Sự tồn tại và dáng điệu tiệm cận nghiệm của một phương trình trong cơ học chất lỏng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI BÙI KIM MY SỰ TỒN TẠI VÀ DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN NGHIỆM CỦA MỘT PHƯƠNG TRÌNH TRONG CƠ HỌC CHẤT LỎNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số : 60 46 01 02 Người hướng dẫn khoa học PGS. TS. Cung Thế Anh HÀ NỘI, 2014 Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS. TS. Cung Thế Anh, thầy tận tình bảo, định hướng, chọn đề tài truyền đạt kiến thức để hoàn thành luận văn này. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy cô giáo trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, đặc biệt thầy cô khoa Toán, phòng Sau đại học giúp đỡ suốt trình nghiên cứu học tập. Qua xin gửi lời cảm ơn chân thành tới anh chị, bạn bè động viên, cổ vũ, giúp đỡ cho trình học tập hoàn thành luận văn. Nhân dịp xin bày tỏ lòng biết ơn vô hạn tới bố mẹ, người em trai thân yêu người thân gia đình, luôn quan tâm, khích lệ tin tưởng vào trưởng thành tác giả. Hà Nội, tháng 06 năm 2014 Tác giả Bùi Kim My Lời cam đoan Tôi xin cam đoan, luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài “Sự tồn dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình học chất lỏng” hoàn thành hướng dẫn PGS. TS. Cung Thế Anh thân tác giả. Trong trình nghiên cứu thực luận văn, tác giả kế thừa, phát triển kết nhà khoa học với trân trọng biết ơn. Các kết viết chung với tác giả khác đồng ý đồng tác giả đưa vào luận văn. Hà Nội, tháng 06 năm 2014 Tác giả Bùi Kim My Mục lục Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1. Các không gian hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1. Các không gian hàm toán tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2. Các đánh giá cho số hạng phi tuyến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Lí thuyết tập hút lùi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1. Khái niệm tập hút lùi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2. Số chiều fractal tập hợp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Một số kết thường dùng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3.1. Các bổ đề compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3.2. Một vài bất đẳng thức thường sử dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Chương 2. SỰ TỒN TẠI VÀ ĐÁNH GIÁ SỐ CHIỀU CỦA TẬP HÚT LÙI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.1. Đặt toán. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2. Sự tồn nghiệm yếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.3. Sự tồn đánh giá số chiều tập hút lùi . . . . . . . . . . . . 36 2.3.1. Sự tồn tập hút lùi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.3.2. Đánh giá số chiều tập hút lùi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.4. Tính ổn định nghiệm dừng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 Mở đầu 1. Lí chọn đề tài Đối với phương trình đạo hàm riêng, sau nghiên cứu tính đặt toán (sự tồn nghiệm, tính nghiệm, . . .), toán quan trọng đặt nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm biến thời gian t → +∞. Đây việc làm hoàn toàn có ý nghĩa thực tiễn nghiệm phương trình đạo hàm riêng thường mô tả trạng thái