Đang tải... (xem toàn văn)
Luận văn dùng thuật ngữ Phương pháp tọa độ để chỉ cách nghiên cứu hình học bằng phương pháp giải tích hoặc phương pháp vectơ - tọa độ, trình bày các khái niệm của lý thuyết Didactic mà chúng tôi dựa vào để phân tích quan hệ của thể chế (dạy học hình học ở lớp 12) đối với phương pháp vectơ và phương pháp tọa độ. Để biết rõ hơn về nội dung chi tiết, mời các bạn cùng tham khảo.
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH —oOo— VÕ HỒNG NGHIÊN CỨU DIDACTIC TOÁN VỀ MỐI LIÊN HỆ GIỮA "PHƢƠNG PHÁP VECTƠ" VÀ "PHƢƠNG PHÁP TỌA ĐỘ" TRONG DẠY HỌC HÌNH HỌC Ở LỚP 12 Chuyên ngành :LÍ LUẬN VÀ PHƢƠNG PHÁP DẠY HỌC MƠN TỐN Mã số :60.14.10 Ngƣời hƣớng dẫn khoa học : TS LÊ THỊ HOÀI CHÂU TP HỒ CHÍ MINH - 2002 Lời Cảm Ơn Trước hết, cho tơi bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến Cơ LÊ THỊ HỒI CHÂU, khoa Tốn - Tin học Trường Đại học Sư Phạm TP Hồ Chí Minh Cơ người bỏ nhiều công sức thời gian để dìu dắt, hướng dẫn tơi suốt q trình thực luận văn Tơi xin cảm ơn Phịng KHCN.SĐH Trường Đại học Sư Phạm TP Hồ Chí Minh tạo điều kiện cho tơi hồn thành chương trình thủ tục bảo vệ luận văn Cho gửi lời cảm ơn đến Bà : CLAUDE COMITI, ANNIE BESSOT, Thầy LÊ VĂN TIẾN, Thầy ĐOÀN HỮU HẢI nhiệt tình giảng dạy góp ý giúp tơi hồn thành luận văn Tơi xin cảm ơn anh, chị, em bạn lớp Didactic khóa 11 động viên giúp đỡ tơi q trình làm luận văn Đặc biệt, cho gửi lời cảm ơn đến anh HỒNG HỮU VINH, em TƠ THỊ THANH HÀ, người thân yêu động viên, giúp đỡ đến kết cuối MỤC LỤC Chƣơng I - NHỮNG VẤN ĐỀ ĐẶT RA I Mở đầu - hệ câu hỏi xuất phát II Khung lý thuyết tham chiếu : Quan hệ thể chế: Tổ chức toán học : (Praxéologie mathématique) III Phƣơng pháp nghiên cứu cấu trúc luận văn Nghiên cứu quan hệ thể chế Nghiên cứu thực nghiệm CHƢƠNG II - NGHIÊN CỨU CHƢƠNG TRÌNH VÀ SÁCH GIÁO KHOA TỪ QUAN ĐIỂM CỦA LÝ THUYẾT NHÂN CHỦNG HỌC 10 Mở đầu 10 I Phân tích chƣơng trình học PTTH 11 I.1 Chƣơng trình hình học PTTH năm 1989 11 I.2 Chƣơng trình hình học PTTH chỉnh lí hợp năm 1999 13 II Vectơ với tƣ cách cơng cụ SGK hình học 10 15 II.1 Cơng cụ vectơ với việc trình bày nội dung Hình học giảng dạy lớp 10 16 II.2 Các tổ chức toán học liên quan đến phƣơng pháp vectơ phƣơng pháp tọa độ Hình học 10 : 19 III Phƣơng pháp Vectơ phƣơng pháp tọa độ hình học 12 24 III.1.Phân tích lý thuyết: Mối liên hệ phƣơng pháp vectơ phƣơng pháp tọa độ 24 III.1.1.Chƣơng I: Phƣơng pháp tọa độ mặt phẳng 25 III.1.2 Chƣơng II: Phƣơng pháp tọa độ không gian 29 III.2 Phân tích phần tập hình học lớp 12 32 III.2.1 Các kiểu nhiệm vụ nhằm vận dụng trực tiếp công thức, định nghĩa : 34 III.2.2 Các kiểu nhiệm vụ sử dụng phƣơng pháp vectơ, phƣơng pháp tọa độ để giải toán 38 CHƢƠNG III : NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM 49 Mở đầu 49 I Hai toán thực nghiệm : 50 Đề bài: 50 Các kiến thức liên quan : 50 Các biến Didactic ; 51 II / Phân tích A PRIORI tốn 52 A Bài toán 52 B Bài toán : 56 III./ Phân tích A POSTERIORI 60 A Bài toán : 60 B Bài toán : 61 KẾT LUẬN 63 TÀI LIỆU THAM KHẢO 65 Chƣơng I : Những vấn đề đặt Võ Hoàng Chƣơng I - NHỮNG VẤN ĐỀ ĐẶT RA I Mở đầu - hệ câu hỏi xuất phát Hình học sơ cấp có đối tƣợng nghiên cứu hình hình học Ngƣời ta tiếp cận Hình học sơ cấp ba phƣơng pháp khác : phƣơng pháp tổng hợp, phƣơng pháp vectơ phƣơng pháp tọa độ Phƣơng pháp tổng hợp phƣơng pháp nghiên cứu hình học sở hệ tiên đề Ở hình hình học đƣợc mơ tả, biểu diễn hình vẽ Hình vẽ có vai trị quan trọng điểm tựa trực giác cho q trình tìm tịi thực lời giải toán Thế nhƣng, nhiều tình huống, hình vẽ khơng thể biểu diễn tất trƣờng hợp hình hình học lời giải tốn cồng kềnh, ngƣời ta phải xét nhiều hình vẽ khác Phƣơng pháp giải tích : "Với phương