e F ( f (., t ) ) (α ) dt Do T = F ( u (., T ) ) (α ) e −α T F ( u (.,0 ) ) (α ) + ∫ e α ( t −T ) F ( f (., t ) ) (α ) dt (2) Khó khăn việc tìm u (., T ) điều kiện đầu u (.,0 ) sẵn Tuy nhiên, từ (2), T 0T T 0T T T có quan sát quan trọng rằng, α → +∞ e −α T → nhanh thật hợp lý để sử dụng xấp xỉ T F ( u (., T ) ) (α ) ≈ ∫ e α ( t −T ) F ( f (., t ) ) (α ) dt (3) Công thức (3) đưa xấp xỉ tốt cho F ( u (., T ) ) (α ) , α đủ lớn Bây giờ, mấu chốt vấn đề để khôi phục F ( u (., T ) ) (α ) cho α nhỏ Vì vậy, gặp toán khôi phục hàm L12 từ giá trị tập hợp ( −∞, − r ] ∪ [ r , ∞ ) , r > số lớn Bây giờ, xem xét toán truyền nhiệt khác gọi “bài toán nguồn nhiệt T ngược thời gian” Đây toán tìm cặp hàm ( u , f ) thỏa mãn T T ut − u xx= ϕ ( t ) f ( x ) , ( x, t ) ∈ Q=  ( 0, t ) u x= (1, t ) u= (1, t ) 0, u x =  u ( x, T ) = g ( x ) , ( 0,1) × ( 0, T ) , (4) T ϕ ∈ L1 ( 0, T ) g ∈ L2 ( 0,1) cho trước 0T T 0T 0T 0T Bài toán nguồn nhiệt ngược thời gian “bài toán không chỉnh”, nghĩa nghiệm T T không tồn chí tồn không phụ thuộc vào cách liên tục liệu Vì vậy, cách xử lý số thông thường chỉnh hóa cần thiết 0T Bài toán tìm nguồn nhiệt dạng ϕ ( t ) f ( x ) , trong hai hàm ϕ f không T T T T T biết, kiểm tra thời gian dài Tính ổn định xem xét T nhiều tác Cannon-Esteva [5, 6], Yamamoto [31, 32], Yamamoto-Zou [33], Saitoh-TuanYamamoto [20, 21] Choulli-Yamamoto [7] Tuy nhiên, chỉnh hóa toán trường hợp T không ổn định khó khăn Sự chỉnh hóa toán cho trường hợp f ≡ kiểm tra T Wang-Zheng [29] Shidfar-Zakeri-Neisi [22], trường hợp ϕ ≡ xem xét Cannon [4], Wang-Zheng [30] Farcas-Lesnic [11] Gần đây, Trong-Long-Đinh [27] TrongQuan-Đinh [28] xem xét chỉnh hóa toán ϕ cho trước f Tuy nhiên, hai báo này, hai điều kiện đầu u (.,0 ) điều kiện cuối u (., T ) bắt buộc Yêu cầu ngặt không tự nhiên Trong Luận văn này, trình bày toán tương tự [27], yêu cầu nhiệt độ ban đầu loại bỏ hoàn toàn Lưu ý rằng, f biết có toán truyền nhiệt ngược thông thường Vì vậy, tập trung vào việc tìm f Với α ∈ ¡ , nhân vào hai vế phương trình (4) với v ( x ) = cos (α x ) sử T T T 0T T dụng tích phân phần, ta có 1 0 ∫ ut ( x, t ) cos (α x ) dx − ∫ uxx ( x, t ) cos (α x ) dx = ∫ ϕ ( t ) f ( x ) cos (α x ) dx , x =1 d u ( x, t ) cos (α x ) dx − u x ( x, t ) cos (α x ) + α u ( x, t ) sin (α x )  ∫ x=0 dt 1 0 + α ∫ u ( x, t ) cos (α x ) dx = ϕ ( t ) ∫ f ( x ) cos (α x ) dx, d F ( u (., t ) ) (α ) − u x (1, t ) cos α + α u (1, t ) sin α − u x ( 0, t ) cos − α u ( 0, t ) sin  dt + α F ( u (., t ) ) (α ) = F ( f (., t ) ) (α ) Do u x = ( 0, t ) u x= (1, t ) u= (1, t ) nên d ϕ ( t ) F ( f )(α ) F ( u (., t ) ) (α ) + α F ( u (., t ) ) (α ) = dt Từ phương trình trên, ta suy T 0T 0T ( ) d α 2t e F ( u (., t ) ) (α ) = eα tϕ ( t ) F ( f )(α ) , dt T ( ) T d α 2t α 2t ∫0 dt e F ( u (., t ) ) (α ) dt = ∫0 e ϕ ( t ) F ( f )(α ) dt , T t =T = F ( f )(α ) ∫ eα tϕ ( t ) dt , e F ( u (., t ) ) (α ) t =0 α 2t T eα T F ( u (., T ) ) (α ) − F ( u (.,0 ) ) (α ) = F ( f )(α ) ∫ eα tϕ ( t ) dt 2 Do u ( x, T ) = g ( x ) nên F ( g )(α ) − e −α 2T T F ( u (.,0 ) ) (α ) = F ( f )(α ) ∫ e ( )ϕ ( t ) dt α t −T Vì F ( g )(α ) − e −α T F ( u (.,0 ) ) (α= ) D (ϕ )(α ) F ( f )(α ) , α ∈ ¡ , (5) T ϕ ( t ) dt D (ϕ )(α ) = ∫ e α ( t −T ) Nếu e −α T D (ϕ )(α ) → “đủ nhanh” α → +∞ có xấp xỉ F( f F ( u (.,0 ) ) (α ) F ( g )(α ) F ( g )(α ) ≈ )(α ) = − e−α T D (ϕ )(α ) D (ϕ )(α ) D (ϕ )(α ) (6) Vì vậy, gặp lại toán khôi phục hàm L12 , nghĩa F ( f ) , từ giá trị tập hợp ( −∞, − r ] ∪ [ r , ∞ ) , r > số lớn Tóm lại, hai toán truyền nhiệt gợi cho “bài toán công cụ” việc khôi T phục hàm Lσ2 Phần lại Luận văn trình bày thành Chương Trong 0T 0T Chương 1, giới thiệu trình bày số kiến thức bản, ký hiệu, không gian hàm sử dụng Luận văn Trong Chương 2, giới thiệu trình bày sơ lược hàm giải tích, hàm nguyên tính chất quan trọng chúng sử dụng Luận văn Trong Chương 3, trình bày số kết “bài toán công cụ” việc khôi phục hàm Lσ2 Trong Chương 4, trở lại toán truyền nhiệt áp dụng 0T 0T kết Chương để giải chúng Một thực nghiệm số trình bày Chương để làm sáng tỏ hiệu phương pháp Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian định chuẩn không gian Banach Định nghĩa 1.1.1 (xem [15, tr 3-4]) Cho K trường số thực ¡ trường số phức £ Tập hợp X khác rỗng với hai ánh xạ (gọi phép cộng phép nhân vô hướng) + : X×X → X ( x, y ) a x+ y : K×X → X (λ, x) a λx gọi không gian tuyến tính (hoặc không gian vectơ) K tính chất sau thỏa mãn: (a) X với phép cộng nhóm Abel, tức là: (i) x + y = y + x với x, y ∈ X , (ii) ( x + y ) + z =x + ( y + z ) với x, y, z ∈ X , (iii) Tồn phần tử X cho + x = x + = x với x ∈ X , (iv) Với phần tử x X , tồn phần tử − x X cho x + ( − x ) =0 (b) λ ( x + y ) = λ y + λ x với λ ∈ K , với x, y ∈ X , (c) ( λ + µ ) x =λ x + µ x với λ , µ ∈ K , với x ∈ X , (d) ( λµ ) x = λ ( µ x ) với λ , µ ∈ K , với x ∈ X , (e) 1x = x với x ∈ X Nếu K = ¡ X gọi không gian tuyến tính thực Nếu K = £ X gọi không gian tuyến tính phức Định nghĩa 1.1.2 (xem [16, tr 8]) Cho ( X , +, ⋅) không gian vectơ ¡ Một ánh xạ ⋅ : X → ¡ x a x gọi chuẩn X