Xấp xỉ tuyến tính cho 1 vài phương trình sóng phi tuyến

BỘ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRẦN NGỌC DIỄM XẤP XỈ TUYẾN TÍNH CHO MỘT VÀI PHƯƠNG TRÌNH SÓNG PHI TUYẾN LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁ

BỘ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

TRẦN NGỌC DIỄM

XẤP XỈ TUYẾN TÍNH CHO MỘT VÀI PHƯƠNG TRÌNH SÓNG PHI TUYẾN

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

CHUYÊN NGÀNH : TOÁN GIẢI TÍCH

MÃ SỐ : 1.01.01

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

10-1998

LUẬN VĂN ĐƯỢC HOÀN THÀNH TẠI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

Người Hướng Dẫn :

PTS Nguyễn Thành Long Ban Toán _ Tin học Trường Đại Học Đại Cương Thành Phố Hồ Chí Minh

Người Nhận Xét 1 :

PGS-PTS Dương Minh Đức Khoa Toán

Trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên Thành Phố Hồ Chí Minh

Người Nhận Xét 2 :

PTS Nguyễn Bích Huy Khoa Toán

Trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh

Người Thực Hiện :

Trần Ngọc Diễm Ban Toán _ Tin học Trường Đại Học Đại Cương Thành Phố Hồ Chí Minh

LUẬN VĂN ĐƯỢC BẢO VỆ TẠI HỘI ĐỒNG CHẤM LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

Lời đầu tiên, tôi xin kính gởi đến Thầy Nguyễn Thành Long, lời cảm ơn sâu sắc về sự tận tình giúp đỡ của thầy đối với tôi trong suốt khóa học và nhất là trong việc hoàn thành luận văn này

Xin chân thành cảm ơn Thầy Dương Minh Đức và Thầy Nguyễn Bích Huy đã đọc và cho những ý kiến quý báu cũng như những lời phê bình bổ ích đối với luận văn

Tôi cũng xin cảm ơn tất cả quý Thầy trong hội đồâng chấm luận văn đã dành cho tôi thời gian quý báu và những góp ý sâu sắc cho buổi bảo vệ luận văn

Xin cảm ơn quý Thầy Cô khoa Toán, Trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên, Trường Đại Học Đại Cương, Trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh đã tận tình hướng dẫn và cung cấp cho tôi những tư liệu cần thiết trong suốt thời gian học tập

Xin cảm ơn quý Thầy Cô thuộc Phòng quản lý sau Đại học Trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên Thành Phố Hồ Chí Minh đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi về thủ tục hành chính trong khóa học

Cảm ơn các Bạn học viên lớp Cao học khóa 6 đã hổ trợ rất nhiều cho tôi về mọi mặt trong thời gian qua

Lời thân thương nhất xin gởi đến gia đình tôi, nơi tạo cho tôi mọi điều kiện thuận tiện để học tập và làm tốt luận văn này

Trần Ngọc Diễm

MỤC LỤC

2 Chương 1 Một số không gian hàm và ký hiệu 6

3 Chương 2 Khảo sát phương trình sóng phi tuyến với

điều kiện biên hỗn hợp không thuần nhất 8

2 Sự tồn tại và duy nhất lời giải của bài toán biên

3 Khai triển tiệm cận của lời giải 18

4 Chú ý về bài toán với điều kiện biên hỗn hợp

4 Chương 3 Phương trình sóng phi tuyến với toán tử Kirchoff-Carrier 30

PHẦN MỞ ĐẦU

Trong luận văn này, chúng tôi khảo sát một số phương trình sóng phi tuyến

một chiều liên kết với điều kiện biên thuần nhất hoặc không thuần nhất Chúng tôi

thu được lời giải bằng cách thiết lập một dãy qui nạp hội tụ mạnh trong các không

gian hàm thích hợp Một số tính chất về lời giải thu được cũng được khảo sát sau đó

