Phương thức sóng phi thuyến bị nhiễu xấp xỉ tuyến tính và dáng điệu tiệm cận của nghiệm

l-as — BộGIÁO GIÁODỤC DỤCVÀ VÀĐÀO ĐÀOTẠO TẠO Bộ , * * Isagasl TRƯỜNG ĐẠI HỌC PHẠM TP HỒTP CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠIsưHỌC sư PHẠM HÒ CHÍ MINH ^ ĩ Nguyên Văn Y Nguyên Văn Y PHƯƠNG TRÌNH SÓNG PHI TUYẾN BỊ NHIỄU: XẤP XỈ TUYẾN TÍNH VÀ DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN PHƯƠNG TRÌNH SÓNG PHI TUYẾN BỊ NHIỄU: CỦA NGHIỆM XẤP XỈ TUYẾN TÍNH VÀ DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA NGHIỆM Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC sĩ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DÂN KHOA HỌC: TS NGUYỄN CÔNG TÂM Thành phố Hồ Chí Minh - 2008 LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, xin kính gửi đến Thầy Nguyễn Công Tâm lời cảm ơn sâu sắc giúp đõ' Thầy việc hoàn thành luận văn Xin chân thành cảm on thầy Lê Hoàn Hóa thầy Nguyễn Thành Long đọc cho nhiều ý kiến đóng góp bổ ích Xin chân thành cảm on quý Thầy Cô thuộc Khoa Toán - Tin học Truông Đại học Su phạm Thành phố Hồ Chí Minh Đại học khoa học tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh tận tình giảng dạy suốt khóa học Xin cảm ơn quý Thầy Cô thuộc phòng Khoa học Công nghệ Sau đại học, thu viện truờng Đại học Su phạm Thành phố Hồ Chí Minh, Ban Giám hiệu truờng THPT Chuyên Hùng Vuơng - Bình Duơng tạo điều kiện thuận lọi để hoàn thành chuơng trình học Xin cảm ơn anh chị bạn lóp Cao học giải tích KI nhu anh chị bạn nhóm xemina Thầy Nguyễn Thành Long chủ trì hỗ trợ nhiều mặt thời gian học tập nghiên cứu Và cuối cùng, lòi thân thương xin gửi đến gia đình tôi, nơi tạo cho điều kiện thuận lợi để học tập hoàn thành luận văn Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 09 - 2008 Nguyễn Văn Ý MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cảm ơn Mục lục MỎ ĐÀU Chương 1: CÁC CỒNG cụ CHUẨN BỊ 1.1 Các không gian hàm thông dụng .5 1.2 Không gian hàm ư(0,T;X)9 < p < 00 1.3 Phân bố có giá trị không gian Banach 1.4 Đạo hàm (0,T;X) 1.5 Bổ đề tính compact Lions 1.6 Bổ đề hội tụ yếu u (0 1.7 Một số kết khác Chương 2: sụ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM 10 2.1 Giới thiệu 10 2.2 Thuật giải xấp xỉ tuyến tính 10 2.3 Sự tồn nghiệm 21 Chương 3: sụ HỘI TỤ CẤP HAI 25 3.1 Dãy lặp cấp hai 25 3.2 Sự hội tụ bậc hai 34 Chương 4: DÁNG ĐIỆU NGHIỆM KHI Ằ^o , £ - > 40 4.1 Dáng điệu tiệm cận nghiệm yếu theo hai tham số Ả,ố 40 4.2 Dáng điệu tiệm cận nghiệm yếu theo tham số Ẳ .42 4.3 Khai triển tiệm cận theo tham số Ả đến cấp N +1 45 Chương 5: KHẢO SÁT MỘT TRƯỜNG HỌP cụ THẺ 54 KẾT LUẬN 56 TÀI LIỆU THAM KHẢO .57 MỞ ĐẦU Các toán biên phi tuyến xuất khoa học ứng dụng (Vật lỷ, Hóa học, Cơ học, Kỹ thuật, ) phong phú đa dạng Đây nguồn đề tài mà nhiều nhà toán học từ truớc đến quan tâm nghiên cứu, chẳng hạn nhu [2, - 