Created by Simpo PDF Creator Pro (unregistered version) http://www.simpopdf.com Tp KHOA HC HSP TP HCM Nguyn Bớch Huy, Trn ỡnh Thanh _ CC NGHIM KHễNG B CHN CA PHNG TRèNH LOGISTIC V DNG IU TIM CN CA CHNG NGUYN BCH HUY *, TRN èNH THANH ** TểM TT Trong bi bỏo chỳng tụi xột phng trỡnh logistic cha toỏn t p-Laplace v hm trng m( x) ẻ Lq vi q nh Chỳng tụi chng minh s tn ti cỏc nghim yu ln nht (cú th khụng b chn) v nghiờn cu dỏng iu tim cn ca chỳng ABSTRACT Unbounded solutions of the logistic equation and their asymptotic behaviors In the paper we consider the logistic equation involving the p-Laplace operator and the weight function m( x) ẻ Lq with small q We prove the existence of maximal weak solutions (may be unbounded) and study their asymptotic behaviors M u Trong bi bỏo ny, chỳng tụi xột s tn ti v dỏng iu tim cn ca nghim ln nht, khụng b chn ca phng trỡnh logistic sau: -D p u = l m( x)ua - u b W, u = trờn ảW , ú W è R N l b chn, cú biờn trn, D p u = div( ẹu (1) p-2 ẹu ) l toỏn t p_Laplace, m( x) ẻ Lq (W) vi q thớch hp v a Ê p - < b Khi hm m( x) l hng s v toỏn t -D p u c thay bng mt toỏn t tuyn tớnh elliptic bc thỡ vi mi l l0 bi toỏn (1) cú nht nghim trn v dỏng iu tim cn ca nghim c nghiờn cu [3] Khi q ln thỡ (1) cú nht nghim b chn (thuc W01,2 ầ LƠ ) v s ph thuc ca nghim vo tham s l cú th nghiờn cu bng phng phỏp ca [4] Khi q nh nghim ca (1) cú th khụng b chn v khụng nht, ú vic nghiờn cu s ph thuc ca nghim theo tham s tr nờn phc Trong [6] chỳng tụi ó chng minh s tn ti nhỏnh liờn tc khụng b chn nghim ca (1) p = v q nh Trong bi ny, chỳng tụi s nghiờn cu s tn ti ca nghim ln nht (khi l c nh), cú th khụng b chn v dỏng iu tim cn ca nghim l đ hoc l đ Ơ * ** Cỏc kt qu c s dng PGS TS, Khoa Toỏn Tin hc, Trng i hc S phm TP HCM TS, Trng i hc Y Dc TP HCM Created by Simpo PDF Creator Pro (unregistered version) http://www.simpopdf.com S 21 nm 2010 Tp KHOA HC HSP TP HCM _ 2.1 Phng trỡnh khụng gian cú th t Cho X l khụng gian Banach vi th t sinh bi nún K Ta núi ỏnh x F : M è X đ X l tng nu u, v ẻ M , u Ê v thỡ F (u ) Ê F (v) nh lý A [5] Cho X l khụng gian Banach vi th t sinh bi nún, M è X l úng, F : M đ M l ỏnh x tng tha cỏc iu kin Tp M = {u ẻ M : u Ê F (u )} f v cú tớnh cht "u, v ẻ M , $w ẻ M : u Ê w, v Ê w (i) (ii) Nu {un } è M l dóy tng thỡ dóy {F (un )} hi t Khi ú F cú im bt ng ln nht M 2.2 Nghim yu ca mt lp phng trỡnh elliptic ta tuyn tớnh Gi s W è R N l b chn, cú biờn trn, D p u l toỏn t p-Laplace vi < p < N v f : W R đ R l hm tha iu kin Caratheodory Ta xột bi toỏn biờn sau: (2) -D p u = f ( x, u ) W , u = trờn ảW Ta xột cỏc khụng gian W01, p (W), Lp (W) thụng thng, chun chỳng c ký hiu tng ng l v p t p* = pN p v p ' = Di õy cỏc tớch N-p p -1 phõn u c ly trờn W nh ngha: 1) * Ta núi hm u ẻ W01, p (W) l nghim yu ca (2) nu f ( x, u ) ẻ L( p )' (W)* v ũ ẹu 2) p-2 ẹuẹj = ũ f ( x, u )j , "j ẻ W01, p (W) (3) * Ta núi hm u0 ẻ W01, p (W) l mt nghim di ca (2) nu f ( x, u0 ) ẻ L( p ) ' (W) , ũ ẹu p-2 ẹu0 ẹj Ê ũ f ( x, u0 )j , "j ẻ W01, p (W), j v u0 Ê trờn ảW theo ngha vt nh lý B [2] Gi s hm g : W R đ R tha iu kin Caratheodory v (i) g ( x, 0) = 0, g ( x, u ) tng theo bin u (ii) "t > 0, $jt ẻ L1 (W) : sup | g ( x, u ) |Ê jt ( x) |u|Êt "x ẻ W Created by Simpo PDF Creator Pro (unregistered version) http://www.simpopdf.com Tp KHOA HC HSP TP HCM Nguyn Bớch Huy, Trn ỡnh Thanh _ Khi ú vi mi h ẻ W -1, p ' (W) tn ti nht hm z ẻ W01, p (W) cho g ( x, z ) ẻ Lloc (W), g ( x, z ).z ẻ L1 (W) v ũ | ẹz | p-2 ẹzẹj + ũ g ( x, z )j = ũ hj (4) ỳng cho mi j ẻ C0Ơ (W) v j = z Ghi chỳ 1: 1) Nu hm z núi nh lý B tha thờm iu kin g ( x, z ) ẻ L( p*)' (W) thỡ (4) cng ỳng cho mi j ẻ W01, p (W) C0Ơ (W) trự mt W01, p (W) Do ú z cng l nghim yu ca bi toỏn -D p u + g ( x, u ) = h trờn W , u = trờn ảW 2) Di õy, ngn gn ta s kớ hiu v trỏi ca (3) l < Au, j > Kt qu chớnh Ta xột phng trỡnh (1) vi cỏc gi thit sau: (H1) m( x) 0, m( x) ẻ Lq (W) vi q > thớch hp v tn ti trn W ' W , tn ti s m0 > cho m( x) m0 "x ẻ W ' (H2) a < b Ê p * -1 u tiờn ta s a bi toỏn (1) v bi toỏn tỡm im bt ng ca mt ỏnh x tng khụng gian cú th t 1+ b > ( p*) ' , ú nu z1+ b ẻ L1 (W) thỡ z b ẻ L( p*) ' (W) Do iu kin (H2) ta cú b p dng nh lý B v ghi chỳ cho hm g ( x, u ) = u b ta cú vi mi h ẻ L( p*)' (W) è W -1, p ' (W) tn ti nht hm z ẻ W01, p (W) tha z ẻ L1+ b (W) v < Az, j > + ũ z b j = ũ hj "j ẻ W01, p (W) (5) Gi P l ỏnh x t tng ng mi h ẻ L( p*)' (W) vi nghim z ca (5) thỡ P cú cỏc tớnh cht sau [4] (a) P (h) ẻ W01, p (W) ầ L1+ b (W) , P l ỏnh x tng Nu M l mt b chn L( p*) ' (W) thỡ P(M) l mt b chn W01, p (W) v ú l compc tng i Lg (W) vi g < p * (b) (c) P liờn tc nu p Gi s s r tha iu kin Created by Simpo PDF Creator Pro (unregistered version) http://www.simpopdf.com S 21 nm 2010 Tp KHOA HC HSP TP HCM _ qr ( p*) ' qa + r (6) Khi ú nu u ẻ Lr+ (W) ta cú m( x)ua ẻ Lt (W) vi t = qr qa + r Do ú ỏnh x Nemyskii N (l , u ) = l m( x)ua tỏc ng t Lr (W) vo L( p*)' (W) v liờn tc, bin b chn vo b chn t F (l , u ) = PoN (l , u ) thỡ s tn ti nghim yu ca (1) c a v bi toỏn tỡm nghim ca phng trỡnh u = F (l , u ) (7) B Gi s (6) c tha thỡ F l ỏnh x t [0, Ơ) Lr+ (W) vo W01, p (W) ầ L1+ b (W) v (i) F l ỏnh x tng; nu u0 l nghim di ca (1) thỡ u0 Ê F (l , u0 ) (ii) Nu p v qp * > ( p*) ' thỡ F l ỏnh x hon ton liờn tc t qa + p * [0, Ơ) W01, p (W) vo W01, p (W) Chng minh : Tớnh cht (i) ó c chng minh [4] chng minh (ii) ta chn s r < p * tha (6) Phộp nhỳng W01, p đ Lr l compc, ỏnh x N : Lr đ L( p*)' liờn tc v P : L( p*)' đ W01, p liờn tc nu F l ỏnh x hon ton liờn tc B Gi l1 l giỏ tr riờng u v u1 l hm riờng tng ng ca bi toỏn biờn -D p u = l u p -1 W ' , u0 = trờn