Trong luận văn này, chúng tôi tập trung vào việc khảo sát hai bài toán chính

nằm ở chương 2 và chương 3

Đối với bài toán thứ nhất chúng tôi xét phương trình sóng phi tuyến sau đây

f C∈ 1 0 1, × 0,∞ ×R3 là các hàm cho trước

Phương trình (0.1) với các dạng khác nhau của f và các điều kiện biên khác

nhau đã được khảo sát bởi nhiều tác giả.Cụ thể là một số trường hợp sau:

Trong [8] Ficken và Fleishman đã thiết lập sự tồn tại và duy nhất lời giải toàn

cục và tính ổn định của lời giải này cho phương trình

utt −uxx - 2α1ut −α2u=εu3+b , ε >0 bé (0.4) Rabinowitz [19]đã chứng minh sự tồn tại của lời giải tuần hoàn cho phương

trình

trong đó ε là tham số bé và f tuần hoàn theo thời gian

Trong [2] Caughey và Ellison đã gộp lại các trường hợp trước đó để bàn về sự

tồn tại,duy nhất và ổn định tiệm cận của các lời giải cổ điển cho một lớp các hệ động

lực liên tục phi tuyến

Trong [4], Alain Phạm Ngọc Định đã chứng minh sự tồn tại và duy nhất của

một lời giải yếu của bài toán (0.1), (0.3) liên kết với điều kiện biên Dirichlet thuần

nhất

( ) ( )

với số hạng phi tuyến trong (0.1) có dạng

( )

Bằng sự tổng quát của [4], Alain Phạm Ngọc Định và Nguyễn Thành Long đã

xét bài toán (0.1), (0.3), (0.6) với số hạng phi tuyến có dạng

Trong [13], [14],Nguyễn Thành Long và Alain Phạm Ngọc Định đã nghiên

cứu bài toán (0.1), (0.3) với số hạng phi tuyến có dạng

Chúng tôi liên kết vơiù phương trình (0.1) một dãy qui nạp tuyến tính liên hệ

với một bất phương trình tích phân Volterra phi tuyến và dãy này bị chận trong một

không gian hàm thích hợp.Sự tồn tại lời giải của (0.1), (0.2), (0.3), (0.12) được chứng

minh bằng phương pháp Galerkin và compact yếu.Chú ý rằng phương pháp tuyến tính

hóa trong các bài báo[5], [15] không dùng được trong các bài báo [13], [14] Nếu các

hàm số f0 ∈C2( [ ] [0 1, × 0,∞ ×) R3) và f C1∈ 1( [ ] [0 1, × 0,∞ ×) R3) thì một khai triển

tiệm cận đến cấp 2 theo ε của lời giải bài toán (0.1), (0.2), (0.3), (0.12) thu được với

vế phải của (0.1) có dạng

f x t u u u, , , ,x t = f x t u u u0 , , , ,x t +εf x t u u u1 , , , ,x t , (0.13) vớiε đủ nhỏ.Kết quả này đã tổng quát hóa tương đối của[1], [5]và đã được công bố

trong [15]

Bài toán thứ hai trong luận văn này được xét với phương trình sóng phi tuyến

sau đây chứa toán tử Kirchoff-Carrier

và điều kiện đầu

( )

trong đó b0 >0 , T>0 là các hằng số cho trước ;B , f, F, ~u0, ~u1là các hàm cho

trước Các giả thiết về các hàm này sẽ được chỉ rõ sau đó Trong phương trình (0.14)

hàm B( )∇u2 phụ thuộc vào tích phân

Phương trình (0.14) liên quan đến một phương trình dao động phi tuyến sau

đây của một sợi dây đàn hồi [3] :

