Luận văn thạc sỹ toán học:nghiên cứu tính chất nghiệm của hệ phương trình hàm tích phân phi tuyến

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC CẦN THƠ HUỲNH BỬU TÍNH NGHIÊN CỨU MỘT SỐ TÍNH CHẤT NGHIỆM CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH HÀM − TÍCH PHÂN PHI TUYẾN LUẬN VĂN THẠC SỸ TỐN HỌC Chun ngành: Tốn Giải Tích Mã số: 60 46 01 THÀNH PHỐ CẦN THƠ 2005 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC CẦN THƠ NGHIÊN CỨU MỘT SỐ TÍNH CHẤT NGHIỆM CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH HÀM − TÍCH PHÂN PHI TUYẾN Luận văn Thạc sỹ Tốn học Chun ngành: Tốn Giải Tích Mã số: 60 46 01 Người hướng dẫn: Ts Nguyễn Thành Long Đại học Khoa Học Tự Nhiên Tp Hồ Chí Minh Học viên cao học: Huỳnh Bửu Tính THÀNH PHỐ CẦN THƠ 2005 Luận văn hoàn thành Trường Đại học Cần Thơ Người hướng dẫn khoa học: Ts Nguyễn Thành Long Khoa Toán − Tin học, Đại học Khoa Học Tự Nhiên Tp Hồ Chí Minh Người nhận xét 1: Ts Nguyễn Văn Nhân Đại học Kinh tế Tp Hồ Chí Minh Người nhận xét 2: Ts Nguyễn Công Tâm Đại học Khoa Học Tự Nhiên Tp Hồ Chí Minh Học viên cao học: Huỳnh Bửu Tính Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng Tp Cần Thơ Luận văn bảo vệ Hội Đồng chấm luận văn Trường Đại học Cần Thơ, vào lúc giờ, ngày 26 tháng 11 năm 2005 Có thể tìm hiểu luận văn Phòng Sau Đại học, thư viện Trường Đại học Cần Thơ THÀNH PHỐ CẦN THƠ 2005 LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, xin trân trọng cảm ơn Thầy Nguyễn Thành Long, tận tâm hướng dẫn, động viên tơi suốt q trình làm luận văn Xin chân thành cảm ơn Quý Thầy, Cô Khoa Toán – Tin học trường Đại học Khoa Học Tự Nhiên Tp Hồ Chí Minh tận tâm truyền đạt kiến thức kinh nghiệm cho suốt thời gian học tập Xin chân thành cảm ơn Ts Nguyễn Văn Nhân, Ts Nguyễn Công Tâm, PGS Ts Đặng Đức Trọng, Ts Tô Anh Dũng, PGS Ts Đinh Ngọc Thanh giành thời gian đọc luận văn đóng góp nhiều ý kiến bổ ích Xin chân thành cảm ơn Phòng Quản lý Khoa học – Hợp tác Quốc tế – Sau Đại học Trường Đại học Cần Thơ tạo điều kiện thuận lợi để hồn tất chương trình học tập Xin chân thành cảm ơn Sở Giáo Dục – Đào tạo Tp Cần Thơ, Ban Giám Hiệu trường THPT chuyên Lý Tự Trọng tạo điều kiện thuận lợi để tơi có thời gian học tập làm luận văn Cho gửi lời cảm ơn chân thành đến Anh, Chị khóa trước, bạn học viên lớp Cao học Tốn khóa 10, động viên giúp đỡ tơi nhiều suốt thời gian học tập làm luận văn Huỳnh Bửu Tính M Ụ C LỤ C Trang Chương Phần tổng quan Chương Các ký hiệu không gian hàm 2.1 Các ký hiệu 2.2 Định lý điểm bất động Banach Định lý 2.1 4 Chương Định lý tồn nghiệm Bổ đề 3.1 Bổ đề 3.2 Định lý 3.1 Chú thích 3.1 Chương Thuật giải lặp cấp hai Định lý 4.1 Định lý 4.2 Định lý 4.3 Chú thích 4.1 Chương Khai triển tiệm cận nghiệm Bổ đề 5.1 Bổ đề 5.2 Định lý 5.1 Chú thích 5.1 Định lý 5.2 Chương Sự phụ thuộc khả vi nghiệm Bổ đề 6.1 Chú thích 6.1 9 11 12 14 16 19 20 22 24 25 26 26 27 28 28 Kết luận 33 Tài liệu tham khảo 34 CHƯƠNG PHẦN TỔNG QUAN Trong luận văn này, chúng tơi nghiên cứu hệ phương trình hàm tích phân sau: X ijk ( x ) ⎡ ⎤ f i ( x) = ε ∑ ∑ ⎢aijk Φ x, f j ( Rijk ( x) + bijk f j ( S ijk ( x)) + cijk ∫ f j (t )dt ⎥ + g i ( x), (1.1) ⎥ k =1 j =1 ⎢ ⎣ ⎦ m n ( ) với x ∈ Ω = [a,b], i = 1,…,n, aijk, bijk, cijk số thực cho trước; gi : Ω → IR, Rijk, Sijk, Xijk : Ω → Ω, Φ : Ω×IR → IR hàm số liên tục cho trước thỏa số điều kiện mà ta đặt sau Các hàm f i : Ω → IR ẩn hàm, ε tham số bé Trong [9], tác giả