tính chất sau thỏa với x, y ∈ X , α ∈ ¡ , (i) x ≥ x = ⇔ x = , (ii) α x = α x , (iii) x + y ≤ x + y Không gian vectơ ( X , +, ⋅) với chuẩn ⋅ gọi không gian định chuẩn ( X , +, ⋅, ⋅ ) , hay vắn tắt ( X , ⋅ ) , hay vắn tắt X , phép toán, hàm chuẩn ngầm hiểu nhầm lẫn Định nghĩa 1.1.3 (xem [16, tr 10]) Cho ( X , ⋅ ) không gian định chuẩn f ánh xạ từ tập hợp số nguyên dương ¥ vào X Đặt xn = f ( n ) với n ¥ Ta gọi { xn } dãy X Cho { xn } dãy phần tử không gian định chuẩn ( X , ⋅ ) Ta nói , nghĩa ứng với (i) { xn } dãy hội tụ (trong X ) tồn x ∈ X cho lim xn − x = n →∞ ε > , tồn n0 ∈ ¥ cho xn − x < ε , với n ≥ n0 Khi đó, phần tử x , có, gọi giới hạn dãy { xn } , ký hiệu lim xn = x Ta nói xn → x n → ∞ n →∞ (ii) { xn } dãy Cauchy (trong X ) ứng với ε > , tồn n0 ∈ ¥ cho xm − xn < ε , với m, n ≥ n0 (iii) { xn } dãy bị chặn (trong X ) ảnh nó, {x n n∈¥} tập bị chặn X Chú ý rằng, dãy hội tụ dãy Cauchy dãy Cauchy bị chặn Chiều ngược lại không cho trường hợp tổng quát Định nghĩa 1.1.4 (xem [9, tr 10]) Cho ( X , ⋅ ) không gian định chuẩn f ánh xạ từ tập hợp số nguyên dương ¥ vào X g ánh xạ đồng biến nghiêm cách từ ¥ vào ¥ Đặt xn = f ( n ) yk = f o g ( k ) với n k ¥ Ta gọi { yk } dãy { } dãy { xn } ký hiệu xnk Định nghĩa 1.1.5 (xem [16, tr 10-11]) Cho không gian định chuẩn ( X , ⋅ ) Ta nói (i) ( X , ⋅ ) đầy đủ dãy Cauchy (ii) ( X , ⋅ ) compact dãy X hội tụ X có dãy hội tụ (trong X ) Định nghĩa 1.1.6 (xem [16, tr 52-53]) Với hai không gian định chuẩn ( X , +, ⋅, ⋅ (X , +, ⋅, ⋅ ) , xét X= ); X × X Ta có X trở thành không gian vectơ với phép toán X sinh phép toán X X , ( x1 , x2 ) + ( y1 , y2 ) =( x1 + y1 , x2 + y2 ) , α ( x1 , x2 ) = (α x1 ,α x2 ) , với x1 , y1 ∈ X 1; x2 , y2 ∈ X α ∈ ¡ Hơn nữa, hàm ⋅ : X → X xác định = x x1 + x2 2 ,= với x ( x1 , x2 ) ∈ X , trở thành chuẩn X Không gian định chuẩn X nhận gọi không gian định chuẩn tích không gian định chuẩn X X ( Tương tự với n không gian định chuẩn X i , +, ⋅, ⋅ ) , i = 1, 2, , n , tập X = i X × X × × X n với phép toán hàm chuẩn sau ( x1 , x2 , , xn ) + ( y1 , y2 , , yn ) =( x1 + y1 , x2 + y2 , , xn + yn ) , α ( x1 , x2 , , xn ) = (α x1 , α x2 , , α xn ) , ( x1 , x2 , , x= n) x1 + x2 + + xn 2 n , ( gọi không gian định chuẩn tích không gian định chuẩn X i , +, ⋅, ⋅ i Định nghĩa 1.1.7 (xem [9, tr 10]) Ta nói không gian định chuẩn ( X , ⋅ gian Banach dãy Cauchy hội tụ 1.2 Không gian Hilbert (xem [16, tr 155-156) Định nghĩa 1.2.1 Cho H không gian vectơ ¡ Một ánh xạ , : H × H → ¡ ( x, y ) a x, y gọi tích vô hướng H tính chất sau