Ở đây u là độ võng, ρ là mật độ khối lượng (khối lượng riêng), h là thiết

diện, L là chiều dài ban đầu, E là suất Young vàP0 là lực căng ban đầu của dây

Khi f= 0, bài toán Cauchy hay hỗn hợp cho (0.14) đã được nghiên cứu bởi

nhiều tác giả; chẳng hạn như Ebihara, Medeiros và Miranda [7], Pohozaev

[18],Yamada [21] và các tác giả xuất hiện trong tài liệu tham khảo ở đó

Trong [17] Medeiros đã nghiên cứu bài toán (0.14), (0.15), (0.16) với

( )

f u =bu2,trong đó b là hăøng số dương cho trước, Ω là một tập mở bị chận của R3

Trong [9] Hosoya và Yamada đã xét bài toán (0.14), (0.15), (0.16) với

( )

f u = δu u α, trong đó δ>0,α≥0là các hằng số cho trước

Trong [16] Nguyễn Thành Long và các đồng tác giả đã nghiên cứu sự tồn tại

và duy nhất lời giải cho phương trình sau

utt +λΔ2u B u− (∇ 2)Δu+εut α − 1ut =F x t x( ), , ∈ =Ω ( )0 1 0, , < <t T, (0.19)

trong đó λ > 0 , ε > 0 , 0< <α 1 là các hằng số cho trước

Trong [10] Ikehata và Okazawa đã xét bài toán (0.14), (0.15), (0.16) như một

phương trình tiến hóa cấp hai á tuyến tính theo thời gian trong một không gian Hilbert

thực H vơiù giả thiết sau đây trên hàm f, trong trường hợp của chúng tôi cụ thể ra thì

điều kiện đó là:

f u( ) ( )− f v L2 ≤L u( H + vH )u v− H ∀u v H∈

trong đó L C∈ ( [0,+∞) ) là một hàm không giảm Ở trường hợp của chúng tôi thì f′bị

chận bởi một hàm không giảm L

f x'( )≤L x( ) , x R , ∀ ∈ (0.21)

do đó (0.20) sẽ được thỏa mãn

Trong bài toán thứ hai này, chúng tôi liên kết bài toán (0.14), (0.15), (0.16) một thuật giải qui nạp tuyến tính mà sự tồn tại duy nhất lời giải địa phương được chứng minh bằng phương pháp compact yếu liên kết với bất phương trình tích phân Volterra Thuật giải này cho phép chúng ta sử dụng được một số thuật giải tính số hiệu quả để giải bài toán (0.14), (0.15), (0.16) Kết quả thu được đã tổng quát tương đối các kết quả [7], [9], [10], [16], [17], [18] và sẽ được công bố trong [6]

Toàn bộ luận văn này sẽ chia thành các chương sau đây:_Chương mở đầu là phần giới thiệu tổng quát về các bài toán và điểm qua các kết quả trước đó, đồng thời giới thiệu tóm tắt các chương tiếp theo

_Chương 1 là phần giới thiệu một số ký hiệu và các không gian hàm thông dụng Một số kết quảvề phép nhúng cũng được nhắc đến ở đây

_Chương 2 đi vào việc khảo sát bài toán thứ nhất (0.1) -(0.3), kết quả chính của chương này là chứng minh một định lý tồn tại và duy nhất lời giải yếu trong trường hợpf C∈ 1( [ ] [× ∞ ×) R3) u ∈H u ∈H g g ∈C ( [ ∞) )

0 1, 0, , ~ , ~ , , 0, ,các hằng số không âm h h0, 1 thỏa h0 +h1> Phương pháp sử dụng là xây dựng một 0dãy qui nạp tuyến tính hội tụ mạnh

Kết quả này đã tổng quát nhẹ nhàng kết quả [15] của chúng tôi và chứa trường hợp g0 =g1 ≡ như là một trường hợp riêng 0

Vẫn trong chương này, chúng tôi cũng thu được các kết quả về khai triển tiệm cận theo một tham số béε đến cấp i của lời giải bài toán (0.1), (0.2), (0.3) với số hạng phi tuyến f có dạng sau :

f x t u u u, , , ,x t = f x t u u u0 , , , ,x t +εf x t u u u1 , , , ,x t , trong đó