pháp này, thông qua trung gian hệ tọa độ, người ta thay đối tượng hình học quan hệ hình học đối tượng đại số quan hệ đại số Nói cách khác, người ta dịch tính chất hình học thành biểu thức phương trình đại số, chuyển tốn hình học thành toán đại số làm việc túy lĩnh vực đại số Ở đây, tính tốn đại số hạt nhân lời giải toán " (Lê Thị Hoài Châu, 1997) Nhƣ phƣơng pháp tọa độ cho phép đại số hóa hình học để tận dụng kỹ thuật đại số vào nghiên cứu Hình học Phƣơng pháp vectơ phƣơng pháp giải tốn hình học cách sử dụng vectơ đây, với việc định hƣớng thực thể hình học, ngƣời ta xây dựng đƣợc phép toán đại số chúng từ đại số hóa hình học Nhƣng, khơng nhƣ phƣơng pháp giải tích, với phƣơng pháp vectơ ngƣời ta lại phạm vi Chƣơng I : Những vấn đề đặt Võ Hồng hình học, khai thác phƣơng diện trực giác tận dụng đƣợc phƣơng tiện đại số Ngoài ra, nhƣ tác giả Lê Thị Hồi Châu (1997) nói : "Vì vectơ biểu diễn qua tọa độ, nên tồn phương pháp thứ tư (lưỡng tính), mà chúng tơi gọi phương pháp vectơ - tọa độ Ở đây, người ta đặt vectơ vào hệ tọa độ, thực phép toán vectơ qua tọa độ chúng " Chúng dùng thuật ngữ "Phƣơng pháp tọa độ" để cách nghiên cứu hình học phƣơng pháp giải tích phƣơng pháp vectơ - tọa độ 'Trong lịch sử tốn, Hình học giải tích đời trƣớc xuất ý tƣởng xây dựng hệ thống tính tốn đại số nội hình học, ý tƣởng dẫn đến hình thành nên lý thuyết vectơ vào nửa sau kỷ 19 [ ] Thế nhƣng, xét mặt tốn học túy bƣớc chuyển từ hình học tổng hợp sang hình học vectơ khơng dựa vào hình học giải tích Ngƣời ta xây dựng Hình học giải tích Hình học vectơ theo cách thức hoàn toàn độc lập với Nhƣ vậy, khơng có bắt buộc phải tôn trọng trật tự niên đại dạy học : Phƣơng pháp giải tích khơng phải cầu buộc phải qua để chuyển từ phƣơng pháp tổng hợp sang phƣơng pháp vectơ ngƣợc lại" (Lê Thị Hoài Châu, 1997, tr 113 - 116) Từ phân tích trên, tác giả Lê Thị Hoài Châu ba đƣờng theo để đƣa vào phƣơng pháp tiếp cận hình học sơ cấp Đó : * Phƣơng pháp tổng hợp → phƣơng pháp giải tích→ phƣơng pháp vectơ * Phƣơng pháp tổng hợp → phƣơng pháp vectơ → phƣơng pháp giải tích Chƣơng I : Những vấn đề đặt Võ Hoàng * Ngồi ra, nhƣ nói trên, phƣơng pháp tọa độ phƣơng pháp vectơ liên thông với qua trung gian phƣơng pháp vectơ - tọa độ Vì thế, việc dạy học hình học cịn đƣợc tiến hành theo đƣờng thứ ba : phƣơng pháp tổng hợp sau phƣơng pháp vectơ phƣơng pháp tọa độ đƣợc tiến hành song song "Mặc dù ba đƣờng dẫn đến hình học đƣợc đại số hóa, nhƣng chất chúng khác Xét phƣơng diện sƣ phạm, bắt đầu phƣơng pháp vectơ hay phƣơng pháp tọa độ tạo điều kiện khác cho việc học tập" (Lê Thị Hoài Châu, 1997) Ở Việt Nam đƣờng đƣợc lựa chọn : Phƣơng pháp tổng hợp → Phƣơng pháp vectơ → Phƣơng pháp tọa độ Vấn đề đặt lựa chọn có ảnh hƣởng đến việc học tập phƣơng pháp vectơ phƣơng pháp tọa độ Nói cách khác, lựa chọn thể chế dạy học Việt Nam tạo thuận lợi hay khó khăn cho việc học tập hình học học sinh Để trả lời cho câu hỏi trên, trƣớc hết ta phải vạch rõ mối liên hệ hai phƣơng pháp dạy học Hình học 12 sau tìm hiểu khả học sinh việc sử dụng phƣơng pháp vectơ phƣơng pháp tọa độ để giải toán Những câu hỏi ban đầu mà chúng tơi muốn tìm yếu tố cho phép trả lời là: H1: Trong thể chế dạy học hình học bậc PTTH Việt Nam, phương pháp tọa độ đưa vào ? Vectơ đóng vai trị việc xây dựng kiến thức sở cho phương pháp tọa độ ? H2: Liệu học sinh có khả huy động kiến thức phương pháp vec tơ phương pháp tọa độ để giải tốn hình học hay không ? Chƣơng I : Những vấn đề đặt Võ Hoàng Trả lời đƣợc câu hỏi này, hiểu đầy đủ ảnh hƣởng lựa chọn thể chế việc học tập hình học, từ tìm cách cải tiến hoạt động dạy học tạo điều kiện thuận lợi cho việc chiếm lĩnh phƣơng pháp vectơ phƣơng pháp