Xấp xỉ và khai triển tiệm cận nghiệm của hệ phương trình hàm-Lê THu Vân

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TP.HỒ CHÍ MINH Lê Thu Vân XẤP XỈ VÀ KHAI TRIỂN TIỆM CẬN NGHIỆM CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH HÀM Luận văn Thạc sỹ Toán học Chuyên ngành : Toán Giải Tích Mã số : 1.01.01 Người hướng dẫn : TS. Nguyễn Thành Long Đại học Khoa Học Tự Nhiên Tp. Hồ Chí Minh. THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH 2001 1 Luận văn được hoàn thành tại: Trường Đại học Khoa Học Tự Nhiên Tp. Hồ Chí Minh. Người hướng dẫn : TS. Nguyễn Thành Long Khoa Toán- tin học, Đại học Khoa Học Tự Nhiên Tp. Hồ Chí Minh. Người nhận xét 1 :………… ……………………… ……………………… Người nhận xét 2 :………… ……………………… ……………………… Học viên cao học: Lê Thu Vân Trường Phổ thông Trung học Lê Quý Đôn, Q.3, TP. Hồ Chí Minh. Luận văn sẽ được bảo vệ tại Hội Đồng chấm luận án cấp Nhà Nước tại Trường Đại học Khoa Học Tự Nhiên Tp. Hồ Chí Minh. vào lúc ……giờ……ngày … tháng… năm 2001 Có thể tìm hiểu luận văn tại Phòng Sau Đại học, thư viện Trường Đại Học Đại học Khoa Học Tự Nhiên Tp. Hồ Chí Minh. THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH 2001 2 MỤC LỤC Chương 1: Phần tổng quan…………………………………………………….trang 1 Chương 2: Các ký hiệu, các không gian hàm, công cụ cơ bản………… ……………………………………… trang 4 Chương 3: Sự tồn tại, duy nhất nghiệm………………………… trang 7 Chương 4: Điều kiện đủ cho thuật giải hội tụ cấp hai………….………………….……………………….trang 10 Chương 5: Khai triển tiệm cận nghiệm theo tham số bé…………………… …….…………………….trang 20 Chương 6: Một số hệ phương trình hàm cụ thể…………….trang 27 Chương kết luận. ………………………………… ……………………………….trang 38 Tài liệu tham khảo……………………………………………………………………trang 39 3 Chương 1 TỔNG QUAN Trong luận văn nầy, chúng tôi nghiên cứu hệ phương trình hàm sau đây ∑∑ == = m k n j ijkjijki xSfaxf 11 2 ))(()( ε )())(( 11 xgxSfb i m k n j ijkjijk ++ ∑∑ == . (1.1) niRx p , ,1; =⊂Ω∈∀ trong đó là một miền compact hay không compact của , a là các hằng số thực cho trước; , là các hàm số liên tục cho trước và là các ẩn hàm, là một tham số bé. Ω p R ijkijk b, Rg i →Ω: R Ω→Ω: ijk S εf i →Ω: Trong [1], các tác giả C.Q.Wu, Q.W.Xuan, D.Y.Zhu (1991) nghiên cứu hệ (1.1) sau đây ứng với , , , và là các nhò thức bậc nhất. 1 = p ],[ bb −=Ω 2== nm 0= ijk a ijk S   (1.2)      +++ +++= +++ +++= ),()( )()()( ),()( )()()( 22323223 222212221211212 11313213 121221211111111 xgcxbfa cxbfacxbfaxf xgcxbfa cxbfacxbfaxf với mọi , trong đó, các hằng số , cho trước thỏa các điều kiện: ],[ bbx −=Ω∈ ijij ba , ij c b            < − ≥ < ∑ = ,1)(max ], 1 [max ,1 3 1 , j ij i ij ij ji ij a b c b b (1.3) 4 các hàm số liên tục cho trước và là các ẩn hàm. Nghiệm của hệ (1.2) lúc này cũng được xấp xỉ bởi một dãy qui nạp hội tụ đều và ổn đònh đối với các . 