Wu, Xuan, Zhu nghiên cứu hệ (1.1) sau ứng với Ω = [−b,b], m = n = 2, aijk = Sijk nhị thức bậc ⎧ f1 ( x) = a11 f1 (b11 x + c11 ) + a12 f (b12 x + c12 ) + a13 f (b13 x + c13 ) + g1 ( x), ⎨ ⎩ f ( x) = a 21 f1 (b21 x + c21 ) + a22 f1 (b22 x + c22 ) + a 23 f (b23 x + c23 ) + g ( x), (1.2) với x ∈ Ω = [−b,b], đó, số aij, bij, cij, b cho trước thỏa điều kiện ⎡ cij bij < 1, b ≥ max ⎢ i , j ⎢1 − b ij ⎣ ⎤ ⎛ ⎞ ⎥, max⎜ ∑ aij ⎟ < ⎟ ⎥ i ⎜ j =1 ⎝ ⎠ ⎦ (1.3) Trong (1.2), hàm số g1, g2 liên tục cho trước f1, f2 ẩn hàm Nghiệm hệ (1.2) lúc xấp xỉ dãy quy nạp hội tụ ổn định gi Trong [4], Long, Danh, Khôi nghiên cứu hệ phương trình tích phân tuyến tính 2 X ij ( x ) j =1 j =1 f i ( x) = ∑ aij f j ( S ij ( x)) + ∑ α ij ∫ f j (t )dt + g i ( x), (1.4) với i = 1,2, x ∈ Ω ⊂ IR, Ω khoảng đóng bị chận IR Các hàm gi : Ω → IR, Sij, Xij : Ω → Ω hàm số liên tục cho trước, aij, αij ∈ IR số f1, f2 ẩn hàm Trong [2], Danh, Dung, Long khảo sát hệ (1.1) tương ứng với Φ ≡ 0, Sijk(x), Xijk(x) nhị thức bậc nhất, cụ thể có dạng sau βijk x + γ ijk ⎞ m n ⎛ f i ( x) = ∑ ∑ ⎜ aijk f j (bijk x + cijk ) + α ijk f j (t )dt ⎟ + g i ( x), ∫ ⎜ ⎟ k =1 j =1 ⎝ ⎠ (1.5) với i = 1,2,…,n, x ∈ Ω = [−b,b] Với gi : Ω → IR hàm liên tục, nghiệm hệ (1.5) xấp xỉ dãy đa thức hội tụ [2, 7], aijk, bijk, cijk, αijk, βijk, γijk ∈ IR số thực cho trước thỏa điều kiện bijk < 1, β ijk < 1, ∑∑ 1max ( aijk ≤ j ≤n 1≤i , j ≤ n , 1≤ k ≤ m − + b α ijk < 1, k =1 i =1 cijk max ) m n bijk ≤ b; γ ijk max 1≤i , j ≤ n , 1≤ k ≤ m − β ijk ≤ b Trong [8], Long nghiên cứu hệ phương trình hàm phi tuyến m n ( ) m n f i ( x) = ε ∑ ∑ aijk Φ x, f j ( Rijk ( x) + ∑ ∑ bijk f j ( S ijk ( x)) + g i ( x), k =1 j =1 (1.6) k =1 j =1 với i = 1,2, x ∈ Ω, Ω khoảng đóng bị chận khoảng khơng bị chận IR Các hàm gi : Ω → IR, Rijk, Sijk : Ω → Ω Φ : IR → IR hàm số liên tục cho trước; aijk, bijk ∈ IR số Một số kết liên quan đến khai triển tiệm cận nghiệm cho hệ (1.6) theo tham số bé ε xem xét [8] Trong [3], tác giả Nghĩa, Khơi xét hệ phương trình hàm cụ thể để kiểm tra thuật toán số Các tác giả Long, Nghĩa, Khôi, Ruy [5] nghiên cứu trường hợp riêng (1.1) với cijk = Ω = [−b, b] hay Ω khoảng không bị chận IR Bằng cách sử dụng định lý điểm bất động Banach, [5] thu kết tồn tại, tính ổn định nghiệm hệ (1.1) hàm gi Trong trường hợp aijk = Sijk nhị thức bậc nhất, g ∈ Cr(Ω;IRn) Ω = [−b,b] tác giả [5] thu khai triển Maclaurin nghiệm hệ (1.1) cấp r Kế đó, gi hàm liên tục, nghiệm f (1.1) xấp xỉ dãy đa thức hội tụ Sau đó, kết nới rộng Long, Nghĩa [6] cho miền nhiều chiều Ω ⊂ IRp Sijk hàm affine Hơn nữa, điều kiện đủ hội tụ cấp hai hệ phương trình hàm đề cập [6] Luận văn trình bày chương, phần kết luận cuối phần tài liệu tham khảo Trong chương 1, phần tổng quan hệ phương trình hàm, số kết có trước số nội dung trình bày chương luận văn Trong chương 2, phần giới thiệu ký hiệu, không gian hàm số công cụ sử dụng luận văn Trong chương 3, khảo sát tồn tại, nghiệm hệ (1.1) dựa vào định lý điểm bất động Banach Trong chương 4, nghiên cứu điều kiện để thu thuật giải hội tụ cấp hai cho hệ (1.1) Trong chương 5, nghiên cứu hệ phương trình hàm tích phân (1.1) bị nhiễu tham số bé ε chứng tỏ nghiệm hệ (1.1) có khai triển tiệm cận đến cấp N + theo ε, với ε đủ nhỏ Trong chương 6, chúng tơi nghiên cứu tính khả vi nghiệm phụ thuộc vào tính khả vi hàm Φ, gi, Rijk, Sijk, Xijk Chương kết luận, nêu lên số kết trình bày luận văn Cuối phần tài liệu tham khảo CHƯƠNG CÁC KÝ HIỆU