Luận văn thạc sỹ: phương trình sóng tuyến tính với các điều kiện biên của Nguyễn Văn Phong

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN VĂN PHONG PHƯƠNG TRÌNH SÓNG TUYẾN TÍNH VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN CHỨA PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN TUYẾN TÍNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán Gi

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

NGUYỄN VĂN PHONG

PHƯƠNG TRÌNH SÓNG TUYẾN TÍNH VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN CHỨA PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN TUYẾN TÍNH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: Toán Giải Tích

Mã số : 1.01.01

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH – 2006

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

PHƯƠNG TRÌNH SÓNG TUYẾN TÍNH VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN CHỨA PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN TUYẾN TÍNH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành : Toán Giải Tích

Người hướng dẫn khoa học : TS Nguyễn Thành Long

Khoa Toán – Tin học, Đại học Khoa học Tự nhiên Tp Hồ Chí Minh Học viên cao học : Nguyễn Văn Phong

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH – 2006

KHOA HỌC TỰ NHIÊN THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

Người hướng dẫn:

TS Nguyễn Thành Long

Khoa Toán – Tin học Đại học Khoa học Tự nhiên Tp Hồ Chí Minh

Người nhận xét 1:

PGS TS Nguyễn Bích Huy

Đại học Sư phạm Tp Hồ Chí Minh

Người nhận xét 2:

TS Trần Minh Thuyết

Khoa Thống kê Toán – Tin học Đại học Kinh tế Tp Hồ Chí Minh

Học viên cao học:

Nguyễn Văn Phong

LUẬN VĂN ĐƯỢC BẢO VỆ TẠI HỘI ĐỒNG CHẤM LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TP HỒ CHÍ MINH

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH – 2006

Đầu tiên, tôi xin gởi lời cảm ơn chân thành đến Thầy Nguyễn Thành Long,

người Thầy đã hướng dẫn, giúp đỡ và động viên tôi trong quá trình hoàn thành luận văn này

Xin chân thành cảm ơn Thầy Nguyễn Bích Huy và Thầy Trần Minh Thuyết

đã đọc và cho tôi nhiều nhận xét bổ ích

Xin gởi lời cảm ơn đến Quý Thầy Cô Bộ môn Giải tích, Khoa Toán – Tin

học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên TP Hồ Chí Minh, đã tận tình truyền đạt kiến thức cho chúng tôi trong toàn bộ khoá học

Xin gởi lời cảm ơn đến Quý Thầy Cô Phòng sau Đại học, trường Đại học

Khoa học Tự nhiên TP Hồ Chí Minh đã tạo điều kiện cho chúng tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thành các thủ tục cần thiết

Tôi xin cảm ơn các Anh Chị các khoá trước và các Bạn cùng lớp Cao học

khoá 14, cũng như các Thầy cùng Anh Chị và các Bạn ở lớp semina do Thầy hướng dẫn tổ chức đã động viên tôi trong quá trình hoàn thành luận văn này Cuối cùng, tôi không quên nói lời cảm ơn sâu sắc và lòng yêu thương dành cho gia đình, nơi có người thân thương nhất của tôi

Trang

Chương 2 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm 13

Chương 4 Khai triển tiệm cận nghiệm theo một tham số 33

Chương 5 Khai triển tiệm cận nghiệm theo hai tham số 38

CHƯƠNG 0 PHẦN MỞ ĐẦU

Trong luận văn này, chúng tôi xét bài toán sau: Tìm một cặp hàm ( , )u P thỏa

u x t và giá trị biên chưa biết ( )P t thoả một phương trình tích phân tuyến tính sau đây

0

( ) ( ) (0, ) t ( ) (0, ) ,

P t =g t +hu t −∫ k t−s u s ds (0.5)

trong đó h là hằng số không âm cho trước và , g k là các hàm cho trước

Bài toán tương tự với dạng (0.1) – (0.5) đã được chú ý nghiên cứu bởi nhiều tác giả [1, 2, 4, 6 – 10]

