Phương trình sóng phi tuyến bị nhiễu xấp xỉ tuyến tính và dáng điệu tiệm cận của nghiệm

LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, tôi xin kính gửi đến Thầy Nguyễn Công Tâm lời cảm ơn sâu sắc nhất về sự giúp đỡ của Thầy trong việc hoàn thành luận văn.. Xin chân thành cảm ơn quý Thầy Cô thuộ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS NGUYỄN CÔNG TÂM

Thành phố Hồ Chí Minh – 2008

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên, tôi xin kính gửi đến Thầy Nguyễn Công Tâm lời cảm

ơn sâu sắc nhất về sự giúp đỡ của Thầy trong việc hoàn thành luận văn Xin chân thành cảm ơn thầy Lê Hoàn Hóa và thầy Nguyễn Thành Long đã đọc và cho nhiều ý kiến đóng góp bổ ích

Xin chân thành cảm ơn quý Thầy Cô thuộc Khoa Toán – Tin học Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh và Đại học khoa học

tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh đã tận tình giảng dạy tôi trong suốt khóa học

Xin cảm ơn quý Thầy Cô thuộc phòng Khoa học Công nghệ và Sau đại học, thư viện trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, Ban Giám hiệu trường THPT Chuyên Hùng Vương – Bình Dương đã tạo mọi điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thành chương trình học

Xin cảm ơn các anh chị và các bạn trong lớp Cao học giải tích K16 cũng như các anh chị và các bạn trong nhóm xemina do Thầy Nguyễn Thành Long chủ trì đã hỗ trợ tôi nhiều mặt trong thời gian học tập và nghiên cứu

Và cuối cùng, lời thân thương nhất tôi xin được gửi đến gia đình tôi, nơi đã tạo cho tôi mọi điều kiện thuận lợi để học tập và hoàn thành luận văn này

Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 09 – 2008

MỤC LỤC

Trang phụ bìa

Lời cảm ơn

Mục lục

MỞ ĐẦU 1

Chương 1: CÁC CÔNG CỤ CHUẨN BỊ 5

1.1 Các không gian hàm thông dụng 5

1.2 Không gian hàm L p(0, ; )T X , 1≤ ≤ ∞p 6

1.3 Phân bố có giá trị trong không gian Banach 7

1.4 Đạo hàm trong L p(0, ; )T X 8

1.5 Bổ đề về tính compact của Lions 8

1.6 Bổ đề về sự hội tụ yếu trong ( )L Q 9 q 1.7 Một số kết quả khác 9

Chương 2: SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM 10

2.1 Giới thiệu 10

2.2 Thuật giải xấp xỉ tuyến tính 10

2.3 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm 21

Chương 3: SỰ HỘI TỤ CẤP HAI 25

3.1 Dãy lặp cấp hai 25

3.2 Sự hội tụ bậc hai 34

Chương 4: DÁNG ĐIỆU NGHIỆM KHI λ → 0+, δ → 0+. 40

4.1 Dáng điệu tiệm cận của nghiệm yếu theo hai tham số λ δ 40 ,

4.2 Dáng điệu tiệm cận của nghiệm yếu theo một tham số λ 42

4.3 Khai triển tiệm cận theo tham số λ đến cấp 1.N + 45

Chương 5: KHẢO SÁT MỘT TRƯỜNG HỢP CỤ THỂ 54

KẾT LUẬN 56

TÀI LIỆU THAM KHẢO 57

Trong luận văn nầy, chúng tôi muốn sử dụng các phương pháp của Giải tích hàm phi tuyến như: phương pháp Galerkin, phương pháp compact và đơn điệu, phương pháp xấp xỉ tuyến tính liên hệ với các định lí điểm bất động, phương pháp khai triển tiệm cận nhằm khảo sát một bài toán biên có liên quan đến các vấn đề trong khoa học và ứng dụng