tọa độ học sinh Công cụ lý thuyết Didactic giúp thực công việc đề tài số yếu tố lý thuyết nhân chủng học, "quan hệ thể chế tri thức" "tổ chức toán học" hai khái niệm quan trọng nghiên cứu Trong phần trình bày sơ lƣợc khái niệm lý thuyết Didactic mà chúng tơi dựa vào để phân tích quan hệ thể chế (dạy học hình học lớp 12) phƣơng pháp vectơ phƣơng pháp tọa độ II Khung lý thuyết tham chiếu : Quan hệ thể chế: Theo Chevallard (1989): "Một tri thức không tồn "lơ lửng" xã hội rỗng : Mọi tri thức xuất thời điểm định, xã hội định, nhƣ đƣợc cắm sâu vào nhiều thể chế" Cụ thể hơn, tri thức tri thức thể chế tri thức sống nhiều thể chế khác Để sống thể chế tri thức đƣợc nói đến phải tuân thủ theo số ràng buộc thể chế Điều kéo theo việc tri thức bị biến đổi theo thể chế, khơng, khơng tồn thể chế Chƣơng I : Những vấn đề đặt Võ Hoàng Lý thuyết nhân chủng học tri thức chủ yếu dựa ba thuật ngữ: đối tƣợng O; cá nhân X thể chế I Trong phạm vi lý thuyết này, đối tƣợng tri thức O đƣợc coi tồn cá nhân hay chế nhận biết nhƣ tồn Chính xác hơn, ngƣời ta nói đối tƣợng O tồn thể chế I nhƣ tồn quan hệ thể chế R(I, O) từ I đến O đối tƣợng O tồn cá thể X tồn quan hệ cá nhân R(X, O) từ X đến O Trong thể chế định, quan hệ thể chế tri thức gắn liền với vị trí thành tố thể chế Nếu thể chế dạy học, ngƣời ta phải xem xét đến : quan hệ thể chế thầy giáo quan hệ thể chế học sinh Quan hệ thể chế thầy giáo xác định mà thể chế đòi hỏi ngƣời thầy giáo phải thực Cũng quan hệ thể chế học sinh xác định mà thể chế đòi hỏi ngƣời học sinh thực Trong thể chế dạy học, đƣợc thua việc dạy học tri thức Ý định thể chế làm thay đổi quan hệ cá nhân học sinh với tri thức để trở nên phù hợp với quan hệ thể chế Điều dẫn đến chỗ phải thiết lập phân định, thể chế dạy học nào, thời điểm định, đối tƣợng thật đƣợc thua việc dạy học với đối tƣợng khác (đã có ích khơng cịn ích lợi nữa, hay đối tƣợng khơng đƣợc thua việc dạy học nhƣng diện đó) Theo quan điểm này, việc nghiên cứu mối quan hệ thể chế chiếm giữ vai trò quan trọng thể chế dạy học Điều Chevallard rõ : "Vấn đề trung tâm việc dạy học nghiên cứu quan hệ thể chế, điều kiện hiệu Việc nghiên cứu mối quan hệ cá nhân vấn đề mặt thực tiễn, thứ yếu mặt khoa học luận việc dạy học " (Chevallard 1989 b, 93) Luận văn Thạc sĩ - chun ngành : Didactic Tốn Võ Hồng giảng dạy nhƣ sau : Trong chƣơng trình cũ cố đặt vấn dề dừng "phƣơng pháp vectơ" để nghiên cứu hình học bên cạnh phƣơng pháp tiên đề phƣơng pháp tọa độ "Phƣơng pháp vectơ, nhƣ chứng ta biết, tỏ hiệu lực nhiều toán, liên quan đến vấn đề nhƣ: ba điểm thẳng hàng, bốn điểm đồng phẳng, hai đƣờng thẳng song song vng góc, trọng tâm tam giác, tâm tì cự hệ điểm Tuy nhiên để áp dụng phƣơng pháp cách thành thạo chuyện không đơn giản, kinh nghiệm 10 năm vừa qua cho thấy đa số học sinh khó khăn việc tiếp thu sử dụng phƣơng pháp đó" (Tài liệu hƣớng dẫn giảng dạy Toán 12 - Tr 73) II Vectơ với tƣ cách công cụ hình học 10 : II.1 Vectơ với việc trình bày nội dung hình học 10 : Ở đây, vectơ trƣớc hết đƣợc nghiên cứu nhƣ đối tƣợng dạy học Sau đó, đƣợc sử dụng nhƣ cơng cụ để xây dựng phần hình học 10 nhƣ: xây dựng tọa độ; xây dựng chứng minh số công thức, định lý ƣong phần hệ thức lƣợng (trong tam giác đƣờng tròn) nhƣ phép biến hình II.2 Các tổ chức toán học liên quan đến phƣơng pháp vectơ phƣơng pháp tọa độ hình học 10: T1: Chứng minh đẳng thức vectơ T2 : Xác định điểm thỏa mãn diều kiện cho trƣớc T3: Tính tích vô hƣớng T4 : Chúng minh hai điểm trùng T5 : Chứng minh ba đƣờng thẳng quy, đƣờng thẳng qua điểm cố định T6 : Chứng minh vng góc T7 : Viết tọa độ vectơ đƣợc biểu diễn thành tổ hợp tuyến tính hai vectơ đơn vị hai trục T8 : Tìm tọa độ vectơ T9 : Tìm tọa