TÌM CÁC CÔNG THỨC CỦA ĐIỂM TIẾP XÚC CỦA SÓNG RAYLEIGH TRONG TẤM VỚI CÁC ĐIỀU KIỆN BIÊN KHÁC NHAU KHI TẤM ĐƯỢC LÀM TỪ VẬT LIỆU TRỰC HƯỚNG (LUẬN VĂN THẠC SĨ)

TÌM CÁC CÔNG THỨC CỦA ĐIỂM TIẾP XÚC CỦA SÓNG RAYLEIGH TRONG TẤM VỚI CÁC ĐIỀU KIỆN BIÊN KHÁC NHAU KHI TẤM ĐƯỢC LÀM TỪ VẬT LIỆU TRỰC HƯỚNG (LUẬN VĂN THẠC SĨ)TÌM CÁC CÔNG THỨC CỦA ĐIỂM TIẾP XÚC CỦA SÓNG RAYLEIGH TRONG TẤM VỚI CÁC ĐIỀU KIỆN BIÊN KHÁC NHAU KHI TẤM ĐƯỢC LÀM TỪ VẬT LIỆU TRỰC HƯỚNG (LUẬN VĂN THẠC SĨ)TÌM CÁC CÔNG THỨC CỦA ĐIỂM TIẾP XÚC CỦA SÓNG RAYLEIGH TRONG TẤM VỚI CÁC ĐIỀU KIỆN BIÊN KHÁC NHAU KHI TẤM ĐƯỢC LÀM TỪ VẬT LIỆU TRỰC HƯỚNG (LUẬN VĂN THẠC SĨ)TÌM CÁC CÔNG THỨC CỦA ĐIỂM TIẾP XÚC CỦA SÓNG RAYLEIGH TRONG TẤM VỚI CÁC ĐIỀU KIỆN BIÊN KHÁC NHAU KHI TẤM ĐƯỢC LÀM TỪ VẬT LIỆU TRỰC HƯỚNG (LUẬN VĂN THẠC SĨ)TÌM CÁC CÔNG THỨC CỦA ĐIỂM TIẾP XÚC CỦA SÓNG RAYLEIGH TRONG TẤM VỚI CÁC ĐIỀU KIỆN BIÊN KHÁC NHAU KHI TẤM ĐƯỢC LÀM TỪ VẬT LIỆU TRỰC HƯỚNG (LUẬN VĂN THẠC SĨ)TÌM CÁC CÔNG THỨC CỦA ĐIỂM TIẾP XÚC CỦA SÓNG RAYLEIGH TRONG TẤM VỚI CÁC ĐIỀU KIỆN BIÊN KHÁC NHAU KHI TẤM ĐƯỢC LÀM TỪ VẬT LIỆU TRỰC HƯỚNG (LUẬN VĂN THẠC SĨ)TÌM CÁC CÔNG THỨC CỦA ĐIỂM TIẾP XÚC CỦA SÓNG RAYLEIGH TRONG TẤM VỚI CÁC ĐIỀU KIỆN BIÊN KHÁC NHAU KHI TẤM ĐƯỢC LÀM TỪ VẬT LIỆU TRỰC HƯỚNG (LUẬN VĂN THẠC SĨ)

QU N ƢỜ - D Ã TÌM CÁC CƠNG THỨC CỦ TRONG TẤM VỚ Á U ƢƠ ỂM TIẾP XÚC CỦA SÓNG RAYLEIGH ỀU KIỆN BIÊN KHÁC NHAU KHI TẤM ƢỢC LÀM TỪ VẬT LIỆU TR UẬ i - 2015 ƢỚNG LỜI CẢM Ơ Lời đầu tiên, em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới thầy giáo hướng dẫn TS Trần Thanh Tuấn, người giao đề tài quan tâm, tận tình hướng dẫn emtrong suốt trình thực luận văn Em xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành tới nhóm Seminar mơn ơhọc PGS TS Phạm hí Vĩnh chủ trì, tồn thể thầy giáo khoaToán - - Tin học, trường ại học Khoa Học Tự Nhiên - ại Học Quốc Gia Hà Nội đãdạy bảo, cung cấp kiến thức bổ ích cho em suốt trình học tập nghiên cứu khoa Em xin cảm ơn thầy, cô giáo, cán Phòng Sau đại học, Trường ại học Khoa học Tự nhiên - ại Học QuốcGia Hà Nội tạo điều kiện thuận lợi trình thực luận văn Nhân dịp này, em cảm ơn gia đình, bạn bè ln động viên, tạo điều kiệncho em suốt trình học tập thực luận văn Hà Nội, ngày tháng năm 2015 Học viên Doãn hu ƣơng Lời mở đầu Phương trình tán sắc sóng mặt Rayleigh mơ hình khác thường dẫn phương trình siêu việt dạng ẩn phụ thuộc vào hai biến vận tốc truyền sóng tần số sóng với tham số vật liệu mơ hình Trong việc giải số tìm nghiệm phương trình tán sắc này, tần số sóng thường cho trước vận tốc truyền sóng tìm phương pháp số khác Nói chung, với giá trị tần số sóng, có nhiều nghiệm vận tốc nghiệm vận tốc ứng với mode truyền sóng khác sóng mặt Rayleigh Khi nghiệm vận tốc truyền sóng tìm với giá trị khác tần số sóng tranh miêu tả phụ thuộc chúng gọi đường cong phổ mode truyền sóng Thơng thường đường cong phổ nằm xen kẽ Tuy nhiên số trường hợp đặc biệt giá trị tham số mơ hình, tồn cặp đường cong (ứng với mode khác nhau) tiến gần “tiếp xúc” với ác điểm tiếp xúc điểm thuộc hai mode khác tốn truyền sóng Rayleigh chúng điểm tương ứng với nghiệm bội phương trình tán sắc Có nhiều thuật ngữ tiếng nh cho điểm đặc biệt “osculation points” hay “avoided crossing points” luận văn sử dụng thuật ngữ “điểm tiếp xúc” Những điểm tiếp xúc khơng xuất tốn truyền sóng Rayleigh mà cịn xuất nhiều tốn thuộc lĩnh vực khác vật lý lượng tử, vật lý chất rắn, học, với nhiều thuật ngữ khác (xem Kausel cộng sự, 2015, với tài liệu tham khảo báo) Nói chung điểm tiếp xúc nghiệm bội toán giá trị riêng tương ứng với lĩnh vực trên, chúng có số tính chất đặc biệt Trong lĩnh vực địa chấn, cụ thể phương pháp tỷ số H/V-là phương pháp liên quan đến sóng mặt Rayleigh, tính chất đặc biệt đường cong tỷ số /V phát điểm tiếp xúc ó điểm tiếp xúc, đường cong có điểm cực đại chuyển thành điểm khơng (xem Trần Thanh Tuấn, 2009) Do điểm cực đại điểm không hai điểm quan trọng phương pháp tỷ số /V nên điểm tiếp xúc tập đường cong phổ vận tốc sóng mặt Rayleigh cần nghiên cứu Trong lĩnh vực địa chấn, điểm tiếp xúc quan sát thấy từ lâu (ví dụ Sezawa Kanai, 1935) cơng trình nghiên cứu lý thuyết điểm cịn Theo Kausel cộng (2015) nói điểm tiếp xúc lĩnh vực địa chấn đề cập rõ ràng sách Levshin (1973) sau đề cập nhắc đến số cơng trình Forbriger (2006) Liu cộng (2009) Gần đây, số kết giải tích điểm tiếp xúc sóng Rayleigh đàn hồi, cụ thể công thức xác định điểm tiếp xúc, công bố Trần Thanh Tuấn (2009) bổ sung Kausel cộng (2015) Tuy nhiên công thức tìm cho trường hợp đàn hồi đẳng hướng Nội dung luận văn cao học tìm cơng thức điểm tiếp xúc sóng Rayleigh với điều kiện biên khác làm từ vật liệu trực hướng ơn nữa, tính chất trơn phổ đường cong vận tốc điểm tiếp xúc khảo sát Luận văn phần mở đầu kết luận có chương Nội dung chương tìm phương trình tán sắc sóng Rayleigh truyền trong trường hợp có hai biên tự trường hợp có biên tự biên ngàm hương khảo sát phương trình tán sắc tìm để tìm cơng thức xác định điểm tiếp xúc khảo sát tính trơn phổ đường cong vận tốc điểm tiếp xúc hương trình bày kết nhận trường hợp đẳng hướng minh họa vài kết ví dụ số hƣơng 1: Phƣơng trình tán sắc sóng mặt Rayleigh truyền đ n hồi trực hƣớng hương sử dụng phương pháp truyền thống để tìm phương trình tán sắc sóng mặt Rayleigh truyền trực hướng ầu tiên, phương trình trạng thái phương trình chuyển động trình bày lại theo sách chuyên khảo Sau đó, tùy vào điều kiện biên tấm, phương trình tán sắc sóng Rayleigh thiết lập ác phương trình tán sắc sử dụng việc nghiên cứu điểm tiếp xúc chương 1.1 ác phƣơng trình truyền sóng Xét tốn trực hướng có độ dày h thông số vật liệu c11 , c12 , c22 , c66 Sóng mặt Rayleigh truyền mặt phẳng theo trục 0x1 trùng với hướng tắt dần theo trục 0x2 vng góc với mặt phẳng Trục Ox1 nằm đáy có phương trình x2  mặt có phương trình x2  h Do tốn truyền sóng Rayleigh biến dạng phẳng nên trường chuyển dịch có dạng ui  ui ( x1, x2 , t ), (i  1,2), u3 ( x1, x2 , t )  0, (1.1) t thời gian Mối liên hệ ứng suất chuyển dịch cho (ví dụ xem Ting, 1996)  11  c11u1,1  c12u2,2  22  c12u1,1  c22u2,2 (1.2)  12  c66 (u1,2  u2,1 ) dấu phẩy đạo hàm theo biến không gian Trong trường hợp không xét đến trọng lực phương trình chuyển động sóng Rayleigh có dạng  11,1   12,2   u1 ,  