thực tiễn mô hình xuất thực tế. Do đó, việc biết dáng điệu tiệm cận nghiệm cho phép ta biết xu hướng hay thay đổi mô hình thực tế thời gian t → +∞. Để nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình đạo hàm riêng, người ta hay dùng lí thuyết ổn định lí thuyết tập hút. Lí thuyết tập hút cho phương trình đạo hàm riêng bắt đầu khoảng năm 80 kỷ XX, phát triển theo nhiều hướng tập hút toàn cục, tập hút mũ, tập hút đều, tập hút lùi, . . . . Những năm gần tập hút cho phương trình đạo hàm riêng không ôtônôm nhiều nhà toán học nước quan tâm nghiên cứu, đặc biệt lớp toán xuất học chất lỏng. Trong luận văn này, quan tâm tới toán sau   ∂u   + (u · ∇)u + g∇h = b−1 ∇ · [bν(∇u + (∇u)T − ∇ · uI)] − ηu + f,   ∂t      ∇ · (bu) = 0, x ∈ Ω, t > τ,    u(x, 0) = u0 (x), x ∈ Ω,       u · n = 0, x ∈ ∂Ω,       νt · (∇u + (∇u)T ) · n = −βt · u, x ∈ ∂Ω. (0.0.1) b(x) hàm trơn dương xác định Ω. Hệ phương trình (0.0.1) xuất nghiên cứu chuyển động ngang dòng chảy không nén lưu vực có mực nước nông với đáy biến đổi. Xuất phát từ hệ Navier-Stokes, giả thiết vận tốc chuyển động thẳng đứng nhỏ chiều cao mặt tự nhỏ so với độ sâu lưu vực số giả thiết khác ta thu hệ (0.0.1). Lúc để nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình (0.0.1) ta thường dùng lí thuyết “tập hút lùi” (pullback attractor). Sự tồn nghiệm yếu trường hợp ôtônôm với miền bị chặn toán (0.0.1) C. D. Levemore M. Samartino chứng minh [5], tồn tập hút toàn cục nghiên cứu W. Ott [6]. Trong luận văn này, mở rộng kết sang trường hợp không ôtônôm miền xét bị chặn không bị chặn thỏa mãn bất đẳng thức Poincaré. Với mong muốn tìm hiểu lí thuyết tập hút định hướng thầy hướng dẫn, chọn đề tài “Sự tồn dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình học chất lỏng” để thực luận văn tốt nghiệp chương trình đào tạo thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích. Luận văn gồm chương, chương 1, trước tiên trình bày không gian toán tử, đánh giá cho số hạng phi tuyến dùng để nghiên cứu toán, trình bày kết lí thuyết tập hút lùi, mục cuối trình bày số bổ đề compact, bất đẳng thức thường xuyên sử dụng luận văn. Trong chương 2, phần đầu đưa mô hình toán giả thiết dùng để nghiên cứu toán, giả thiết chứng minh tính đặt nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm toán thông qua việc tồn đánh giá số chiều fractal tập hút lùi sinh trình liên kết với toán, mục cuối chứng minh tồn tính ổn định nghiệm dừng yếu toán dừng tương ứng. 2. Mục đích nghiên cứu • Nghiên cứu tồn nghiệm yếu toán; • Nghiên cứu tồn đánh giá số chiều tập hút lùi toán; • Nghiên cứu tính ổn định nghiệm dừng yếu. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu phương trình học chất lỏng, chứng minh định lí tồn nghiệm yếu, đồng thời đưa kết tồn đánh giá số chiều tập hút lùi toán, tính ổn định nghiệm dừng. 4. Đối tượng phạm vi nghiên cứu Phương trình đạo hàm riêng phi tuyến phương trình học chất lỏng. 5. Phương pháp nghiên cứu Chúng áp dụng phương pháp Galerkin để tồn nghiệm yếu nghiệm dừng yếu toán. Tiếp theo áp dụng phương Constantin-Foias-Temam để đánh giá số chiều tập hút lùi. 6. Đóng góp luận văn Luận văn trình bày tồn nghiệm yếu. Sử dụng kết để tồn tập hút lùi đánh giá số chiều tập hút lùi. Cuối chứng minh tồn tính ổn định nghiệm dừng yếu. Các kết gửi đăng tạp chí chuyên ngành [2]. Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương trình bày kiến thức không gian hàm, toán tử, lí thuyết tập hút lùi, số chiều fractal bổ đề compact hữu ích, bất đẳng thức thường xuyên sử dụng luận văn. Các kết chủ yếu dựa vào tài liệu [1, 2, 3, 7, 8]. 1.1. Các không gian hàm 1.1.1. Các không gian hàm toán tử 2 2 1 ∞ Đặt C∞ (Ω) = (C0 (Ω)) , Lb (Ω) = (Lb (Ω)) , Hb (Ω) = (Hb (Ω)) . Ta trang bị tích vô hướng tương ứng L2b (Ω), H1b (Ω) (u, v)b = bu.vdx, u, v ∈ L2b (Ω), Ω b∇uj .∇vj dx, u, v ∈ H1b (Ω), ((u, v))b = Ω j=1 hàm b(x) dương bị chặn Ω ⊂ Rn chuẩn tương ứng |u|2 = (u, u)b , ||u||2 = ((u, u))b . Ta định nghĩa không gian: V = {u : u ∈ C∞ (Ω), ∇ · (bu) = 0, n · u = 0, x ∈ ∂Ω}; H = {u : u ∈ L2b (Ω), ∇ · (bu) = 0, n · u = 0, x ∈ ∂Ω}; V = {u : u ∈ H1b (Ω), ∇ · (bu) = 0, n · u = 0, x ∈ ∂Ω}. Ta thấy H, V tương ứng bao đóng V không gian L2b (Ω), H1b (Ω) H, V không gian Hilbert V ⊂ H ≡ H ⊂ V , phép nhúng trù mật liên tục. Ta sử dụng | · |, || · ||, || · ||∗ tương ứng chuẩn H, V, V , ·, · cặp đối ngẫu V V . • Toán tử A : Với dạng song tuyến tính a(·, ·) : V × V −→ R liên tục thỏa mãn điều kiện V. Ta định nghĩa toán tử A : V −→ V xác định Au, v = a(u, v) ∀u, v ∈ V, với miền xác định D(A) = {u ∈ V : Au ∈ H}, trù mật H, toán tử không bị chặn H, D(A) = H2b ∩ V, toán tử nghịch đảo A−1 tự liên hợp compact. Do đó, tồn sở trực chuẩn H dãy (λj ) cho < λ1 ≤ λ2 ≤ · · · , λj → ∞, ∀j = 1, 2, . . . . Awj = λj wj , • Toán tử B : Ta định nghĩa dạng 3-tuyến tính (·, ·, ·) bui (u, v, w) = i,j=1 Ω ∂vj wj dx, ∂xi tích phân có nghĩa. Ta thấy rằng, với u, v, w ∈ V , (u, v, w) = −(u, w, v). Từ (u, v, v) = 0, ∀u, v ∈ V. Đặt toán tử B : V × V → V xác định B(u, v), w = (u, v, w) Bu = B(u, u). 43 chuẩn L2 (t − k, t; V ) tương đương với chuẩn thông thường L2 (t − k, t; V ). Do đó, từ (2.3.20) ta suy t t e−σ(t−s) [U (s, t−k)wk ]2 ds ≤ lim inf e−σ(t−s) [U (s, t−k)U (t−k, τn )u0n ]2 ds. n →∞ t−k t−k Từ t e−σ(t−s) [U (s, t − k)U (t − k, τn )u0n ]2 ds lim sup − n →∞ t−k t e−σ(t−s) [U (s, t − k)U (t − k, τn )u0n ]2 ds = − lim inf n →∞ t−k t e−σ(t−s) [U (s, t − k)wk ]2 ds. ≤ −2 (2.3.22) t−k Bây ta qua giới hạn lim sup n → ∞ (2.3.18), theo (2.3.19), (2.3.21) (2.3.22) ta thu lim sup|U (t, τn )u0n |2 ≤ e−σk Rσ2 (t − k) n →∞ t +2 eσ(s−t) ( f (s), U (s, t − k)wk − [U (s, t − k)wk ]2 )ds. t−k (2.3.23) Mặt khác, từ (2.3.17) áp dụng vào (2.3.13) ta kết luận |w0 | = |U (t, t − k)wk |2 = |wk |2 e−σk t eσ(s−t) ( f (s), U (s, t − k)wk − [U (s, t − k)wk ]2 )ds. (2.3.24) +2 t−k Từ (2.3.23) (2.3.24), ta có lim sup |U (t, τ0n )|2 ≤ e−σk Rσ2 (t − k) + |w0 |2 − |wk |2 e−σk n →∞ ≤ e−σk Rσ2 (t − k) + |w0 |2 , 44 đó, ta có e−σt e−σk Rσ2 (t − k) = σ t−k eσs ||f (s)||2∗ ds → k → +∞, −∞ ta dễ dàng thu (2.3.14) từ bất đẳng thức cuối. 2.3.2. Đánh giá số chiều tập hút lùi Bây giờ, ta viết lại toán (2.1.1) dạng (1.2.1) cách đặt F (u, t) = −Au(t) − Bu(t) + f (t). Khi đó, ánh xạ F (·, t) khả vi Gateaux V với t ∈ R với F (u, t)v = −Av − B(u, v) − B(v, u), u, v ∈ V, ánh xạ F : (u, t) ∈ V × R −→ F (u, t) ∈ L(V ; V ) liên tục. Quan sát rằng, với τ ∈ R, u0 , v0 ∈ H, tồn nghiệm v(t) = v(t; τ, u0 , v0 ) toán     v ∈ L2 (τ, T ; V ) ∩ C([τ, T ]; H),    dv = −Av(t) − B(U (t, τ )u0 , v(t)) − B(v(t), U (t, τ )u0 ),  dt     v(τ ) = v0 . τ ≤ t, (2.3.25) Bây giờ, ta giả thiết f ∈ L∞ (−∞, T ∗ ; V ) với T ∗ ∈ R. (2.3.26) Bổ đề 2.3.2. Giả sử f ∈ L2loc (R; V ) (2.3.26) đúng. Khi đó, tập Dσ -hấp thụ lùi A thu thỏa mãn A(τ ) compact tương đối H. τ ≤T ∗ (2.3.27) 45 Chứng minh. Đặt M = ||f ||L∞ (−∞,T ∗ ;V ) , từ (2.2.1) ta có t 2e−σt Rσ (t) = σ eσs ||f (s)||2∗ ds −∞ t 2M e−σt ≤ σ eσs ds = 2M . σ2 −∞ ta kết luận B ∗ := Bσ (τ ) bị chặn H, τ ≤T ∗ Bσ (τ ) = B(0, Rσ (τ )). Kí hiệu M tập hợp tất phần tử y ∈ H cho tồn dãy {(tn , τn )} ⊂ R2 thỏa mãn τn ≤ tn ≤ T ∗ , n ≥ 1, lim (tn − τn ) = +∞, n→∞ dãy {u0n } ⊂ B ∗ cho lim |U (t, τn )u0n − y| = 0. n→∞ Dễ dàng thấy A(t) ⊂ M với t ≤ T ∗ . Nếu ta chứng minh M compact tương đối H, ta có (2.3.27). Cho {yk } ⊂ M, với k ≥ 1, ta lấy (tk , τk ) ∈ R2 phần tử u0k ∈ B ∗ cho tk ≤ T ∗ , tk − τk ≥ k |U (tk , τk )u0k − yk | ≤ . Sử k dụng (2.3.26), lí luận tương tự mục 3.4 [4], ta trích từ {yk } dãy hội tụ H. Bổ đề 2.3.3. Giả sử f ∈ L2loc (R; V ) (2.3.26) đúng. Khi đó, trình U (t, τ ) liên kết với toán (2.1.1) có tính chất tựa vi phân (1.2.2)-(1.2.4), với v(t) = v(t; τ, u0 , v0 ) xác định (2.3.25). 46 Chứng minh. Theo (2.3.26) Bổ đề 2.3.2, tồn số C > cho ||f ||2L∞ (−∞,T ∗ ;V ) ≤ Cα3 , |u0 |2 ≤ Cα2 , với u0 ∈ A(τ ). τ ≤T ∗ (2.3.28) Cố định τ ≤ T ∗ , u0 , u0 ∈ A(t), kí hiệu u(t) = U (t, τ )u0 , u(t) = U (t, τ )u0 đặt v(t) nghiệm (2.3.25) với v0 = u0 − u0 . Từ d |u(t)|2 + α||u(t)||2 ≤ ||f (t)||2∗ , dt αλ1 ta có t t ||u(s)||2 ds ≤ |u0 |2 + |u(t)|2 + α αλ1 τ ||f (s)||2∗ ds. (2.3.29) τ Từ (2.3.28) ta đạt t ||u(s)||2 ds ≤ Cα(1 + (t − τ )). λ1 (2.3.30) τ Đặt ω(t) = u(t) − u(t), τ ≤ t, ta có d |ω(t)|2 + 2α||ω(t)||2 ≤ 2|(ω(t), u(t), ω(t))| dt c21 ≤ |ω(t)|2 ||u(t)||2 + α||ω(t)||2 , α c21 d 2 |ω(t)| + α||ω(t)|| ≤ |ω(t)|2 ||u(t)||2 dt α d c21 |ω(t)| ≤ |ω(t)|2 ||u(t)||2 . dt α Áp dụng bất đẳng thức Gronwall (2.3.30) thu |ω(t)|2 ≤ |ω(τ )|2 exp(c21 C(1 + λ21 (t − τ )) (2.3.31) 47 từ với τ ≤ T ∗ , |ω(t)|2 ≤ |ω(τ )|2 exp(C1 (1 + t − τ )) C1 = (2.3.32) c21 C }. max{c1 C, λ1 Từ (2.3.31) (2.3.32) ta có t |ω(t)|2 + α t c21 2 ||ω(s)|| ds ≤ |ω(τ )| + α |ω(s)|2 ||u(s)||2 ds τ τ t c21 ≤ |ω(τ )| [1 + exp(C1 (1 + t − τ )) α ||u(s)||2 ds], τ theo (2.3.30), ta có t ||ω(s)||2 ds ≤ |ω(τ )|2 [1 + α c21 exp(C1 (1 + t − τ )).Cα(1 + (t − τ ))], α λ1 τ ≤ |ω(τ )|2 exp(2C1 (1 + t − τ )). (2.3.33) Đặt z(t) = u(t) − u(t) − v(t) = ω(t) − v(t), t ≥ τ, z(t) thỏa mãn    z ∈ L2 (τ, T ; V ) ∩ L∞ (τ, T ; H) ∩ C([τ, T ]; H), với t > τ,        dz = −Az(t) − B(u(t), u(t)) + B(u(t), u(t)) + B(u(t), v(t)) dt   +B(v(t), u(t)), t > τ,       z(τ ) = 0. (2.3.34) Ta thấy với t > τ, −B(u(t), u(t)) + B(u(t), u(t)) + B(u(t), v(t)) + B(v(t), u(t)) = −B(u(t), z(t)) − B(z(t), u(t)) − B(ω(t), ω(t)), 48 ta kết luận được, với t > τ, dz |z(t)|2 + α||z(t)||2 ≤ |(z(t), u(t), z(t))| + |(ω(t), ω(t), z(t))| dt ≤ c1 (|z(t)|||z(t)||||u(t)|| + |ω(t)|||ω(t)||||z(t)||) ≤ α||z(t)||2 + c21 |z(t)|2 ||u(t)||2 + |ω(t)|2 ||ω(t)||2 . 