Xét bài toán (0.1) – (0.4) trong đó, hàm số ( )P t trong (0.2) chưa biết thoả một bài toán Cauchy sau đây cho phương trình vi phân thường

trong đó ω>0, h≥0, P0, P1 là các hằng số cho trước

Bài toán (0.1) – (0.4) và (0.6), (0.7) là mô hình toán học mô tả sự va chạm của một vật rắn và một thanh đàn hồi nhớt tuyến tính tựa trên một nền đàn hồi Từ (0.6), (0.7) ta biểu diễn ( )P t theo P0, P1, ω, h u, tt(0, )t và sau đó tích phân từng phần, ta thu được ( )P t như công thức (0.5), trong đó

(1, ) 0,

với u0 =u1 =P0 =0, F x t( , )=0 Trong trường hợp sau bài toán (0.1), (0.2), (0.4), (0.6), (0.7) và (0.11) là mô hình toán học mô tả sự va chạm của một vật rắn và một thanh đàn hồi nhớt tuyến tính tựa trên một nền cứng [1] Trong [2] cũng dùng phép biến đổi Laplace các tác giả Nguyễn Thúc An, Nguyễn Đăng Tộ, Nguyễn Tiến Triển đã nghiên cứu bài toán (0.1), (0.2), (0.4), (0.6), (0.7), (0.11) với

0 = 1 = 0 =0,

u u P K = =λ 0, F x t( , )= −γx, γ >0 là hằng số Trong trường hợp này bài toán là mô hình toán học mô tả sự va chạm của một vật rắn vào một thanh đàn hồi tựa trên nền cứng, có kể đến yếu tố ngoại lực là lực cản ở mặt bên tỉ lệ với tọa độ thiết diện của thanh: ( , )F x t = −γx, γ >0 là hằng số (xem hình vẽ) Như vậy bài toán nghiên cứu trong luận văn này là tương tự với các bài toán được xét trong [1, 2, 10]

x =

1

x = x

B

M : Vật rắn, AB : Cọc

Luận văn được trình bày theo các chương mục sau:

Phần mở đầu tổng quan về bài toán khảo sát trong luận văn, điểm qua các kết quả đã có trước đó, đồng thời nêu bố cục của luận văn

Chương 1, chúng tôi trình bày một số công cụ chuẩn bị bao gồm việc nhắc lại một số khái niệm về các không gian hàm và một số kết quả về phép nhúng compact giữa các không gian hàm

Chương 2, chúng tôi nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu toàn cục của bài toán (0.1) – (0.5) Chứng minh được dựa vào phương pháp xấp xỉ Galerkin liên kết với các đánh giá tiên nghiệm cùng với kỹ thuật hội tụ yếu và về tính compact Ơû phần này, định lý ánh xạ co cũng được sử dụng trong việc chứng minh sự tồn tại nghiệm xấp xỉ Galerkin

Trong chương 3, chúng tôi chứng minh rằng nghiệm ( , )u P của bài toán (0.1) – (0.5) là ổn định đối với các hằng số , ,K λ h và các hàm , , F k g

Trong chương 4, chúng tôi nghiên cứu bài toán i(Qλ) sau đây

t t

Ta giả sử rằng K1>0, K≥0, h≥0 là các số thực cố định và các hàm

 

(u ,u , F,g k, ) cho trước cố định thoả các giả thiết nào đó sao cho, với mỗi

λ∈ \+ cho trước, bài toán i(Qλ) có duy nhất một nghiệm yếu ( , )u P nghiệm này phụ thuộc vào một tham số :λ u=uλ, P=Pλ Luận văn này sẽ nghiên cứu khai triển tiệm cận nghiệm của bài toán i(Qλ) theo một tham số bé ,λ tức là nghiệm có thể xấp xỉ bởi một đa thức theo biến :λ