12, 14 - 22] tài liệu tham khảo Chính vậy, cho đề tài nghiên cứu cần thiết, có ý nghĩa lý luận thực tiễn Trong luận văn nầy, muốn sử dụng phuơng pháp Giải tích hàm phi tuyến nhu: phuơng pháp Galerkin, phuơng pháp compact đơn điệu, phuơng pháp xấp xỉ tuyến tính liên hệ với định lí điểm bất động, phuơng pháp khai triển tiệm cận nhằm khảo sát toán biên có liên quan đến vấn đề khoa học ứng dụng Trong luận văn này, xét toán giá trị biên ban đầu sau Ổ ua - — ơ(u,u ) + Ẫul = F(x,t), 0 bé Trong báo Caughey Ellison [5], hợp xấp xỉ truờng hợp trước để bàn tồn tại, tính ổn định tiệm cận nghiệm cổ điển cho hệ động lực phi tuyến liên tục Trong [7], Alain Phạm nghiên cứu tồn tại, dáng điệu tiệm cận £ —» nghiệm yếu toán (0.3), (0.5) liên kết với điều kiện (0.7) biên Dirichlet u(0,t) = u(l,t) = 0, số hạng phương trình (0.5) cho (0.8) f = £fì(t,u,utị Nếu fx e CN([0,oo] X K2) thỏa /^(í,0,0) = với í>0, khai triển tiệm cận nghiệm toán (0.3), (0.7), (0.8) đến cấp N +1 theo £ thu với £ đủ nhỏ Trong [14, 15], Long Alain Phạm nghiên cứu toán (0.3), (0.5) với số hạng phi tuyến có dạng / = fx(u,ut) Trong [14], tác giả xét với điều kiện biên hỗn hợp (0.9) u (0, t) = hu(0, t) + g(t), u{ 1, t) = 0, N “u-ấ *=0 + N^ k=0 43 h > số cho trước [15] vói điều kiện tổng quát hon ux(0,t) = g(t) + hu(0,t)- ịk(t - s)u(0,s)ds, u(ì,t) = Luận văn trình bày theo các0chương mục sau: Phần mở đầu, tổng toán khảo sát toán trong(0.3), luận văn, qua Trong [16], Long vàquan Diễmvềđãbài nghiên cứu (0.5)điểm với điều kết có trước đó, đồng cục luận văn kiện biên hỗnthời nêu bố hợp Chương 1, chúng tôi+ trình bày= (0.11) u> (0,t) - hữu(0,t) = u (1,í) hxu(\,t) 0, số kết chuẩn bị bao gồm h0, việc \ không âm chogian trướchàm, với h0 \ >kết vàquả cácvề số phép nhúng nhắc lại sốmột số không một+ số hạng phi tuyến vế phảigiữa có dạng compact không gian hàm f = f{x,t,u,ux,uí) +>sfị(x,t,u,ux,ul) Chương 2, tập trung nghiên cứu tồn trường hợp(0.1)/ E (0.4) C2([0,l]x[0,co)xM3), f x e C'([0,l]x[0,oo)xR3) nghiệmTrong yếu toán 3, chúng trung nghiên cứu nghiệm tồn tạiuvàđến hộicấp tụ tác>giảChương thu khaitậptriển tiệm cận yếu hai dãy lặp cấp £hai nghiệm theo £, với đủvềnhỏ [16] yếu toán (0.1) - (0.4) > Chương 4, nghiên cứu dáng điệu cậnduy củanhất nghiệm yếu Trong luận văn nghiên cứu tồntiệm nghiệm phương toán (0.1)bài- (0.4) -khai triển tiệm minh cận theo tham Ả đến cấp địa toán (0.1) (0.4) Chứng nhờsốvào phương N +1.Galerkin liên kết với đánh giá tiên nghiệm với kỹ thuật hội tụ pháp Chương 5, Tiếp minhđến họachúng cho khai triển sát tiệmsựcận Ă ởdãy chương yếu và>tính compact khảo tồn theo lặp cấp bằngvàmột hai trường hội tụ hợp cụ dãythể nghiệm yếu toán (0.1) - (0.4) tương ứng Sau nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm yếu U Ắ S (phụ thuộc Ả, ố) toán (0.1) - (0.4) (Ã,ổ) —> (0+,0+) khai