12,1   22,2   u2 (1.3) Giả sử sóng lan truyềntheo phương 0x1 với vận tốc c số sóng k , hàm chuyển dịch biểu diễn dạng ui  Ui  x2  eik ( x1 ct ) , (i  1,2) (1.4) Thay dạng hàm chuyển dịch vào phương trình chuyển động (1.3) sau sử dụng phương trình trạng thái (1.2), ta thu hệ phương trình vi phân chuyển động U i ( x2 ) Giải hệ ta có nghiệm tổng quát hàm chuyển dịch có dạng (xem Phạm hí Vĩnh Ogden, 2004) u1  B1ekb1x2  B2e kb1x2  B3e kb3 x2  B4e  kb3 x2 u2  1B1ekb1x2  1B2e kb1x2   B3e kb3 x2   B4e  kb3 x2 (1.5) Bi (i  1, 4) số tích phân b1 , b3 nghiệm phương trình c22c66b4  (c12  c66 )2  c22 ( X  c11 )  c66 ( X  c66 )  b2  (c11  X )(c66  X )  (1.6) với X   c Chú ý phương trình trùng phương b nói chung có bốn nghiệm phức b1 b3 b12 b32 thực phức b1 , b3 chúng Nghĩa là, trường hợp bi2 (i  1,3) phức, bi chọn số phức có phần thực dương Nếu bi2 số thực dương, bi số thực dương bi2 số thực âm, bi số ảo có phần ảo dương Trong phương trình(1.5), ta ký hiệu  k  ik  (U / U1 )k (1.7) với k  bk (c12  c66 ) c11  X  c66bk2  , (k  1,3) c22bk2  c66  X (c12  c66 )bk (1.8) Sử dụng đại lượng không thứ nguyên e1  c11 c c X , e2  22 , e3  12 , x  c66 c66 c66 c66 (1.9) phương trình (1.6) có dạng e2b4  (e3  1)2  e2 ( x  e1 )  ( x  1)  b2  (e1  x)(1  x)  (1.8) có dạng (1.10) bk (e3  1) e1  x  bk2 k   , (k  1, 2) e2bk   x (e3  1)bk (1.11) Theo công thức Viet ta có: S ( x)  b12  b32   (e3  1)  e2 ( x  e1 )  ( x  1) , e2 (e  x)(1  x) P( x)  b  b  e2 (1.12) Các số hạng công thức hàm chuyển dịch (1.5) tương ứng với bốn thành phần sóng gồm hai sóng lên hai sóng xuống sóng qP qSV Phương trình tán sắc để xác định vận tốc truyền sóng c phụ thuộc vào tần số xác định từ điều kiện biên Trong phần chương này, hai trường hợp biên xem xét ó trường hợp có hai mặt biên tự trường hợp có mặt tự mặt bị ngàm 1.2 rƣờng hợp có hai mặt tự Từ điều kiện tự ứng suất mặt mặt ta có  12 (0)   22 (0)   12 (h)   22 (h)  (1.13) Sử dụng công thức chuyển dịch (1.5) ứng suất (1.2) vào điều kiện biên thu hệ phương trình đại số số tích phân B1 , B2 , B3 , B4 dạng ma trận sau: M1  [B1 , B2 , B3 , B4 ]T  (1.14) ma trận M1 có dạng  b1  1  e2b11  e3 M1     b1  1  e b1   b1  e2b11  e3  e   b1  1  e2b11  e3   b1  1  e  b1  e2b11  e3  e b1 b3  3 e2b3 3  e3  b3  3  e b3  e2b33  e3  e b3   b3  3    e2b3 3  e3  (1.15)   b3  3  e  b3    e2b3 3  e3  e b3  với   kh ể hệ phương trình có nghiệm khơng tầm thường định thức tương ứng ma trận phải Từ ta thu phương trình tán sắc sóng mặt Rayleigh sau B02  B0 cosh( b1 )cosh( b3 )  sinh( b1 )sinh( b3 )  B0 B0 (1.16) B0  b3 ( Se2  2e3  x)(1  x)  e2 xb12  B0  b1 ( Se2  2e3  x)(1  x)  e2 xb32  (1.17) với S biểu diễn (1.12) Khi biểu diễn thông qua tham số tấm, phương trình tán sắc (1.16) có dạng cosh( b1 )cosh( b3 )  B sinh( b1 ) sinh( b3 ) 1 b1 b3 (1.18) với ( Se2  2e3  x)2 (1  x)2 S  e22 x PS  4e2 x(Se2  2e3  x)(1  x) P B ( Se2  2e3  x)2 (1  x)2  e22 x P  e2 xS (Se2  2e3  x)(1  x) (1.19) P S cho phương trình (1.12) 1.3 rƣờng hợp có mặt tự do, mặt dƣới bị ngàm Từ điều kiện tự ứng suất mặt điều kiện ngàm mặt ta có  12 (h)   22 (h)  0, u1 (0)  u2 (0)  (1.20) Tương tự trường hợp hai biên tự do, sử dụng công thức chuyển dịch(1.5) ứng suất(1.2) vào điều kiện biên thu hệ phương trình đại số số tích phân B1 , B2 , B3 , B4 dạng ma trận sau: M2  [B1 , B2 , B3 , B4 ]T  (1.21) ma trận M có dạng    1 M2     b1  1  e b1   b1  e2b11  e3  e 1   b1  1  e  b  e2b11  e3  e b 1  3  b3  3  e b3  e2b33  e3  e b3   3  (1.22)   b3  3  e  b3   e2b3 3  e3  e b3  Khi phương trình tán sắc sóng mặt Rayleigh trường hợp có đáy ngàm có dạng A cosh( b1 )cosh( b3 )  C sinh( b1 )sinh( b3 )  (1.23) ta sử dụng ký hiệu A02  A0 C02  C0 A ,C  A0 A0 2C0 C0 (1.24) Với A0  b32e2  e3  x, C0  b3  b12e2  e3  e3 x  , A0  b e  e3  x, C0  b1  b e  e3  e3 x  2 (1.25) Khi biểu diễn thông qua tham số vật liệu tấm, phương trình tán sắc (1.23) có dạng A cosh( b1 )cosh( b3 )  C sinh( b1 ) sinh( b3 ) 1 b1 b3 (1.26) với A A e22 ( S  P)  2e2 (e3  x) S  2(e3  x) 2 e22 P  e2 S (e3  x)  (e3  x)  e PS  e (1  x) S  4e2e3 (1  x) P C  Cb1b3  2 e2 P  e2e3 (1  x) S  e32 (1  x)  (1.27) P S biểu diễn (1.12) Chú ý rằng, biểu diễn dạng (1.26), vế trái phương trình tán sắc ln ln có giá trị thực hƣơng ác công thức xác định điểm tiếp xúc Phương trình tán sắc (1.16) (1.23) sóng Rayleigh truyền phương trình dạng ẩn để xác định vận tốc hàm tần số Về nguyên tắc, để xác định điểm tiếp xúc ta cần tìm giá trị tần số cho phương trình có nghiệm kép ầu tiên, phương trình tán sắc (1.16) (1.23) tách thành hai phương trình biểu diễn mode đối xứng phản đối xứng (theo thuật ngữ dùng báo Tolstoy Usdin, 1953) phép đổi biến 2.1 rƣờng hợp có hai mặt tự ặt t1  tanh(  b1 ) t3  tanh(  b3 ) (2.1) Ta có đẳng thức liên hệ hàm lượng giác sau  t32 2t  t12 2t cosh( b1 )  , cosh( b3 )  , sinh( b1 )  , sinh( b3 )  (2.2) 2  t1  t3  t1  t3 Thay biểu thức vào phương trình tán sắc (1.16) ta có 4t1t3  t12  t32 B 1 2  t1  t3 (1  t12 )(1  t32 ) (2.3) ta ký hiệu B  B0 B B0 B0 (2.4) Từ(2.3)ta có (1  t12 )(1  t32 )  Bt1t3  (1  t12 )(1  t32 )  t12 (1  t32 )  (1  t32 )   Bt1t3  (1  t32 )  (1  t32 )    t12  (2 Bt3 )t1  t32  ây phương trình bậc hai biến t1 hai nghiệm phương trình 10 (2.5) Chú ý   ( a1 , xa1 )  , e3  ta có xa  xa Do từ (2.64) (2.65) ta có    , xa1  iều dẫn đến    (  a1 , xa1 )  (2.68) Thay    a1 vào phương trình (2.63) ta có          M ( x) t32  a , x  1  4t32  a , x 1   e2 P( x) e2    a1 , x  x  xa1 (2.69) Từ suy     x   a1 , xa1  sign x  xa1   t32  a , xa  1  4t32  a , xa 1 1   e2 P( xa1 ) M ( xa1 ) e2  (2.70) với  e  1 , P( xa )   e2  1 M ( xa1 )  xa1 (2.71) Trong trường hợp này, thay e3  x  xa1 vào biểu thức đạo hàm hàm A( x) C ( x) ta có A( xa1 )  1, C ( xa1 )  1, Ax ( xa1 )  Cx ( xa1 )  Do từ phương trình (2.62) ta có Fx  S1    t1 (1  t32 )    t3  x  t1 (1  t32 )  =  t t  x x   t3  x  2  t t  t3  x x (2.72)  2 t3 (t1t3  1) x   2t3  t1t3  x   S1  t1t3 (S1 )   Tương tự ta có: F  S1    2t3  t1t3    S1  Xét tập hợp nghiệm S phƣơng trình(2.54) Trong trường hợp tập nghiệm này, vận tốc truyền sóng 22 (2.73) e1e2  e32 xa2  , e2  e32 (2.74) t32 (S2 )  t32 ( a2 , xa2 )  1 (2.75) ta có Tương tự phần ta có    (  a2 , xa2 )  lim  ( , xa2 )   a2   a  lim xa2  xa1 t32 ( , xa2 )    a (e2  1)   a2 M ( xa2 ) (2.76) Từ phương trình (2.75), biểu thức không xác định điểm ( a2 , xa2 ) có dạng 0 / 0 Tại lân cận ( a , xa ) ta có khai triển Taylor hàm t32 ( , x) theo hai biến có dạng 2 t32 ( , x)  1   t32  ( a2 , xa2 )( x  xa2 )   t32  (   a2 )   x  (2.77)   t ( , xa2 )   (t ) ( a2 , xa2 ) (   a2 )  o    a2 3  Ta có  t   S     2  b3   b3   b3         (2.78)  t3 1  t  b3  2t3b3 ( xa2 ,  a2 ) Ở ta sử dụng kết phương trình (2.75) Từ suy    ể tính    ( x a2  2t3  S2  b3  S2  xa2  xa1 ( a2 , xa2 )  sign(   a2 ) e2  , xa2 ) , ta sử dụng công thức    ( x a2 , xa2 )  lim x  xa2 M ( xa2 )  ( a2 , x) x  xa2 (2.79) với  ( a2 , x)  x  xa2 ( x  xa1 )2 t3 ( a2 , x)  1 4t32 ( a2 , x)  M ( x) (2.80) (e2  1) (e2  e32 ) e22 P( x) xx  a2  xác định từ (2.63) (2.64).Tại lân cận ( a2 , xa2 ) , từ khai triển Taylor (2.77)ta có 23 t32 ( a2 , x)    t32  ( a2 , xa2 )( x  xa2 )  o( x  xa2 ) (2.81) x với t  x ( a2 , xa2 )  2t3 ( a2 , xa2 ) a2  b3  x ( xa2 ) (2.82) Do   ( xa2  xa1 )2  ( a2 , xa2 )  sign( x  xa2 ) P( xa2 e 2 e32  2 e (e2  1)2 x  e  1 )  t32  ( S2 )   M ( xa2 ) (2.83) x   (e  e ) e P ( x ) a2 M ( xa2 )  e2 1  e1   4e3 e3  e1e2  1  e3  12 ể tính toán đạo hàm riêng hàm F ( , x) lân cận nghiệm S ta có A( xa2 )  e3 (2e2  e3  e32 )  e1e2 (e3  1) ; C ( xa2 )  1, 2e3 (e2  e32 ) (2.84) (e  e )(1  e3 ) A ( xa2 )  ; C ' ( xa2 )  2e3 ' Thay giá trị vào phương trình (2.62) ta nhận x  S2   t1 (1  t32 )  2t3  x  S2  , (2.85)   S2   t1 (1  t32 )  2t3   S2  (2.86) Fx (S2 )  A( xa2 ) t1 (1  t32 )  F (S2 )  A( xa2 ) t1 (1  t32 )  Tính chất đạo hàm vận tốc truyền sóng tần số điểm tiếp xúc ối với hai tập nghiệm điểm tiếp xúc S1 , S2 ta có   x ( , xai )  sign( x  xai ) R( , xai ) 24 (2.87)     ( , xai )  sign(   ) Q( , xai ), i  1,3  (2.88) đó, hàm R( , xai ) Q( , xai ) ứng với tập nghiệm cho phương trình (2.70) (2.79), (2.83) Như vậy, ta thấy đạo hàm riêng hàm  ( , x) không liên tục điểm tiếp xúc hàm sign( x  xa ) sign(   a ) gián đoạn điểm iều làm cho đạo hàm toàn phần vận tốc truyền sóng tần số bị gián đoạn Tuy nhiên, thấy đạo hàm riêng bên trái hàm    ( , x) đạo hàm riêng bên phải hàm   ( , x) Và từ công thức (2.59) (2.60), ta thấy điểm tiếp xúc, đạo hàm toàn phần bên trái đường cong vận tốc tần số mode đối xứng đạo hàm toàn phần bên phải mode phản đối xứng ngược lại vg  d dc ck dk dk (2.89) vận tốc nhóm đặc trưng cho vận tốc truyền lượng mode Chính vậy, điểm tiếp xúc, nhánh mode đối xứng phải nối cách trơn với nhánh khác mode phản đối xứng Nếu điều không xảy ra, vận tốc truyền lượng bị gián đoạn điểm tiếp xúc ối với điểm tiếp xúc thuộc trường hợp 3, điểm tiếp xúc loại này, tính trơn đường cong vận tốc chưa xác định Bước đầu biết lim  2 t3 t31  ( , x)  T ( , x) t32  t322 lim   2 2 2 t3 t31 t  t t3  t31 31 (2.90)   Do đạo hàm đường cong vận tốc tần số ban đầu có dạng   có   thể xác định công cụ giải tích tốt hơn, ví dụ sử dụng định lý L’ ospital 25 26 hƣơng rƣờng hợp đẳng hƣớng ví dụ minh họa số Trong trường hợp đẳng hướng, hệ số vật liệu vô hướng (1.9) có dạng (Phạm hí Vĩnh Nguyễn Thị Khánh Linh, 2012) e1  e2  1/  , e3  