η λ tức là nghiệm có thể xấp xỉ bởi một đa thức theo hai biến , :η λ

Kế đến là phần kết luận và sau cùng là danh mục các tài liệu tham khảo

CHƯƠNG 1 MỘT SỐ CÔNG CỤ CHUẨN BỊ

1.1 Các không gian hàm

Trước hết, ta đặt Ω =(0,1),Q T = Ω×(0, ),T T >0, bỏ qua định nghĩa các

không gian hàm thông dụng: ,

H Ω =H là các không gian Sobolev thông dụng

Ta định nghĩa L2( )Ω là không gian Hilbert đối với tích vô hướng

1

2 0

Kí hiệu || ||⋅ để chỉ chuẩn trong 2

L sinh bởi tích vô hướng (1.1), nghĩa là

Khi đó ta có kết quả sau

Bổ đề 1.1 Phép nhúng 1 0

1

1.2 Không gian hàm (0, ; ), 1p

Cho X là một không gian Banach thực đối với chuẩn || ||⋅ X Ta ký hiệu (0, ; ), 1

p

L T X ≤ ≤ ∞p là không gian các lớp tương đương chứa hàm : (0, )u T →X

đo được, sao cho

L T X ≤ ≤ ∞p là một không gian Banach

Bổ đề 1.3 Gọi /

X là không gian đối ngẫu của X Khi đó /

p + p = < < ∞, là đối ngẫu của (0, ; ) p

Chú thích 1.1 Nếu p

X =L thì (0, ; )L p T X =L p(Ω×(0, )).T

1.3 Phân bố có giá trị véctơ

Định nghĩa 1.1 Cho X là một không gian Banach thực Một ánh xạ tuyến tính

liên tục từ (0, )D T vào X gọi là một (hàm suy rộng) phân bố có giá trị trong X

Tập các phân bố có giá trị trong X , ký hiệu là:

/

(0, ; ) ( (0, ); ) { : (0, ) | tuyến tính liên tục }

Chú thích 1.2 Ta ký hiệu (0, )D T thay cho ((0, ))D T hoặc C c∞((0, ))T để chỉ

không gian các hàm số thực khả vi vô hạn và có giá compact trong (0, ).T

dt và gọi là đạo hàm của f

theo nghĩa phân bố

ii) Ta nghiệm lại ánh xạ : (0, )T v D T → X là liên tục

Giả sử { }ϕ ⊂D(0, )T sao cho ϕ →0 trong (0, )D T , ta có:

Bổ đề 1.5 (Lions[5]) /

(0, ; ) (0, ; )

p

L T X ⊂D T X với phép nhúng liên tục

1.4 Đạo hàm trong (0, ; )p

Do bổ đề 1.5, phần tử f ∈L p(0, ;T X) ta có thể coi là f và do đó df

dt là phần tử của /

(0, ; )

D T X Ta có kết quả sau

Bổ đề 1.6 (Lions[5]) Nếu 1

1.5 Bổ đề về tính compact của Lions[5]

Cho ba không gian Banach X0, X1, X với X0 ⊂ X ⊂ X1 với các phép nhúng liên tục sao cho:

0, 1

phép nhúng X0 O X là compact (1.11) Với 0< < ∞T , 1≤ p i ≤ ∞, i=1, 2 ta đặt

(0, ) p (0, ; ) : p (0, ; )

W T = ∈v L T X v ∈L T X (1.12)

Ta trang bị (0, )W T bởi chuẩn

Bổ đề 1.8 ( Bổ đề về tính compact của Lions[5]) Với giả thiết (1.10), (1.11) và

nếu 1< p i < ∞ =,i 1, 2, thì phép nhúng (0, ) W T O L p0(0, ;T X) là compact

1.6 Các ký hiệu

Ta dùng các ký hiệu u t/( )=u t t( ), //

( ) tt( ),

u t =u t u t x( )= ∇u t( ), u xx( )t = ∆u t( ),để lần lượt chỉ :