độ điểm T10: Chứng minh ba điểm thẳng hàng tìm tỉ số điểm chia đoạn thẳng Luận văn Thạc sĩ - chuyên ngành : Didactic Tốn Võ Hồng T11: Tính độ dài đoạn thẳng T12: Chứng minh hai vectơ vng góc T13: Tính cosin góc ƣong tam giác Trong hình học lớp 10, vectơ đƣợc vận dụng triệt để nhằm trình bày chứng minh vấn đề chƣơng hệ thức lƣợng phép biến hình Tuy nhiên phần tập, ngƣời ta lại khơng coi trọng u cầu sử dụng vectơ (cố tọa độ hay khơng có tọa độ) để giải toán Hầu hết toán nhầm vận dụng trực tiếp định nghĩa, công thức, định lý Rất tốn đƣợc phát biểu ngơn ngữ hình học mà cố thể giải đƣợc dễ dàng công cụ vectơ hay tọa độ III Phƣơng pháp vectơ phƣơng pháp tọa độ hình học 12 : III Mối liên hệ phƣơng pháp vectơ phƣơng pháp tọa độ : III 1.1 Chƣơng I: Phƣơng pháp tọa độ mặt phẳng Ở chƣơng này, trƣớc hết ngƣời ta nhắc lại số công thức định lý mà học sinh đƣợc học Hình học 10, khơng bình bày lại chứng minh Các nội dung : khái niệm trục, tọa độ vectơ điểm trục Khái niệm hệ trục tọa độ Đêcac vng góc, tọa độ vectơ, điểm hệ trục, tọa độ điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số cho trƣớc Về định nghĩa toa độ vectơ trục, sách định nghĩa dựa vào điều kiện phƣơng hai vectơ Để đƣa vào khái niệm tọa độ vectơ hệ trục, ngƣời ta dựa vào định lý phân tích vectơ theo sở i j Ngồi sách giáo khoa cịn nhắc lại cơng thức tính tọa độ điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỷ số k ≠ (xM = yM = ) biểu thức tọa độ tích vơ hƣớng ( ⃗ ⃗ = a1b1 + a2b2 với ⃗ = (a1; a2) ⃗ = (b1; b2)) Mục đích việc nhắc lại cho học sinh ôn tập kiến thức đƣợc học lớp 10 Học sinh học kiến thức từ lâu sau thời gian dài không sử dụng, nên qn Cũng mà sách giáo viên có yêu cầu "giáo viên cần chậm thực hành dụ cụ thể" Luận văn Thạc sĩ - chun ngành : Didactic Tốn Võ Hồng Trong phần dƣới tiến hành xem xét nội dung đƣợc đề cập chƣởng I phân tích cách thức đƣa vào nội dung đố a Những vấn đề liên quan đến đƣờng thẳng Ngƣời ta dựa vào kiến thức vectơ để đƣa vào vấn đề liên quan đến đƣờng thẳng nhƣ phƣơng trình tổng quát, phƣơng trình tham số Muốn phải dựa vào khái niệm vectơ phƣơng vectơ pháp tuyến đƣờng thẳng Với khái niệm đố, ta thấy điểm M thuộc đƣờng thẳng qua M0 (x0; y0) có vectơ pháp tuyến ⃗ = (A ; B) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ = Từ đẳng thức ngƣời ta thiết lập đƣợc phƣơng trình tổng quát đƣờng thẳng Cũng nhƣ thế, M thuộc đƣờng thẳng ∆ qua M0 (x0 ;y0) có vectơ ⃗ = (a ;b) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = k ⃗ , từ lập đƣợc phƣơng trình tham số phƣơng trình tắc đƣờng thẳng Vị trí tƣơng đối hai đƣờng thẳng đƣợc xét meo số nghiệm hệ phƣơng bình tuyến tính (chính phƣơng trình tổng quát dƣờng thẳng cho) Ở ngƣời ta không cần lấy vectơ vai trị trung gian Thậm chí, dựa vào định thức thành lập từ hệ số phƣơng bình ngƣời ta biết đƣợc vị trí tƣơng đối hai đƣờng thẳng Nối cách khác, ngƣời ta hoàn tồn chuyển sang phạm vi phƣơng pháp giải tích Cơng thức tính góc hai dƣờng thẳng khoảng cách từ điểm đến đƣờng thẳng lại đƣợc xây dựng nhờ vào kiến mức vectơ Chẳng hạn, để lập cơng thức tính khoảng cách từ điểm M0 (x0; y0) đến đƣờng thẳng :Ax + By + C = ngƣời ta làm nhƣ sau : Khoảng cách từ Mo đến độ dài đoạn thẳng M0H (H hình chiếu vng góc M0 lên ) Do ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ phƣơng với vectơ pháp tuyến ⃗ nên ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = t⃗ Vì vậy: Đến ta tính | t | có cơng thức để tính M0H Luận văn Thạc sĩ - chuyên ngành : Didactic Tốn Võ Hồng Việc tính gốc hai đƣờng thẳng đƣợc đƣa việc tính cosin thơng qua tích vơ hƣớng dƣới dạng tọa độ hai vectơ pháp tuyến hai vectơ phƣơng hai đƣờng thẳng b Các đƣờng bậc hai: SGK đƣa vào đƣờng