VÀ KHÔNG GIAN HÀM Trong chương 2, phần giới thiệu ký hiệu không gian hàm số công cụ sử dụng luận văn 2.1 Các ký hiệu Ta ký hiệu Ω = [a,b] X = C(Ω;IRn) không gian Banach hàm số f = ( f1,…, fn) : Ω → IRn liên tục Ω chuẩn f n = sup ∑ f i ( x) X (2.1) x∈Ω i =1 Với số nguyên không âm r, ta đặt { } C r (Ω; IR n ) = f ∈ C (Ω; IR n ) : f i( k ) ∈ C (Ω; IR), ≤ k ≤ r , ≤ i ≤ n Khi C r (Ω; IR n ) không gian Banach chuẩn f n r = max sup ∑ f i( k ) ( x) (2.2) i ≤k ≤r x∈Ω i =1 Ta viết hệ (1.1) theo dạng phương trình tốn tử X = C(Ω;IRn) f = εAf + Bf + g, (2.3) với f = ( f1,…, fn ), Af = ((Af )1,…, (Af )n), Bf = ((Bf )1,…, (Bf )n), m n ( ) ( Af ) i ( x) = ∑∑ aijk Φ x, f j ( Rijk ( x) , k =1 j =1 m n m n X ijk ( x ) k =1 j =1 k =1 j =1 ( Bf ) i ( x) = ∑∑ bijk f j ( S ijk ( x)) + ∑∑ cijk ∫ f j (t )dt , (1 ≤ i ≤ n), ∀x ∈ Ω 2.2 Định lý điểm bất động Banach Định lý sau công cụ sử dụng nhiều lần luận văn nầy, mang tên định lý điểm bất động Banach phát biểu dạng Định lý 2.1 Cho X không gian Banach với chuẩn , K ⊂ X tập đóng T : K → K Giả sử tồn số thực σ ∈ [0,1) cho Tf − Tg ≤ σ f − g , với f, g ∈ K Khi ta có (i) Tồn f ∈ K cho f = Tf (ii) Với f (0) ∈ K, xét dãy { f (v ) } cho f (v ) = T f (v −1) , v = 1,2,… ta có lim f (v ) − f = 0, (j) v→ ∞ (jj) f (v ) − f ≤ f (0) − T f (0) (jjj) f (v) − f ≤ σv , v = 1,2,… 1− σ σv f (v ) − T f (v −1) , v = 1,2,… 1− σ Chứng minh định lý 2.1 tìm thấy sách giải tích sở.■ 20 CHƯƠNG KHAI TRIỂN TIỆM CẬN CỦA NGHIỆM Trong chương này, nghiên cứu hệ phương trình hàm sau bị nhiễu tham số bé ε f = ε Af + Bf + g X = C(Ω;IRn) (5.1) f = ( f1 , , f n ), Af = (( Af )1 , , ( Af ) n ), Bf = (( Bf )1 , , ( Bf ) n ), với m n ( ) ( Af ) i ( x) = ∑∑ aijk Φ x, f j ( Rijk ( x)) , k =1 j =1 m n m n X ijk ( x ) k =1 j =1 k =1 j =1 ( Bf ) i ( x) = ∑∑ bijk f j ( S ijk ( x)) + ∑∑ cijk ∫ f j (t )dt , ∀x ∈ [−b,b], (i = 1,2,…,n), aijk, bijk, cijk số thực cho trước; g i : Ω → IR , Rijk , S ijk , X ijk : Ω → Ω , Φ : Ω × IR → R hàm số liên tục cho trước thỏa số điều kiện mà ta đặt sau Các hàm f i : Ω → IR ẩn hàm, ε tham số bé Trong phần này, với giả thiết hàm Φ, g, Rijk, Sijk, Xijk số thực ε0, M với Φ ∈ CN(Ω×IR;IR) Khi đó, chứng minh nghiệm hệ (5.1) có khai triển tiệm cận đến cấp N + theo ε, với ε đủ nhỏ theo nghĩa N f ε = ∑ ε r f [ r ] + O(ε N +1 ) r =0 Chính xác ta có N f ε − ∑ ε r f [r ] r =0 ≤Cε N +1 , X C số phụ thuộc vào N, Φ, [aijk ] , [bijk ] , [cijk ] , f [ r ] X , r = 0,1,…,N Trong phần này, ta giả sử hàm Φ, g, Rijk, Sijk, Xijk số thực aijk, bijk, cijk, ε0, M thỏa giả thiết (H1) − (H5), Ta bổ sung thêm giả thiết sau (H6) Φ ∈ CN(Ω×IR;IR) 21 Ta xét hệ bị nhiễu (5.1), ε tham số bé, ε ≤ ε Đặt L = I − B Ta xét dãy hữu hạn hàm { f [r ] }, r = 0,1,…,N, f [ r ] ∈ K M (với số thích hợp M > 0) xác định hệ sau Lf [0] = g ≡ P [0] , (5.2) Lf [1] = P [0] ≡ Af [0] , (5.3) Lf [ r ] = P [ r ] , r = 0,1,2, , N , (5.4) ( ) P [ r ] = P1[ r ] , , Pn[ r ] , r = 0,1, , N , với thành phần Pi[r ] P[r ] xác định công thức qui nạp sau Pi[ 0] ( x) = g i ( x), (5.5) ( m n Pi[1] ( x) = ( Af [ 0] ) i ( x) = ∑∑ aijk Φ x, f j[ 0] ( Rijk ( x)) k =1 j =1 m n ≡ ∑∑ k =1 j =1 ) (5.6) aijk c[j0] [Φ], đây, ta ký hiệu ( ) c[j0] [Φ ] = Φ[ f j[0] ] ≡ Φ x, f j[ 0] ( Rijk ( x)) , m n Pi[ 2] ( x) = ∑ ∑ aijk c [j1] [Φ ], (5.7) (5.8) k =1 j =1 với c[j1] [Φ] = c [j0] [ D2 Φ ] f j[1] ≡ D2 Φ[ f j[ 0] ] f j[1] ( ) ≡ D2 Φ x, f j[ 0] ( Rijk ( x)) f j[1] ( Rijk ( x)), ta ký hiệu D2 Φ = (5.9) ∂Φ ∂y Với r = 2,3,…,N, biểu thức Pi[ r ] ( x) xác định m n Pi[ r ] ( x) = ∑∑ aijk c [jr −1] [Φ ], r = 2,3, , N , (5.10) k =1 j =1 c[jr ] [Φ], ≤ r ≤ N − xác định theo công thức qui nạp sau r −1 r − s [s] c j [ D2 Φ ] f j[ r − s ] , r = 1,2, , N − 1, r s =0 c[jr ] [Φ ] = ∑ c[j0] [Φ] (5.7) Ta ý (5.11) 22 r −1 r − s [s] c j [ D2 Φ ] f j[ r − s ] = ci[ r ] [Φ, f j[ 0] , f j[1] , , f j[ r ] ], s =0 r (5.12) ( (5.13) c[jr ] [Φ ] = ∑ với r = 1,2,…,N − 1, m n ) Pi[ r ] ( x) = ∑∑ aijk c [jr −1] [Φ ] = Pi[ r ] x, Φ, f j[ 0] , f j[1] , , f j[ r −1] , k =1 j =1 với r = 2,3,…,N Khi đó, ta có kết sau Bổ đề 5.1 Các biểu thức c[jr ][Φ], r = 0,1,2, , N − xác định công thức quy nạp (5.7), (5.9), (5.11) thỏa r ∂ Φ[h j ] r! ∂ε r c[jr ] [Φ ] = , r = 0,1,2, , N − (5.14) ε =0 Ở ta ký hiệu ⎛ N ⎞ Φ[h j ] = Φ x, h j ( Rijk ( x)) = Φ⎜ x, ∑ ε r f j[ r ] ( Rijk ( x)) ⎟, ⎜ ⎟ ⎝ r =0 ⎠ ( ) ( N ) h j = h j ( Rijk ( x)) = ∑ ε r f j[ r ] Rijk ( x) r =0 (5.15) Chứng minh Với r = 0, từ (5.7), ta có ⎛ N ∂0 Φ[h j ] = Φ[h j ] = Φ⎜ x, ∑ ε r f j[ r ] Rijk ( x) ⎜ ε=0 0! ∂ε ⎝ r =0 ε=0 ( ( )) ( ⎟ )⎞ ⎟ ⎠ ε= (5.16) = Φ x, f j[0] Rijk ( x) = Φ[ f j[0] ] ≡ c[j0] [Φ ] Để làm rõ thêm, trước hết, ta xét thêm trường hợp r = Ta có ( ( )) ( ( )) ( ( ∂ ∂ Φ[h j ] = Φ x, h j Rijk ( x) ∂ε ∂ε (5.17) )) ∂ h j Rijk ( x) = D2 Φ x, h j Rijk ( x) ∂ε Từ (5.9), ta thu ( ( ∂ Φ[h j ] = D2 Φ x, h j Rijk ( x) 1! ∂ε ε=0 ( )) ε=0 ∂∂ε h j (Rijk ( x)) ( )) ( = D2 Φ x, f j[0] Rijk ( x) f j[1] Rijk ( x) ε=0 ) = D2 Φ[ f j[0] ] f j[1] = c[j0] [ D2 Φ ] f j[1] = c[j1] [Φ ] Vậy trường hợp r = ta có bổ đề 5.1 (5.18) 23 Giả sử c[js ] [Φ ], s = 0,1,2, , r − xác định công thức quy nạp (5.7), (5.9), (5.11) thỏa (5.12) Để cho gọn ký hiệu, ta bỏ qua cách viết đối số Rijk(x), mà ta N viết f j , h j = ∑ ε r f j[ r ] , thay cho r =0 N f j = f j ( Rijk ( x)), h j = h j ( Rijk ( x)) = ∑ ε r f j[ r ] ( Rijk ( x)), r =0 Khi đó, ∂r ∂ε r r −1 ∂ r −1 ⎛ ∂ ∂ ⎞ ⎞ ∂ ⎛ Φ[h j ] ⎟ = r −1 ⎜ D2 Φ[h j ] h j ⎟ r −1 ⎜ ∂ε ∂ε ⎠ ∂ε ⎝ ⎠ ∂ε ⎝ Φ[h j ] = r −1 =∑ s =0 C rs−1 ∂s ∂ε s ( D2 Φ[h j ]) ∂ r −s ∂ε r − s (5.19) hj Ta ý C [jr ] [Φ ] = ∂r Φ[h j ] , r! ∂ε r ε =0 ∂r h r j r =0 r! ∂ε N N h j = ∑ ε r f j[ r ] = ∑ r =0 ∂s hj s! ∂ε s εr , ε =0 = f j[ s ] , ε =0 ∂s D2 Φ[h j ] s! ∂ε s C [js ] [ D2 Φ ] = (5.20) ε=0 Ta suy từ (5.19), (5.20) ∂r Φ[h j ] r! ∂ε r = ε=0 = r −1 s ∂ s ∑ Cr −1 ∂ε s ( D2 Φ[h j ] r! s =0 ∂ r −s ∂ε r − s ε=0 hj ε =0 r −1 s ∑ Cr −1 s!c[js ] [ D2 Φ](r − s)! f j[r −s ] r! s =0 r −1 r − s [s] c j [ D2 Φ] f j[ r − s ] = c [jr ] [Φ ] s =0 r =∑ Vậy bổ đề 5.1 chứng minh hoàn tất.■ Đặt N N r =1 r =0 h = f [ 0] + ∑ ε r f [ r ] = f [ 0] + U , v = f ε − ∑ ε r f j[ r ] = f e − h thỏa hệ Lv = ε [ A(v + h) − A(h)] + Eε , (5.21) 24 N Eε = ε[ A( f [ 0] + U ) − A( f [ 0] )] − ∑ ε r P [ r ] (5.22) r =2 Khi đó, ta có kết sau (1 Bổ đề 5.2 Giả sử (H1) − (H5) Khi đó, tồn số C N ) phụ thuộc vào N, Φ, [aijk ] , [bijk ] , [cijk ] , f [ r ] Eε X (1 ≤ CN ) ε N +1 X , r = 0,1,…,N cho (5.23) Chứng minh Trong trường hợp N = 1, chứng minh bổ đề 5.2 dễ dàng, ta bỏ qua chi tiết mà ta chứng minh với N ≥ Để cho gọn, ta bỏ qua Rijk(x) cách viết Ta có m n ( Af ) i ( x) = ∑∑ aijk Φ( x, f j ), f j = f j ( Rijk ( x)), (5.24) k =1 j =1 m n Pi[ r ] ( x) = ∑ ∑ aijk c [jr −1] [Φ ], r = 2,3, , N , (5.25) k =1 j =1 A( f [0] + U ) i ( x) − A( f [0] ) i ( x) m ( n = ∑∑ aijk Φ ( x, f j[0] + U j ) − Φ( x, f j[0] ) k =1 j =1 ) (5.26) Dùng khai triển Maclaurin hàm