CHƯƠNG 2 SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM

Trong chương này, chúng tôi trình bày định lý tồn tại và duy nhất của

nghiệm yếu toàn cục cho bài toán: Tìm một cặp hàm ( ( , ), ( ))u x t P t thỏa

Chứng minh được dựa vào phương pháp Galerkin liên hệ với các đánh giá

tiên nghiệm, từ đó rút ra các dãy con hội tụ yếu về nghiệm trong các không gian

hàm thích hợp nhờ vào một số phép nhúng compact

Trước tiên ta thành lập các giả thiết sau

Định lý 2.1 Giả sử ( ) ( )H1 − H5 đúng Khi đó với mỗi T > , tồn tại duy nhất một 0

nghiệm yếu ( , ) u P của bài toán (2.1) – (2.5) sao cho

Chứng minh Gồm nhiều bước

Bước 1 Xấp xỉ Galerkin

Xét một dãy { }w j là một cơ sở đếm được trong 2

m

j m

Khi đó ta có bổ đề sau

Bổ đề 2.1 Giả sử ( ) ( )H1 − H5 là đúng Với mọi T > cố định, khi đó hệ (2.10) – 0

(2.11) có duy nhất một nghiệm trên [0, ] T

Chứng minh Bỏ qua chỉ số m , ta viết , , c i α βi i tương ứng thay cho ,c mi αmi, βmivà ký hiệu lại

m i i

j m

≤ ≤ =

Chú ý rằng ta còn có

Từ (2.17) ta suy ra rằng H biến Y vào chính nó

Ta sẽ chứng minh rằng, tồn tại n ∈ ` , sao cho

1

H ≡H H − Y →Y là một ánh xạ co

Bây giơ,ø với mọi ,c d∈Y, với mọi t∈[0, ],T ta có

n n T

D

n

+ +

n

.(2 )!

n T

n T

n T

D T

Vậy H n0 :Y →Y là ánh xạ co Ta suy ra rằng H có một điểm bất động duy nhất trong Y , nghĩa là hệ (2.10) – (2.11) có một nghiệm duy nhất ( ) u t m trên đoạn [0, ]T

Bước 2 Đánh giá tiên nghiệm I

Thay (2.8) vào (2.7) Khi đó nhân phương trình thứ j của (2.7) bởi /

Sử dụng bất đẳng thức

2 0

1( ) (0, )

1( ) (0, )

1( ) (0, )

2 t F s u( ), m( )s ds,

trong đó C2 chỉ phụ thuộc vào u0,u1, g k K K, , , 1,h

Mặt khác từ (2.7) ta có

trong đó C3 là hằng số chỉ phụ thuộc vào u0,u1, F K, ,λ

Từ (2.42), và bổ đề 1.1 ta có

i

0 ( )

0

2 ( ) (0, )+ ∫t

0 0

4 g t C( )+ +(1/ 4)X m( )t

i4 2 0

4k (0)C M T

+ +(1/ 4)X m( )t i2 // 2

0 0

4C t g s( ) ds

+ ∫ +∫0t X m( )s ds

i2 0 0

L Q

F

+

i2 / 2 0

M là hằng số chỉ phụ thuộc vào , ,T k g và

F Sử dụng bổ đề Gronwall, từ (2.51) ta có

Mặt khác, ta suy ra từ (2.8), (2.25) và (2.39), rằng

Bước 4: Qua giới hạn

Từ (2.25), (2.39), (2.42) và (2.53), ta suy ra rằng tồn tại một dãy con của dãy

{(u m,P m)} vẫn ký hiệu là {(u m,P m)}, sao cho

Sự tồn tại nghiệm được chứng minh hoàn tất

Bước 5 Sự duy nhất nghiệm

Giả sử ( , ), ( ,u P1 1 u P2 2) là hai nghiệm yếu của bài toán (2.1) – (2.5) sao cho