bậc hai đƣờng tròn, elip, hypebol, parabol Phƣơng trình chúng đƣợc thiết lập mà khơng cần có can thiệp ' trực tiếp vectơ, ngƣời ta dựa vào cơng thức tính khoảng cách hai điểm (tất nhiên, nƣớc công thức đƣợc chứng minh nhờ vào bình phƣơng vô hƣớng vectơ) Điều đáng lƣu ý chƣơng I có nhiều vấn đề lý thuyết đƣa nhƣng cố ví dụ, có ví dụ kèm theo, : - Một ví dụ việc sử dụng phƣơng trình chùm đƣờng thẳng để viết phƣơng trình đƣờng thẳng - Một ví dụ viết phƣơng trình đƣờng phân giác gốc hợp đƣờng thẳng cắt - Một ví dụ viết phƣơng trình đƣờng conic dựa vào định nghĩa conic cách tổng quát - Một ví dụ tìm tâm, bán kính đƣờng trịn có phƣơng trình Nhƣ có hai ví dụ cho đƣờng bậc hai hai ví dụ cho phần phƣơng trình đƣờng thẳng Đối với đƣờng bậc hai, vấn đề xác định tâm, bán kính đƣờng trịn cho phƣơng trình nó, dựa vào định nghĩa đƣờng conic để viết phƣơng trình Chúng ta xem xét ví dụ phần đƣờng thẳng Ví dụ : (Hình học 12 - trang 15) : Các cạnh tam giác ABC có phương trình: AB = 2x + 3y - = 0; BC: x- 2y + = 0; CA : -3x + 4y- 1=0 Viết phương trình đường cao AH tam giác SGK đƣa lời giải nhƣ sau: Đƣờng cao AH thuộc chùm đƣờng thẳng tâm A giao điểm hai đƣờng thẳng AB CA, nên AH có phƣơng trinh: (2x+3y-5)+ (-3x+4y-l)=0 10 Luận văn Thạc sĩ - chuyên ngành : Didactic Toán Ta cần xác định ⃗ = (2 -3 ;3 ⃗⃗⃗ = hay - Võ Hồng để AH vng gốc với BC Một vectơ pháp tuyến AH + ) vectơ pháp tuyến BC ⃗⃗⃗ = (1; -2) Ta phải có ⃗ -2 (3 + )=0 -4 - 11 Ta lấy = 11; =0 = - Suy AH có phƣơng trình 34x+17y- 51=0 Ví dụ : (trang 19) Giả sử hai đƣờng tháng cắt : ∆1.:A1x + B2y + C1 = ∆2: A2x +B2y + C2 = Viết phƣơng trình phân giác góc tạo ∆và ∆' Bài giải (SGK) Điểm M (x; y) nằm phân giác khoảng cách từ M đến ∆1 đến ∆2 nhau, : Từ phƣơng trình hai đƣờng phân giác : Nhƣ vậy, phần lý thuyết chƣớng I, chủ yếu dành cho việc thiết lập phƣơng trình đƣờng thẳng đƣờng bậc hai Nhƣ ta mấy, SGK thiên việc cung cấp cho học sinh số cơng mức, cịn ví dụ vận dụng phƣơng pháp vectơ - tọa độ, phƣơng pháp giải tích đƣợc dƣa III.2 Phân tích phần tập hình học 12: III.2 Các kiểu nhiệm vụ nhằm vận dụng trực tiếp công thức, định nghĩa : T1: Tìm tọa độ vectơ, điểm (73 câu) T2 : Viết phƣơng trình đƣờng thẳng (75 câu) 11 Luận văn Thạc sĩ - chuyên ngành : Didactic Tốn Võ Hồng T3 : Viết phƣơng trình đƣờng trịn (4 câu) T4: Viết phƣơng trình tắc đƣờng conic (10 câu) T5 : Dùng định nghĩa viết phƣơng trình đƣờng conic (8 câu) T6 : Viết phƣơng trình tổng quát mặt phẳng (31 câu) T7 : Viết phƣơng trình mặt cầu (3 câu) T8: Tính góc (17 câu) III.2.2 Các kiểu nhiệm vụ sử dụng phƣơng pháp vectơ, phƣơng pháp tọa độ để giải tốn : T9 : Xét vị bí tƣơng đối hai đƣờng thẳng mặt phẳng (5 câu) T10 :Xét vị trí tƣơng đấi hai đƣờng thẳng khơng gian (12 câu) T11: Xét vị trí tƣơng đối hai mặt phảng (8 câu) T12: Xét vị trí tƣơng đối đƣờng thẳng mặt phẳng (9 câu) T13 :Xét vị trí tƣơng đối mặt phẳng mặt cầu (5 câu) T14 : Tính khoảng cách (13 câu) T15 : Tìm quỹ tích (22 câu) T16 : Xét đồng phẳng ba vectơ, chứng minh bốn điểm đồng phẳng (8 câu) T17 : Chứng minh vng góc (5 câu) TI8 : Chứng minh song song (1 câu) T19 : Chứng minh hai điểm trùng (1 câu) T20 : Chứng minh đẳng thức vectơ (6 câu) Qua việc phân tích nhận xét kiểu nhiệm vụ, rút kết luận sau đây: Thứ nhất, kiểu nhiệm vụ Hình học 12 chủ yếu tập trung vào toán giải phƣơng pháp tọa độ 12 Luận văn Thạc sĩ - chuyên ngành : Didactic Toán Võ Hồng Thứ hai, tốn sử dụng vectơ để giải Chỉ có số phần vectơ không gian Phần minh họa số kiến thức vectơ áp dụng từ mặt phẳng vào không gian mà Thứ ba, việc chọn hệ trục tọa độ để giải tốn hình học tổng hợp rít Trong chƣơng I có bài, việc chọn hệ trục để xây dựng phƣơng trình tắc ba đƣờng Conic Cịn chƣơng II có ba (SGK khơng có ví dụ) Nhƣ vậy, SGK hình học lớp 12 chủ yếu ngƣời ta sử dụng phƣơng pháp vectơ nhƣ công cụ để xây dựng phƣơng pháp giải tích thơng qua cầu nối trung gian phƣơng pháp vectơ - tọa độ Hầu hết tập đƣợc phát biểu dƣới dạng ngôn ngữ tọa độ Điều đó, cho phép chúng tơi trả lời giải thích chƣơng trình sách giáo khoa Trong tài liệu hƣớng dẫn giảng dạy Toán 12, tác giả rõ : • Chƣơng trình hình học 12 gồm phƣơng pháp tọa độ mặt phẳng phƣơng pháp tọa độ khơng gian • "Việc đại số hóa hình học (tức nghiên cứu Hình học phương pháp tọa độ) cần thiết có lợi Nó làm cho người học đỡ khó khăn nhiều Học sinh lớp 12 thấy học Hình học nhẹ nhàng lớp trước " (TL HDGD Tốn 12 - trang 71) • "[ ] Việc áp dụng vectơ đề giải tốn Hình học khơng trọng nhiều " (TL HDGD Toán 12 - trang 74) Qua việc phân tích chƣơng trình SGK cho phép làm rõ điểm mối quan hệ thể chế với đếi tƣợng phƣơng pháp vectơ phƣơng pháp tọa độ hình học PTTH (đặc biệt hình học 12) Sau điểm mối quan hệ : Phƣơng pháp vectơ bắt đầu xuất lớp 10 Ở - phƣơng pháp vectơ mặt phẳng - chúng đƣợc sử dụng để xây dựng, chứng minh số công thức, định lý phần hình học 10 Sang đến lớp 12, phƣơng pháp vectơ (trong không gian) xuất trƣớc xây dựng kiến thức sở phƣơng pháp tọa độ khơng gian Mục đích ngƣời ta đƣa kiến thức phƣơng pháp vectơ không gian để xây dựng nên phƣơng pháp tọa độ 13 Luận văn Thạc sĩ - chuyên ngành : Didactic Tốn Võ Hồng khơng gian, chúng đƣợc thể thơng qua vai trị trung gian phƣơng pháp vectơ - tọa độ Phƣơng pháp tọa độ bất đầu xuất hiện, nhƣng nhƣ phần đầu gọi đố phƣơng pháp vectơ - tọa độ Ở ngƣời ta bất đầu giới thiệu kiến thức sở cho phƣơng pháp tọa độ Phần dƣợc nghiên cứu tồn hình học 12 hình học 12, ngƣời ta nghiên cứu phƣơng pháp tọa độ cách có hệ thống đố phƣơng pháp tọa độ mặt phẳng phƣơng pháp tọa độ khơng gian Theo phân tích chúng tôi, kiến thức dƣa vào SGK kiến thức ban đầu, chủ yếu củng cế để làm tảng cho phƣơng pháp tọa độ Ở nội dung hình học 12, hầu hết kiến thức đƣợc xây dựng thơng qua bƣớc đệm phƣơng pháp vectơ - tọa độ Trong sách giáo viên phần giải thích chƣơng tình, mặt dù nói đến phƣơng pháp vectơ phƣơng pháp tọa độ nhƣng thực chất chúng đƣợc đề cập SGK Từ đƣa giả thuyết nghiên cứu đề tài * Giả thuyết nghiên cứu: "Phƣơng pháp tọa độ lân át phƣơng pháp vectơ đến mức học sinh không huy động đƣợc kiến thức vectơ để giải toán, khỉ gặp toán mà phƣơng pháp tọa độ "đắt giá " nhiêu so với phƣơng pháp vectơ" Thuật ngữ "đắt giá " đƣợc dừng với ý nghĩa là: Trong phƣơng pháp vectơ cho phép giải tốn cách ngấn gọn phƣơng pháp tọa độ địi hỏi phải cố nhiều tính tốn dài dòng 14 Luận văn Thạc sĩ - chuyên ngành : Didactic Tốn Võ Hồng 15 Luận văn Thạc sĩ - chun ngành : Didactic Tốn Võ Hồng CHƢƠNG III : NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM Mở đầu Để kiểm chứng tính chân thật giả thuyết đƣợc hình thành từ phân tích chƣơng trình sách giáo khoa theo quan điểm lý thuyết nhân chủng học, phải quay với thực tiễn dạy học Vấn đề phải xây dựng thực nghiệm cho phép kiểm chứng hay bác bỏ giả thuyết đƣợc đƣa Với thực nghiệm này, chúng tơi muốn tìm hiểu xem học sinh lớp 12 biết sử dụng phƣơng pháp vectơ phƣơng pháp tọa độ để giải toán mức độ Cụ thể hơn, xem học sinh ƣu tiên sử dụng phƣơng pháp để giải toán mức độ thành công họ Chúng cố gắng vạch ảnh hƣởng thể chế với việc học hình học học sinh lớp 12 Các tốn mà chúng tơi chọn làm thực nghiệm giải dƣợc nhiều cách khác Chúng chọn tốn ngơn ngữ phát biểu tốn khơng liên quan đến vectơ hay tọa độ, nhƣng dùng vectơ tọa độ để giải Ở đây; phƣơng pháp vectơ giải toán ngắn gọn hơn, súc tích so với phƣơng pháp tọa độ Chúng tơi xem xét học sinh có lựa chọn ƣu