2α Do dz c21 |z(t)| ≤ |z(t)|2 ||u(t)||2 + |ω(t)|2 ||ω(t)||2 dt α (2.3.35) Lấy tích phân (2.3.35) từ τ tới t sử dụng z(τ ) = 0, ta có  t  t c2 |z(t)|2 ≤  |z(s)|2 ||u(s)||2 ds + |ω(s)|2 ||ω(s)||2 ds , ∀t ≥ τ, α τ τ theo bất đẳng thức Gronwall thu    t c21 c21 2    |ω(s)| ||ω(s)|| ds exp |z(t)| ≤ α α τ  t ||u(s)||2 ds . τ Từ (2.3.32) (2.3.33) ta đạt |z(t)|2 ≤ c21 α  t |ω(τ )|2 exp (C1 (1 + t − τ )) ||ω(s)||2 ds. exp ≤ c21 |ω(τ )|4 exp (C1 (1 α ||u(s)||2 ds α τ  t  c1 τ + t − τ )) . Đặt γ(s, r) = c1 r exp (C1 (1 + t − τ )) . α Vì vậy, (1.2.2)-(1.2.4) đúng. Bây ta chứng minh kết mục này. Định lí 2.3.2. Giả sử f ∈ L2loc (R; V ) (2.3.26) đúng. Khi đó, tập Dσ −hấp thụ lùi A = {A(t) : t ∈ R} thỏa mãn dF (A(τ )) ≤ k1 ||f ||L∞ (−∞,T ∗ ;V k2 αλ1 ) với τ ∈ R, 49 k1 , k2 số dương. Chứng minh. Với u0 , ξ1 , . . . , ξm ∈ H, ta giả thiết vj (t) = L(t, τ ; u0 )ξj , j = 1, m. Cho {e1 (t), . . . , em (t)} sở trực chuẩn H không gian span {v1 (t), . . . , vm (t)}. Vì vj (t) ∈ V với hầu khắp t ≥ τ, ta giả thiết ej (t) ∈ V với hầu khắp t ≥ τ. Khi đó, ta thấy m T rm (F (U (s, τ )u0 , s) = F (U (s, τ )u0 , s)ei , ei i=1 m −Aei − B(U (s, τ )u0 , ei ) − B(ei , U (s, τ )u0 ), ei = i=1 m =− m Aei , ei − i=1 (U (s, τ )u0 , ei , ei ) i=1 m − (ei , U (s, τ )u0 , ei ) i=1 m m Aei , ei − =− (ei , U (s, τ )u0 , ei ) (2.3.36) i=1 i=1 với hầu khắp s ≥ τ. Ta có m m (ei , u, ei ) = eik (x)Dl uk (x)eil (x)b(x)dx i=1 i=1 Ω k,l=1 m ≤ eik (x)Dl uk (x)eil (x)d(λx) Ω ≤ i=1 k,l=1 |∇u(x)|.ρ(x)d(λx) Ω ≤ |∇u|.|ρ|. Do m (ei , u, ei ) ≤ |∇u|.|ρ| ≤ ||u||.|ρ|. i=1 (2.3.37) 50 Từ (2.3.36) (2.3.37) ta có m T rm F (U (s, τ )u0 , s) ≤ − m Aei , ei + i=1 m ≤− (ei , u, ei ) i=1 Aei , ei + ||u||.|ρ|. i=1 Vì {ei } trực chuẩn H, từ L2b (Ω), V → H1b (Ω), theo bất đẳng thức Lieb-Thirring, tồn số k1 phụ thuộc vào hình dạng Ω cho m (ρ(s, x)) d(λx) ≤ k1 |ρ(s)| = a(ei , ei ) . i=1 Ω Bằng kết [6] (xem [6], Mục 4.2), tồn số k2 cho m m Aei , ei ≥ k2 λ1 m2 . a(ei , ei ) = i=1 i=1 Từ m T rm F (U (s, τ )u0 , s) ≤ − a(ei , ei ) + ||u||.|ρ| i=1 m m a(ei , ei ) + ||u|| k1 ≤− i=1 m ≤− 1/2 i=1 ||u|| k1 a(ei , ei ) + + 2 i=1 m =− a(ei , ei ) a(ei , ei ) + i=1 m a(ei , ei ) i=1 ||u||2 k1 ||u||2 k1 ≤ − k2 m2 λ1 + . 2 Mặt khác, d |U (s, τ )u0 |2 + α||U (s, τ )u0 ||2 ≤ ||f (s)||2∗ , ds αλ1 51 với M = ||f ||2L∞ (−∞,T ∗ ;V ) ta có τ τ 1 ||U (s, τ )u0 ||2 ds ≤ |U (τ − T, τ )u0 |2 + α α λ1 τ −T ||f (s)||2∗ ds τ −T 1 ≤ |u0 |2 + M (τ − τ + T ) α α λ1 MT ≤ |u0 |2 + . α α λ1 Do τ k2 m2 λ1 T k1 T rm F (U (s, τ )u0 , s)ds ≤ − + 2 τ −T τ ||U (s, τ )u0 ||2 ds τ −T ≤− k2 m λ1 T k1 + 2 MT |u0 |2 + α α λ1 . (2.3.38) Ta thu τ q˜m = lim sup sup T →+∞ u0 ∈A(τ −T ) T k2 m2 λ1 T M T T rm F (U (s, τ )u0 , s)ds ≤ − + . 2α λ1 τ −T k2 m2 T MT Đặt qm = ϕ(m) = − + , ta thấy ϕ(d) = 2α2 λ1 k1 M 1/2 . Ta đạt d∗ = k2 αλ1 dF (A(τ )) ≤ k1 ||f ||L∞ (−∞,T ∗ ;V k2 αλ1 ) với τ ≤ T ∗ . Cuối cùng, U (t, τ ) Lipschitz A(τ ), từ Mệnh đề 13.9 [7] ta suy dF (A(t)) bị chặn với t ≥ τ với chặn trên. 52 2.4. Tính ổn định nghiệm dừng Trong mục ta xét toán dừng sau.    (u · ∇)u + g∇h = b−1 ∇ · [bν(∇u + (∇u)T − ∇ · uI)] − ηu + f,        ∇ · (bu) = 0,    u(x, 0) = u0 (x),       u · n = 0,      νt · (∇u + (∇u)T ) · n = −βt · u, x ∈ Ω, x ∈ Ω, x ∈ Ω, x ∈ ∂Ω, x ∈ ∂Ω. (2.4.1) Ta chứng minh tồn tính ổn định toàn cục nghiệm dừng ngoại lực không phụ thuộc vào thời gian t. Định nghĩa 2.4.1. Hàm u ∈ V gọi nghiệm yếu toán dừng (2.4.1) a(u, v) + (u, u, v) = f, v với v ∈ V. (2.4.2) Ta có kết tồn nghiệm yếu toán dừng (2.4.1) đây. Định lí 2.4.1. Giả sử b(x), ν(x), η(x) hàm không âm Ω. Giả thiết thêm b ν trơn thỏa mãn bν ≥ C > với số C đó, β(x) ≥ k(x) ∂Ω, k(x) độ cong ∂Ω x. Cho trước f ∈ V c||f ||∗ < 1, α2 λ1 (2.4.3) c số dương. Khi đó, toán dừng (2.4.1) có nghiệm yếu u. Chứng minh. Xét sở trực chuẩn {wj } ⊂ V H gồm toàn véctơ riêng toán tử Stokes Ω. Không gian V sinh 53 span w1 , . . . , wm kí hiệu Vm . Ta xét phép chiếu Pm : V −→ Vm xác định m Pm u = (u, wi )wi , i=1 định nghĩa nghiệm xấp xỉ m um = γim wi , i=1 a(um , wi ) + (um , um , wi ) = f, wi (2.4.4) với v Vm . Phương trình (2.4.4) tương đương với Aum + Pm Bum = Pm f. (2.4.5) Sự tồn nghiệm xấp xỉ um (2.4.3) suy từ định lí điểm bất động Brouwer tương tự trường hợp toán dừng hệ NavierStokes (xem [8, tr. 164]). Ở đây, ta có ((Pm u, v)) = Au, v + (u, u, v) − f, v , ∀u, v ∈ Vm . Rõ ràng Pm liên tục, ta có ((Pm u, u)) = a(u, u) + (u, u, u) − f, u , ≥ α||u||2 − 1/2 ||f ||∗ .||u||. λ1 Do ((Pm u, u)) > với ||u|| = k, k > β = ||f ||∗ 1/2 . Từ đó, nghiệm αλ1 um tồn tại. Lấy v = um (2.4.4) ta có a(um (t), um (t)) = f, um (t) , từ α||um || ≤ ||f ||∗ 1/2 λ1 . (2.4.6) 54 Ta trích từ dãy {um } dãy {um } mà hội tụ yếu V tới giới hạn u đó. Nếu Ω bị chặn, phép nhúng từ V vào H compact. Do đó, hội tụ chuẩn H, nên um um → u mạnh H, u yếu V, theo dãy đó. Qua giới hạn (2.4.4) với dãy m , ta có u nghiệm yếu (2.4.1). Nếu Ω không bị chặn, lúc phép nhúng từ V vào H không compact. Tuy nhiên, khó khăn vượt qua tương tự lí luận trường hợp hệ Navier-Stokes [8, tr. 168-171]. Cụ thể, với tập bị chặn O ⊂ Ω, đặt ψ ∈ D(R2 ), ψ = O cho Ω tập bị chặn Ω bao hàm giá ψ. Khi đó, hàm ψum thuộc H1b (Ω ) um hội tụ yếu tới u V, ψum → ψu yếu H1b (Ω ). Từ ψum → ψu mạnh L2b (Ω). Vì |um − u|2 bdx ≤ O ψ |um − u|2 bdx → 0, Ω đó, ta có um → u mạnh L2b (O) ∀O ⊂ Ω. Như um → u mạnh L2b,loc (Ω), ta qua giới hạn (2.4.4) với dãy m để tìm hàm u nghiệm yếu (2.4.1). Để chứng minh tính nghiệm dừng, ta giả sử u1 u2 hai nghiệm (2.4.1). Đặt u = u1 − u2 , ta có a(u, u) = (u2 , u2 , u) − (u1 , u1 , u) = −(u, u2 , u). 55 Theo Bổ đề 1.1.2, |(u, u2 , u)| ≤ c|u| ||u|| ||u2 || ≤ ≤ c ||f ||∗ ||u||2 , αλ1 c 1/2 λ1 ||u||2 ||u2 || ta sử dụng bất đẳng thức (2.4.6) cho nghiệm u2 . Do đó, a(u, u) ≤ c ||f ||∗ ||u||2 αλ1 hay c||f ||∗ )||u||2 ≤ 0, αλ1 u = 0, tức là, u1 = u2 , (2.4.3) đúng. (α − Định lí 2.4.2. Nếu u nghiệm yếu toán (2.1.1) với điều kiện ban đầu u0 ∈ H f (t) ≡ f với t, u(t) → u∗ H t → +∞, u∗ nghiệm dừng toán (2.4.2). Chứng minh. Đặt v(t) = u(t) − u∗ , ta có dv(t) + Av(t) + Bu(t) − Bu∗ = 0, dt lấy tích vô hướng hai vế với v(t), thu 1d |v(t)|2 + a(v(t), v(t)) + (u(t), u(t), v(t)) − (u∗ , u∗ , v(t)) = 0. dt Từ d |v(t)|2 + 2a(v(t), v(t)) = 2(v(t), v(t), u∗ ) ≤ 2c|v(t)|||v(t)||||u∗ || dt 2c ≤ 1/2 ||v(t)||2 ||u∗ || λ1 2c||f ||∗ ≤ ||v(t)||2 . αλ1 56 Do 2c||f ||∗ d |v(t)|2 + 2α||v(t)||2 ≤ ||v(t)||2 dt αλ1 hay d |v(t)|2 + α|v(t)|2 ≤ dt c||f ||∗ α = 2(α − ) > 0. Điều chứng tỏ |v(t)| giảm theo tốc αλ1 độ mũ tới t → +∞ |v(t)|2 = |u(t) − u∗ |2 ≤ |u0 − u∗ |2 e−αt . Điều hoàn thành chứng minh định lí. Kết luận Luận văn nghiên cứu dòng chảy không nén giới hạn lưu vực 3-chiều với đáy biến đổi, mô hình mô tả hệ phi tuyến sau   ∂u   + (u · ∇)u + g∇h = b−1 ∇ · [bν(∇u + (∇u)T − ∇ · uI)] − ηu + f,   ∂t      ∇ · (bu) = 0, x ∈ Ω, t > τ,    u(x, 0) = u0 (x), x ∈ Ω,       u · n = 0, x ∈ ∂Ω,       νt · (∇u + (∇u)T ) · n = −βt · u, x ∈ ∂Ω. b(x) hàm trơn dương xác định Ω. Luận văn giải vấn đề toán học đặt ra, cụ thể luận văn chứng minh được: • Sự tồn nghiệm yếu; • Sự tồn đánh giá số chiều hữu hạn tập hút lùi trình sinh toán; • Sự tồn tính ổn định nghiệm dừng yếu toán. Các kết gửi đăng tạp chí chuyên ngành [2]. Các vấn đề mở tương tự toán quan tâm nghiên cứu dáng điệu tiệm cận cho nghiệm mạnh trường hợp miền bị chặn không bị chặn. Luận văn chắn khó tránh khỏi thiếu sót, mong nhận cộng tác, góp ý giúp đỡ người quan tâm. 57 Tài liệu tham khảo [1] Cung Thế Anh, Cơ sở lí thuyết hệ động lực vô hạn chiều, NXB ĐHSP (2012). [2] C. T. Anh and B. K. My, Long-time behavior for non-autonomous 2D viscous lake equations, submitted (2014). [3] C. T. Anh and Đ. T. Quyet, Long-time behavior for 2D nonautonomous g-Navier-Stokes equations, Ann. Pol. Math. 103 (2012), 277-302. [4] J. A. Langa, G. Lukaszewicz and J. Real, Finite fractal dimension of the pullback attractors for non-autonomous 2D Navier-Stokes equations in some unbounded domains, Nonlinear Anal 66 (2007), 735749. [5] C. D. Levemore and M. Samartino, A shallow water model with eddy viscosity for basins with varying bottom topography, Nonlinearity 14 (2001), 1493 – 1515. [6] W. Ott, The global attractor associated with the viscous lake equations, Nonlinearity 17 (2004), 1041 – 1055. [7] J. C. Robinson, Infinite-Dimensional Dynamical Systems, Cambridge Univ. Press, (2001). [8] R. Temam, Navier-Stokes Equations: Theory and Numerical Analysis, 2nd ed, North-Holland, Amsterdam, (1979). 58 [...]... 1) Chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu khi ngoại lực phụ thuộc vào thời gian t; 2) Chứng minh sự tồn tại và đánh giá số chiều của tập hút lùi của quá trình sinh bởi bài toán; 30 3) Chứng minh tính ổn định của nghiệm dừng yếu Để nghiên cứu bài toán (2.1.2) ta giả thiết: (A1) Ω là miền bất kì (bị chặn hoặc không bị chặn) trong R2 mà bất đẳng thức Poincaré đúng trên Ω, tức là, tồn tại λ1 > 0 sao... ||f (s)||2 ds < +∞, ∗ −∞ trong đó σ là một số dương cố định nào đó 2.2 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu Trong mục này, dưới các giả thiết của bài toán chúng tôi chứng minh tính đặt đúng của bài toán (2.1.2), các kết quả về tính đặt đúng trong trường hợp ôtônôm trong miền bị chặn có thể xem trong [5] Định lí 2.2.1 Giả sử ν(x), và η(x) là các hàm không âm trên Ω Giả sử b, ν trơn và thỏa mãn 0 < c ≤ bν... đó và β(x) ≥ k(x) trên ∂Ω, trong đó k(x) là độ cong của ∂Ω tại x Giả sử cho trước u0 ∈ H và các giả thiết (A1 ) − (A2 ) đúng Khi đó với bất kì τ ∈ R, T > τ cho trước, bài toán (2.1.2) có duy nhất nghiệm yếu u trên (τ, T ) Hơn nữa, t 1 |u(t)|2 ≤ |u0 |2 e−σ(t−τ ) + σ eσ(s−t) ||f (s)||2 ds ∗ −∞ (2.2.1) 31 Chứng minh (i) Sự tồn tại Bước 1: Nghiệm xấp xỉ Galerkin Lấy một cơ sở {wj } của V, và định nghĩa nghiệm. .. V ) ∩ L∞ (τ, T ; H) và một dãy con của {um } sao cho um u yếu trong L2 (τ, T ; V ); um u yếu-* trong L∞ (τ, T ; H); Aum um Au yếu trong L2 (τ, T ; V ); u yếu trong L2 (τ, T ; V ) Bây giờ ta chứng tỏ Bum Bu yếu trong L2 (τ, T ; V ) (2.2.8) Nếu miền Ω bị chặn, ta có thể sử Bổ đề compact