Trong luận văn này, chúng tôi xét bài toán giá trị biên và ban đầu sau (0.1) u tt ( , )u u x u t F x t( , ), 0 x 1, 0 t T,

∂

∂(0.2) u(0, )t =u t(1, ) 0,=

(0.3) u x( ,0)=u x u x0( ), t( ,0)=u x1( ),

(0.4) σ( , )u u x =u x +δ f u( ),

trong đó λ, δ là các hằng số không âm cho trước; f F, ,u u0, là các hàm 1,

cho trước thỏa các điều kiện mà ta sẽ chỉ ra sau

Trường hợp σ σ= ( , )u u x xt đã có rất nhiều công trình nghiên cứu Khởi đầu với trường hợp σ σ= ( , )u u x xt =β( )u x +λu xt, λ >0, β ∈C2( ),\ β(0) 0,=

0,

β ε′ ≥ > bài toán (0.1) – (0.3) đã được xét bởi Greenberg, MacCamy, Mizel [10] Đây là mô hình toán học mô tả dao động dọc của một thanh đàn hồi nhớt phi tuyến, ( , )u x t là độ dịch chuyển so với vị trí cân bằng Từ khi xuất hiện

công trình [10], đã có rất nhiều công trình công bố liên quan đến bài toán nầy, chẳng hạn như: Greenberg [11], Greenberg, MacCamy [12], Dafermos [6], Andrews [2], Clements [4]

Trong [7], Alain Phạm đã nghiên cứu sự tồn tại, duy nhất và dáng điệu tiệm cận khi ε → của nghiệm yếu của bài toán (0.3), (0.5) liên kết với điều 0kiện biên Dirichlet thuần nhất

Trong [14, 15], Long và Alain Phạm đã nghiên cứu bài toán (0.3), (0.5) với số hạng phi tuyến có dạng f = f u u1( , ).t

Trong [14], các tác giả xét nó với điều kiện biên hỗn hợp thuần nhất (0.9) u x(0, )t =hu(0, )t + g t u t( ), (1, ) 0,=

trong đó 0h> là hằng số cho trước và trong [15] với điều kiện tổng quát hơn (0.10)

0

(0, ) ( ) (0, ) t ( ) (0, ) , (1, ) 0

x

u t =g t +hu t −∫k t s u− s ds u t =Trong [16], Long và Diễm đã nghiên cứu bài toán (0.3), (0.5) với điều kiện biên hỗn hợp thuần nhất

(phụ thuộc λ, δ ) của bài toán (0.1) – (0.4) khi ( , )λ δ →(0 ,0 )+ + cũng như sự khai triển tiệm cận của nghiệm yếu của bài toán nhiễu theo tham số nhiễu λ

đến cấp N +1, tức là nghiệm có thể xấp xỉ bởi một đa thức theo λ

0

( , ) N ( , ) ,k

k k

u x tλ u x t λ

=

≈∑ theo nghĩa cần chỉ ra các hàm u x t kl( , ),k =0,1, , ,N và thiết lập đánh giá theo dạng

Luận văn được trình bày theo các chương mục sau:

Phần mở đầu, tổng quan về bài toán khảo sát trong luận văn, điểm qua các kết quả đã có trước đó, đồng thời nêu bố cục của luận văn

¾ Chương 1, chúng tôi trình bày một số kết quả chuẩn bị bao gồm

việc nhắc lại một số không gian hàm, một số kết quả về các phép nhúng compact giữa các không gian hàm

¾ Chương 2, chúng tôi tập trung nghiên cứu về sự tồn tại và duy nhất

nghiệm yếu của bài toán (0.1) – (0.4)

¾ Chương 3, chúng tôi tập trung nghiên cứu về sự tồn tại và hội tụ của

dãy lặp cấp hai về nghiệm yếu của bài toán (0.1) – (0.4)