tiên nhƣ phƣơng pháp đứng trƣớc toán phát biểu dạng ngơn ngữ hình học tổng hợp I Hai toán thực nghiệm : Đề bài: Bài tốn 1: Cho hình thang ABCD vng A B Đáy lớn AD lần đáy BN BC nhỏ BC Trên cạnh AB lấy điểm N cho AB = AD Gọi M trung điểm đoạn thẳng ĐD Chứng minh Tằng hai đƣờng thẳng AM CN song song vđi Yêu cầu : Giải tốn cách khác Bài tốn : Cho tam giác ABC vủơng A Gọi D điểm đối xứng A qua B Trên cạnh AC lấy điểm E cho Gọi G trọng tâm tam giác ABC Chứng minh ba điểm D, G, E thẳng hàng Yêu cầu : Giải tốn ba cách khác 16 Luận văn Thạc sĩ - chuyên ngành : Didactic Toán Võ Hoàng Các kiến thức liên quan : Các biến Didactic : Bài tốn 1: a/ Cho hình thang vng khơng cho hình thang tùy ý Điều tạo điều kiện thuận lợi cho việc chọn hệ trục tọa độ Bởi vì, muốn chọn hệ trục tọa độ để giải toán phƣơng pháp tọa độ phải có yếu tố hệ trục tọa độ vng gốc b/ u cầu giải tốn ba cách khác Yêu cầu tạo lựa chọn cách giải Mục đích xem xét học sinh ƣu tiên chọn phƣơng pháp để giải toán : phƣơng pháp tổng hợp, phƣơng pháp vectơ, phƣơng pháp tọa độ ? c/ Phát biểu toán : chứng minh hai đƣờng thẳng song song xét vị trí tƣơng đối hai đƣờng thẳng Nếu đặt yêu cầu xét vị trí hai đƣờng thẳng tạo điều kiện cho học sinh dễ dàng hơn, dễ ƣu tiên cho phƣơng pháp tọa độ bình học lớp 12, học sinh gặp toán dạng Bài toán 2: a/ Cho tam giác vng, mục đích tạo điều kiện dễ dàng cho việc chọn hệ trục tọa độ để giải toán b/ Đề yêu cầu : Chứng minh ba điểm thẳng hàng, khác với việc yêu cầu chứng minh điểm thuộc đƣờng thẳng Vì trƣờng hợp thứ hai, học sinh có điều kiện nghĩ đến phƣơng pháp tọa độ trình học lớp 12 có tập dạng II Phân tích a priori tốn A Bài tốn Những chiến lƣợc Chiến lƣợc "tổng hợp " : có chiến lƣợc nhỏ Chiến lƣợc "vectơ" : có chiến lƣợc 17 Luận văn Thạc sĩ - chun ngành : Didactic Tốn Võ Hồng Chiến lƣợc "vectơ - tọa độ ": có chiến lƣợc Các chiến lƣợc "tọa độ " : có chiến lƣợc B Bài tốn Những chiến lƣợc Chiến lƣợc "tổng hợp ": có chiến lƣợc Chiến lƣợc "vectơ" : có chiến lƣợc Chiến lƣợc "vectơ - tọa độ " : có chiến lƣợc Chiến lƣợc "tọa độ " : có chiến lƣợc III Phân tích a posteriori A Bài toán 1: Bài toán dƣợc đƣa cho 89 học sinh làm thu đƣợc kết cho bảng sau: Tọa độ Vectơ - tọa độ Giải tích Chƣa Chƣa Chƣa Chƣa cho cho cho Đúng Sai cho Đúng Sai Đúng Sai Đúng Sai Số kết kết kết kết lƣợng quả 44 21 17 13 22 5 Chiến lƣợc Tổng hợp Vectơ Qua kết cho thấy : ♦ Chiến lƣợc chủ đạo mà học sinh sử dụng chiến lƣợc tổng hợp 82/136 -gần 60,2% Tuy nhiên, tỉ lệ thành công phƣơng pháp tổng hợp nửa (44 so với 38 làm sai chƣa cho kết quả) Điều cho thấy, ảnh hƣởng Hình học lớp dƣới học sinh lớn Bởi lời phát biểu tốn khơng liên quan đến vectơ nhƣ tọa độ Có 35 lời giải sử dụng phƣơng pháp tọa độ (25,7%) có 19 lời giải dùng phƣơng pháp vectơ (13,9%) Hơn tỉ lệ thành công phƣơng 18 Luận văn Thạc sĩ - chuyên ngành : Didactic Toán Võ Hoàng pháp tọa độ cao so với phƣơng pháp vectơ (71% so vđi 68%) Điều cho thấy học sinh sử dụng phƣơng pháp tọa độ dễ dẫn đến thành công so với phƣơng pháp vectơ Hơn nữa, mức độ thƣờng xuyên sử dụng phƣơng pháp tọa độ lớn so với phƣờng pháp vectơ B Bài tốn : Có 112 kết cho bảng sau: Chiến Tổng hợp lƣợc Số Đùng Sai 47 10 lƣợng Vectơ Chua cho Đúng Sai kết 39 16 18 Tọa độ Véc tơ - tọa độ Chia cho Đùng kết 29 Sai Giải tích Chua cho Đúng kết Sai Chua cho kết Qua bảng cho thấy : ♦ Phƣơng pháp giải chủ đạo phƣơng pháp tổng hợp, nhiên mức độ thành công phƣơng pháp thấp, chƣa đến 50% (47 so vđi 49) Kết tốn phát biểu dạng ngơn ngữ hình học tổng hợp mà không liên quan gi đến phƣơng pháp vectơ hay phƣơng pháp tọa độ Hơn nữa, chƣơng trình hình hoe 12 không cố tập kiểu ♦ Ở toán này, việc cố nhiều lời giải dùng phƣơng pháp