triển tiệm cận nghiệm yếu toán nhiễu theo tham số nhiễu à đến cấp N+ 1, tức nghiệm xấp xỉ đa thức theo Ă N ^ ụ (x,t) » y]uk(x,í)Ã/c, k=0 theo nghĩa cần hàm uk(x,t), k = 0,1,và thiết lập đánh giá theo dạng Chương 1: CÁC CỒNG cụ CHUẨN BỊ 1.1 Các không gian hàm thông dụng Đầu tiên ta đặt kí hiệu sau Q = (0,1), Qj = n X (0,T), T > bỏ qua định nghĩa không gian hàm thông dụng: Cm(Q), (ũ), ỊVm,p(Q) Để cho gọn, ta kí hiệu lại sau: = Ư(Q), Hm=H'n(Q) = wm-2(íì), W"’p = fVm’p(Ũ) ( xem [1, 3]) Ta định nghĩa IỈ = IỈ (Q) không gian Hilbert với tích vô hướng (1.1.1) (u,v)= ịu(x)v(x)dx, u,veL2 Kí hiệu II II để chuẩn sinh tích vô hướng (1.1.1), nghĩa _ í ^2 (1.1.2) HI = y ] { u ’ u ) = J|w(x)|2í/x , ueL2 vo ) Định nghĩa không gian Sobolev cấp Hl={veL2:v'eL2} Không gian không gian Hilbert tích vô hướng (u>v)Hx =(u,v) + (u',v') Kí hiệu I II ! để chuẩn sinh tích vô hướng (1.1.4), nghĩa (1.1.5) \\u\\HÌ = Ậ U , U ) H X Ì U e H\ Ta có bổ đề liên hệ hai không gian L2 Hx sau 0-1-6) Bổ đề 1.1 Phép nhúng Hx C°(Q) compact llvll^^Vãllvll^.VvE//' Chứng minh Xem Adams[l] Ta sử dụng không gian Sobolev đặc biệt không gian (1.1.7) Hl=ĩxãf =c::{€i)H' Bố đề 1.2 Ta cỏ phép nhúng từ Hlữ C°(Q) compact MUõklklHMU Vve//Ó> sã Mltf'ắlkHMU^IIvL' Vveí/Í- (1.1.8) Chứng minh bổ đề 1.2 không khó khăn Một cách đặc trưng khác để xác định H\ (1.1.9) H^ịveH1: v(0) = v(l) = o} Bổ đề 1.3 Đồng ứ với (L2 y (đối ngẫu L2) Khỉ ta có H'() L2 = (L2)' (HQY = //“' với phép nhúng liên tục nằm trù mật Chú thích 1.2 Từ Bổ đề 1.3, ta dùng ký hiệu tích vô hướng (v) j} để cặp tích đối ngẫu (v)H-, H\ H\ H~l Chuẩn L2 ký hiệu II.|| Ta ký hiệu II • II để chuẩn không gian Banach X gọi X' không gian đối ngẫu X 1.2 Không gian hàm (0, T; X), < p < 00 Cho X không gian Banach thực với chuẩn II -| Ta kí hiệu ư(ti,T\X), \i 11) Do m=2Ĩ f l ] k=N+l N+\ 48 (4.3.12) EÁx,t) = -ỵẢkủk_l-±ĂkFk + sị-ự(h)-f(u0)) k=1 k=ỉ ơx = -^\-±AFt+úl_í-õịẮ±±f-Xua)Pl-\u) k=1 OX\m=iỉĩĩ\ ưị{R,W) =-r''ủ»+s±-%[f"\uypyxu)vuữ+rxu,)v(pyxu))y m=2 ĩìí ! k=N+\ L ẠT mN +ổ±y /(«) /t‘ =-ẦmK m=2 772 ! k=N+\ + s±-vuX" (1 - ey + )d0 +I e(ỉ - eyp^ («0+e\)de Ta CÓ đánh giá sau \-ẦN+xủ Đánh giả thứ 11[...]... duy nhất nghiệm yếu của bài toán (2.1.1) bằng phương pháp xấp xỉ tuyến tính kết hợp với phương pháp Galerkin và phương pháp compact yếu Xét một cơ sở trực giao {w.} của H\ và trực chuẩn trong ứ gồm các Vĩsin(ỹ7Df),ỹ = 1,2, được lập từ các hàm riêng của toán tử Laplace ô2 -A = sao cho -AWj = ẲJWJ, Ăj = jn, Wj eH]QnH2,j = 1,2, Hơn nữa, dãy [wj/ýl;.