CHƯƠNG 3 SỰ ỔN ĐỊNH CỦA NGHIỆM

Trong phần này chúng ta giả thiết rằng, 2 1

Thì ta có định lý sau

Định lý 3.1 Giả sử ( )H1 −( )H5 đúng Thì, với mọi T >0, nghiệm của bài toán

(2.1) – (2.5) là ổn định theo dữ liệu (K, , , , ,λ h F k g), tức là Nếu ( , , , , , ), K λ h F k g

K λ h F k g là các hằng số dương cố định Khi đó, các đánh

giá tiên nghiệm cho các dãy { }u m và { }P m trong chứng minh của định lý 2.1 thỏa

[ ] [ ]

{ u m,P m } được xác định bởi (2.7), (2.9) là nghiệm yếu của bài toán (2.1) – (2.5)

thỏa mãn các đánh giá tiên nghiệm (3.5) – (3.6)

Bây giờ từ (3.2), ta có thể giả thiết rằng, tồn tại các hằng số dương

K λ h F k g sao cho dữ liệu ( , , ,K j λj h j F j, k j, g j) thỏa (3.4) với

( ,K λ, ,h F k g, , )= (K j,λj, h j, F j,k j, g j) Thì ta có ( , )u P j j là một nghiệm của

bài toán (2.1) – (2.5) thoả mãn

[ ] [ ]

0 ( ) (0, )

2 0

0 ( ) (0, )

2

(1)

(0, ) (0, )

Từ (3.19), (3.21), (3.22) ta suy ra sau khi sử dụng bổ đề Gronwall

2 1

(1)

( ) (0, )

/

(0, ; ) (0, ; )

2

(0, ) 0(0, )

2

(0, ) (0, )

CHƯƠNG 4 KHAI TRIỂN TIỆM CẬN NGHIỆM

Trong phần này, giả sử  ( ) 2 1

u u H H thay cho (u u0, 1) và giả thiết rằng

1

( ,K K ,λ, ,h F k g, , ) thoả mãn các giả thiết (H2) (− H5)

Ta xét bài toán nhiễu sau i(Qλ), trong đó λ≥0 là tham số bé

0

,(0, ) ( ), (1, ) (1, ) 0,( )

Gọi ( , ) ( , )u P = u Pλ λ là nghiệm của bài toán i(Qλ) Khi đó ( , )v Q , với

0

( , ),(0, ) ( ), (1, ) (1, ) 0,

=

với mọi λ≥0, ( ,u P i i) là nghiệm yếu của bài toán i(Q i), i=0,1, 2, ,N

Chứng minh Nhân hai vế của (4.2 với )1 /

v và lấy tích phân theo t , ta thu được

trong đó các hằng số C C0,i0 được xác định bởi (2.30), (2.31)

Lấy tích phân từng phần theo t ở vế phải của (4.7), ta thu được

với mọi t∈[0, ]T và β >0 Chọn β >0 sao cho β ≤1/ 2, ta thu được từ (4.4), (4.12) rằng

hay

Định lý 4.2 được chứng minh hoàn tất ª

CHƯƠNG 5

KHAI TRIỂN TIỆM CẬN CỦA NGHIỆM YẾU THEO HAI THAM SỐ

Trong chương này, ta xét bài toán nhiễu i( )Pη λ, theo hai tham số bé , ,η λvới η η≤ *, 0≤ ≤λ λ* (η λ*, * là các số dương cố định)

Chương này sẽ nghiên cứu khai triển tiệm cận của bài toán i( )Pη λ, theo hai tham số bé , ,η λ tức là nghiệm có thể xấp xỉ bởi một đa thức theo hai biến , :η λ

N

γ γ γ γ

với các tham số ,η λ đủ bé, các hằng số (1*)

N

C và (2*)

N

C độc lập với các tham số , η λ

Ta dùng các ký hiệu sau Với mỗi bộ hai chỉ số 2

//

1 /

0

(0, ) ( ), (1, ) (1, ) 0,( ) ( , 0) ( , 0) 0,

Bổ đề 5.1 Biểu thức E N( )η như (5.4) được xác định

2 1

γ γ

i

2

1 (0, ; )