thỏa, (i) α x + β x ', y = α x, y + β x ', y , với α , β ∈ ¡ ; x, x ', y ∈ H , (ii) x, α y + β y ' = α x, y + β x, y ' , với α , β ∈ ¡ ; x, y, y ' ∈ H , (iii) x, y = y, x , với x, y ∈ H , (iv) x, x ≥ , với x ∈ H x, x = ⇔ x = ) , i = 1, 2, , n ) không Như vậy, tích vô hướng H phiếm hàm song tuyến tính, đối xứng, xác định dương Từ tích vô hướng nêu trên, với x ∈ H , đặt x = x, x Từ định nghĩa, với x, y ∈ H , ta có ≤ x + ty, x + ty = x + 2t x, y + t y 2 với t ∈ ¡ , ta suy Bất đẳng thức Schwarz Với x, y ∈ H , x, y ≤ x y Từ suy x + y = x + y , x + y = x + x, y + y 2 ≤ x +2 x y + y =( x + y ) 2 2 nên ta Bất đẳng thức tam giác Với x, y ∈ H , x+ y ≤ x + y Hơn nữa, ( ) x+ y x− y x+ y x+ y x− y x− y 2 + = , + , = x + y , 2 2 2 2 ta Bất đẳng thức hình bình hành Với x, y ∈ H , ( ) x+ y x− y 2 + = x + y 2 2 Đặc biệt, ⋅ chuẩn H H trở thành không gian định chuẩn Định nghĩa 1.2.2 Khi không gian định chuẩn ( H , ⋅ ) đầy đủ, ta nói ( H , ⋅ ) không gian Hilbert 1.3 Không gian Lp (xem [1, tr 1-5]; xem [3, Chương 4]; xem [18, Chương 3]) 1.3.1 Các định lý quan trọng lý thuyết tích phân Định lý 1.3.1.1 (Định lý hội tụ đơn điệu Beppo Levi) Cho khả tích (Lesbesgue) tập Ω ⊂ ¡ { f n } dãy tăng hàm cho sup ∫ f n < ∞ Khi đó, f n hội tụ h.k.n Ω N n hàm f khả tích Ω fn − f ≡ ∫ f n ( x ) − f ( x ) dx → n → ∞ Ω Định lý 1.3.1.2 (Định lý hội tụ bị chặn Lesbesgue) Cho { f n } dãy hàm (thực phức) khả tích Ω Giả sử (i) f n ( x ) → f ( x ) h.k.n Ω (ii) Tồn hàm g khả tích cho với n , f n ( x ) → g ( x ) h.k.n Ω Khi f khả tích fn − f ≡ ∫ f n ( x ) − f ( x ) dx → n → ∞ Ω Hệ 1.3.1.3 Cho f hàm đo g hàm khả tích Ω Ta có, f n ( x ) → g ( x ) h.k.n Ω f khả tích Ω Suy rằng, f khả tích f khả tích (đương nhiên chiều ngược lại đúng) Bổ đề 1.3.1.4 (Bổ đề Fatou) Giả sử { f n } dãy hàm khả tích cho (i) f n ≥ h.k.n Ω, ∀n (ii) sup f n < ∞ Với x ∈ Ω , ta đặt f ( x ) = liminf f n ( x ) Khi đó, f khả tích Ω ∫ f ≤ lim inf ∫ f n →∞ Giả sử Ω1 ⊂ ¡ , Ω ⊂ ¡ n hai tập mở F : Ω1 × Ω → ¡ (hoặc £ ) hàm đo Định lý 1.3.1.5 (Tonelli) Giả sử ∫ F ( x, y ) dy < ∞ h.k.n Ω1 Ω2 ∫ dx ∫ F ( x, y ) dy < ∞ Ω1 Khi đó, F khả tích Ω1 × Ω Ω2 Định lý 1.3.1.6 (Fubini) Cho F khả tích Ω1 × Ω Khi đó, với hầu hết x thuộc Ω1 F ( x,.) ≡ y a F ( x, y ) khả tích Ω ∫ F ( x, y ) dy xa khả tích Ω1 Ω2 Kết luận tương tự đổi vai trò x cho y , Ω1 cho Ω Hơn nữa, ta có dx ∫ F ( x, y ) dy ∫= dy ∫ F ( x, y ) dx ∫ ∫= Ω1 Ω2 Ω2 Ω1 F ( x, y ) dxdy Ω1 ×Ω 1.3.2 Không gian Lp , ≤ p ≤ ∞ Định nghĩa 1.3.2.1 Cho p ∈ ¡ với ≤ p < ∞ , ta định nghĩa Lp (= Ω) { f : Ω → ¡ (hoặc £ ); f đo f Ω) L∞ (= { p khả tích }, f : Ω → ¡ (hoặc £ ); f đo ∃C , f ( x ) ≤ C h.k.n }, ký hiệu f p  p p =  ∫ f ( x ) dx  Ω  { } f ∞ inf C; f ( x ) ≤ C h.k.n = Nhận xét 1.3.2.2 Nếu f ∈ Lp ( Ω ) f ( x ) ≤ f Thật vậy, có dãy {Cn } hội tụ f ∞ ∞ h.k.n x ∈ Ω cho ∀n, f ( x ) ≤ Cn h.k.n Ω Vì vậy, với n , f ( x ) ≤ Cn , ∀x ∈ Ω \ En , En tập không đáng kể (có độ đo 0) Đặt E = U En E n tập không đáng kể với n , f ( x ) ≤ Cn , ∀x ∈ Ω \ E , suy f ( x ) ≤ C , ∀x ∈ Ω \ E Ta ký hiệu p ' số liên hợp p, ≤ p ≤ ∞ , nghĩa 1 + = p p' Định lý 1.3.2.3 (Bất đẳng thức Holder) Cho f ∈ Lp g ∈ Lp ' với ≤ p ≤ ∞ Khi f g ∈ L1 ∫ f g ≤ f p f p' Dựa vào bất đẳng thức Holder, người ta chứng minh được: Định lý 1.3.2.4 Lp không gian vector ⋅ p chuẩn với ≤ p ≤ ∞ Định lý 1.3.2.5 (Fischer-Riesz) (i) Lp không gian Banach với ≤ p ≤ ∞ (ii) Giả sử { f n } dãy hội tụ f không gian Lp (1 ≤ p ≤ ∞ ), nghĩa là, fn − f p { } → Thế có dãy f nk k =1,2, cho f nk ( x ) → f ( x ) h.k.n ∀k , f nk ( x ) ≤ h ( x ) h.k.n với h hàm Lp Với Ω tập mở ¡ , ta ký hiệu C k ( Ω ) không gian hàm số khả vi liên tục đến ∞ Ω ) I C k ( Ω ) Còn Cc ( Ω ) không gian hàm số f liên tục Ω cho giá cấp k C ∞ (= k =1 (support) f , tức tập hợp supp f= { x ∈ Ω : f ( x ) ≠ 0} compact chứa Ω , ký hiệu gạch ngang bao đóng tập hợp Đặt Cck ( Ω= ) C k ( Ω ) ∩ Cc ( Ω ) Cc∞ ( Ω= ) C ∞ ( Ω ) ∩ Cc ( Ω ) Lloc ( Ω ) tập hàm đo Ω , khả tích tập compact K ⊂ Ω Ta có kết sau tính trù mật: Định lý 1.3.2.6 Với ≤ p < ∞ (lưu ý p ≠ ∞ ), Cc∞ ( Ω ) trù mật Lp ( Ω ) Định lý 1.3.2.7 (Riemann-Lesbesgue) Cho f ∈ L1 ( a; b ) , với ( a; b ) khoảng hữu hạn vô hạn ¡ , ta có b b = lim ∫ f ( x ) cos Nxdx 0,= lim ∫ f ( x ) sin Nxdx N →∞ N →∞ a a N → ∞ 1.3.3 Tích chập Định nghĩa 1.3.3.1 Cho hai hàm số f g xác định ¡ f ∗ g ( x )= N hàm số f ∗ g định ∫ f ( x − y ) g ( y ) dy, ¡ N với giả thiết tích phân tồn tại, gọi tích chập f g Định lý 1.3.3.2 Giả sử f ∈ L1 ( ¡ ) g ∈ L ( ¡ ) với ≤ p ≤ ∞ Khi đó, với x ∈ ¡ N p hàm số y a f ( x − y ) g ( y ) khả tích ¡ N f ∗ g ∈ Lp ( ¡ N f ∗g ≤ f p N N ) Hơn nữa, g p 1.4 Không gian Sobolev (xem [3, Chương 8]) 1.4.1 Không gian Sobolev W 1, p tính chất Cho Ω ⊂ ¡ N tập mở ≤ p ≤ ∞ Định nghĩa 1.4.1.1 Hàm g ∈ Lloc ( Ω ) gọi đạo hàm riêng suy rộng theo biến xi hàm f ∈ Lloc ( Ω ) , ký hiệu g = ∂f hay g = Di f , ∂xi ∂ϕ ∫ f ∂x Ω i dx =− ∫ gϕ dx, ∀ϕ ∈ Cc∞ ( Ω ) Ω Nếu f có Di f , i = 1, N , ta ký hiệu ∇f = ( D1 f , D2 f , , DN f ) Định nghĩa 1.4.1.2 Với ≤ p ≤ ∞ , ta ký hiệu W 1, p ( Ω ) tập hợp hàm f ∈ Lp ( Ω ) có 1, N đạo hàm riêng suy