Φ[h j ] = Φ ( x, f j[0] + U j ) (theo ε) đến cấp N, ta thu sau áp dụng bổ đề 5.1 Φ( x, f j[0] + U j ) − Φ ( x, f j[0] ) = = N −1 ∂r ε N [N ] Φ[h j ] ε r + R j [Φ ] ∑ r! ∂ε r N! r =1 ε =0 N −1 ∑ r =1 c[jr ] [Φ ]ε r (2.27) ε N [N ] + R j [Φ ], N! R [jN ] [Φ ] = ∂N ∂ε N Φ[h j ] , < θ j < ε=θ j Từ (5.26), (5.27), ta suy m n ( A( f [ 0] + U ) i ( x) − A( f [ 0] ) i ( x) = ∑∑ aijk Φ ( x, f j[ 0] + U j ) − Φ ( x, f j[ 0] ) k =1 j =1 ) m n ⎞ ⎛ N −1 ε N [N ] R j [Φ ] ⎟ = ∑∑ aijk ⎜ ∑ c[jr ] [Φ]ε r + ⎟ ⎜ N! k =1 j =1 ⎠ ⎝ r =1 25 = ⎞ N −1⎛ m n ∑ ⎜ ∑∑ aijk c[jr ] [Φ] ⎟ ε r ⎟ ⎜ ⎠ p =1⎝ k =1 j =1 N m n ε + ∑∑ aijk R[jN ] [Φ] N ! k =1 j =1 (5.28) Do đó, ta suy từ (5.22), (5.28) [ ] N Eεi = ε A( f [0] + U ) i ( x) − A( f [0] ) i ( x) − ∑ ε r Pi[ r ] = r =2 N +1 m n ⎞ ⎜ ∑∑ aijk c[jr ] [Φ] − Pi[ r +1] ⎟ε r +1 + ε ∑⎜ ∑∑ aijk R[jN ] [Φ] ⎟ N ! k =1 j =1 r =1 ⎝ k =1 j =1 ⎠ N −1⎛ m n (5.29) ε N +1 m n = ∑∑ aijk R[jN ][Φ] ≡ ε N +1 RN [Φ, i, ε] N ! k =1 j =1 Do đó, ta suy từ (5.29) Eε N X = sup ∑ Eεi ( x) = ε N +1 x∈Ω i =1 N (1 sup ∑ R N [Φ, i, ε] ≤ C N ) ε x∈Ω i =1 N +1 (5.30) Bổ đề 5.2 chứng minh hoàn tất.■ Kết sau cho ta khai triển tiệm cận nghiệm theo tham số ε Định lý 5.1 Giả sử (H1) − (H6) Khi đó, tồn số ε1 > 0, cho, với ε, với |ε| ≤ ε1, hệ (5.1) có nghiệm fε ∈ KM thỏa đánh giá tiệm cận đến cấp N + sau N f ε − ∑ ε r f [r ] r =0 (1 ≤ L−1 C N ) ε N +1 (5.31) X đó, hàm f [r], r = 0,1,…,N nghiệm hệ (5.2) − (5.6), Chứng minh Đặt N v = f ε − ∑ ε r f [ r ] ≡ f ε − h r =1 Ta có Lv = ε [ A(v + h) − A(h)] + E ε , v = L −1[ε( A(v + h) − Ah) + E ε ] Từ bổ đề (5.2), ta suy (5.32) 26 v X ( ≤ L−1 ε A(v + h) − Ah ( ≤ L−1 ε A(v + h) − Ah X + Eε X (1 + CN) ε X ) N +1 ) (5.33) Mặt khác v+h X = fε X ≤ M, h N X ≤ ∑ f [r ] r =0 ~ ≡ M (5.34) X suy A(v + h) − Ah X ≤ sup ~ x∈Ω, y ≤ M + M ∂Φ ( x, y ) [aijk ] v ∂y X (5.35) Từ (5.33), (5.35), suy v X ⎛ ∂Φ ≤ L−1 ⎜ ε1 sup ( x, y ) [aijk ] v ~ ∂y ⎜ x∈Ω, y ≤ M + M ⎝ X (1 + CN) ε N +1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ Chọn < ε1 < ε0, cho ε1 sup % x∈Ω , y ≤ M + M ∂Φ ( x, y ) [aijk ] L−1 ≤ ∂y (5.36) Do đó, từ (5.35), (5.36) suy v X ( ≤ L−1 C N1) ε N +1 , N f ε − ∑ ε r f [r ] r =0 (1 ≤ L−1 C N ) ε N +1 X Định lý 5.1 chứng minh.■ Chú thích 5.1 Với aijk, cijk ∈ IR g ∈ X cho trước, giả thiết (H2) – (H4) dẫn đến tồn hai số dương ε0, M thỏa giả thiết (H5) Khi ta có kết sau: Định lý 5.2 Giả sử (H1) − (H3), (H6) Cho trước aijk ∈ IR Khi đó, tồn hai số M > 0, ε1 > 0, cho, với ε, với |ε| ≤ ε1, hệ (5.1) có nghiệm fε ∈ KM nghiệm có khai triển tiệm cận đến cấp N + thỏa (5.31), đó, hàm f [r], r = 0,1,…,N nghiệm hệ (5.2) − (5.6), lần lượt.■ 27 CHƯƠNG SỰ PHỤ THUỘC KHẢ VI CỦA NGHIỆM Trong chương này, dựa vào định lý điểm bất động Banach kết chương 3, chứng minh tồn tại, nghiệm khả vi hệ phương trình hàm − tích phân phi tuyến X ijk ( x ) ⎡ ⎤ f i ( x) = ε ∑∑ ⎢aijk Φ x, f j ( Rijk ( x) + bijk f j ( S ijk ( x)) + cijk ∫ f j (t )dt ⎥ + g i ( x), ⎥ k =1 j =1 ⎢ ⎣ ⎦ m n ( ) (6.1) ∀x ∈ Ω = [−b,b], i = 1,2,…,n, aijk, bijk, cijk số thực cho trước, gi : Ω → IR, Rijk, Sijk, Xijk : Ω → Ω, Φ : Ω×IR → IR hàm số khả vi cho trước thỏa số điều kiện phụ Các hàm fi : Ω → IR ẩn hàm, ε tham số bé Trước hết ta bổ sung giả thiết sau (H(1)) g ∈ C1(Ω;IRn), Rijk, Sijk, Xijk ∈ C(Ω;Ω) ∩ C1(Ω;IR) Φ ∈ C1(Ω×IR;IR) Giả sử f ∈ C1(Ω;IRn) nghiệm hệ (1.1) Đạo hàm hai vế hệ (1.1), ta thu ( m n [1 f i / ( x) = ε ∑∑ Aijk] ( x) f j/ Rijk ( x) k =1 j =1 m n + ∑∑ k =1 j =1 / bijk S ijk ( x) f j/ ( ) (Sijk ( x)) (6.2) + Gi[1] ( x), ) [1 / Aijk] ( x) = aijk Φ /y x, f j ( Rijk ( x)) Rijk ( x), m n ( Gi[1] ( x) = g i/ ( x) + ε ∑∑ aijk Φ /x x, f j ( Rijk ( x)) k =1 j =1 m n + ∑∑ k =1 j =1 / cijk X ijk ( x) nghiệm hệ ) (6.4) f j ( X ijk ( x)) Như vậy, f ∈ C1(Ω;IRn) nghiệm hệ (1.1), F = ( F1 , , Fn ) = ( f1/ , , f n/ ) (6.3) 28 ( m n [1 Fi ( x) = ε ∑∑ Aijk] ( x) F j Rijk ( x) k =1 j =1 m n + ∑∑ k =1 j =1 / bijk S ijk ( x) F j ) (Sijk ( x)) (6.5) + Gi[1] ( x), [1 ∀x ∈ Ω = [−b,b], i = 1,2,…,n, Aijk] ( x) , Gi[1] ( x) cho (6.3), (6.4) n m Với Aijk ∈ C(Ω;IR), ta đặt [ Aijk ] = ∑∑ max sup Aijk ( x) i =1 k =11≤ j ≤ n x∈Ω Giả sử / ∑∑ 1max sup aijk Φ /y (x, f j ( Rijk ( x)))Rijk ( x) ≤ j ≤n n [1 / ε [ Aijk] ] + [bijk S ijk ] = ε m i =1 k =1 n m x∈Ω + ∑∑ / max sup bijk S ijk ( x) 1≤ j ≤ n x∈Ω i =1 k =1 (6.6) < Khi đó, ta có [1 Bổ đề 6.1 Cho f ∈ X = C(Ω;IRn) Aijk] ( x) , Gi[1] ( x) cho (6.3), (6.4) Giả sử (6.6) Khi đó, hệ (6.5) có nghiệm F [1] = ( F1[1] , , Fn[1] ) ∈ X Chứng minh Ta viết hệ (6.5) theo dạng phương trình tốn tử F = T[1]F X = C(Ω;IRn) (6.7) m n ( [1 (T [1] F ) i ( x) = ε ∑∑ Aijk] ( x) F j Rijk ( x) k =1 j =1 m n ) ( ) (6.8) / + ∑∑ bijk S ijk ( x) F j S ijk ( x) + Gi[1] ( x), (1 ≤ i ≤ n) k =1 j =1 Hiển nhiên T [1] : X → X thỏa ~ T [1] F − T [1] F X ( [1 / ≤ ε [ Aijk] ] + [bijk S ijk ] ~ ~ ) F − F , với F , F ∈ X Khi sử dụng định lý điểm bất động Banach, ta có hàm F[1] ∈ X cho F = T[1]F Vậy bổ đề 6.1 chứng minh xong.■ Chú thích 6.1 Với giả thiết (H(1)) (6.6), f ∈ C1(Ω;IRn) nghiệm hệ (6.1), F = ( f1/ , , f n/ ) nghiệm hệ (6.5) Theo bổ đề 6.1, hệ (6.5) có nghiệm F [1] = ( F1[1] , , Fn[1] ) ∈ X Vậy F [1] = f / = ( f1/ , , f n/ ) ■ Đảo lại, với giả thiết (H(1)) (6.6) Gọi f ∈ X = C(Ω;IRn) nghiệm hệ (6.1) Khi Gi[1] ( x) cho (6.4) hoàn toàn xác định Ta ý hệ (6.5) có nghiệm F [1] = ( F1[1] , , Fn[1] ) ∈ X 29 Ta chứng minh f ∈ C1(Ω;IRn) F [1] = f / = ( f1/ , , f n/ ) Ta viết hệ (6.1) theo dạng phương trình toán tử f = Uf X1 ≡ C1(Ω;IRn), (6.9) ( m n ) m n (Uf ) i ( x) = ε ∑∑ aijk Φ x, f j ( Rijk ( x)) + ∑∑ bijk f j ( S ijk ( x)) k =1 j =1 m n (6.10) X ijk ( x ) k =1 j =1 k =1 j =1 + ∑∑ cijk ∫ f j (t )dt + g i ( x), ∀x ∈ Ω = [−b,b], i = 1,2,…,n Do đẳng thức (6.10), ta có m [ ( n ) ( ) / (Uf ) i/ ( x) = ε ∑∑ aijk Ω /x x, f j ( Rijk ( x)) + Ω /y x, f j ( Rijk ( x)) Rijk ( x) f j/ ( Rijk ( x)) k =1 j =1 ] m n / + ∑∑ bijk S ijk ( x) f j/ ( S ijk ( x)) k =1 j =1 m n / + ∑∑ cijk X ijk ( x) f j ( X ijk ( x)) + g i/ ( x), (6.11) k =1 j =1 ∀x ∈ Ω = [−b,b], i = 1,2,…,n, ta suy từ (6.10) (6.11) U : X1 → X1 Bây giờ, với M > 0, ta đặt C1 ( M ) = sup{ ∂Φ ∂Φ ( x, y ) + ( x, y ) : x ∈ Ω, y ≤ M }, ∂x ∂y C ( M ) = sup{ ∂ 2Φ ∂ 2Φ ( x, y ) + ( x, y ) : x ∈ Ω, y ≤ M }, ∂x∂y ∂y K = { f ∈ C (Ω; IR n ) : f M f = f X + f / X , f ≤ M }, n X = sup ∑ f i ( x) x∈Ω i =1 Ta chứng minh với cách chọn M, ε thích hợp ta có U : K M → K M ánh xạ co Điều có nghĩa hệ phương trình (6.1) có nghiệm f ∈ C1(Ω;IRn) f / = ( f1/ , f n/ ) ≡ F [1] Ta chứng minh hai bước sau: Bước Nghiệm lại U : K M → K M ~ Bước Chứng minh ∃ρ ∈ [0,1) : Uf − Uf ~ ~ ≤ ρ f − f , ∀f , f ∈ K M Bước Nghiệm lại U : K → K M M Cho f ∈ K , với x ∈ Ω, ta có từ (6.10) M 30 n n ∑ (Uf ) i ( x) ≤ ε ∑ i =1 m n ∑ ∑ aijk i =1 k =1 n +∑ j =1 m +∑ n ∑ ∑ bijk i =1 k =1 n [ Φ(x, f m j =1 ( Rijk ( x)) ) − Φ ( x,0) + Φ ( x,0) ] f j ( S ijk ( x)) n X ijk ( x ) n j =1 i =1 ∑ ∑ cijk i =1 k =1 j ∫ f j (t )dt + ∑ g i ( x) ≤ ε [aijk ] ⎛ MC1 ( M ) + n sup Φ ( x,0) ⎞ ⎟ ⎜ x∈Ω ⎠ ⎝ + ( [b ijk ) ] + b [cijk ] M + g X Do Uf X ⎛ ⎞ ≤ ε [aijk ] ⎜ MC1 ( M ) + n sup Φ ( x,0) ⎟ x∈Ω ⎝ ⎠ ( ) + [bijk ] + b [cijk ] M + g X (6.12) Mặt khác từ đẳng thức (6.11), ∀x ∈ Ω = [−b,b], ta suy ∑ (Uf ) i/ ( x) ≤ ε C1 (M )[ [aijk ] n i =1 / + M [aijk Rijk ] [ ] ] / / + M [bijk S ijk ] + [cijk X ijk ] + g / Vậy ta có (Uf ) / [ ] ] ]+ g X / ≤ ε C1 ( M ) [aijk ] + M [aijk Rijk ] X [ / / + M [bijk S ijk ] + [cijk X ijk / X (6.13) Do từ (6.12) (6.13) ta Uf = Uf X + (Uf ) / X ≤ ε [aijk ] ⎛ MC1 ( M ) + n sup Φ ( x,0) ⎞ ⎜ ⎟ x∈Ω ⎝ ⎠ ( ) + [bijk ] + b [cijk ] M + g [ X + ε C1 ( M ) [aijk ] + M [aijk R ] [ ] / ijk (6.14) ] / / + M [bijk S ijk ] + [cijk X ijk ] + g / = n ε [aijk ] sup Φ ( x,0) x∈Ω [ / + ε C1 ( M ) (1 + M ) [aijk ] + M [aijk Rijk ] [ ] ] / / + M [bijk ] + b [cijk ] + [bijk S ijk ] + [cijk X ijk ] + g 31 Từ (6.14), với cách chọn M, ε thích hợp ta có U : K → K Muốn ta M M cần chọn M, ε cho n ε [aijk ] sup Φ ( x,0) x∈Ω [ ] / + ε C1 ( M ) (1 + M ) [aijk ] + M [aijk Rijk ] [ ] / / + M [bijk ] + b [cijk ] + [bijk S ijk ] + [cijk X ijk ] + g ≤ M hay nε M [aijk ] sup Φ ( x,0) x∈Ω ⎡ ⎤ / + ε C1 ( M ) ⎢(1 + ) [aijk ] + [aijk Rijk ] ⎥ M ⎦ ⎣ (6.15) [ ] / / + [bijk ] + b [cijk ] + [bijk S ijk ] + [cijk X ijk ] + ~ Bước Chứng minh ∃ρ ∈ [0,1) : Uf − Uf 1 g ≤ M ~ ~ ≤ ρ f − f , ∀f , f ∈ K M ~ ~ ∀f , f ∈ K , h = f − f , với x ∈ Ω, ta có M ~ ~ ∑ (Uf − Uf ) i ( x) ≤ ε ∑∑∑ aijk Φ(x, f j ( Rijk ( x))) − Φ(x, f j ( Rijk ( x))) n n i =1 m n i =1 k =1 j =1 n m n + ∑∑∑ bijk h j ( S ijk ( x)) i =1 k =1 j =1 n m n + ∑∑∑ cijk i =1 k =1 j =1 X ijk ( x ) ∫ h j (t )dt [ ≤ [ε C ( M ) [ a ] ] ]h ≤ ε C1 ( M ) [aijk ] + [bijk ] + b [cijk ] h Vậy ~ Uf − Uf X ijk ] + [bijk ] + b [cijk [ X ] ≤ ε C1 ( M ) [aijk ] + [bijk ] + b [cijk ] h (6.16) Mặt khác từ (6.11), ta suy n ~ n m n ( i =1 i =1 k =1 j =1 n m ) ( ~ Φ /x x, f j ( Rijk ( x)) − Φ /x x, f j ( Rijk ( x)) ∑ (Uf − Uf ) i ( x) ≤ ε ∑ ∑∑ aijk ) n / + ε ∑ ∑∑ aijk Rijk ( x) i =1 k =1 j =1 ( ) ( ) ~ × Φ /y x, f j ( Rijk ( x)) − Φ /y x, f j ( Rijk ( x)) f j/ ( Rijk ( x)) 32 ( ) n m n ~ / + ε ∑∑∑ aijk Rijk ( x) Φ /y x, f j ( Rijk ( x)) h /j ( Rijk ( x)) i =1 k =1 j =1 n m n / + ∑∑∑ bijk S ijk ( x) h /j ( S ijk ( x)) i =1 k =1 j =1 n m n / + ∑∑∑ cijk X ijk ( x) h j ( X ijk ( x)) i =1 k =1 j =1 ≤ ε C ( M ) [aijk ] h X / + ε MC ( M ) [aijk Rijk ] h + ε C1 ( M ) [aijk R ] h / ijk + [bijk S ] h / ijk [ / X X / X / + [cijk X ijk ] h X / ≤ ε C ( M ) [aijk ] + (MC ( M ) + C1 ( M ) ) [aijk Rijk ] [ + [bijk S ] + [cijk X ] Do ~ (Uf − Uf ) / X [ / ijk / ijk ]h 1 / ≤ ε C ( M ) [aijk ] + (MC ( M ) + C1 ( M ) ) [aijk Rijk ] [ ]h ] ]h / / + [bijk S ijk ] + [cijk X ijk ] h (6.17) Do từ (6.16) (6.17) ta ~ ~ Uf − Uf = Uf − Uf [ X ~ + (Uf − Uf ) / X / ≤ ε (C1 ( M ) + C ( M ) ) [aijk ] + ε (MC ( M ) + C1 ( M ) ) [aijk Rijk ] ] (6.18) / / + [bijk ] + b [cijk ] + [bijk S ijk ] + [cijk X ijk ] h hay với ~ Uf − Uf ~ ~ ≤ ρ f − f , ∀f , f ∈ K M [ / ρ = ε (C1 ( M ) + C ( M ) ) [aijk ] + (MC ( M ) + C1 ( M ) ) [aijk Rijk ] ] / / + [bijk ] + b [cijk ] + [bijk S ijk ] + [cijk X ijk ] Chọn M, ε thỏa (6.15) [ / ρ = ε (C1 ( M ) + C ( M ) ) [aijk ] + (MC ( M ) + C1 ( M ) ) [aijk Rijk ] / / + [bijk ] + b [cijk ] + [bijk S ijk ] + [cijk X ijk ] < 1, ] (6.19) (6.20) ta có U : K M → K ánh xạ co Vậy tồn f ∈ K cho f = Uf M M Điều có nghĩa hệ phương trình (6.1) có