21 , gg 21 , ff i g Trong [4] , các tác giả Nghóa, Khôi (2000) đã xét hệ phương trình hàm cụ thể sau đây để làm kiểm tra một thuật toán số              ++++ ++= +++++ ++= ),() 4 3 4 ( 200 1 ) 2 ( 100 1 ) 3 1 2 ( 200 1 ) 4 ( 100 1 )( ),() 4 1 3 ( 100 1 ) 4 1 4 ( 100 1 ) 2 1 3 ( 200 1 ) 2 ( 100 1 )( 222 112 122 111 xg x f x f x f x fxf xg x f x f x f x fxf (1.4) với mọi ]1,1[−∈x trong đó                      + −−−−=               +− + −−= . 4 3 2 399 3 2 2 800 1 2 , 4 1 316 )1( 2 1 3 596 400 1 1 2 2 2 2 x xx(x)g xx x(x)g   (1.5) Hệ nầy có nghiệm chính xác là 2 )( 1 x xf = ; 4 )( 2 2 x xf = . (1.6) Trong [2], các tác giả Long, Nghóa, Ruy, Khôi (1998) đã nghiên cứu một trường hợp riêng của (1.1) với và Ω hay là khoảng không bò chận của . 1=p ],[ bb−= Ω R Bằng cách sử dụng đònh lý điểm bất động Banach, các tác giả trong [2] đã thu được kết quả về sự tồn tại, duy nhất và tính ổn đònh nghiệm của hệ (1.1) đối với các hàm . i g Trong trường hợp và là các nhò thức bậc nhất, và các tác giả trong [2] đã thu được một khai 0= ijk a ],bb ijk S );( nr RCg Ω∈ [−=Ω 5 triển Maclaurin của nghiệm của hệ (1.1) cho đến cấp . Hơn nữa, nếu là các đa thức bậc r , thì nghiệm của hệ (1.1) cũng là đa thức bậc r . Kế đó, nếu là các hàm liên tục, nghiệm của (1.1) được xấp xỉ bởi một dãy các đa thức hội tụ đều. Sau đó, các kết quả trên đây đã được nới rộng trong [3] bởi các tác giả Long, Nghóa (2000) cho miền nhiều chiều và là các hàm affine. Hơn nữa, trong [3] cũng cho một điều kiện đủ về hội tụ bậc hai của hệ phương trình hàm [3]. Một số kết quả liên quan đến khai triển tiệm cận của nghiệm cho hệ (1.1) theo một tham số bé ε cũng được xem xét trong bài báo của Long, Diễm [5] (2001). r i g Ω i g f ⊂ p R ijk S ε 1 Luận văn nầy được trình bày trong 6 chương, phần kết luận và cuối cùng là phần tài liệu tham khảo. Trong chương 1, là phần tổng quan về hệ phương trình hàm, một số kết qủa đã có trước đó và một số nội dung cần trình bày trong các chương của luận văn. Trong chương 2, là phần giới thiệu về các ký hiệu, các không gian hàm và một số công cụ cơ bản được sử dụng trong luận văn. Trong chương 3, dựa vào đònh lý điểm bất động Banach, chúng tôi chứng minh sự tồn tại, duy nhất nghiệm của hệ(1.1). Trong chương 4, chúng tôi nghiên cứu một điều kiện đủ để thu được thuật giải hội tụ cấp hai cho hệ (1.1). Trong chương 5, chúng tôi nghiên cứu hệ phương trình hàm (1.1) bò nhiễu bởi một tham số bé . Khi đó một khai triển tiệm cận nghiệm của hệ (1.1) đến cấp theo ε thu được, với ε đủ nhỏ. +N Trong chương 6, chúng tôi nghiên cứu một số ví dụ hệ phương trình hàm cụ thể trong miền hai chiều, ở đó chúng tôi sẽ khảo sát một thuật giải hội tụ cấp hai và chỉ ra các thành phần trong khai triển tiệm cận đến cấp hai cho hệ. Chương kết luận nêu lên một số kết quả thu được trong luận văn và một số chú ý kèm theo. Cuối cùng là phần tài liệu tham khảo. 6 CHƯƠNG 2 CÁC KÝ HIỆU VÀ KHÔNG GIAN HÀM Trong chương 2, là phần giới thiệu về các ký hiệu, các không gian hàm và một số công cụ cơ bản được sử dụng trong luận văn. 2.1. Các ký hiệu. Một điểm trong được ký hiệu bởi .Ta gọi là một đa chỉ số và ký hiệu để chỉ đơn thức , có bậc p R ), ,( 1 p xxx = α x ), ,( 1 p ααα= p p xx α α 1 1 p Z + ∈ −p ∑ = p i 1 α= i α . Tương tự, Nếu j j x D ∂ ∂ = . với 1 , thì pj ≤≤ p p DDD α α α 1 1 = = p p xx α α α ∂∂ ∂ 1 1 ký hiệu một toán tử vi phân cấp α . Ta cũng ký hiệu . !! ! 1 p ααα= Với là tập con compact của , ta ký hiệu là không gian Banach của các hàm số liên tục trên Ω đối với chuẩn Ω p R f );( n RCX Ω= n R→Ω: ), ,( 1 n ff= ∑ = Ω∈ = n i i x X xff 1 )(sup . (2.1) Khi Ω không compact, ta ký hiệu là không gian Banach của các hàm số liên tục, bò chận trên đối với chuẩn (2.1). p R⊂ );( n b RCX Ω= n Rf →Ω: Ω Ta chú ý rằng, khi là mở, các hàm trong C không nhất thiết bò chận trên . Nếu bò chận và liên tục đều trên Ω , khi đó nó có duy nhất một nới rộng liên tục, bò chận trên bao đóng Ω Ω p R⊂ );( n R Ω ∈ f );( n RC Ω Ω của . Do đó, ta đònh nghóa không gian vectơ Ω );( n RC Ω gồm tất cả các hàm sao cho bò chận và liên tục đều trên . Không gian nầy là không gian Banach với chuẩn cho bởi (2.1). ∈f );( n RC Ω f Ω 7 Tương tự, với số nguyên không âm , ta đặt m C ),;(:);(), ,({);( 1 RCfDRCfffR i n n nm Ω∈Ω∈==Ω α }, ,1, nim =≤α với Ω một miền trong , và p R⊂ p R ),;(:);(), ,({);( 1 RCfDRCfffR in nm Ω∈Ω∈==Ω α C }, ,1, nim =≤α . Với một tập mở trong . Ω p R⊂ p R );( nm RΩC cũng là một không gian Banach đối với chuẩn: );( nm RC f Ω = ∑ = Ω∈ ≤ n i i x m xfD 1 )(supmax α α . (2.2) Ta viết hệ (1.1) theo dạng của một phương trình toán tử trong : );( n RCX Ω≡ (2.3) gBfAff ++=ε trong đó , , ), ,( 1 n fff = ))(, ,)(( 1 n AfAfAf = ))(, ,)(( 1 n BfBfBf = với ( , ∑∑ == = m k n j ijkjijki xSfaxAf 11 2 ))(()() , (1 ) với mọi . ∑∑ == = m k n j ijkjijki xSfbxBf 11 ))(()()( ni ≤≤ Ω∈x 2.2 Đònh lý điểm bất động Banach Chúng ta thường sử dụng đònh lý điểm bất động Banach sau : 8 Đònh lý 2.1. Cho là không gian Banach với chuẩn X . , là tập đóng. Cho T là ánh xạ thỏa mãn XK ⊂ KK: → Tồn tại số thực σ sao cho 10, <≤σ gfTgTf −≤−σ , ∀ . (2.4) Kgf ∈, Khi đó ta có (i) Tồn tại duy nhất sao cho . Kf ∈ Tff = (ii) Với mỗi , xét dãy { cho bởi Kf ∈ )0( } )( ν f , 2,1, )1()( == − ν νν Tff ta có (j) 0 )( =− ∞→ f ν ν lim f , (jj) σ σ ν ν − −≤ 1 )0()0( Tfff− )( f , ν , 2,1= (jjj) )1()()( 1 − − − ≤− ννν σ σ ffff , ν , 2,1 = Chứng minh đònh lý 2.1 có thể tìm thấy trong các quyển sách về