Luận văn thạc sỹ toán học: nghiên cứu thuật giải lặp và khai triển tiệm cận nghiệm của hệ phương trình phi tuyến

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC CẦN THƠ NGUYỄN HỮU CHƯỜNG NGHIÊN CỨU THUẬT GIẢI LẶP VÀ KHAI TRIỂN TIỆM CẬN NGHIỆM CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH HÀM PHI TUYẾN LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán Giải Tích Mã số: 60. 46. 01 THÀNH PHỐ CẦN THƠ 2005 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC CẦN THƠ NGHIÊN CỨU THUẬT GIẢI LẶP VÀ KHAI TRIỂN TIỆM CẬN NGHIỆM CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH HÀM PHI TUYẾN Luận văn Thạc sỹ Toán học Chuyên ngành: Toán Giải Tích Mã số: 60. 46. 01 Người hướng dẫn: TS. Nguyễn Văn Nhân Đại học Kinh Tế Tp. Hồ Chí Minh Học viên cao học: Nguyễn Hữu Chường THÀNH PHỐ CẦN THƠ 2005 Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Cần Thơ Người hướng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Văn Nhân Khoa Thống kê- Toán, Đại học Kinh Tế Tp. Hồ Chí Minh Người nhận xét 1: PGS. TS. Đặng Đức Trọng Khoa Toán - tin học, Đại học Khoa Học Tự Nhiên Tp. Hồ Chí Minh Người nhận xét 2: PGS. TS. Đinh Ngọc Thanh Khoa Toán - tin học, Đại học Khoa Học Tự Nhiên Tp. Hồ Chí Minh Học viên cao học: Nguyễn Hữu Chường Luận văn sẽ được bảo vệ tại Hội Đồng chấm luận án tại Trường Đại học Cần Thơ, vào lúc 8 giờ, ngày 26 tháng 11 năm 2005 Có thể tìm hiểu luận văn tại Phòng Sau Đại học, thư viện Trường Đại học Cần Thơ THÀNH PHỐ CẦN THƠ 2005 MỤC LỤC Chương 1: Phần tổng quan trang 01 Chương 2: Các công cụ chuẩn bò trang 05 Chương 3: Sự tồn tại và duy nhất nghiệm trang 07 Chương 4: Thuật giải lặp cấp hai trang 12 Chương 5: Khai triển tiệm cận nghiệm theo tham số bé trang 20 Chương 6: Ví dụ về một hệ phương trình hàm cụ thể trang 28 Phần kết luận trang 38 Tài liệu tham khảo trang 40 LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, xin trân trọng cảm ơn Thầy hướng dẫn tôi là Tiến sỹ Nguyễn Văn Nhân, Thầy đã tận tình giúp đỡ tôi trong quá trình học tập cũng như trong quá trính hoàn thành luận văn. Xin trân trọng cảm ơn PGS. TS. Đặng Đức Trọng, PGS. TS. Đinh Ngọc Thanh, TS. Nguyễn Thành Long, TS. Nguyễn Công Tâm đã đọc qua luận văn và cho những nhận xét quý báu. Xin trân trọng cảm ơn các Thầy, Cô thuộc khoa Toán – Tin học Trường Đại học Khoa học Tự Nhiên Thành Phố Hồ Chí Minh đã tận tình giảng dạy cho tôi trong thời gian học tập. Xin trân trọng cảm ơn Phòng quản lý khoa học – Đào tạo sau đại học Trường Đại học Cần Thơ, Ban Giám Hiệu Trường THPT Bán Công Thạnh An đã động viên và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn tất chương trình học. Xin chân thành cảm ơn bạn bè đồng nghiệp, các bạn học lớp Cao học khoá 10 đã luôn động viên và nhiệt tình giúp đỡ tôi trong quá trính học tập. Nguyễn Hữu Chường 1 Chương 1 TỔNG QUAN Trong luận văn này, chúng tôi nghiên cứu hệ phương trình hàm sau đây: () () ()() () () () ∑∑∑∑ ==== ++Φ= m k n j iijkjijk m k ijkj n j ijki xgxSfbxRfaxf 1111 , ε (1.1) ,, ,; n i x 1=Ω∈∀ trong đó [ ] b a , = Ω hoặc Ω là một khoảng không bò chận của ijkijk b a I R ,, là các hằng số thực cho trước; Ω →Ω→ Ω :,,: ijkijki S R I R g và ijkijk b a I R I R ,,: →Φ là các hàm số liên tục cho trước thoả một số điều kiện nào đó mà ta sẽ chỉ rõ sau đó. Các hàm I R f i → Ω : là các ẩn hàm, ε là một tham số bé. Trong trường hợp riêng ( ) ,, ijkijk SRyy ==Φ 2 hệ (1.1) được nghiên cứu bởi các tác giả Long, Diễm [6]; Vân [11]. Trong [12], các tác giả Wu, Xuan và Zhu đã nghiên cứu hệ (1.1) sau đây ứng với [] ijkijk S v à a n m b b 02 = ==−=Ω ,,, là nhò thức bậc nhất. () ( ) ( ) ()() () ( ) ( ) ()() ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ +++ +++= +++ +++= , , xgcxbfa cxbfacxbfaxf xgcxbfa c x b f a c x b f a x f 22323223 222222221211212 11313113 121221211111111 (1.2) với mọi [] ,, b b x −=Ω∈ trong đó, các hằng số b c b a ijijij ,,, cho trước thoả các điều kiện: ,max,max, , 1 1 1 3 1 < ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − ≥< ∑ = j ij i ij ij ji ij a b c bb (1.3) các hàm số 21 g g , liên tục cho trước và 21 f f , là các ẩn hàm. Nghiệm của hệ (1.2) lúc này cũng được xấp xỉ bởi một dãy quy nạp hội tụ đều và ổn đònh đối với các i g . Trong [9], các tác giả Nghóa, Khôi đã xét hệ phương trình hàm cụ thể sau đây để làm kiểm tra một thuật toán số. 2 () () () () ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ++ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ++ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ++ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ++ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ++ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = , , xg x f x f x f x fxf xg x f x f x f x fxf 22 2112 12 2111 4 3 4200 1 2100 1 3 1 2200 1 4100 1 4 1 3100 1 4 1 4100 1 2 1 3200 1 2100 1 (1.4) [] ,,11−∈∀ x trong đó 21 g g , được chọn sao cho hệ (1.4) có nghiệm chính xác biết trước. Trong [3], các tác giả Long, Nghóa, Ruy, Khôi đã nghiên cứu một trường hợp riêng của (1.1) với 0 = ijk a và [ ] b b , − = Ω hay Ω là khoảng không bò chận của IR. Bằng cách sử dụng đònh lý điểm bất động Banach, các tác giả trong [2] đã thu được kết quả về sự tồn tại, duy nhất và tính ổn đònh nghiệm của hệ (1.1) đối với các hàm i g . Trong trường hợp 0 = ijk a và ijk S là các nhò thức bậc nhất, ( ) nr IRCg ,Ω∈ và [] b b ,−=Ω các tác giả trong [3] đã thu được một khai triển Maclaurin của nghiệm của hệ (1.1) cho đến cấp r. Hơn nữa, nếu i g là các đa thức bậc r, thì nghiệm của hệ (1.1) cũng là đa thức bậc r. Sau đó, nếu i g là các hàm liên tục, nghiệm f của (1.1) được xấp xỉ bởi một dãy các đa thức hội tụ đều. Sau đó, các kết quả trên đây đã được nới rộng bởi các tác giả Long, Nghóa [4] cho miền p IR ⊂Ω nhiều chiều và ijk S là các hàm affine. Hơn nữa, trong [3] cũng tìm được một điều