nghiệm f ∈ C1(Ω;IRn) f / = ( f1/ , , f n/ ) ≡ F [1] ■ 33 KẾT LUẬN Luận văn khảo sát hệ phương trình hàm – tích phân phi tuyến khoảng Ω bị chận IR, gồm tồn nghiệm, thuật giải lặp cấp hai, khai triển tiệm cận nghiệm theo tham số bé ε tính khả vi nghiệm Cụ thể hơn, chứng minh tồn nghiệm hệ phương trình hàm nhờ vào định lý điểm bất động Banach (Chương 3), sau nghiên cứu điều kiện đủ để thu thuật giải cấp hai hội tụ (Chương 4) Kế đó, chúng tơi nghiên cứu hệ phương trình tích phân bị nhiễu tham số bé ε Khi chúng tơi thu khai triển tiệm cận đến cấp N + theo ε đủ nhỏ (Chương 5) Cuối tính khả vi nghiệm phụ thuộc vào tính khả vi hàm Φ, gi, Rijk, Sijk, Xijk đuợc nghiên cứu (Chương 6) Qua luận văn này, tác giả thực bắt đầu làm quen với công việc đọc tài liệu khoa học cách hệ thống Tác giả học tập phương pháp sử dụng định lý ánh xạ co để khảo sát nhiều vấn đề hệ phương trình hàm phi tuyến, chẳng hạn như: Chứng minh tồn nghiệm, thuật giải lặp cấp hai, khai triển tiệm cận nghiệm theo tham số bé, phụ thuộc khả vi nghiệm cho hệ phương trình hàm – tích phân phi tuyến Tuy nhiên, với hiểu biết hạn chế tác thời gian ngắn khóa học, tác giả mong nhận đóng góp bảo Q Thầy, Cơ Hội đồng 34 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Phạm Hồng Danh, Huỳnh Thị Hoàng Dung, Xấp xỉ tuyến tính liên kết với hệ phương trình tích phân – hàm phi tuyến, Tạp chí Phát Triển Khoa Học Cơng Nghệ, Tập 6, số 12 (2003), 15 – 25 [2] Huỳnh Thị Hoàng Dung, Phạm Hồng Danh, Nguyễn Thành Long, Xấp xỉ nghiệm hệ phương trình tích phân – hàm phi tuyến, Tạp chí Khoa Học Đại Học Sư Phạm Tp HCM, Tập 34, số (2003), 38 – 48 [3] Nguyễn Kim Khôi, Nguyễn Hội Nghĩa, Giải số hệ phương trình hàm, Tạp chí Phát Triển Khoa Học Công Nghệ, Tập 3, số 7&8 (2000), 25 – 31 [4] Nguyễn Thành Long, Phạm Hồng Danh, Nguyễn Kim Khơi, Xấp xỉ nghiệm hệ phương trình tích phân dãy đa thức hội tụ đều, Tạp chí Khoa Học Đại Học Sư Phạm Tp HCM, Tập 30, số (2002), 36 – 43 [5] Nguyễn Thành Long, Nguyễn Hội Nghĩa, Nguyễn Kim Khôi, Đinh Văn Ruy, On a system of functional equations, Demonstratio Math 31 (1998), 313 – 324 [6] Nguyễn Thành Long, Nguyễn Hội Nghĩa, On a system of func-tionnal equations in a Multi-dimensional domain, Z Anal Anw 19 (2000), 1017 – 1034 [7] Nguyễn Thành Long, Solution approximation of a system of integral equations by a uniformly convergent polynomials sequence, Demonstratio Math 37, No.1, (2004), 121 – 132 [8] Nguyễn Thành Long, Linear approximation and asymptotic expansion associated with the system of functional equations, Demonstratio Math 37, No.2, (2004), 349 – 362 [9] C.Q Wu, Q.W Xuan, D.Y Zhu, The system of the functional equations and the fourth problem of the hyperbolic system, SEA Bull Math 15 (1991), 109 – 115 ... DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC CẦN THƠ NGHIÊN CỨU MỘT SỐ TÍNH CHẤT NGHIỆM CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH HÀM − TÍCH PHÂN PHI TUYẾN Luận văn Thạc sỹ Tốn học Chun ngành: Tốn Giải Tích Mã số: 60 46 01 Người hướng dẫn:... nghĩa hệ phương trình (6.1) có nghiệm f ∈ C1(Ω;IRn) f / = ( f1/ , , f n/ ) ≡ F [1] ■ 33 KẾT LUẬN Luận văn khảo sát hệ phương trình hàm – tích phân phi tuyến khoảng Ω bị chận IR, gồm tồn nghiệm, ... đề hệ phương trình hàm phi tuyến, chẳng hạn như: Chứng minh tồn nghiệm, thuật giải lặp cấp hai, khai triển tiệm cận nghiệm theo tham số bé, phụ thuộc khả vi nghiệm cho hệ phương trình hàm – tích