Kết quả này cũng đã tổng quát các kết quả đã có [1], [5], [15]

Một số khai triển tiệm cận cũng được khảo sát trong một số trường hợp cụ thể của số hạng phi tuyến

_ Chương 3 là phần khảo sát bài toán thứ hai (0.14), (0.15), (0.16) Kết quả chính là bằng cách tuyến tính hóa các số hạng phi tuyến f u( )và B u( )∇ 2 , chúng tôi chứng minh sự tồn tại duy nhất của một lời giải yếu của bài toán (0.14), (0.15), (0.16) trong trường hợp

f C R B C∈ 1 , ∈ 1 0,∞ , B≥0

và một số điều kiện phụ sau đó

Kết quả đã tổng quát hóa tương đối các kết quả trước đó và sẽ được công bố trong [6]

_ Chương cuối cùng là phần kết luận về các kết quả thu lượm được trong luận văn

Sau cùng là phần tài liệu tham khảo

Chương 1

MỘT SỐ KHÔNG GIAN HÀM VÀ KÝ HIỆU

1 Các ký hiệu về không gian hàm

Chúng ta bỏ qua định nghĩa các không gian hàm thông dụng và sử dụng các ký hiệu gọn lại như sau:

Ta viết u(t) , u t&( ), &&u t( ), ux = ∇u, uxx = Δ thay cho u

2 Vài bổ đề quan trọng

Cho ba không gian Banach B0, B, B1 với

Trang bị trên W một chuẩn như sau

vW = vLp 0(0 , ;T B0) + ′v Lp 1(0 , ;T B1)

Khi đó W là không gian Banach Hiển nhiên W L⊂ p 0(0, ;T B)

Ta có kết quả sau :

Dưới giả thiết (1.1), (1.2) và nếu 1 < pi < ∞, i=0,1, phép nhúng

W L⊂ p 0 0, ;T B là compact

Cho O là mở bị chận của RN, g, gm∈ Lq( )

O , 1 < < ∞q thỏa (i) gm Lq( ) C m

O ≤ , ∀ , (ii) gm→g hầu hết trong O

Khi đó gm→gtrong Lq( )

O yếu

Chương 2 KHẢO SÁT PHƯƠNG TRÌNH SÓNG PHI TUYẾN

LIÊN KẾT VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN HỖN HỢP

với h0, h1 là các hằng số không âm cho trước, số hạng phi tuyến f cũng là hàm cho

trước thuộc lớp C1( [ ] [0 1, × 0,∞ ×) R3)

Trong chương này, ta sẽ thiết lập một định lý tồn tại và duy nhất lời giải yếu

của bài toán (2.1)-(2.3) bằng phương pháp xấp xỉ tuyến tính kết hợp với phương pháp

Galerkin và phương pháp compact yếu Sau đó chúng tôi khảo sát vấn đề khai triển

tiệm cận của lời giải bài toán (2.1)-(2.3) theo tham số bé ε khi số hạng phi tuyến f

trong (2.1) được thay bởi

f x t u u u, , , ,x t + εg x t u u u, , , ,x t

Ta thành lập các giả thiết sau

( ) ( ) ( ) ( [ ] [ ) )

Đặt

( ) ( ) ( ) ( )

x x

( )

wtt −wxx = ~ , , , ,f x t w w wx t , x∈Ω 0 , < <t T, (2.7) với điều kiện biên hỗn hợp thuần nhất

B w

B w01

00

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

gi = 0 , =i 0 1, (2.12)