nhập môn giải tích.  9 CHƯƠNG 3 ĐỊNH LÝ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM Trong chương nầy, dựa vào đònh lý điểm bất động Banach, chúng tôi chứng minh sự tồn tại, duy nhất nghiệm của hệ (2.3) . Đặt ][ ijk b = ijk n i m k nj b ∑∑ == ≤≤ 11 1 max . Đầu tiên, ta cần bổ đề sau. Bổ đề 3.1. Giả sử ][ ijk b 1 < và liên tục. Khi đó: Ω→Ω: ijk S i) X ijk X fbBf ][≤ ∀ . (3.1) Xf ∈ ii) Toán tử tuyến tính là khả đảo và BI − XX →: ][1 1 )( 1 ijk b BI − ≤− − . Chứng minh bổ đề nầy không phức tạp và chúng ta bỏ qua chi tiết.  Do bổ đề 1, ta viết lại hệ (2.1) như sau: . (3.2) )()( 1 gAfBIf +−= − ε Tf≡ Ta thành lập các giả thiết sau: (H1) liên tục; Ω→Ω: ijk S (H2) ; Xggg n ∈= ), ,( 1 (H3) 1][ < ijk b ; 10 [...]... của các hệ (5.1)-(5.5), lần lượt 27 CHƯƠNG 6 MỘT SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH HÀM CỤ THỂ Trong phần nầy chúng tôi xem xét qua một số ví dụ dựa trên một số hệ phương trình hàm cụ thể Qua đó chúng tôi xét sự hội tụ của dãy lặp cấp hai liên kết với hệ phương trình hàm nầy Vẫn trong phần nầy chúng tôi cũng tính toán một số khai triển tiệm cận đến một cấp cho trước của nghiệm theo một tham số bé ε 6.1 KHẢO SÁT THU T... quả trong ( Long, Nghóa [3], (2000)), nghiệm của hệ (6.17) cũng là các đa thức Ta tìm nghiệm của (6.17) theo dạng: f i ( x) = ∑ γ ≤r c iγ x γ = ∑ ciγ x1γ 1 x 2γ 2 , i = 1,2 (6.19) 2 γ =(γ 1 ,γ 2 )∈ Z + γ 1 +γ 2 ≤ r Thay f i (x) vào (6.17) ta thu được (c1γ , c 2γ ) là nghiệm của hệ phương trình tuyến tính 2 γ ciγ − ∑ bij sij c jγ = d iγ , i = 1,2 , γ ≤ r j =1 Giải hệ (6.20), ta được: 31 (6.20) γ c1γ... sau đây cho một kết quả về khai triển tiệm cận của nghiệm theo ε Đònh lý 5.1 Giả sử (H1)-(H5) đúng Khi đó, tồn tại một hằng số ε 1 > 0 sao cho, với mỗi ε , với ε ≤ ε 1 , hệ (3.2) có duy nhất một nghiệm f ε ∈ K M thỏa một đánh giá tiệm cận đến cấp N+1 như sau: 25 N fε − ∑ ε r f [r ] r =0 N +1 (1 ≤ 2 L−1 C N ) ε , (5.18) X các hàm f [ r ] , r = 0,1, , N là các lời giải của các hệ (5.1)-(5.5), lần lượt... xạ co, đó cũng là một thu t giải hội tụ cấp 1.Trong phần này chúng ta nghiên cứu một thu t giải cấp hai cho hệ (1.1) Một số điều kiện phụ liên quan đến hệ (1.1) ta sẽ đặt sau 4.1 THU T GIẢI LẶP CẤP HAI Xét hệ phương trình hàm m n m n k =1 j =1 k =1 j =1 f i ( x) = ε ∑∑ aijk f j2 ( S ijk ( x)) + ∑∑ bijk f j ( S ijk ( x)) + g i ( x) ∀x ∈ Ω ⊂ R p ; i = 1, , n (1.1) Ta dựa vào xấp xỉ sau đây : (f ) (ν... bất động Banach, nghiệm f ε của hệ (3.2) được xấp xỉ bởi thu t giải sau: f (ν ) = Tf (ν −1) ≡ ( I − B ) −1 (ε Af (ν −1) + g ) , f (0) ∈ K M (3.6) cho trước Khi đó f (ν ) → f ε trong X khi ν → +∞ , (3.7) và f (ν ) −f X ≤ f (0) − Tf (0) với σ = 2ε 0 M [aijk ] 1 − [bijk ] 1−σ < 1 12 X σ ν , ∀ν = 1,2, , (3.8) CHƯƠNG 4 THU T