1/   với   (3.1) 2 đặc trưng cho số vật liệu đẳng hướng   vận 2 tốc sóng dọc ngang tấm, nghiệm b1 , b3 phương trình đặc trưng (1.10) có dạng b1    x , b3   x (3.2) 3.1 Tấm có hai biên tự Xét phương trình tán sắc trường hợp tự (1.16), trường hợp đẳng hướng ta có B ( x  2)  16( x)( x  1) 8( x  2)  x   x (3.3) Khi đó, phương trình (1.16) đưa dạng phương trình tán sắc lớp đẳng hướng tự trình bày khóa luận tốt nghiệp Doãn Thu ương (2011) Khi phương trình tán sắc (1.16) biểu diễn tách thành hai nhánh đối xứng phản đối xứng phương trình (2.6), ta có t1 t  B  B   B0  B02  t3 t3 (3.4) ta nhận phương trình mode đối xứng phản đối xứng sau tan(  x  1 / 2) x 1  x 1  ( x  2)2 tan( x  1 / 2) (3.5) tan(  x  1 / 2) ( x  2)2  tan( x  1 / 2) x 1  x 1 (3.6) 27 ác phương trình trình bày nhiều sách chuyên khảo ví dụ Achenback (1973) Trong trường hợp có hai biên tự do,do điều kiện để tồn điểm tiếp xúc phức tạp nên ta xét trường hợp đẳng hướng có tham số vật liệu e1  e2  2.5, e3  0.5 ây trường hợp hệ số    /   0.4 Theo Phạm hí Vĩnh Ogden (2004), mơi trường đẳng hướng, để phương trình Rayleigh có nhiều nghiệm thực hệ số  phải thỏa mãn   0.3215 Giá trị   0.4 ví dụ minh họa thỏa mãn điều kiện Với giá trị tham số trên, phương trình Rayleigh có nghiệm thực Nghiệm nhỏ xR  0.8194 , hai nghiệm lại x1  2.5068 x2  4.6738 Nghiệm xR vận tốc truyền sóng Rayleigh bán khơng gian làm vật liệu Hai nghiệm lại vận tốc truyền sóng Rayleigh điểm tiếp xúc Hình 1: ác đường cong contour phổ vận tốc sóng Rayleigh tự điểm tiếp xúc Trong vùng tần số vận tốc khảo sát hình vẽ, quan sát điểm tiếp xúc điểm đánh dấu hình vng điểm tiếp xúc có vận tốc x1 bốn điểm đánh dấu tròn điểm tiếp xúc có vận tốc x2 Tần số điểm tiếp xúc xác định từ phương trình (2.13) Bốn tần số tương ứng với điểm tiếp xúc hình trịn   2.2052 ,4.4105,6.6157,8.8210 , hai tần số ứng với điểm hình vng   4.9093 ,9.8186 28 3.2 rƣờng hợp có mặt tự do, mặt đáy ng m Trong trường họp bị ngàm đáy,thay thông số vật liệu đẳng hướng (3.1) vào phương trình (1.25) ta có x2  4x  (4  1) x  x(  2)  A C   4( x  2) 4( x  2)  x   x (3.7) Thay biểu thức hàm A( x) C ( x) vào phương trình tán sắc trường hợp ngàm (1.23) ta dễ dàng nhận lại phương trình tán sắc sóng Rayleigh mơ hình lớp có đáy bị ngàm trình bày phương trình (2.14) luận án tiến sỹ Trần Thanh Tuấn (2009) ối với lớp nghiệm thứ điểm tiếp xúc S1 (2.38), e3  nên   1/ Do đó, từ cơng thức (2.28) ta có xa1   ca1  2 (3.8)  ký hiệu vận tốc sóng ngang truyền lớp Tần số điểm tiếp xúc có dạng (từ phương trình (2.38)) a   (  m ) (m  0,1, 2, ) 2 (3.9) Do   kh   a  2 f a1 h ca1  f a1 : f a1 h   ca1 3 (  m)  (  m)  2 (3.10) \ Kết trùng với kết nhận Trần Thanh Tuấn (2009) (xem phương trình 4.11) ối với lớp nghiệm S , trường hợp đẳng hướng ta có xa2  e1e2  e32 4  e2  e3 4  29 (3.11) Từ điều kiện xa2  ta có điều kiện tham số vật liệu lớp để tồn lớp nghiệm điểm tiếp xúc   1/ Kết nhận Trần Thanh Tuấn (2009) Kausel cộng (2015) Tần số điểm tiếp xúc S xác định từ phương trình (2.54) có dạng a  4   p  (  2q ) 4  , p  1, 2, , q  0,1, 2, 2(1   ) (3.12) Các ràng buộc R2 từ phương trình (2.55)của số vật liệu lớp trường hợp  2p  2(q  p) (3.13) với điều kiện 1/    1/ với ý p  q  dẫn đến q 1   pq (3.14) Chú ý rằng, trường hợp đẳng hướng, phương trình xác định tần số điểm tiếp xúc (2.48) đưa hai phương trình (4.12) (4.13) Trần Thanh Tuấn (2009) Về mặt cơng thức tìm luận văn điểm tiếp xúc (2.51) gọn so với công thức (4.15) (4.16) Trần Thanh Tuấn (2009), mặt tốn học cơng thức tương đương với Trong Trần Thanh Tuấn (2009), phương trình (2.48), thay lấy tổ hợp tổng hiệu phương trình, phương trình chia cho 3.3 Ví dụ minh họa số tập nghiệm điểm tiếp xúc S1 , S2 ể khảo sát số tập nghiệm S1 phương trình (2.38) ta chọn tham số có giá trị thỏa mãn e1  5, e2  4, e3  30 Hình 2: ác đường cong tán sắc với điểm tiếp xúc S1 ác đường contour bao gồm các mode đối xứng phản đối xứng Bốn đường tròn nhỏ biểu thị cho bốn điểm tiếp xúc thuộc lớp nghiệm S1 tính tốn từ phương trình (2.38) ta có xa1  19 / 3; ea1  1.2483 , 3.7450 , 6.2417 , 8.7384 (3.15) ể minh họa số tập nghiệm S ta chọn tham số phương trình ràng buộc R2 thỏa mãn p  q  Khi từ điều kiện ràng buộc (2.55) ta có 4e2e3 (e1  1)  (4e2  e32 )(e3  1) (3.16) Có nhiều tập giá trị e1 , e2 , e3 thỏa mãn đẳng thức với điều kiện thêm e1 , e2 , e3  0, e1e2  e32  0, e2  e32  (3.17) ác điều kiện xuất phát từ điều kiện lượng biến dạng xác định dương vật liệu điều kiện xa2  Giả sử ta chọn e1  2, e2  10, e3  Khi từ cơng thức (2.54) ta có vận tốc truyền sóng điểm tiếp xúc xa2  / tần số  a2  minh họa Hình vẽ 3a 31   15 /   6.0837 Các kết Nếu ta chọn tham số khác có giá trị e1  36 / 27, e2  5, e3  Ta có xa2  /  a  15 / 8  4.3018 Các kết minh họa Hình vẽ 3b Trong ví dụ minh họa ta chọn hệ số p q cơng thức (2.55) có giá trị p  1, q  Khi đó, tham số vật liệu phải thỏa mãn điều kiện sau để tồn lớp nghiệm điểm tiếp xúc S 4e2e3 (e1  1) 21  2 (4e2  e3 )(e3  1) 25 (a) (3.18) (b) Hình 3: ác điểm tiếp xúc thuộc nhóm nghiệm S với p  q  Giả sử ta chọn hai giá trị tham số e1  611/ 44, e2  1, e3  1/ e1  1411/ 88, e2  2, e3  1/ Cả hai giá trị cho vận tốc điểm tiếp xúc (theo công thức (2.54)) xa2  18.1818 Và số thứ cho tần số (thay q  thay p  1)  a2  2.4559 số thứ hai cho tần số  a2  3.4732 Các kết minh họa hình vẽ 32 (a) (b) Hình 4: ác điểm tiếp xúc thuộc nhóm nghiệm S với p  1, q  Một số kết số điểm tiếp xúc thuộc tập nghiệm S thường xảy mode bậc cao Kết quan trong địa vật lý nói chung thiết bị đo đạc đo tín hiệu mode mang phần lớn lượng sóng mặt Rayleigh 33 Kết luận Luận văn khảo sát tốn truyền sóng mặt Rayleigh trực hướng chịu hai điều kiện biên khác Phương trình tán sắc sóng Rayleigh trường hợp điều kiện biên nhận phương pháp truyền thống ác phương trình tán sắc sử dụng để khảo sát điểm tiếp xúc sóng mặt Rayleigh trường hợp Các kết đạt luận văn là: - - - Nhận phương trình tán sắc sóng mặt Rayleigh truyền trực hướng hai trường hợp điều kiện biên: có hai mặt tự có mặt tự do, mặt ngàm Các công thức xác định điểm tiếp xúc trường hợp xác định sử dụng ý tưởng từ phương pháp lý thuyết tia Tolstoy Usdin (1953) ã khảo sát đạo hàm đường cong phổ vận tốc sóng mặt Rayleigh điểm tiếp xúc Kết điểm tiếp xúc, đường cong phổ vận tốc tính trơn ạo hàm chúng điểm không liên tục Tuy nhiên, đạo hàm trái đường cong phổ vận tốc điểm tiếp xúc mode đối xứng với đạo hàm phải tương ứng mode phản đối xứng Tương tự vậy, đạo hàm phải đường cong phổ vận tốc điểm tiếp xúc mode đối xứng với đạo hàm trái tương ứng mode phản đối xứng Trong trường hợp đẳng hướng, kết nhận luận văn đưa kết nhận tác giả khác ã khảo sát số số trường hợp nghiệm điểm tiếp xúc Các kết đạt luận văn có ý nghĩa khoa học 34 Tài liệu tham khảo Doãn Thu ương (2011) , “Sóng Rayleigh Lam truyền mơi trường môi trường không theo phương z” Khóa luận tốt nghiệp ngành học, Trường Khoa ọc Tự Nhiên Achenbach, J D "Waves in elastic solids." Nord Holland, Amsterdam (1973) Forbriger, Thomas "Einige Gedanken zu: Oskulationen von Dispersionskurven, Entartung und Hybridisierung von Moden." (2006) Kausel, Eduardo, Peter Malischewsky, and João Barbosa "Osculations of spectral lines in a layered medium." Wave Motion 56 (2015): 22-42 Levshin, A L "Surface and channel seismic waves." Nauka, Moscow (1973) Liu, Xue‐Feng, You‐Hua Fan, and Xiao‐Fei Chen "Research on the Cross of the Dispersion Curves of Rayleigh Waves and Multi‐ModesCoupling Phenomenon." Chinese Journal of Geophysics 52.5 (2009): 994-1002 Sezawa, Katsutada, and Kiyoshi Kanai "Discontinuity in Dispersion Curves of RayleighWaves." Proceedings of the Imperial Academy 11.1 (1935): 13-14 Ting.T.C.T (1996) Anisotropic Elasticity: Theory and Applications, Oxford Unversity Press NewYork Tolstoy, Ivan, and Eugene Usdin "Dispersive properties of stratified elastic and liquid media: A ray theory." Geophysics 18.4 (1953): 844-870 Tran Thanh Tuan "The ellipticity (H/V-ratio) of Rayleigh surface waves." PhD diss., 2009 Vinh, Pham Chi, and Nguyen Thi Khanh Linh "An approximate secular equation of Rayleigh waves propagating in an orthotropic elastic half-space coated by a thin orthotropic elastic layer." Wave motion 49.7 (2012): 681-689 Vinh, Pham Chi, and R W Ogden "On formulas for the Rayleigh wave speed."Wave Motion 39.3 (2004): 191-197 Vinh, Pham Chi, and R W Ogden "Formulas for the Rayleigh wave speed in orthotropic elastic solids." Archives of Mechanics 56.3 (2004): 247-265 35 Các cơng trình khoa học cơng bố Trần Thanh Tuấn, Peter Malischewsky, Dỗn Thu ương (2013) Tính chất tỷ số H/V điểm osculation mơ hình lớp có đáy bị ngàm Tuyển tập Hội nghị Khoa học toàn quốc Cơ học Vật rắn biến dạng lần thứ XI Thành phố Hồ Chí Minh, 79/11/2013, p.1275-1282 \ 36 ... dung luận văn cao học tìm cơng thức điểm tiếp xúc sóng Rayleigh với điều kiện biên khác làm từ vật liệu trực hướng ơn nữa, tính chất trơn phổ đường cong vận tốc điểm tiếp xúc khảo sát Luận văn phần... tốc truyền sóng Rayleigh bán khơng gian làm vật liệu Hai nghiệm lại vận tốc truyền sóng Rayleigh điểm tiếp xúc Hình 1: ác đường cong contour phổ vận tốc sóng Rayleigh tự điểm tiếp xúc Trong vùng... ác điều kiện xuất phát từ điều kiện lượng biến dạng xác định dương vật liệu điều kiện xa2  Giả sử ta chọn e1  2, e2  10, e3  Khi từ cơng thức (2.54) ta có vận tốc truyền sóng điểm tiếp xúc