2 Sự tồn tại và duy nhất lời giải của bài toán biên hỗn hợp thuần nhất

Trên H1 ta sử dụng một chuẩn tương đương sau :

a u v( ), =∫u x v x dx h u v'( ) ( )' + ( ) ( )+h u v( ) ( ) ∀u v H, ∈

0

1

0 0 0 1 1 1 , 1 (2.14) Khi đó ta có các bổ đề sau

( ) ( ) ( ) ( )

với C0 =min ,{1h0}, C1 =max , ,{1h h02 1}

Chứng minh : Sử dụng bất đẳng thức Schwartz và bổ đề 2.1 ta có (i) đúng

Chứng minh (ii) thì dễ dàng nên ta bỏ qua

Bổ đề 2.3

Tồn tại một cơ sở Hilbert trực chuẩn { }wj của L2 gồm các vector riêng wj

ứng với trị riêng λj sao cho

Hơn nữa dãy {wj λ cũng là cơ sở trực chuẩn Hilbert của j} H1 tương ứng

với tích vô hướng a( ).,

Mặt khác, chúng ta cũng có hàm wj thỏa mãn bài toán giá trị biên sau:

Tiếp theo, ta xây dựng dãy { }um trong W M T( , ) bằng qui nạp Dãy { }um sẽ

được chứng minh hội tụ về lời giải của bài toán (2.1)-(2.3) trong W M T( , )(với sự

chọn lựa M và T thích hợp)

Chọn số hạng ban đầu u0 ∈W M T( , ) Giả sử rằng

Ta liên kết bài toán (2.1)-(2.3) với bài toán biến phân tuyến tính sau:

Định lý 2.1([15])

Giả sử ( ) ( )H1 − H3 đúng Khi đó tồn tại các hằng số M > 0 và T > 0 sao cho: với mọi u0 ∈ W M T( , ) cho trước, tồn tại một dãy qui nạp tuyến tính {um}⊂W M T( , )

xác định bởi (2.23)-(2.25)

Chứng minh :Chứng minh bao gồm ba bước

Bước 1 : Dùng phương pháp xấp xỉ Galerkin để xây dựng lời giải xấp xỉ u t( )mk( )

Bước 2 : Đánh giá tiên nghiệm

* Trong (2.27) thay wj bởi u t&( )mk( ) ta có

2 ( ) ( )( ) 2 ( ) 2 ( )( )

t

m mk

t

mk

t

Do bồ đề 2.2 ta có

1 1

t

m H mk H

t

Từ (2.19), (2.20) và (2.22) ta tìm được

( ) ( )

,

,

0 1 F F F t F t K F f f u f u f u dx f f f f u u u dx K u u K M m H m m m m x u m u m u m x u u u m m m m H m H 1 2 1 2 2 2 2 02 2 1 1 1 2 0 1 2 2 2 2 12 12 12 12 1 2 1 2 12 2 0 0 1 4 1 4 1 2 = ∇ + ≤ ∇ = ′ + ′∇ + ′ + ′∇ ≤ ′ + ′ + ′ + ′ + ∇ + + ∇ ≤ + + ≤ + − ∇ − − ∇ − − − − − ∫ ∫ , , & & & & & Δ Δ Vậy ∇Fm 2 ≤ K ( + M ) 12 2 4 1 2 Và do đó Fm H2 1 K ( M ) K 12 2 02 4 1 2 ≤ + + (2.37) Từ (2.32), (2.36), (2.37) ta có 2 ( ( )) 2 (2 1 2 ) ( )( ) 0 1 0 1 2 0 0 a F u d C C K M K q d m mk t mk t ,& τ τ τ ∫ ≤ + + ∫ (2.38) + Tích phânthứ ba Ta có 2 ( ) 2 ( ) 0 0 ′ ≤ ′ ∫t F um mk d ∫ F u d m t mk ,&& τ && τ (2.39) Từ (2.20) và (2.22) ta thu được

( ) ( ) ( ) ′ = ′+ ′ + ′ ∇ + ′ ≤ + + ∇ + ≤ + − ∇ − − − − − ∫ F f f u f u f u dx K u u u K M m t u m u m u m m m m 2 1 1 1 2 0 1 12 1 2 1 2 1 2 12 2 4 1 4 1 3 & & && & & && &