¾ Chương 4, chúng tôi nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của nghiệm yếu

của bài toán (0.1) – (0.4) và sự khai triển tiệm cận theo tham số λ đến cấp 1

N +

¾ Chương 5, minh họa cho khai triển tiệm cận theo λ ở chương 4 bằng một trường hợp cụ thể

Chương 1: CÁC CÔNG CỤ CHUẨN BỊ

1.1 Các không gian hàm thông dụng

Đầu tiên ta đặt các kí hiệu sau Ω =(0,1), Q T = Ω ×(0, ),T T > và bỏ 0qua định nghĩa các không gian hàm thông dụng: C m( ),Ω L p( ),Ω H m( ),Ω , ( )

Ta cũng sử dụng một không gian Sobolev đặc biệt hơn đó là không gian

(1.1.7)

1 1

1 0

,1

.2

H và H−1 Chuẩn trong L2 được

ký hiệu bởi Ta cũng ký hiệu ⋅ để chỉ chuẩn trong không gian Banach X

X và gọi X ′ là không gian đối ngẫu của X

Bổ đề 1.4. p(0, ; ), 1≤ ≤ ∞

p

L T X là không gian Banach

Bổ đề 1.5 Gọi X ′ là đối ngẫu của X Khi đó, với ,

1

p p

p

′ =

−

1< < ∞ p , L p′(0, ;T X ′ là đối ngẫu của (0, ; ).) L p T X

Hơn nữa, nếu X phản xạ thì L p(0, ; )T X cũng phản xạ

Bổ đề 1.6. ( (0, ; ))L1 T X ′=L∞(0, ;T X′). Hơn nữa, các không gian

1(0, ; ),

L T X L∞(0, ;T X ′ không phản xạ )

Chú thích 1.3 Nếu ( ) X =L p Ω thì L p(0, ; )T X =L p(Ω ×(0, )).T

1.3 Phân bố có giá trị trong không gian Banach

Định nghĩa 1.1. Cho X là không gian Banach thực Một ánh xạ tuyến

tính liên tục từ ((0, ))D T vào X được gọi là một (hàm suy rộng) phân bố có giá trị trong X Tập hợp các phân bố có giá trị trong X kí hiệu là

((0, ; ))

D′ T X = ( ((0, )); )L D T X = {u: ((0, )) D T →X: u tuyến tính, liên tục}

Chú thích 1.4. Ta kí hiệu (0, )D T thay cho ((0, )) D T hoặc ((0, )) C c∞ T

để chỉ không gian các hàm thực khả vi vô hạn và có giá compact trong (0, ).T

Định nghĩa 1.2 Cho (0, ; ).u D∈ ′ T X Ta định nghĩa đạo hàm du

Chứng minh của bổ đề 1.7 có thể tìm thấy trong Lions[13]

1.4 Đạo hàm trong L p(0, ; ).T X

Do bổ đề 1.7, u ∈ (0, ; )L p T X ta có thể coi u D∈ ′(0, ; )T X và do đó du

dt

là phần tử của (0, ; ).D′ T X Ta có kết quả sau:

Bổ đề 1.8. Nếu , (0, ; ) u u′∈L p T X thì u bằng hầu hết một hàm liên tục

từ [0, ] T vào X

Chứng minh của bổ đề 1.8 có thể tìm thấy trong Lions[13]

1.5 Bổ đề về tính compact của Lions

Cho ba không gian Banach X X X với 0, , 1 X0- -X X1 với các phép nhúng liên tục sao cho

Khi đó (0, )W T là không gian Banach Hiển nhiên (0, ) W T - L p0(0, ; ).T X

Ta có kết quả sau đây liên quan đến phép nhúng compact

Bổ đề 1.9. (Bổ đề về tính compact của Lions[13]) Với giả thiết (1.5.1), (1.5.2) và nếu 1< p i < ∞ =, i 0,1 thì phép nhúng W(0, )T -L p0(0, ; )T X là compact