GIẢI LẶP CẤP HAI Trong đònh lý 3.1 đã cho một thu t giải xấp xỉ liên tiếp (3.6),... nầy, chúng tôi nghiên cứu hệ phương trình hàm (1.1) bò nhiễu bởi một tham số bé ε Khi đó một khai triển tiệm cận nghiệm của hệ (1.1) đến cấp N + 1 theo ε thu được, với ε đủ nhỏ Trong phần nầy, ta giả sử rằng các hàm S ijk , g và các số thực aijk , bijk , ε 0 , M thỏa các giả thiết (H1)-(H5), lần lượt Ta xét hệ bò nhiễu (3.2), trong đó ε là một tham số bé, ε ≤ ε 0 Đặt L = I − B { } Ta hãy xét dãy hàm... giải f của (1.1) và ta có một đánh giá sai số f − z (η ) X z (0) − Tz (0) ≤ với σ = 2ε M [aijk ] 1 − [bijk ] X × ση , 1−σ ∀η = 1,2, < 1 (4.37) (4.38) Từ (4.37) ,(4.38), ta chọn η 0 ∈ N đủ lớn sao cho: β M f − z (η0 ) X ≤ βM Vậy ta chọn f (0) = z (η0 ) 21 z (0) − Tz ( 0) X × σ η0 1−σ < 1 (4.39) CHƯƠNG 5 KHAI TRIỂN TIỆM CẬN CỦA NGHIỆM Trong chương nầy, chúng tôi nghiên cứu hệ phương trình hàm (1.1)... dãy z (η ) hội tụ trong X về lời giải f của (6.1) và ta có một đánh giá sai số f − z (η ) X ≤ ≤ với σ = z (0) − Tz (0) X × ση 1−σ M σ η , ∀η = 1,2, 1−σ 2ε M [aij ] < 1 1 − [bij ] (6.14) (6.15) Từ (6.14) ,(6.15), ta chọn η 0 ∈ N khá lớn sao cho: β M f − z (η0 ) X ≤ Mβ M σ η0 < 1 1−σ (6.16) Vậy ta chọn f (0) = z (η0 ) 6.2 KHAI TRIỂN TIỆM CẬN CỦA NGHIỆM Ta vẫn xét hệ (6.1) 2 2 j =1 j =1 f i ( x) = ε ∑... 5.1 Với aijk ∈ R và g = ( g1 , , g n ) ∈ X cho trước, giả thiết [bijk ] < 1 dẫn đến sự tồn tại của hai số dương ε 0 , M thỏa các giả thiết (H4) và (H5), lần lượt Khi đó, ta có kết quả sau: Đònh lý 5.2 Giả sử (H1)-(H3) đúng Cho trước aijk ∈ R Khi đó, tồn tại hai hằng số M > 0 , ε 1 > 0 , sao cho, với mỗi ε , với ε ≤ ε 1 , hệ (3.2) có duy nhất một nghiệm f ε ∈ K M có một khai triển tiệm cận đến cấp N+1... từ các hệ sau đây: f = Bf + g , ~ [q] ~ f = B f [q] + P[q] , ta suy ra rằng: ~ ~ f − f [q ] = B( f − f [ q ] ) + g − P [ q ] Vậy: ~ f − f [q] X ~ ≤ B( f − f [ q ] ) ≤ B ~ f − f [q] X X + g − P[q ] + g − P[q] ~ f − f [q] ≤ [bij ] X X X + g − P[q] X (6.35) Suy ra: ~ f − f [q] X ≤ 1 1 − [bij ] khi q → +∞ , do (6.31) 35 g − P[q ] X ≤ 101−q 1 − [bij ] → 0, (6.36) B Khai triển tiệm cận nghiệm của hệ (6.1) . 1 ][1 ][2 0 < − = ijk ijk b aMε σ . 12 CHƯƠNG 4 THU T GIẢI LẶP CẤP HAI Trong đònh lý 3.1 đã cho một thu t giải xấp xỉ liên tiếp (3.6), theo nguyên tắc ánh xạ co, đó cũng là một thu t giải hội tụ cấp 1.Trong. tại, duy nhất nghiệm của hệ(1.1). Trong chương 4, chúng tôi nghiên cứu một điều kiện đủ để thu được thu t giải hội tụ cấp hai cho hệ (1.1). Trong chương 5, chúng tôi nghiên cứu hệ phương trình. (1.1) đến cấp theo ε thu được, với ε đủ nhỏ. +N Trong chương 6, chúng tôi nghiên cứu một số ví dụ hệ phương trình hàm cụ thể trong miền hai chiều, ở đó chúng tôi sẽ khảo sát một thu t giải hội