Luận án tiến sĩ tính chính quy và dáng điệu tiệm cận nghiệm của hệ phương trình navier stokes

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM VŨ THỊ THÙY DƯƠNG TÍNH CHÍNH QUY VÀ DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN NGHIỆM CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH NAVIER-STOKES Ngành: Tốn giải tích Mã số: 946 01 02 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TSKH Nguyễn Minh Trí THÁI NGUYÊN - 2021 i LỜI CAM ĐOAN Luận án hoàn thành hướng dẫn GS.TSKH Nguyễn Minh Trí Tơi xin cam đoan kết trình bày luận án cơng trình nghiên cứu Các kết chưa cơng bố cơng trình khác Tơi xin chịu trách nhiệm lời cam đoan Thái Nguyên, ngày tháng năm 2021 Tác giả Vũ Thị Thùy Dương ii LỜI CẢM ƠN Luận án thực hoàn thành khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên hướng dẫn tận tình GS.TSKH Nguyễn Minh Trí Tác giả may mắn thầy hướng dẫn giúp tác giả làm quen với việc nghiên cứu khoa học từ tác giả học viên cao học Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn Thầy tận tình dìu dắt ln động viên, khích lệ tác giả suốt trình học tập nghiên cứu Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu Trường Đại học Sư phạm Đại học Thái Nguyên, Ban chủ nhiệm khoa Tốn, thầy phịng Giải tích, Viện Toán học tạo điều kiện tốt để giúp đỡ tác giả học tập nghiên cứu Bên cạnh đó, tác giả xin bày tỏ lịng cảm ơn tới Ban giám hiệu, khoa Khoa học mơn Tốn, trường Đại học Cơng nghiệp Quảng Ninh tạo điều kiện thuận lợi để tác giả nghiên cứu hồn thành luận án Tác giả xin gửi lời tri ân chân thành đến người anh, người thầy thứ hai, TS Đào Quang Khải, phịng Phương trình đạo hàm riêng, Viện Toán học - Viện Hàn lâm Khoa học Cơng nghệ Việt Nam nhiệt tình hướng dẫn giúp đỡ tác giả suốt trình học tập, nghiên cứu hoàn thành luận án Tác giả xin trân trọng cảm ơn quỹ NAFOSTED tài trợ cho tác giả suốt trình học nghiên cứu sinh Lời cảm ơn sau cùng, tác giả xin dành cho gia đình tác giả, người ln u thương, chia sẻ, động viên giúp đỡ tác giả vượt qua khó khăn suốt q trình học tập, nghiên cứu hoàn thành luận án Tác giả Vũ Thị Thùy Dương Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mục lục iii Danh mục ký hiệu chữ viết tắt v Mở đầu Tổng quan luận án Một số kiến thức chuẩn bị 17 1.1 Một số không gian hàm 17 1.1.1 1.1.2 Không gian hàm trơn Khơng gian hàm khả tích 17 18 1.1.3 1.1.4 Không gian hàm suy rộng Không gian Besov, không gian Triebel 19 21 1.1.5 1.1.6 Không gian Sobolev Không gian Lorentz 23 27 1.2 Một số toán tử hệ phương trình Navier-Stokes 1.2.1 Tốn tử Helmholtz-Leray 29 29 1.2.2 Toán tử Stokes 30 1.2.3 Nửa nhóm Stokes e−tA 1.3 Nghiệm hệ phương trình Navier-Stokes 32 34 iii iv Tính quy dáng điệu tiệm cận nghiệm hệ phương trình Navier-Stokes miền tổng quát 36 2.1 Tính quy nghiệm yếu cho hệ phương trình NavierStokes miền tổng quát 2.1.1 2.1.2 37 Đặt toán Các tính chất tốn tử song tuyến tính B(u, v) 37 nửa nhóm Stokes e−tA 38 Tính quy nghiệm yếu cho hệ phương trình Navier-Stokes miền tổng quát 45 2.2 Dáng điệu tiệm cận nghiệm yếu cho hệ phương trình Navier-Stokes miền tổng quát 52 2.1.3 2.2.1 2.2.2 Các tính chất tốn tử Stokes miền tổng quát Dáng điệu tiệm cận nghiệm yếu cho hệ phương 52 trình Navier-Stokes miền tổng quát 55 Kết luận chương 60 Dáng điệu tiệm cận nghiệm hệ phương trình Navier-Stokes khơng gian ba chiều 61 3.1 Một số tính chất nghiệm mạnh cho hệ phương trình NavierStokes khơng gian ba chiều 62 3.2 Dáng điệu tiệm cận nghiệm mạnh cho hệ phương trình Navier-Stokes khơng gian ba chiều 77 Kết luận chương 82 Kết luận chung đề nghị 83 Danh mục cơng trình cơng bố liên quan đến luận