Chứng minh. Có thể tìm thấy trong Lions[13], trang 57

1.6 Bổ đề về sự hội tụ yếu trong ( ).L Q q

Chương 2: SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM

Xét một cơ sở trực giao { }w j của 1

0

H và trực chuẩn trong L2 gồm các hàm w j = 2 sin(j x jπ ), =1,2, được lập từ các hàm riêng của toán tử Laplace

2.2 Thuật giải xấp xỉ tuyến tính

Ta thành lập các giả thiết sau:

Tiếp theo, ta xây dựng dãy { }u m trong W M T1( , ) bằng qui nạp và

chứng minh nó hội tụ về nghiệm yếu của bài toán (2.2.1) – (2.2.3) với sự lựa

Sự tồn tại của u m được cho bởi định lí sau

Định lí 2.1 Giả sử (H1) (− H4) là đúng Khi đó, tồn tại các hằng số dương M, T và một dãy qui nạp tuyến tính { }u m ⊂W M T1( , ) xác định bởi

(2.2.9) – (2.2.11)

Chứng minh. Gồm các bước sau

Bước 1 Xấp xỉ Galerkin Xét một cơ sở trực giao Hilbert { } w j của 1

( ) ( ) ( ) ( ), ,(0) , (0) , 1

( ) 2 ( )( k ( ) t) k ( ) t t ( ), , 1

λ λ

(2.2.23)

2 1

( )( ) ( ) ( ) ( ) , , [0, ]

(2 )!

p k

(2 )!

p k

(2 2)!

p k

0 0

( )(2 )!

2 2

( )

, , [0, ].(2 2)!

p

X

t

c d c d X t T p

0( )= (0) 2+ ∫ ( ), ( )

(2.2.48)

2 2 2

0

1 (0, ; )

0

1 (0, ; )

0

1

( ) 3 ( )3

t k m

t k m

( )

t k m

0

2

1 (0, ; )

t k m

k m

M

S ≤ ∀k m Tiếp theo ta chọn hằng số T > sao cho 0

1( , ) exp (8 3 ) 2

u →u trong L Q yếu, 2( T)(2.2.67) u m∈W M T( , )

Qua giới hạn trong (2.2.13), (2.2.14) và nhờ vào (2.2.64) – (2.2.67) ta

có u thỏa (2.2.9) – (2.2.11) trong m L2(0, )T yếu

2.3 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm

Trong phần này ta sẽ chứng tỏ rằng bài toán (2.2.1) – (2.2.3) có duy nhất một nghiệm yếu Ta giới thiệu không gian

Mặt khác, dãy qui nạp tuyến tính { }u được xác định bởi (2.2.9) – m

(2.2.11) hội tụ mạnh về u trong không gian W T 1( )

Hơn nữa, ta cũng có đánh giá sai số

(i)Sự tồn tại nghiệm

Ta sẽ chứng minh { }u là một dãy Cauchy trong m W T 1( )

Đặt v m =u m+1−u Khi đó m v thỏa bài toán biến phân sau m

(2.3.5)

1

( ), ( ( ), ) ( ), ( ) ( ), ,(0) (0) 0

(2.3.6)

0

1 0

Do đó từ (2.3.7) và (2.3.8) ta suy ra

(2.3.9)

1

2 1

u + −u ≤ u −u k −k ∀m

Từ (2.3.12) ta suy { }u là dãy Cauchy trong m W T Do đó tồn tại 1( ).