kiện đủ để cho một thuật giải cấp hai là hội tụ [3]. Một số kết quả liên quan đến khai triển tiệm cận của nghiệm cho hệ (1.1) theo một tham số bé ε cũng được xem xét trong bài báo của Long, Diễm [6]. Gần đây, Long, Danh và Khôi [5] đã nghiên cứu hệ phương trình tích phân – hàm 3 () () () ( ) [] ∑ ∫ = + −∈=+ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ++= 2 1 0 21 j i x jijijijjiji bbxixgdttfcxbfaxf ijij .,,,, γβ α (1.7) Sau đó Danh, Dung và Long [1] đã xét hệ () () () ( ) , ∑∑ ∫ == + + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ++= m k n j i x jijkijkijkjijki xgdttfcxbfaxf ijkijk 11 0 γβ α (1.8) [] ,,, ,,, b b x n i −=Ω∈= 21 trong đó I R g i → Ω : là các hàm liên tục cho trước, R c b a ijkijkijkijkijkijk ∈ γ β α ,,,,, là các hằng số thực cho trước thoả thêm một số điều kiện phụ. Các tác giả trong [1, 5, 7] đã thiết lập nghiệm () n f f f , 1 = bởi một dãy các đa thức hội tụ đều. Luận văn này được trình bày trong 6 chương, phần kết luận và cuối cùng là phần tài liệu tham khảo. Trong chương 1, là phần tổng quan về hệ phương trình hàm, một số kết quả đã có trước đó và nội dung cần trình bày trong các chương của luận văn. Trong chương 2, chúng tôi tóm tắt công cụ chủ yếu để sử dụng cho các chương sau. Trong chương 3, dựa vào đònh lý điểm bất động Banach, chúng tôi chứng minh sự tồn tại, duy nhất nghiệm của hệ (1.1). Trong chương 4, chúng tôi nghiên cứu một điều kiện đủ để thu được thuật giải lặp hội tụ cấp hai cho hệ (1.1). Điều này cho phép gia tăng tốc độ hội tụ của thuật giải lặp so với thuật giải xấp xỉ liên tiếp của ánh xạ co. Trong chương 5, chúng tôi nghiên cứu hệ phương trình hàm (1.1) bò nhiễu bởi một tham số bé . ε Chúng tôi thu được trong chương này một khai triển tiệm cận nghiệm của hệ (1.1) đến cấp N +1 theo ε thu được, với ε đủ nhỏ theo nghóa [] () ∑ = + += N r Nrr Off 0 1 εε ε tức là 4 () [] () ∑∑ = + = Ω∈ ≤− n i N r i N r r i x Cxfxf 1 1 0 εε sup trong đó C là một hằng số độc lập với . ε Trong chương 6, chúng tôi nghiên cứu một số ví dụ hệ phương trình hàm cụ thể với thuộc dạng (1.1) ứng với [ ] () ,,,,,, 21121 ≥=Φ−=Ω== pyynm p ở đó chúng tôi sẽ khảo sát một thuật giải hội tụ cấp hai và chỉ ra các thành phần trong khai triển tiệm cận đến cấp hai cho hệ. Phần kết luận nêu lên một số kết quả thu được trong luận văn và một số chú ý kèm theo. Cuối cùng là phần tài liệu tham khảo. 5 Chương 2 CÁC CÔNG CỤ CHUẨN BỊ Trong chương này chúng tôi giới thiệu qua về các ký hiệu, các không gian hàm và một số công cụ cần dùng trong luận văn. 2.1. Các ký hiệu Ta ký hiệu [] b a ,=Ω hay Ω là khoảng không bò chặn trong . I R Với [] b a ,=Ω ta ký hiệu ( ) n IRCX ;Ω= là không gian Banach của các hàm số () n n IRfff →Ω= : ,, 1 liên tục trên Ω đối với chuẩn () .sup ∑ = Ω∈ = n i i x X xff 1 (2.1) Khi Ω là khoảng không bò chặn, ta ký hiệu ( ) n b IRCX ;Ω= là không gian Banach của các hàm số n IRf →Ω: liên tục, bò