án 85 Tài liệu tham khảo 86 Danh mục ký hiệu N0 Tập hợp số nguyên không âm Rd Không gian Euclide thực d chiều |x| chuẩn Euclid phần tử x không gian Rd u X Chuẩn u không gian X X∗ Không gian đối ngẫu X lim u(x) Giới hạn u(x) uk → u0 {uk } hội tụ mạnh tới u0 x, y Tích vơ hướng x y ∇u(x) Gradient hàm u(x) div u(x) Div hàm u(x) ∆u(x) Laplace hàm u(x) P Λ˙ Tốn tử Helmholtz-Leray C0∞ (Ω) Khơng gian hàm trơn có div u = Ω Lp (Ω) H˙ s Khơng gian hàm khả tích bậc p Ω Toán tử giả vi phân Calderon q Không gian Sobolev Lp,r B˙ s,p Không gian Besov F˙ qs,p Không gian Triebel q Không gian Lorentz v Mở đầu Lịch sử nghiên cứu lý chọn đề tài Các phương trình đạo hàm riêng cổ điển xây dựng nghiên cứu chuyên sâu từ đầu kỷ XIX đại diện cho tảng kiến thức sóng, truyền nhiệt, thủy động lực học toán vật lý khác Việc nghiên cứu tốn thực tế thúc đẩy nhà tốn học tìm tịi áp dụng phương pháp nghiên cứu toán học túy để giải tốn phương trình đạo hàm riêng Đây đề tài lớn có liên quan mật thiết với ngành khoa học khác vật lý, học, hóa học, khoa học kỹ thuật có nhiều ứng dụng cho tốn cơng nghiệp Mặc dù lý thuyết phương trình đạo hàm riêng trải qua phát triển lớn kỷ XX cịn số tốn đến chưa thể giải quyết, chủ yếu liên quan đến tồn tồn cục, tính nghiệm, độ trơn dáng điệu tiệm cận nghiệm Một dạng phương trình đạo hàm riêng tiếng quan tâm nhà toán học phương trình Parabolic phi tuyến Nhắc đến dạng phương trình Parabolic phi tuyến, khơng thể khơng nhắc đến bảy toán thiên niên kỷ tiếng, hệ phương trình Navier-Stokes Nó phương trình mơ tả chuyển động chất lỏng, ví dụ dịng chảy đại dương, việc tạo xoáy nước nhỏ bên dịng chảy Từ quan điểm tốn học, cịn nhiều câu hỏi hệ phương trình Navier-Stokes chưa có lời giải tồn nghiệm mạnh tồn cục, tính nghiệm yếu, tính quy hay tốc độ hội tụ nghiệm không gian ba chiều Chính xác hơn, cho trước giá trị trơn thời điểm ban đầu, liệu nghiệm phương trình Navier-Stokes có tiếp tục trơn cho khoảng thời gian sau hay không? Câu hỏi đặt vào năm 1934 J Leray [56, 57] chưa có câu trả lời Vào kỷ XIX, toán tồn nghiệm xuất phát từ vật lý toán học nghiên cứu với mục đích tìm nghiệm xác cho phương trình đạo hàm riêng Tuy nhiên, tốn tồn nghiệm xác trường hợp cụ thể, ví dụ nghiệm xác phương trình Navier-Stokes tìm thấy ngoại trừ số nghiệm dừng nghiệm tốn tuyến tính Câu hỏi tính quy cho phương trình Navier-Stokes 18 tốn mở kỷ này, xem [67] Cho đến chưa có lời giải tính nghiệm ngoại trừ khoảng thời gian nhỏ người ta đặt câu hỏi liệu phương trình Navier-Stokes có thực mơ tả dịng chảy chung hay không? Tuy nhiên, họ không chứng minh chúng khơng Có thể phương pháp sử dụng chưa phù hợp hệ phương trình Navier-Stokes cần cách tiếp cận khác Tính nghiệm phương trình tảng việc nghiên cứu toán chuyển động phương trình đạo hàm riêng [19] Nếu có nhiều nghiệm thỏa mãn điều kiện ban đầu người ta nói khơng gian nghiệm q lớn Tính nghiệm khơi phục loại trừ nghiệm phi vật lý Chính xác hơn, kết không mâu thuẫn với việc nghiên cứu toán học chất lỏng việc đưa mơ hình phức tạp để nghiên cứu chuyển động chất lỏng nhớt thực cần thiết [14, 15, 31, 70] Nếu tốn tính liên quan đến khía cạnh dự đốn lý thuyết vấn đề tồn nghiệm chạm đến câu hỏi tính tự qn mơ hình vật lý liên quan đến phương trình Navier-Stokes, khơng có tồn nghiệm lý thuyết khơng có ý nghĩa Trong kỷ XX, thay cơng thức tường minh trường hợp đặc biệt, toán nghiệm phương trình Navier-Stokes nghiên cứu dạng tổng quát chúng Điều dẫn đến khái niệm nghiệm yếu Tuy nhiên, với toán nghiệm yếu, có tồn nghiệm đảm bảo Một câu hỏi liên quan mật thiết đến tính tốn học chất lỏng tính quy nghiệm Các nghiệm phương