0( ), + ( ( ), )+ ( ), = ( , , , ), , ∀ ∈ ,

(ii) Sự duy nhất nghiệm

Giả sử u u1, 2 là hai nghiệm yếu của bài toán (2.2.1) – (2.2.3) sao cho (2.3.24) u i∈W M T i1( , )( =1,2)

Khi đó u t( )=u t1( )−u t2( ) thỏa bài toán biến phân sau:

Chương 3: SỰ HỘI TỤ CẤP HAI

Định lí 3.1 Giả sử (H1) (− H3) và (H là đúng Khi đó, tồn tại các 5)

hằng số M > 0, T > và dãy lặp tuyến tính 0 { }u m ⊂W M T1( , ) thỏa (3.1.3) –

δ λ

(3.1.12) c Hc= ,

trong đó

( , , ), (( ) , ,( ) ),( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),

=∑ với mỗi c=( , , )c1 c k ∈ Rõ ràng S là quả cầu đóng, khác Y

trống và ta có toán tử H Y: → Tiếp theo, ta chọn 0Y ρ> và ( )k 0

m

T > sao cho

Hc ≤ q + ρ T ρ ρ< ∀ ∈c S tức là ( )H S ⊂ S

ii) Bây giờ ta sẽ chứng minh với mọi ,c d S∈ với mọi , [0, ( )k ],

Với 1,n= dễ kiểm tra rằng (3.1.18) đúng

Giả sử (3.1.18) đúng với 1,n≥ khi đó ta có

n

ρ

ρ ρ

ρ ρ

≤  < Tức toán tử H n0 :S → là co Do đó, S H có duy nhất một

điểm bất động trên ,S tức là hệ (3.1.6)-(3.1.9) có duy nhất nghiệm ( )k ( )

m

u t

trên một khoảng [0, ( )k ]

m

T Bổ đề 3.1 được chứng minh hoàn toàn.,

Bước 2 Đánh giá tiên nghiệm

Với ( )k ( ), ( )k ( ), ( )k ( )

S t X t Y t được xác định bởi (2.28) – (2.30), ta suy ra

k m

δ δ

k m

0

2 (0, ; )

t k m

( )

2 ( ) 3

( , ) ( , ) ( , ) 2 ( )

( ) ( , )( 2 ) ( )

k m

k

k m

( )

2 ( ) 3

( ) ( )( 2 ) ( )

k m

k

k m

( ) 2

2 ( ) 3

( ) 2 ( )

( )( 2 ) ( )

k m

k m

k m

δ δ

M

Tiếp theo ta chọn hằng số T > sao cho 0

(3.1.43) 3

2

( ) 2

2( , ) 2

u →u trong L Q yếu, 2( T)(3.1.50) u m∈W M T( , )

Qua giới hạn trong (3.1.6) và nhờ vào (3.1.47) – (3.1.50) ta có u thỏa m

Định lí 3.2 Giả sử (H1) (− H3) và (H là đúng Khi đó dãy lặp 5) { }u m

xác định bởi định lí 3.1 là dãy lặp cấp hai theo nghĩa

(3.2.1)

2 1

u −u ≤C u − −u với mọi m∈`, trong đó C là một hằng số độc lập với m

Hơn nữa, dãy nầy cũng hội tụ mạnh trong W T đến nghiệm yếu u của 1( )

bài toán (2.2.1) – (2.2.3) và có một đánh giá sai số

1 0

1 ( )

5( ) 2

(3.2.17)

2 1 ( ) ( ),

1( )

W T Do đó tồn tại u W T∈ 1( ) sao cho

(3.2.20) u m → mạnh trong u W T 1( )

Bằng các lập luận tương tự như trong chứng minh ở định lí 2.2, ta chỉ

ra được rằng u W M T∈ 1( , ) là nghiệm yếu duy nhất của bài toán (2.2.1)–(2.2.3)

Trong (3.2.19), cố định m, cho p→ +∞, ta thu được (3.2.2)

Lập lại lí luận tương tự như phần trên, ta thu được (3.2.1) Vậy định lí 3.2 được chứng minh xong ,

Chương 4: DÁNG ĐIỆU NGHIỆM KHI λ → 0+, δ → 0+.