Ị cũng là một cơ sở trực chuẩn Hilbert của Hlữ đối với tích... tồnf(x:,t,um_l(x,t)yum_Ị(x, tại của um được cho bởi định lí sau Định lí 2.1 Giả sử là đủng Khỉ đó, tồn tại các hằng so dưong M, T và một dãy qui nạp tuyến tính {um} c= WX{M ,T) xác định bởi (2.2.9) -(2.2.11) Chứng minh Gồm các bước sau Bước 1 Xấp xỉ Galerkin Xét một cơ sở trực giao Hilbert {\Vj} của Hlữ và trực chuẩn trong L2 như trong mục 2.1 k (2.2.12) = i=1 c^j{t) thỏa hệ phương trình vi phân tuyến tính sau: (2.2.13)... TỤ CẤP HAI 3.1 Dãy lặp cấp hai Trong chương này, ta xét bài toán (2.1.1) với các giả thiết và (H5) / E c3(M) và/ '(0) = 0 Với M > 0, ta đặt (3.1.1) Ki=Ki(M,f) = s\iĩ>ị\f(l)(u)\:\u\ 1) thỏa (3 13) v) + a(«„(/),v) + x(ủm{t\v) = (Fm(0,v) Vve#ò,... là tập mở, bị chặn của R' và ơ , Geư(Q), ì G yếu trong 1.7 Một số kết quả khác Bổ đề sau đây liên quan đến một bất phương trình tích phân và nó rất cần thiết cho việc đánh giá tiên nghiệm trong các chương sau Bổ đề 1.11 (Bổ đề GronwalI) Giả sử f: [0,r] —» R là hàm khả tích, không âm trên [0,r] và thỏa bất... lVli*(0,í-;/fí)’ lvlll?(a-) _ >’ (2.2.7) (0,r;I2)} WÌ(M,T) =Ịve W{M,T): V e r Tiếp theo, ta xây dựng dãy {um} trong WX(M,T) bằng qui nạp và chứng minh nó hội tụ về nghiệm yếu của bài toán (2.2.1) - (2.2.3) với sự lựa chọn M > 0, T > 0 thích hợp Ta xét thuật giải xấp xỉ tuyến tính sau: Chọn số hạng đầu U Q eỊVx(M,T) Giả sử rằng (2.2.8) um_lGWĩ(M,T) Ta liên kết bài toán (2.2.1) - (2.2.3) với bài toán biến... [wj/ýl;.Ị cũng là một cơ sở trực chuẩn Hilbert của Hlữ đối với tích vô hướng (2.1.2) 2.2 (u,v)H, =a(u,v) = (ux,vx) Thuật giải xấp xỉ tuyến tính Ta thành lập các giả thiết sau: cH x ) Ả>0,ỏ>0, Ũ0 e Hxữ nH2, ũx E H]0, — eI"(0,oo;Z.2), thỏa F(0,í) = F(l,f) = 0, V/>0, õx 11 /GC2(M) và/ '(0) = 0 Bài toán (2.1.1) được viết lại u(x,0) (2.2.1) ủ-u +Ăủ = f(x,t,u,ux), 0 0,(i)r>0 saotạicho bài toán (2.2.1) - (2.2.3) có duy nhất nghiệm yếu Ta sẽ chứng minh ịum} là một dãy Cauchy trong WX(T) ueWx(M,T)... f(x,t,u,ux)eư(0,T;L2) Vậy ta thu được (2.3.23) ueWx(M,T) Sự tôn tại nghiệm được chứng minh hoàn tât □ 24 (ii) Sự duy nhất nghiệm Giả sử ux, u2 là hai nghiệm yếu của bài toán (2.2.1) - (2.2.3) sao cho (2.3.24) uieWỉ(M,T)(i = 1,2) Khi đó u(t) = ux (t) - u2 (t ) thỏa bài toán biến phân sau: (2.3.25) (Kủ(t),v) + a(u(t),v) + Ẫ^ủ(t),v) = ^Fx(t)-F2(t),vSj VVE//Q, và các điều kiện đầu (2.3.26) w(0) = w(0) = 0, (2.3.27)... TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM 2.1 Giói thiệu Trong chương này chúng tôi xét bài toán biên và giá trị đầu sau: Uu ~(ux + ... Chương 4: DÁNG ĐIỆU NGHIỆM KHI Ằ^o , £ - > 40 4.1 Dáng điệu tiệm cận nghiệm yếu theo hai tham số Ả,ố 40 4.2 Dáng điệu tiệm cận nghiệm yếu theo tham số Ẳ .42 4.3 Khai triển tiệm cận theo... [5], hợp xấp xỉ truờng hợp trước để bàn tồn tại, tính ổn định tiệm cận nghiệm cổ điển cho hệ động lực phi tuyến liên tục Trong [7], Alain Phạm nghiên cứu tồn tại, dáng điệu tiệm cận £ —» nghiệm. .. cứu dáng điệu cậnduy củanhất nghiệm yếu Trong luận văn nghiên cứu tồntiệm nghiệm phương toán (0.1)bài- (0.4) -khai triển tiệm minh cận theo tham Ả đến cấp địa toán (0.1) (0.4) Chứng nhờsốvào phương