Aubin-Lions (1.3.1) để suy ra sự tồn tại của một dãy con của {um } sao cho um hội tụ mạnh tới u trong L2 (τ, T ; H)... là một hàm số liên tục tuyệt đối trên [τ, T ] và thỏa mãn dy(t) ≤ g(t)y(t) + h(t), dt với hầu khắp t ∈ [τ, T ], trong đó g(t), h(t) là các hàm khả tích trên [τ, T ] Khi đó t y(t) ≤ y(τ ) exp( g(s)ds) + τ với τ ≤ t ≤ T t t exp( τ g(r)dr)h(s)ds, s Chương 2 SỰ TỒN TẠI VÀ ĐÁNH GIÁ SỐ CHIỀU CỦA TẬP HÚT LÙI 2.1 Đặt bài toán Trong luận văn này, chúng tôi xét một dòng chảy không nén được giới hạn trong một. .. với mọi D ∈ D và với mọi t ∈ R; (4) Nếu {C(t) : t ∈ R} là một họ hút đóng khác thì A(t) ⊂ C(t) với mọi t ∈ R Định lí 1.2.1 Cho {U (t, τ )} là một quá trình liên tục mạnh-yếu và {U (t, τ )} D-compact tiệm cận lùi Nếu tồn tại họ các tập D-hấp thụ lùi B = {B(t) : t ∈ R} ∈ D, thì {U (t, τ )} có duy nhất tập D-hút lùi A = {A(t) : t ∈ R} và A(t) = U (t, τ )B(τ ) s≤t τ ≤s 1.2.2 Số chiều fractal của tập hợp... lùi Ta nhớ lại một số kiến thức cơ bản về lí thuyết tập hút lùi và số chiều fractal trong [1] 1.2.1 Khái niệm tập hút lùi Cho (X, d) là một không gian metric, với các tập A, B ⊂ X, ta định nghĩa nửa khoảng cách Hausdorff giữa hai tập A và B bởi dist(A, B) = sup inf d(x, y) x∈A y∈B Định nghĩa 1.2.1 Một quá trình trên X là một họ các ánh xạ hai tham số {U (t, τ )} trong X thỏa mãn các tính chất sau: U (t,... rằng bề mặt tự do của chất lỏng tại thời điểm t được cho bởi z = h(x, t) và bề mặt này không bao giờ tiếp xúc với đáy (tức là b(x) + h(x, t) > 0) Do đó, miền giới hạn chất lỏng, ký hiệu là Σ(t), được cho bởi Σ(t) = {(x, y, z) ∈ R3 : x = (x1 , x2 ) ∈ Ω, −b(x) < z < h(x, t)} Với tình huống vật lí này, ta suy ra mô hình nước nông từ hệ phương trình của dòng chảy 3-chiều không nén được, trong đó ứng suất... nguyên Mô hình của ta dựa trên hai bước xấp xỉ: mô hình nắp cứng và nước nông xấp xỉ, mỗi mô hình đó được đặc trưng bởi một tham số không thứ nguyên nhỏ Trong phần này ta đồng nhất các sự xấp xỉ đó và các tham số Sau đó ta đưa ra các xấp xỉ đó vào trong mô hình 3 chiều của ta thông qua mô hình không thứ nguyên + Mô hình nắp cứng xấp xỉ Ta giả sử rằng, độ lệch H của bề mặt trên từ mức trung bình của dòng... ξ(x, z, t) và γ(ξ) cho bởi ξ= h−z h+b xb − z+b h+b xh γ(ξ) = 1 1 + |ξ|2 (2.1.17) Sự biểu diễn của tensor ứng suất cho phép ta đơn giản hóa các điều kiện biên tại mặt trên tự do và đáy Từ (2.1.16) và (2.1.17), tại bề mặt trên N = Ω với ξ = − N = −Ω với ξ = x b x h, trong khi đó, tại bề mặt đáy Theo các biểu diễn (2.1.12)-(2.1.15) suy ra véctơ SN được phân tích thành các thành phần tiếp tuyến và pháp tuyến . và được sự định hướng của thầy hướng dẫn, chúng tôi chọn đề tài Sự tồn tại và dáng điệu tiệm cận nghiệm của một phương trình trong cơ học chất lỏng để thực hiện luận văn tốt nghiệp chương trình. đề tài Sự tồn tại và dáng điệu tiệm cận nghiệm của một phương trình trong cơ học chất lỏng được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Cung Thế Anh và bản thân tác giả. Trong quá trình nghiên. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 BÙI KIM MY SỰ TỒN TẠI VÀ DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN NGHIỆM CỦA MỘT PHƯƠNG TRÌNH TRONG CƠ HỌC CHẤT LỎNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: