THUẬT GIẢI LẶP VÀ KHAI TRIỂN TIỆM CẬN CHO PHƯƠNG TRÌNH SÓNG PHI TUYẾN KIỂU CARRIER

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - HÀ NGUYỄN THÙY LINH THUẬT GIẢI LẶP VÀ KHAI TRIỂN TIỆM CẬN CHO PHƯƠNG TRÌNH SÓNG PHI TUYẾN KIỂU CARRIER LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC TP HỒ CHÍ MINH – NĂM 2010 ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - HÀ NGUYỄN THÙY LINH THUẬT GIẢI LẶP VÀ KHAI TRIỂN TIỆM CẬN CHO PHƯƠNG TRÌNH SÓNG PHI TUYẾN KIỂU CARRIER Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn: TS TRẦN MINH THUYẾT Đại học Kinh tế TP HCM TP HỒ CHÍ MINH – NĂM 2010 LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, xin gửi lòng biết ơn sâu sắc đến thầy hướng dẫn cho thầy Tiến sĩ Trần Minh Thuyết Tiến sĩ Lê Xuân Trường người tận tình hướng dẫn giúp đỡ cho vượt qua khó khăn suốt trình làm luận văn Tôi xin gởi lời biết ơn chân thành sâu sắc đến thầy Xin chân thành cảm ơn thầy Tiến Sĩ Nguyễn Thành Long đọc luận văn, đóng góp chân tình cho nhận xét quý báu Tôi xin cảm ơn đến tất Quý thầy cô hội đồng chấm luận văn dành thời gian quý báu để tham dự hội đồng chấm luận văn góp ý sâu sắc cho buổi bảo vệ Tôi xin trân trọng cảm ơn Quý Thầy Cô Khoa Toán-Tin học Trường Đại học Khoa học Tự nhiên thành phố Hồ Chí Minh, truyền đạt kiến thức kinh nghiệm học thuật cho suốt trình học trường Xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu, thầy cô phòng Quản lý Sau Đại học trường Đại học Khoa học Tự nhiên thành phố Hồ Chí Minh tạo điều kiện thuận lợi giúp hoàn thành chương trình học Cảm ơn bạn học viên lớp cao học Khóa 18 hỗ trợ cho nhiều mặt thời gian học làm luận văn Cảm ơn anh Phạm Thanh Sơn anh trong lớp Seminar cho ý kiến đóng góp luận văn Lời thân thương xin gởi đến gia đình tôi, nơi tạo điều kiện cho học tập hoàn thành luận văn Mặc dù cố gắng nhiều kiến thức thân hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót, mong bảo quý báu Quý Thầy Cô, đóng góp chân thành bạn đọc luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 12 năm 2010 HÀ NGUYỄN THÙY LINH MỤC LỤC Chương Phần tổng quan Trang Chương Các công cụ chuẩn bị 1.1 Các không gian hàm thông dụng .3 1.2 Không gian hàm Lp (0; T ; X) ; p 1: .4 1.3 Bổ đề tính compact Lions 1.4 Một số kết khác Chương Sự tồn nghiệm cho toán biên 2.1 Giới thiệu 2.2 Sự tồn nghiệm Chương Sự tồn nghiệm cho toán biên không 19 Chương Thuật giải lặp cấp ba 34 4.1 Giới thiệu 34 4.2 Thuật giải lặp cấp 34 Chương Khai triển tiệm cận 53 Phần kết luận 67 Tài liệu tham khảo 68 CHƯƠNG Phần tổng quan Trong luận văn này, xét toán giá trị biên ban đầu cho phương trình sóng phi tuyến có chứa số hạng Carrier thuộc dạng ku(t)k2 