4.1 Dáng điệu tiệm cận của nghiệm yếu theo hai tham số λ δ,

Ta xét bài toán nhiễu sau đây,

,

(Pλ δ)

( , ) ( , ) ,( , ) 0( ), ( , ) 1( )

Ta vẫn sử dụng các giả thiết (H2) (− H4) như trong chương 3 Chú ý rằng, các đánh giá tiên nghiệm của dãy xấp xỉ Galerkin { }( )k

m

u trong chứng minh của định lý 2.1 cho bài toán (Pλ δ, ) thỏa

(4.1.1) ( )

1( , ), , ,

k m

u ∈W M T ∀m k trong đó M T là các hằng số độc lập với ,, m k và , λ δ Do đó, giới hạn uλ δ,

trong các không gian hàm thích hợp của dãy { }( )k

m

u khi k → +∞ sau đó

m→ +∞ sẽ là nghiệm yếu duy nhất của bài toán (Pλ δ, ) thỏa

(4.1.2) uλ δ, ∈W M T1( , )

Khi đó, ta có thể chứng minh tương tự như trong chứng minh các định

lý 2.1, 2.2 rằng giới hạn u0,0 trong các không gian hàm thích hợp của họ uλ δ,

khi λ→0+, δ →0+ là nghiệm yếu duy nhất của bài toán (P0,0) tương ứng với

λ δ= =0 thỏa u0 ≡u0,0∈W M T1( , )

Hơn nữa, ta có định lý sau

Định lý 4.1 Giả sử các giả thiết (H2) (− H4) là đúng Khi đó tồn tại các hằng số M > 0, T > sao cho, với mọi 0 λ δ, với 0< ≤λ λ*, ,0< ≤δ δ*

bài toán (Pλ δ, ) có duy nhất nghiệm yếu uλ δ, ∈W M T1( , ) thỏa mãn một đánh giá tiệm cận

( )( )( )

1 0

2

2 2 2 1

0

2 2 2 1

0

222

4.2 Dáng điệu tiệm cận của nghiệm yếu theo một tham số λ

Tiếp theo, trong hai tham số , ,λ δ 0< ≤λ λ*, 0 < ≤δ δ*, ta cố định một tham số ,δ và ta xét bài toán nhiễu ( ) (Qλ ≡ Pλ δ, ) theo tham số bé λ Vẫn với , , ,

0 1

u u F f  thỏa các giả thiết (H2) (− H4) Khi đó theo định lí 2.1, 2.2, bài toán (Pλ δ, ) có duy nhất nghiệm yếu uλ δ, thỏa mãn (4.1.2) Từ đây, ta có thể chứng minh tương tự như trong chứng minh của định lý 4.1, rằng giới hạn

0,

u δ trong các không gian hàm thích hợp của họ uλ δ, khi λ→ 0 là nghiệm +,

yếu duy nhất của bài toán ( ) (Q0 ≡ P0,δ) tương ứng với λ =0 thỏa

0, 1( , )

u δ ∈W M T

Hơn nữa, ta có định lý sau.

Định lí 4.2. Giả sử các giả thiết (H2) (− H4) là đúng Khi đó tồn tại các hằng số M > 0, T > sao cho, với mọi ,0 λ δ với 0< ≤λ λ*,0 < ≤δ δ*,

bài toán (Pλ δ, ) có duy nhất nghiệm yếu uλ δ, ∈W M T1( , ) thỏa mãn

i) Bài toán ( ) (Q0 ≡ P0,δ) tương ứng với λ = 0 có duy nhất nghiệm yếu

0, 1( , )

u δ ∈W M T

ii) Với δ cố định, 0< ≤δ δ*, nghiệm yếu uλ δ, của bài toán ( ) (Qλ ≡ Pλ δ, )

hội tụ mạnh về u0,δ trong không gian W T1( ) khi λ→ 0 +

Hơn nữa, ta có đánh giá sai số

1 022

( ) ( ) ( )

2 0

2222

4.3 Khai triển tiệm cận theo tham số λ đến cấp N + 1

Ta định nghĩa một số kí hiệu sau:

Với mỗi đa chỉ số ( , ,1 ) N