vectơ nhiều so với phƣơng pháp tọa độ (63 so với 15) ảnh hƣởng đề Tuy nhiên, tỉ lệ thành cổng phƣơng pháp vectơ thấp nhiều so với phƣơng pháp tọa độ (25,4% so với 73,3%) ♦ Liên hệ vđi kiểu tốn đƣợc đƣa Sách giáo khoa Hình học 12, kiểu toán phát biểu ngổn ngữ hình học tổng hợp mà đƣợc yêu cầu giải phƣơng pháp vectơ phƣơng pháp tọa độ hầu nhƣ Do học sinh khó khăn tìm lời giải Khi học sinh đƣợc yêu cầu giải tốn ba cách khác nhau, - giải họ thấy : 19 Luận văn Thạc sĩ - chuyên ngành : Didactic Toán Võ Hồng Hầu hết giải tốn phƣơng pháp tổng hợp (cách 1), sau cách phƣơng pháp tổng hợp, không nghĩ đến đƣợc phƣơng pháp tổng hợp họ giải phƣơng pháp tọa độ Cuối họ giải toán phƣơng pháp vectơ Nhƣng sai lầm họ việc sử dụng vectơ phổ biến Tóm lại, qua phân tích lời giải hai tốn thực nghiệm cho phép chúng tơi phần vạch rõ tính thỏa đáng giả thuyết đƣa Nhƣng phân tích chƣơng tình SGK : hầu nhƣ phần lý thuyết nhƣ kiểu nhiệm vụ đƣợc đề cập SGK tập trung vào vấn đề phƣơng pháp tọa độ Hơn nữa, yêu cầu sử dụng phƣơng pháp vectơ để giải toán trọng tâm SGK Do vậy, công cụ vectơ chƣa thật sẩn sàng dƣợc sử dụng, có hiệu Thực nghiệm trên, phần đƣợc học sinh thành công sử dụng phƣơng pháp tọa độ dể giải toán Điều phần phản ánh mối quan hệ thể chế dạy học hình học trƣờng PTTH đối tƣợng phƣơng pháp tọa độ phƣơng pháp vectơ 20 Luận văn Thạc sĩ - chun ngành : Didactic Tốn Võ Hồng KẾT LUẬN Việc nghiên cứu chƣơng trình SGK từ quan điểm lý thuyết nhân chủng học cho phép khẳng định, thể chế dạy học hình học Việt Nam, phƣơng pháp vectơ phƣơng pháp tọa độ đƣợc đƣa vào giảng dạy Tuy nhiên, phƣơng pháp vectơ thƣờng xuất với vai trị cơng cụ, để xây dựng kiến thức phần lý thuyết hình học lớp 10 nhƣ kiến thức phƣơng pháp tọa độ hình học 12 Việc áp dụng phƣơng pháp vectơ vào giải toán không đƣợc coi trọng Mặt khác, nghiên cứu cho thấy đƣợc mối liên hệ phƣơng pháp vectơ phƣơng pháp tọa độ dạy học hình học ỏ lớp 12 Phƣơng pháp vectơ sở để đƣa vào phƣơng pháp giải tích thơng qua trung gian phƣơng pháp vectơ - tọa độ Nghiên cứu thực nghiệm cho phép chúng tơi khẳng định tính thỏa đáng giả thuyết đƣa Quan hệ thức mà thể chế trì tri thức cần dạy có ảnh hƣởng lớn đến hình thành quan hệ cá nhân học sinh tri thức Việc nghiên cứu chúng tơi cho phép phƣơng pháp vectơ phƣơng pháp tọa độ cần đƣợc đƣa vào mộc cách rô ràng chi tiết Đặc biệt kiểu nhiệm vụ toán học liên quan đến việc sử dụng vectơ nhƣ chọn hệ tọa độ để giải toán cần đƣợc diêm vào SGK với số lƣợng nhiều tƣờng minh Từ hƣớng nghiên cứu đƣợc mở chúng tơi thực nghiên cứu thể chế hóa giáo viên giảng dạy toán ỏ PTTH Nghiên cứu đƣợc nghiên cứu đối tƣợng giáo viên Mục đích xem xét giáo viên thực giảng dạy họ tiến hành cụ thể hóa nội dung chƣơng tình SGK mức độ nào, chúng có tác động nhƣ việc học tập học sinh phƣơng pháp vectơ phƣơng pháp tọa độ Từ xây dựng hệ thống kiến thức dạy học nhằm giúp việc giảng dạy nhƣ học tập đạt hiệu Đây kết Đồng thời bƣớc đầu bƣớc vào đƣờng nghiên cứu khoa học Didactic Toán, thân chúng tỏi thấy hạn chế định Hy vọng hƣớng nghiên cứu thực đƣợc nhiều kết tốt đẹp 21 ... GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH —oOo— VÕ HỒNG NGHIÊN CỨU DIDACTIC TOÁN VỀ MỐI LIÊN HỆ GIỮA "PHƢƠNG PHÁP VECTƠ" VÀ "PHƢƠNG PHÁP TỌA ĐỘ" TRONG DẠY HỌC HÌNH HỌC Ở LỚP 12 Chuyên... chương trình SGK hình học lớp 10 lớp 12 phương pháp tọa độ xây dựng nào? Phương pháp tọa độ có quan hệ với phương pháp vectơ ? - Liên quan đến phương pháp vectơ phương pháp tọa độ học sinh yêu cầu... pháp vectơ phƣơng pháp tọa độ lớp 10 lớp 12, xem xét ảnh hƣởng phần có lớp 10 việc học tập hình học lớp 12 Chúng tơi kiểu nhiệm vụ tốn học liên quan đến phƣơng pháp vectơ phƣơng pháp tọa độ dạy