trình Navier-Stokes liệu có "bùng nổ" thời gian hữu hạn? Nghiệm khoảng thời gian ban đầu quy nhất, thời điểm T khơng cịn tính quy bị Người ta khẳng định bùng nổ nghiệm khoảng thời gian ban đầu không xảy có khả xảy chuẩn giá trị ban đầu tăng lên, bùng nổ tập hợp nhỏ với xác suất thấp Không biết câu trả lời Viện toán học Clay trao giải thưởng cho việc giải tốn Như C.L Fefferman [29] nhận xét, bùng nổ hữu hạn phương trình Euler chất lỏng lý tưởng vấn đề toán học mở đầy thách thức P Constantin [18] đề xuất việc bùng nổ thời gian hữu hạn phương trình Euler tốn vật lý quan trọng địi hỏi gradient lớn trường hợp độ nhớt không Kết tốt theo hướng phương trình Navier-Stokes độ trơn thu L Caffarelli, R Kohn L Nirenberg [10, 58] - người chứng minh số đo Hausdorff chiều tập hợp điểm kỳ dị khơng Một tốn khác liên quan đến hệ phương trình Navier-Stokes thu hút quan tâm nhà khoa học năm gần toán dáng điệu tiệm cận nghiệm thời gian dần đến vơ Bởi biết dáng điệu tiệm cận nghiệm, ta dự đoán xu phát triển hệ tương lai từ có đánh giá, điều chỉnh thích hợp Nói cách đơn giản, tóm tắt lịch sử nghiên cứu có trường hợp phương trình Navier-Stokes đặt theo nghĩa Hadamard (tồn tại, có tính ổn định nghiệm) Chẳng hạn, hệ phương trình Navier-Stokes tồn nghiệm toàn cục giá trị ban đầu ngoại lực đủ nhỏ độ trơn nghiệm tùy thuộc vào độ trơn liệu ban đầu Một số trường hợp khác liên quan đến số chiều miền xác định Nếu số chiều n = tốn trở nên dễ dàng nhiều so với số chiều n = hoàn toàn giải được, xem [59, 69] Với n = 3, kết đạt tính quy dáng điệu tiệm cận nghiệm nhiều hạn chế vấn đề mang tính thời sự, thu hút quan tâm nhà toán giới năm gần Chính lý nêu trên, chúng tơi chọn đề tài nghiên cứu cho luận án là: "Tính quy dáng điệu tiệm cận nghiệm hệ phương trình Navier-Stokes" Mục đích đối tượng nghiên cứu • Mục đích nghiên cứu: a Nghiên cứu tốn biên ban đầu cho hệ phương trình Navier-Stokes miền tổng quát với nội dung sau: - Tính quy nghiệm yếu - Dáng điệu tiệm cận nghiệm yếu b Nghiên cứu toán Cauchy cho hệ phương trình Navier-Stokes khơng gian ba chiều với nội dung sau: - Dáng điệu tiệm cận nghiệm mạnh • Đối tượng nghiên cứu: - Đối tượng nghiên cứu luận án toán biên ban đầu toán Cauchy cho hệ phương trình Navier-Stokes miền tổng qt khơng gian ba chiều Phương pháp nghiên cứu - Để nghiên cứu tính quy nghiệm yếu cho hệ phương trình NavierStokes miền tổng qt chúng tơi sử dụng lý thuyết tồn nghiệm mạnh địa phương tính nghiệm mạnh miền tổng quát số ước lượng nửa nhóm - Để nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm yếu cho hệ phương trình Navier-Stokes miền tổng quát chúng tơi sử dụng lý thuyết tính tốc độ hội tụ nghiệm mạnh miền tổng quát, định lý nhúng số ước lượng nửa nhóm - Để nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm mạnh cho hệ phương trình Navier-Stokes khơng gian ba chiều sử dụng định lý tồn nghiệm mạnh địa phương, tính nghiệm mạnh R3 , tốc độ hội tụ nghiệm mạnh toàn cục giá trị ban đầu đủ nhỏ số công cụ giải tích điều hịa ... phương trình Navier- Stokes 32 34 iii iv Tính quy dáng điệu tiệm cận nghiệm hệ phương trình Navier- Stokes miền tổng quát 36 2.1 Tính quy nghiệm yếu cho hệ phương trình NavierStokes... Navier- Stokes miền tổng quát Kết thứ hai trình bày dáng điệu tiệm cận nghiệm yếu cho hệ phương trình Navier- Stokes miền tổng quát Chương trình bày dáng điệu tiệm cận nghiệm mạnh cho hệ phương trình. .. loại nghiệm hệ phương trình Navier- Stokes số bổ đề bổ trợ Chương trình bày hai kết tính chất nghiệm cho hệ phương trình Navier- Stokes miền tổng quát Kết tính quy nghiệm yếu cho hệ phương trình Navier- Stokes