uxx = f (x; t; u); < x < 1; < t < T; > > utt < (0.1) u (0; t) = g0 (t); u (1; t) = g1 (t); > > : u (x; 0) = u~0 (x) ; ut (x; 0) = u~1 (x) ; ; u~0; u~1 ; g0 ; g1 ; f hàm cho trước thỏa điều kiện mà ta sau Z 2 số hạng phi tuyến ku(t)k hàm phụ thuộc vào tích phân ku(t)k = u2 (x; t)dx: Phương trình (0.1) có nguồn gốc từ phương trình mô tả dao động phi tuyến dây đàn hồi (Kirchhoff [5]) ! Z Eh L @u hutt = P0 + (y; t) dy uxx ; (0.2) 2L @y đây, u độ võng, khối lượng riêng, h thiết diện, L chiều dài sợi dây trạng thái ban đầu, E môđun Young P0 lực căng trạng thái ban đầu Trong [3] ; Carrier thiết lập mô hình dạng utt P0 + P1 Z L u2 (y; t) dy uxx = 0; (0.3) P0 ; P1 số dương Bài toán (0.1) có nhiều ý nghĩa Cơ học mà nhiều nhà Toán học quan tâm nghiên cứu thời gian gần Phương trình (0.1) với dạng khác ; f điều kiện biên khác khảo sát nhiều tác giả, chẳng hạn: Trong [8] ; Nguyễn Thành Long khảo sát phương trình (0.1) với điều kiện biên hỗn hợp nhất, B t; kux k2 ; f f (x; t; u; ux ; ut ) : Trong [9] ; Nguyễn Thành Long khảo sát phương trình (0.1) với điều kiện biên hỗn hợp nhất, B t; kuk2 ; kux k2 ; f f x; t; u; ux ; ut ; kuk2 ; kux k2 : Trong [11] ; Nguyễn Thành Long, Bùi Tiến Dũng khảo sát phương trình (0.1) với điều kiện biên hỗn hợp nhất, B kux k2 ; f f x; t; u; ux ; ut ; kux k2 : Trong [16] ; Lê Xuân Trường, Lê Thị Phương Ngọc Nguyễn Thành Long khảo sát phương trình (0.1) với B t; kuk2 ; kux k2 ; f f (x; t; u) điều kiện biên hỗn hợp Trong chương 2; nghiên cứu tồn nghiệm toán (0.1) sở thiết lập dãy lặp tuyến tính fum g hội tụ mạnh nghiệm toán không gian hàm thích hợp Để chứng minh tồn dãy fum g ; áp dụng phương pháp xấp xỉ (k) Galerkin xây dựng dãy hàm fum g không gian hàm hữu hạn chiều, kết hợp với đánh giá tiên nghiệm phương pháp compact yếu Để tăng tốc độ hội tụ, chương thuật giải lặp tinh tế so với thuật giải lặp cấp thu thuật giải lặp cấp hội tụ mạnh nghiệm toán không gian hàm xét chương 3: Ngoài ra, nhờ kết chương 3; tiến hành khảo sát toán nhiễu cấp cao theo tham số bé "; số hạng nhiễu hệ số Carrier: utt > " (t) u = f (x; t; u) ; < x < 1; < t < T; > > > > > > < u (0; t) = g0 (t) ; u (1; t) = g1 (t) ; (P" ) > > u (x; 0) = u~0 (x) ; ut (x; t) = u~1 (x) ; > > > > > : ku (t)k2 + " ku (t)k2 ; " (t) = đó, ta giả sử hàm g0 ; g1 C (R+ ) ; f C N +1 ([0; 1] R+ R) thỏa số điều kiện phụ Luận văn nghiên cứu khai triển tiệm cận nghiệm toán (P" ) theo tham số bé "; tức nghiệm xấp xỉ đa thức theo " PN ^k (x; t) "k ; u (x; t) k=0 u theo nghĩa cần hàm u^k (x; t) thiết lập đánh giá theo dạng u" PN k=0 u^k "k L1 ( 0;T;H01 ) + u_ " PN k=0 @ u^k k " @t L1 (0;T;L2 ) CT j"jN +1 : Với tham số " đủ bé, số CT độc