N

L T L N

γ = ∞

= ∑

Chứng minh của bổ đề 5.2 hoàn tất ª

Tiếp đến ta có định lý sau

Định lý 5.1 Giả sử rằng các giả thiết i(H1), (H2) (− H5) là đúng Khi đó, với mỗi

,

N T

,

N T N

độc lập với ,ηG các hàm ( , ) u Pγ γ là nghiệm yếu của bài toán i 2

( ) 2 ( ), (0, )

t N

Ta lần lượt đánh giá 2 tích phân ở vế phải của (5.18)

Chú ý rằng, do Bổ đề 5.2, ta được

/ 1

i2 2 2

0

( )

t N

(0, ) (0, )

C

β ≤ ta suy ra từ (5.20), rằng

i2 2 2 ( i2)

0 0

t N

1 (1) /

N T

N T N

KẾT LUẬN

Qua luận văn này, tác giả thực sự bắt đầu làm quen với công việc nghiên cứu khoa học một cách nghiêm túc và có hệ thống Tác giả cũng học tập được phương pháp nghiên cứu trong việc đọc tài liệu, thảo luận trong nhóm sinh hoạt học thuật Chúng tôi cũng học tập, và có dịp sử dụng các công cụ của Giải tích hàm để khảo sát sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu của bài toán biên Chẳng hạn như: phương pháp Galerkin liên hệ với các kỹ thuật đánh giá tiên nghiệm, kỹ thuật về tính compact và hội tụ yếu Trong phần này, chúng tôi cũng có dịp sử dụng định lý ánh xạ co trong việc chứng minh tồn tại nghiệm xấp xỉ Galerkin Tuy nhiên với sự hiểu biết hạn chế của bản thân, tác giả rất mong học hỏi nhiều hơn từ sự đóng góp và chỉ bảo của Quý Thầy Cô trong và ngoài hội đồng

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Nguyễn Thúc An, Nguyễn Đình Triều, Shock between absolutely solid body

and elastic bar with the elastic viscous frictional resistance at the side, J.Mech

NCSR, Vietnam, XIII (2) (1991), 1 – 7

[2] Nguyễn Thúc An, Nguyễn Đăng Tộ, Nguyễn Tiến Triển, Shock between

absolutely solid body and elastic bar with frictional resistance at the side Proceedings

of the fifth National Conference on Mechanics, Vol III, (1993), 3 – 7

[3] H Brézis, Analyse fonctionnelle Théorie et Applications, Masson Paris, 1983

[4] Maitine Bergounioux, Nguyễn Thành Long, Alain Phạm Ngọc Định,

Mathematical model for a shock problem involving a linear viscoelastic bar,

Nonlinear Anal 43 (2001), 547 – 561

[5] J L Lions, Quelques méthodes de résolution des problèmes aux limites

nonlinéaires, Dunod-Gauthier-Villars, Paris, 1969

[6] Nguyễn Thành Long, Alain Phạm Ngọc Định, A similinear wave equation

associated with a linear differential equation with Cauchy data, Nonlinear Anal

24 (1995), 1261 – 1279

[7] Nguyễn Thành Long, Trần Minh Thuyết, A semilinear wave equation

associated with a nonlinear integral equation, Demonstratio Math 36 (2003),

No.4, 915 – 938

[8] Nguyễn Thành Long, Bùi Tiến Dũng, A nonlinear wave equation associated

with a nonlinear integral equation involving boundary value, Electronic J Diff

Equ, Vol 2004 (2004), No 103, 21pp

[9] Nguyễn Thành Long, Lê Văn Út, Nguyễn Thị Thảo Trúc, On a shock problem

involving a linear viscoelastic bar, Nonlinear Anal 63, No 2(2005), 198 – 224

[10] Nguyễn Thành Long, Alain Phạm Ngọc Định, Trần Ngọc Diễm, On a shock

problem involving a linear viscoelastic bar, Bound Value Probl 2005, No

3(2005), 337 – 358