Do đó từ (2.39) ta suy ra

2 ( ) 4 1 3 ( )( )

2 0

&&u( )mk( ) ~ ,u u&&( )( ) f x u( , ,~ , ~ ,~ ,u u u) &&( )( )

Ta suy từ (2.29), (2.30), (2.43), (2.44) rằng tồn tại một số M > 0 độc lập với k

và m sao cho

s( )mk( )0 ≤M2 4, với mọi k và m (2.45)

Ta lưu ý, với giả thiết ( )H3 , suy ra từ (2.19), (2.20) rằng

là lời giải cực đại của phương trình tích phân Volterra phi tuyến sau đây trên [0,T]

với nhân không giảm s (xem [12])

Bước 3 : Qua giới hạn

Từ (2.53), tồn tại một dãy con { }um( )k j của { }u( )mk và tồn tại um sao cho

Từ (2.55) qua giới hạn trong (2.27), (2.28) ta có thể kiểm tra dễ dàng rằng um

thỏa mãn (2.23), (2.24) trong L∞(0,T) yếu *

Định lý 2.1 chứng minh hoàn tất

Định lý 2.2([15])

Giả sử (H1)-(H3) đúng Khi đó tồn tại M > 0, T > 0 sao cho bài toán (2.1)-(2.3)

có duy nhất một lời giải yếu u∈W M T( , )

Mặt khác, dãy qui nạp tuyến tính {um} xác định bởi (2.2ø2)-(2.24) hội tụ mạnh

về lời giải yếu u trong không gian

W T1( )={u L∈ ∞(0, ;T H1) : u L&∈ ∞(0, ;T L2) } (2.56)

Hơn nữa ta cũng có đánh giá sai số

um−u L∞(0 , ;T H1) + u&m−u& L∞(0 , ;T L2) ≤CkTm , với mọi m , (2.57)

trong đó 0<kT <1 xác định bởi(2.48) và C là hằng số chỉ phụ thuộc T, u0, uù1, và kT

Chứng minh :

a/ Sự tồn tại lời giải u :

Trước hết ta lưu ý rằng W1(T) là không gian Banach đối với chuẩn (xem [11])

uW T( ) u L ( T H ) u L ( T L)

1 = ∞ 0 , ; 1 + & ∞ 0 , ;2

Ta sẽ chứng minh rằng { }um là dãy Cauchy trong W T1( )

Đặt vm =um+1−um Khi đó vm thỏa mãn bài toán biến phân sau :

( ) ( ) ( )

Lấy v u= & trong (2.58) và sử dụng giả thiết (m H3), ta suy từ định lý 2.1, sau khi

tích phân theo t ta có

Sử dụng bổ đề 2.2 (ii) và (2.59) ta thu được

(2.1), ta có thể lấy ra một dãy con { }umj của { }um sao cho

Aùp dụng định lý Riesz-Fischer, từ (2.63), tồn tại dãy con của { }umj−1 vẫn ký

hiệu là { }umj−1 sao cho:

b/ Sự duy nhất lời giải

Giả sử uù1và uø2 là hai lời giải yếu của bài toán (2.1)-(2.3),thỏa ui∈W M T( , ),

( ) ( ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( )

1 0

z t( )=0, hay u1 =u2 Đánh giá sai số (2.57) được suy từ (2.62), (2.63) bằng cách cho p→ ∞

Vậy ta đã chứng minh xong định lý 2.2

3 Khai triển tiệm cận của lời giải

Trong phần này, ta giả sử rằng (h h0, 1) và (~ ~u u0, 1) lần lượt thỏa mãn các giả thiết ( )H1 ,( )H2 Ta đưa vào giả thiết sau :

f x u, ,~ , ~ ,~0 0 ∇u u0 1 + g x u( , ,~ , ~ ,~0 0 ∇u u0 1) và K M T fi( , , )+K M T gi( , , )

theo thứ tự