rộng Di f ∈ Lp ( Ω ) , i = Trong W 1, p ( Ω ) ta xét chuẩn N f= w1, p f L p + ∑ Di f i =1 Lp chuẩn tương đương  = f w1, p  f  p Lp N +∑ i =1 p Di f Lp  ≤ p < ∞  p Định nghĩa 1.4.1.3 Không gian W 1,2 ( Ω ) ký hiệu H ( Ω ) trang bị tích vô hướng = f ,g ∫ Ω  N  fgdx + ∫  ∑ Di f Di g  dx  Ω  i =1 chuẩn tương ứng  2  N 2 = f H  ∫ f dx + ∫  ∑ Di f  dx    Ω  i =1 Ω , Định nghĩa 1.4.1.4 W01, p ( Ω ) bao đóng Cc1 ( Ω ) W 1, p ( Ω ) Ta ký hiệu H 01 ( Ω = ) W01,2 ( Ω ) Định lý 1.4.1.5 Không gian W 1, p không gian Banach với ≤ p ≤ ∞ , khả li với ≤ p < ∞ , phản xạ với < p < ∞ Định lý 1.4.1.6 (Đạo hàm tích) Cho f , g ∈ W 1, p ( Ω ) ∩ L∞ ( Ω ) , ≤ p ≤ ∞ Khi fg ∈ W 1, p ( Ω ) ∩ L∞ ( Ω ) D = i ( fg ) ( Di f ) g + f ( Di g ) Định lý 1.4.1.7 (Đạo hàm hàm hợp) Cho G ∈ C1 ( ¡ ) thỏa G ( ) = , G ' ( t ) ≤ M , ∀t ∈ ¡ f ∈ W 1, p ( Ω ) , ≤ p < ∞ Khi G o f ∈ W 1, p ( Ω ) Di ( G o f ) = G ' ( f ) Di f 1.4.2 Không gian Sobolev W m , p Định nghĩa 1.4.2.1 Cho số nguyên m ≥ số thực ≤ p ≤ ∞ , ta định nghĩa quy nạp   ∂f m −1, p W m , p ( Ω ) =∈ 1, N  ( Ω ) , ∈ W m−1, p ( Ω ) , ∀i = f W ∂xi   hay ta định nghĩa cách tương đương { W m , p ( Ω ) = f ∈ Lp ( Ω ) ∀α , α ≤ m, ∃gα ∈ Lp ( Ω ) cho  α α ∫ fD ϕ =( −1) ∫ gαϕ , ∀ϕ ∈ C ( Ω ) ∞ c Ω Ω Ta ký hiệu Dα f = gα H m (= Ω ) W m ,2 ( Ω ) Chú ý 1.4.2.2 Một đa số α α = (α1 , α , , α N ) với α i ≥ nguyên, ta đặt N α = ∑ α i Dα ϕ = i =1 ∂α1 +α + +α N ϕ ∂x1α1 ∂x2α ∂xαNN Định lý 1.4.2.3 Không gian W m , p trang bị chuẩn f= wm , p f Lp + ∑ α 0≤ ≤ m Dα f Lp không gian Banach Định lý 1.4.2.4 Không gian H m ( Ω ) trang bị tích vô hướng , g Hm f= f ,g L2 + ∑ α 0≤ Dα f , Dα g ≤m L2 không gian Hilbert Ta chứng minh chuẩn W m , p ( Ω ) tương đương với chuẩn f Lp + ∑ α Dα f =m Lp 1.5 Biến đổi Fourier (xem [1, tr 56-68]; xem [8, Chương 6]; xem [10, Chương 4]; xem [18, Chương 9) 1.5.1 Biến đổi Fourier L1 ( ¡ ) Định nghĩa 1.5.1.1 Cho f ∈ L1 ( ¡ ) , hàm F định F= ( f ) F= ( x) +∞ ∫ e f ( t ) dt ixt −∞ gọi biến đổi Fourier f Định lý 1.5.1.2 Cho f , g ∈ L1 ( ¡ ) , λ , µ ∈ £ Khi đó, ta có: (i) F ( λ f + µ g= ) λF ( f ) + µF ( g ) , F ( f )F (g), (ii) F ( f ∗ g ) = (iii) sup F ( x ) ≤ f x∈¡ L1 , (iv) F ( x ) − F ( y ) → x − y → , (v) F ( x ) → x → ∞ Định lý 1.5.1.3 Với r > , đặt f r ( t ) = f ( rt ) Ta có F= ( f r ) F= r ( x)  x F  r r Định lý 1.5.1.4 Với a ∈ ¡ , đặt f a = ( t ) f ( t + a ) Ta có F= e − iax F ( x ) ( f a ) F= a ( x) Định lý 1.5.1.5 Cho f ∈ L1 ( ¡ ) thỏa supp f ⊂ [ −a; a ] Ta có F hàm giải tích £ Định lý 1.5.1.6 Cho dãy { f n }n =1,2, hội tụ L1 ( ¡ ) Khi đó, dãy {Fn }n=1,2, hội tụ ¡ Định lý 1.5.1.7 Cho f ∈ L1 ( ¡ ) thỏa tính chất f ' ∈ L1 ( ¡ ) f liên tục tuyệt đối khoảng hữu hạn Khi F ' ( x ) = −ixF ( x ) Định lý 1.5.1.8 Nếu f có đạo hàm bậc cao L1 ( ¡ ) F hội tụ nhanh x → ∞ , nghĩa là, F( F ( x) = n) x ( x) n Định lý 1.5.1.9 Cho f ∈ L1 ( ¡ ) Nếu f '' tồn f '' ∈ L1 ( ¡ Định lý 1.5.1.10 Cho f ∈ L1 ( ¡ ) F ∈ L1 ( ¡ ) bị chặn, liên tục F ∈ L1 ( ¡ ) Khi ta có +∞ f (t ) = 2π 1.5.2 Biến đổi Fourier L2 ( ¡ ) ∫e − itx F ( x ) dx −∞ ) Định lý 1.5.2.1 (Plancherel) Với f ∈ L2 ( ¡ ) , N > , ta đặt FN { f }( x ) = N ∫ e f ( t ) dt ixt −N Khi (i) FN { f } hội tụ L2 ( ¡ đến hàm F { f } N → ∞ Hơn ) F{ f } (ii) Nếu f ∈ L1 ( ¡ ) ∩ L2 ( ¡ ) L2 = 2π f L2 F { f } = F ( f ) h.h ¡ (iii) Đặt φN ( t ) = N ∫e − itx F { f }( x ) dx −N φN hội tụ L2 ( ¡ ) đến f N → ∞ (iv) Toán tử F đẳng cấu từ L2 ( ¡ Hệ 1.5.2.2 Nếu f ∈ L2 ( ¡ ) f (t ) = 2π ) vào L2 ( ¡ ) F ∈ L1 ( ¡ +∞ ∫e −∞ − itx ) F ( x ) dx với h h x [...]... đúng cho trường hợp tổng quát Định nghĩa 1.1.4 (xem [9, tr 10]) Cho ( X , ⋅ ) là một không gian định chuẩn và f là một ánh xạ từ tập hợp các số nguyên dương ¥ vào X và g là một ánh xạ đồng biến nghiêm cách từ ¥ vào ¥ Đặt xn = f ( n ) và yk = f o g ( k ) với mọi n và k trong ¥ Ta gọi { yk } là một dãy con của { } dãy { xn } và được ký hiệu là xnk Định nghĩa 1.1.5 (xem [16, tr 10-11]) Cho không gian định... ( X , ⋅ ) , hay vắn tắt hơn là X , khi các phép toán, hàm chuẩn được ngầm hiểu và không thể nhầm lẫn Định nghĩa 1.1.3 (xem [16, tr 10]) Cho ( X , ⋅ ) là một không gian định chuẩn và f là một ánh xạ từ tập hợp các số nguyên dương ¥ vào X Đặt xn = f ( n ) với mọi n trong ¥ Ta gọi { xn } là một dãy trong X Cho { xn } là một dãy các phần tử của một không gian định chuẩn ( X , ⋅ ) Ta nói 0 , nghĩa là... (Đạo hàm của một tích) Cho f , g ∈ W 1, p ( Ω ) ∩ L∞ ( Ω ) , 1 ≤ p ≤ ∞ Khi đó fg ∈ W 1, p ( Ω ) ∩ L∞ ( Ω ) và D = i ( fg ) ( Di f ) g + f ( Di g ) Định lý 1.4.1.7 (Đạo hàm của hàm hợp) Cho G ∈ C1 ( ¡ ) thỏa G ( 0 ) = 0 , G ' ( t ) ≤ M , ∀t ∈ ¡ và f ∈ W 1, p ( Ω ) , 1 ≤ p < ∞ Khi đó G o f ∈ W 1, p ( Ω ) và Di ( G o f ) = G ' ( f ) Di f 1.4.2 Không gian Sobolev W m , p Định nghĩa 1.4.2.1 Cho một số nguyên. .. không đáng kể và với mỗi n , f ( x ) ≤ Cn , ∀x ∈ Ω \ E , suy ra f ( x ) ≤ C , ∀x ∈ Ω \ E Ta ký hiệu p ' là số liên hợp của p, 1 ≤ p ≤ ∞ , nghĩa là 1 1 + = 1 p p' Định lý 1.3.2.3 (Bất đẳng thức Holder) Cho f ∈ Lp và g ∈ Lp ' với 1 ≤ p ≤ ∞ Khi đó f g ∈ L1 và ∫ f g ≤ f p f p' Dựa vào bất đẳng thức Holder, người ta chứng