ảW ' Ta nh ngha u0 = cu1 W ' , u0 = W \ W ' vi c > nh thỡ u0 l nghim di ca (1) cỏc trng hp sau : 1) a < p - 1, l > 0, 2) a = p - 1, l > l1 m0 Chng minh : Trong [1] ó chng minh rng -D p u0 Ê l1u0p -1 theo ngha yu Vi j ẻ W01, p , j ta cú Created by Simpo PDF Creator Pro (unregistered version) http://www.simpopdf.com Tp KHOA HC HSP TP HCM Nguyn Bớch Huy, Trn ỡnh Thanh _ < Au0 , j > - ũ (l m( x)u0a - u0b )j =< Au0 - l1u0p -1 , j > - ũ (l m( x)u0a - l1u0p -1 - u0b )j (8) Vỡ v := l m( x) - l1u0p -1 - u0b u0a (l m0 - l1u0p -1-a - u0b -a ) trờn W ' v u1 b chn trờn W ' l1 thỡ v Vy ta cú v m0 phi ca (8) l khụng dng v ú u0 l nghim di ca (1) ta thy nu c nh v a < p - 1, l > hoc a = p - 1, l > nh lý Gi s cỏc iu kin (H1), (H2) v (H3) sau c tha ổ q * ửÂ ữ ố1+a ứ (H3) a < p - 1, q ỗ Khi ú vi mi l > bi toỏn (1) cú nghim yu ln nht Chng minh : T iu kin (H3) ta thy (6) ỳng vi r = p * Do ú ỏnh x F (7) tỏc ng t Lp* vo chớnh nú v ta s xột phng trỡnh (7) Lp* C nh l > , ta kớ hiu F (u ) thay cho F (l , u ) Theo b 1,2 ta cú u0 Ê F (u0 ) Nu u1 Ê F (u1 ) , u2 Ê F (u2 ) thỡ hm u = max(u1 , u2 ) tha u Ê F (u ) F l ỏnh x tng Vy iu kin (i) ca nh lý A ỳng kim tra iu kin (ii) ca nh lý A ta ch cn chng minh F ( M ) l b chn Lp* Ly u ẻ M , t v = F (u ) v ly v l hm th, ta cú < Av, v > + ũ v1+ b = l ũ m( x)ua v Ê l ũ m( x)v1+a Ê l m q v Vỡ q '(1 + a ) Ê p * theo (H3) nờn t (9) ta suy v p p* Êc v 1+a (1+a ) q ' (9) 1+a p* Vy F ( M ) b chn nh lý c chng minh nh lý Gi l1 l s c nh ngha b Gi s cỏc iu kin (H1), (H2) v (H4) sau c tha ửÂ (1 + b ) p* ữ ố + b + ( p - 1) p * ứ ổ (H4) a = p - 1, q ỗ Khi ú vi l > l1 bi toỏn (1) cú nghim ln nht m0 Created by Simpo PDF Creator Pro (unregistered version) http://www.simpopdf.com S 21 nm 2010 Tp KHOA HC HSP TP HCM _ Chng minh : Vi l > l1 thỡ ỏnh x F := F (l ,.) tha iu kin (i) ca nh lý A T iu m0 kin (H4) ta cú (6) ỳng vi r = + b v ú F tỏc ng t L1+ b vo chớnh nú Ta s chng minh F ( M ) b chn L1+ b Vi u ẻ M v v = F (u ) ta cú t (9) (vi a = p - ) 1+ b p v + v 1+ b Ê c v p (10) pq ' 1+ b p Nu pq ' Ê + b thỡ t (10) ta cú v 1+ b Ê c v 1+ b nờn vỡ b > a = p - ta suy F ( M ) b chn Tip theo ta xột trng hp + b < pq ' Khi ú t (H4) ta cú p *(1 + b ) p * pq ' q'Ê < + b + ( p - 1) p * pq '+ ( p - 1) p * v t ú ta cú pq ' Ê p * Vỡ + b < pq ' < p * ta cú v q pq ' Ê c v v 111-+qb (11) Vi q ẻ (0,1) khụng ph thuc v T (10), (11) ta cú v pq ' Êc v g pq ' vi g = q + (1 - q ) p < 1+ b Do ú v b chn Lpq ' v L1+ b nh lý Gi s cỏc gi thit (H1), (H2) v (H3) sau c tha v gi ul l nghim ln nht ca (1); vl = l 1/(a - p +1) ul Khi ú 1) Nu b > p - thỡ tn ti nghim v ca bi toỏn biờn -D p u = m( x)ua W , u = trờn ảW (12) cho lim vl = v W01, p v hu khp ni W l đ0 2) Nu b < p - thỡ tn ti nghim v ca (12) cho lim vl = v W01, p v l đƠ hu khp ni W Chng minh: -1 n gin kớ hiu ta t tl = l ( b +1- p )( p -1-a ) D dng kim tra rng vl l nghim yu ln nht ca bi toỏn Created by Simpo PDF Creator Pro (unregistered version) http://www.simpopdf.com Nguyn Bớch Huy, Trn ỡnh Thanh Tp KHOA HC HSP TP HCM _ -D p u = m( x)ua - tl u b W , u = trờn ảW (13) < Au , j > +tl ũ u b j = ũ m( x)ua j (14) hay 1) "j ẻ W01, p Khi b > p - ta cú tl đ l đ v nu l < m thỡ tl < tm v vm l mt nghim di ca (13); vy vm < vl Suy tn ti v = lim vl ti mi im ca W x đ0 chng minh khng nh ca nh lý, ta ch cn ch v l nghim ca (12) v vi mi dóy ln đ thỡ dóy { vl } cú dóy hi t W01, p v v n t = vl v cho j = (14) v lớ lun tng t (9) ta cú n p 1+ b + tn 1+ b Ê c 1+a (1+a ) q ' Ê c 1+a p* Ê c 1+a ú tn = tl Do ú dóy {vn } b chn W01, p v cú dóy m ta kớ n hiu l {vn } hi t yu W01, p v hu khp ni W Hm gii hn phi l v Vỡ tn đ 0, Ê v v v b , m( x)va thuc L( p*)Â nờn t (14) (vi u = , tl = tn ) ta cú th ỏp dng nh lớ hi t b chn v nhn c < Av, j >= ũ m( x)va j "j ẻ W01, p (15) hay v l mt nghim ca (12) Ly j = - v (14) (vi u = , tl = tn ) v (15) ri tr tng v hai ng thc ta cú < Avn - Av, - v >= ũ m( x)(vna - va )(vn - v) - tn ũ vnb (vn - v) (16) Vỡ Ê v, m( x)va +1 ẻ L1 , v1+ b ẻ L1 v ỏp dng nh lớ hi t b chn ta suy rng v phi ca (16) hi t v V trỏi ca (16) ln hn (v n p -1 - v p -1 )( v n - v ) Do ú lim = v Vỡ W01, p l khụng gian li u nờn t õy v t đ v yu ta suy đ v W01, p 2) Nu b < p - thỡ ta cú lim tl = v tl > tm nu l < m Do ú ta cú th ỏp dng l đƠ cỏc lớ lun trờn chng minh trng hp ny Ghi chỳ 2: Nu b = p - thỡ tl = v vl = u1 "l > Created by Simpo PDF Creator Pro (unregistered version) http://www.simpopdf.com Tp KHOA HC HSP TP HCM S 21 nm 2010 _ TI LIU THAM KHO Boccardo L., Orsina L (1994), Sublinear equations in Ls, Houston J.Math., (20), pp 99-114 Brezis H., Browder F (1982), Some properties of higher order Sobolev space, J.Math Pures Appl, (61), pp 245-259 Delgado M., Suarez A (2002), On the structure of the positive solutions of logistic equation with nonlinear diffusion, JMAA 268, pp 200-216 Drabek P., Hernandez J (2001), Existence and uiniqueness of positive solution for some quasilinear elliptic problems, Nonlinear Anal, (44), pp 189-204 N B Huy (2002), Positive week solutions for some semilinear elliptic equations, Nonlinear Anal, (48), pp 939-945 Nguyn Bớch Huy, Nguyn Duy Thanh, Trn ỡnh Thanh (2007), Tớnh liờn tc ca nghim yu ca phng trỡnh logistic cha tham s, Tp Khoa hc HSP TP HCM, (12), tr 76-82 10 ... Appl, (61), pp 245-259 Delgado M., Suarez A (2002), On the structure of the positive solutions of logistic equation with nonlinear diffusion, JMAA 268, pp 200-216 Drabek P., Hernandez J (2001),... 939-945 Nguyn Bớch Huy, Nguyn Duy Thanh, Trn ỡnh Thanh (2007), Tớnh liờn tc ca nghim yu ca phng trỡnh logistic cha tham s, Tp Khoa hc HSP TP HCM, (12), tr 76-82 10