chận trên Ω đối với chuẩn (2.1). Tương tự, với số nguyên không âm m, ta đặt ( ) () ( ) ( ) ( ) { } .,,;:; ,,; nimkIRCfIRCfffIRC k i n n nm ≤≤≤≤Ω∈Ω∈==Ω 10 1 Với Ω là khoảng không bò chặn, ta ký hiệu ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { } nimkIRCfIRCfffIRC b k i n bn nm b ≤≤≤≤Ω∈Ω∈==Ω 10 1 ,,;:; ,,; Mặt khác, ( ) ( ) nm b nm IRCvàIRC ;; ΩΩ cũng là các không gian Banach đối với chuẩn () () .supmax ∑ = Ω∈ ≤≤ = n i k i x mk m xff 1 1 (2.2) 2.2. Đònh lý điểm bất động Banach Đònh lý sau đây được dùng nhiều trong các chương sau. Đònh lý 2.1. (Đònh lý điểm bất động Banach) Cho X là không gian Banach với chuẩn X K ⊂⋅ , là tập đóng. Cho K K T →: là ánh xạ sao cho tồn tại số thực 10 <≤ σ σ , sao cho .,, KgfgfTgTf ∈∀−≤− σ (2.3) Khi đó ta có [...]... r = 0,1, , N là các nghiệm của các hệ (5.1) − (5.5), lần lượt 27 Chương 6 MỘT SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH HÀM CỤ THỂ Trong phần này chúng tôi xem xét qua một số ví dụ dựa trên một số phương trình hàm cụ thể Qua đó chúng tôi xét sự hội tụ của dãy lặp cấp hai liên kết với hệ phương trình hàm này Vẫn trong phần này chúng tôi cũng tính toán một số khai triển tiệm cận đến một cấp cho trứơc của nghiệm theo một tham... đó cũng là một thuật giải hội tụ cấp 1 Trong phần này chúng ta nghiên cứu một thuật giải cấp hai cho hệ (1.1) Một số điều kiện phụ liên quan đến hệ (1.1) ta sẽ đặt sau 4.1 Thuật giải lặp cấp hai Xét hệ phương trình hàm m n m n fi ( x ) = ε ∑∑ aijk Φ ( f j (Rijk (x ))) + ∑∑ bijk f j (Sijk (x )) + gi ( x ), k =1 j =1 k =1 j =1 (1.1) ∀x ∈ Ω; i = 1, , n Ta giả sử rằng Φ ∈ C 1 (IR; IR) Dựa vào xấp xỉ sau... về nghiệm f của (1.1) và ta có một đánh giá sai số f − z(η ) X ≤ z(0 ) − Tz(0 ) X × ση , ∀η = 1, 2, 1−σ (4.32) với σ= 2ε M [aijk ] 1 − [bijk ] (4.33) < 1 Từ (4.32), (4.33), ta chọn η 0 ∈ N đủ lớn sao cho: β M f − z(η 0 ) X ≤ β M z(0 ) − Tz(0 ) X × ση < 1 1−σ 0 (4.34) Vậy ta chọn bước lặp ban đầu f (0 ) = z(η ) 0 19 Chương 5 KHAI TRIỂN TIỆM CẬN CỦA NGHIỆM Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu hệ phương. .. sau đây cho một kết quả về khai triển tiệm cận của nghiệm theo ε Đònh lý 5.1 Giả sử (H1 ) − (H 6 ) đúng Khi đó, tồn tại một hằng số ε 1 > 0 sao cho, với mỗi ε , với ε ≤ ε 1 , hệ (3.2) có duy nhất một nghiệm fε ∈ K M thỏa một đánh giá tiệm cận đến cấp N + 1 như sau: N fε − ∑ ε r f [r ] r =0 (1 ≤ 2 L−1 C N ) ε N +1 , (5.21) X các hàm f [r ] , r = 0,1, , N là các nghiệm của các hệ (5.1) – (5.5) lần lượt... f (v−1) , v = 1,2, Chứng minh đònh lý 2.1 có thể tìm thấy trong nhiều cuốn sách về nhập môn giải tích 6 Chương 3 SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM Trong chương này, dựa vào đònh lý điểm bất động Banach, chúng ta chứng minh sự tồn tại, duy nhất nghiệm của hệ (1.1) Ta viết hệ (1.1) theo dạng của một phương trình toán tử trong X ≡ C (Ω; IR n ) (hoặc trong X = C b (Ω; IR n )) như sau (3.1) f = ε Af + Bf +... aijk ∈ R và g = (g1 , , gn ) ∈ X cho trước, giả thiết [bijk ] < 1 dẫn đến sự tồn tại của hai số dương ε 0 , M thoả các giả thiết (H 4 ) và (H 5 ), lần lượt Khi đó, ta có kết quả sau: Đònh lý 5.2 Giả sử (H1 ) − (H 3 ) và (H6) đúng Cho trước aijk ∈ IR Khi đó, tồn tại hai hằng số M > 0, ε 1 > 0, sao cho, với mỗi ε với ε ≤ ε 1 , hệ (3.2) có duy nhất một 26 nghiệm fε ∈ K M có một khai triển tiệm cận đến... = z(η ) 0 19 Chương 5 KHAI TRIỂN TIỆM CẬN CỦA NGHIỆM Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu hệ phương trình hàm (1.1) bò nhiễu bởi một tham số bé ε Với các giả thiết trên các hàm Sijk , g và các số thực aijk , bijk , ε 0 , M chúng tôi sẽ chứng minh rằng nghiệm của hệ (1.1) có một khai triển tiệm cận đến cấp N + 1 theo ε thu được, với ε đủ nhỏ theo nghóa N fε = ∑ ε r f [r ] + O(ε N +1 ) r =0 tức là... fε trong X khi v → + ∞ (3.7) 10 và f với (v ) σ= − fε X ≤ f (0 ) − Tf (0 ) ε 0 C1 (M ) [aijk ] 1 − [bijk ] 1−σ X σ v , ∀v = 1, 2, , (3.8) < 1 Chú thích 3.2 Trong trường hợp riêng Φ(y) = y 2 , Rijk = Sijk , hệ (1.1) được chứng minh tồn tại và duy nhất nghiệm bởi các tác giả Long, Diễm [6]; Vân [11] 11 Chương 4 THUẬT GIẢI LẶP CẤP HAI Trong đònh lý 3.1 đã cho một thuật giải xấp xỉ liên tiếp (3.6), theo... đúng Cho aijk ∈ IR Khi đó, tồn tại hai hằng số M > 0 và ε , sao cho: (i) Với f (0 ) ∈ K M cho trứơc, dãy {f (v) } xác đònh bởi hệ (4.3) – (4.5) là dãy lặp cấp hai Chính xác hơn, ta có f (v ) − f X , ∀v = 1, 2, (4.22) , M2 = sup Φ // (y) , (4.23) ≤ β M f (v−1) − f 2 X trong đó ε βM = 2 M2 [aijk ] 1 − [bijk ] − ε M1 [aijk ] γ ≤M và f là nghiệm của hệ (1.1) (ii) Nếu f (0 ) được chọn đủ gần f sao cho β... x, Sij (x) = sij x, gi (x) thoả các giả thiết (H1 ), (H 2 ) Nghiệm chính xác của hệ (6.1) là fi ( x) = x i , i = 1, 2 (6.4) Như trong chương 4, dựa vào xấp xỉ sau đây: p f j(v ) ≅ f j(v−1) p = p f j(v−1) + p f j(v−1) p−2 p−2 f j(v−1) ( f j(v ) − f j(v−1) ) p f j(v−1) f j(v ) − ( p − 1) f j(v−1) , (6.5) ta cụ thể lại thuật giải cấp hai cho hệ (6.1) như sau: fi (v ) (x ) = ε ∑ aij ⎡ p f j(v−1) (rij ( . = ==== ∑∑ ∑∑ ∑∑ ∑∑∑ ∑∑∑ ∑∑∑ ∑ ∑∑∑∑ α α α α 11 1 11 1 11 1 111 1 111 1 111 1 111 1 (4.12) Do đó () () () [] () () .supmax X v X v ijk v ijk x n i m k nj X v gfbxf + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +≤ Ω∈ == ≤≤ ∑∑ α 11 1 (4.13) Mặt khác,. = ≤≤ === === === == +≤ +≤ +≤ += 11 1 11 1 11 1 1 11 1 1 111 111 111 11 α α α α () () [] . ~ supmax X v x n i m k ijk v ijk x nj hffbx −= ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ += ∑∑ == Ω∈ ≤≤ αα 11 1 14 Vậy ( )() ( )() ∑ = Ω∈ −≤−≤− n i X v i v i v x X vv hfxhTxfThTfT 1 α sup . ) ()() ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ +++ +++= +++ +++= , , xgcxbfa cxbfacxbfaxf xgcxbfa c x b f a c x b f a x f 22323223 222222221 2112 12 113 1 3113 121221 2111 1111 1 (1.2) với mọi [] ,, b b x −=Ω∈ trong đó, các hằng số b c b a ijijij ,,, cho