minh được: Định lý 1.3.2.4 Lp là một không gian vector và ⋅ p là một chuẩn với... 1.3.3 Tích chập Định nghĩa 1.3.3.1 Cho hai hàm số f và g xác định trên ¡ f ∗ g ( x )= N thì hàm số f ∗ g định bởi ∫ f ( x − y ) g ( y ) dy, ¡ N với giả thiết là tích phân ở trên tồn tại, được gọi là tích chập của f và g Định lý 1.3.3.2 Giả sử f ∈ L1 ( ¡ ) và g ∈ L ( ¡ ) với 1 ≤ p ≤ ∞ Khi đó, với mỗi x ∈ ¡ N p hàm số y a f ( x − y ) g ( y ) khả tích trên ¡ N và f ∗ g ∈ Lp ( ¡ N f ∗g ≤ f p 1 N N ) Hơn... trên tập Ω ⊂ ¡ { f n } là dãy tăng các hàm sao cho sup ∫ f n < ∞ Khi đó, f n hội tụ h.k.n trên Ω về một N n hàm f khả tích trên Ω và fn − f 1 ≡ ∫ f n ( x ) − f ( x ) dx → 0 khi n → ∞ Ω Định lý 1.3.1.2 (Định lý hội tụ bị chặn của Lesbesgue) Cho { f n } là một dãy các hàm (thực hoặc phức) khả tích trên Ω Giả sử (i) f n ( x ) → f ( x ) h.k.n trên Ω (ii) Tồn tại hàm g khả tích sao cho với mỗi n , f n... là một dãy hội tụ về f trong không gian Lp (1 ≤ p ≤ ∞ ), nghĩa là, fn − f p { } → 0 Thế thì có dãy con f nk k =1,2, sao cho f nk ( x ) → f ( x ) h.k.n ∀k , f nk ( x ) ≤ h ( x ) h.k.n với h là một hàm trong Lp Với Ω là tập mở trong ¡ , ta ký hiệu C k ( Ω ) là không gian các hàm số khả vi liên tục đến ∞ Ω ) I C k ( Ω ) Còn Cc ( Ω ) là không gian các hàm số f liên tục trên Ω sao cho giá cấp k và C... x ) h.k.n trên Ω Khi đó f khả tích và fn − f 1 ≡ ∫ f n ( x ) − f ( x ) dx → 0 khi n → ∞ Ω Hệ quả 1.3.1.3 Cho f là hàm đo được và g là hàm khả tích trên Ω Ta có, nếu f n ( x ) → g ( x ) h.k.n trên Ω thì f khả tích trên Ω Suy ra rằng, nếu f khả tích thì f khả tích (đương nhiên chiều ngược lại cũng đúng) Bổ đề 1.3.1.4 (Bổ đề Fatou) Giả sử { f n } là một dãy các hàm khả tích sao cho (i) f n ≥ 0 h.k.n... ∗ g ∈ Lp ( ¡ N f ∗g ≤ f p 1 N N ) Hơn nữa, g p 1.4 Không gian Sobolev (xem [3, Chương 8]) 1.4.1 Không gian Sobolev W 1, p và các tính chất cơ bản Cho Ω ⊂ ¡ N là một tập mở và 1 ≤ p ≤ ∞ Định nghĩa 1.4.1.1 Hàm g ∈ Lloc ( Ω ) được gọi là đạo hàm riêng suy rộng theo biến xi của hàm f ∈ Lloc ( Ω ) , ký hiệu g = ∂f hay g = Di f , nếu ∂xi ∂ϕ ∫ f ∂x Ω i dx =− ∫ gϕ dx, ∀ϕ ∈ Cc∞ ( Ω ) Ω Nếu f có Di f , i... x, x ', y ∈ H , (ii) x, α y + β y ' = α x, y + β x, y ' , với mọi α , β ∈ ¡ ; x, y, y ' ∈ H , (iii) x, y = y, x , với mọi x, y ∈ H , và (iv) x, x ≥ 0 , với mọi x ∈ H và x, x = 0 ⇔ x = 0 ) , i = 1, 2, , n ) là một không Như vậy, một tích vô hướng trên H là một phiếm hàm song tuyến tính, đối xứng, xác định dương Từ tích vô hướng nêu trên, với x ∈ H , đặt x = x, x Từ định nghĩa, với x, y ∈ H , ta có