lập với tham số bé ": Các kết liên quan đến toán xấp xỉ tiệm cận theo tham số số tác giả quan tâm, chẳng hạn như: Long [9] ; Long, Alain Phạm, Diễm [7] ; Long, Tâm, Trúc [4] : Luận văn trình bày theo chương mục sau: Chương 0, tổng quan toán khảo sát luận văn, điểm qua kết trước đồng thời nêu bố cục luận văn Chương 1, trình bày số công cụ chuẩn bị bao gồm việc nhắc lại số không gian hàm, số kết phép nhúng compact không gian hàm Chương 2, nghiên cứu tồn nghiệm yếu toán (0.1) g0 (t) = g1 (t) 0: Chương 3, nghiên cứu tồn nghiệm yếu toán (0.1) g0 (t) 6= 6= g1 (t) : Chương 4, khảo sát thuật giải lặp cấp ba, bao gồm việc xây dựng dãy lặp, chứng minh hội tụ dãy lặp, đồng thời đánh giá tốc độ hội tụ Chương 5, nghiên cứu khai triển tiệm cận nghiệm yếu toán (P" ) theo tham số bé ": Kế đến phần kết luận sau danh mục tài liệu tham khảo CHƯƠNG Các công cụ chuẩn bị 1.1 Các không gian hàm thông dụng Đầu tiên, ta đặt ký hiệu sau = (0; 1) ; QT = (0; T ) ; T > 0; bỏ qua định m p m nghĩa không gian hàm thông dụng: C ; L ( ) ; H ( ) ; W m;p ( ) : Để cho gọn, ta ký hiệu lại sau Lp ( ) = Lp ; H m ( ) = H m = W m;2 ; W m;p ( ) = W m;p : Định nghĩa đầy đủ xem [1] : Ta định nghĩa L2 = L2 ( ) không gian Hilbert tích vô hướng Z u (x) v (x) dx; u; v L2 : (1.1) hu; vi = Ký hiệu k:k để chuẩn sinh tích vô hướng (1.1), nghĩa p kuk = hu; ui = Z u2 (x) dx ; u L2 : (1.2) Ta định nghĩa không gian Sobolev cấp H = v L : v x L2 : (1.3) Không gian không gian Hilbert với tích vô hướng hu; viH = hu; vi + hux ; vx i : (1.4) Ký hiệu k:kH để chuẩn sinh tích vô hướng (1.4), nghĩa q kukH = hu; uiH = kuk2 + kux k2 ; u H : (1.5) Ta định nghĩa V = v H : v (0) = v (1) = = H01 : a (u; v) = Z (1.6) ux (x) :vx (x) dx; 8u; v H01 : (1.7) Mặt khác, H01 không gian đóng H ; đó, H01 không gian Hilbert tích vô hướng H : Z Mặt khác H01 ; kvkH kvx k = vx2 (x) dx hai chuẩn tương đương Liên quan hai không gan hàm H C Bổ đề 1.1 Phép nhúng H ,! C p kvkH ; 8v H : kvkC ( ) ; ta có bổ đề sau compact (1.8) Chứng minh bổ đề 1:1 không khó khăn Bổ đề 1.2 Phép nhúng H ,! C kvkC ( ) compact kvx k ; 8v H01 : (1.9) Chứng minh bổ đề 1:2 không khó khăn Bổ đề 1.3 Dạng song tuyến tính đối xứng a ( ; ) định nghĩa (1.7) ánh xạ liên tục V V V; tức là, i) ja (u; v)j kukV kvkV ; 8u; v V; ii) a (u; u) = kuk2V ; 8u V: Chứng minh bổ đề 1.3 tìm thấy dễ dàng nhiều tài liệu liên quan đến lý thuyết không gian Sobolev, chẳng hạn [1] ; [2] : Bổ đề 1.4 Đồng L2 với (L2 ) ( đối ngẫu L2 ): Khi đó, ta có H01 ,! L2 0 (L2 ) ,! (H01 ) H ; với nhúng liên tục nằm trù mật Chứng minh bổ đề 1:5 xem [2] Chú thích 1.1 Từ bổ đề 1:5 ta dùng ký hiệu tích vô hướng h ; i L2 để cặp tích đối ngẫu h ; iH ;H H01 H : Chuẩn L2 ký hiệu k:k ; Ta ký hiệu k:kX để chuẩn không gian Banach X gọi X không gian đối ngẫu X: 1.2 Không gian hàm Lp (0; T ; X) ; p 1: Cho X không gian Banach thực chuẩn k:kX : Ta ký hiệu Lp (0; T ; X) ; p 1; không gian lớp tương đương chứa hàm u : (0; T ) ! X đo được, cho Z T ku (t)kpX dt < 1; p < 1; hay 9M > : ku (t)kX M; a:e; t (0; T ) ; với p = 1: Ta trang bị cho Lp (0; T ; X) ; p 1; chuẩn sau kukLp (0;T ;X) = Z T ku (t)kpX dt p p < 1; ;1 kukL1 (0;T ;X) = ess sup ku (t)kX t2(0;T ) = inf fM > : ku (t)kX M; a:e: t (0; T )g ; p = 1: Khi đó, ta có bổ đề mà chứng minh chúng tìm thấy [6] : Bổ đề 1.5 ([6]) Lp (0; T ; X) ; p 1; không gian Banach Bổ đề 1.6 ([6]) Gọi X đối ngẫu X: Khi đó, với p0 = p p ; < p < Lp (0; T ; X ) đối ngẫu Lp (0; T ; X) : Hơn nữa, X không gian phản xạ Lp (0; T ; X) phản xạ Bổ đề 1.7 ([6]) (L1 (0; T ; X)) = L1 (0; T ; X ) : Hơn nữa, không gian L1 (0; T ; X) L1 (0; T ; X ) không phản xạ Chú thích 1.2 Nếu X = Lp ( ) Lp (0; T ; X) = Lp ((0; T ) ): 1.3 Bổ đề tính compact Lions Cho không gian Banach X0 ; X; X1 với X0 ,! X ,! X1 cho: i) X0 ; X1 phản xạ, ii) X ,! X1 phép nhúng liên tục, X0 ,! X phép nhúng compact Ta định nghĩa W (0; T ) = v Lp0 (0; T; X0 ) : dv = v_ Lp1 (0; T ; X1 ) ; dt (1.10) < T < 1; p0 ; p1 1: Trang bị W (0; T ) chuẩn sau kvkW (0;T ) = kvkLp0 (0;T;X0 ) + kvk _ Lp1 (0;T;X1 ) : (1.11) Khi đó, W (0; T ) không gian Banach Hiển nhiên W (0; T ) ,! Lp0 (0; T; X0 ) : Ta có kết sau liên quan đến phép nhúng compact Bổ đề 1.8 (Bổ đề tính compact Lions) Với giả thiết (i), (ii) < pi < 1; i = 0; 1; phép nhúng W (0; T ) ,! Lp0 (0; T ; X) compact Chứng minh bổ đề 1.8 tìm thấy Lions [6], trang 57 1.4 Một số kết khác Bất đẳng thức Gronwall Giả sử f : [0; T ] ! R hàm khả tích, không âm [0; T ] thỏa mãn bất đẳng thức Z t f (t) C1 + C2 f (s) ds; 8t [0; T ] ; C1 ; C2 số không âm Khi f (t) C1 eC2 t ; 8t (0; T ) : Ta ký hiệu u (t) ; ut (t) = u_ (t) ; utt (t) = u• (t) ; ux (t) = ru (t) ; uxx (t) = để u (x; t) ; @u @2u @u @2u (x; t) ; (x; t) ; (x; t) ; (x; t) : @t @t2 @x @x2 u (t) Lấy w = v_ (5.6), tích phân theo t; ta Z t 2 kv_ (t)k + ku" (t)k krv (t)k = _ ku" (s)k2 krv (s)k2 ds Z tD Z E ^ +2 f" (s) ; v_ (s) ds + 2" Z +2 t t ku" (s)k2 ku" (s)k2 h u" (s) ; v_ (s)i ds ku0 (s)k2 (5.7) h u0 (s) ; v_ (s)i ds = I10 + I20 + I30 + I40 : Đặt (t) = kv_ (t)k + krv (t)k ; ta đánh giá tích phân vế phải (5.7) sau Đánh giá tích phân I10 : Ta có Z t _ ku" (s)k2 krv (s)k2 ds jI1 j = ~1 Z t 2M K kv_ (s)k2 + krv (s)k2 ds; (5.8) Đánh giá tích phân I20 : Ta có Z t D E ^ f" ; v_ (s) ds jI2 j = Z t f^" (s) kv_ (s)k ds: Mà f^" (s) = kf (x; t; u" ) f (x; t; u0 )k K1 kv (t)k K1 krv (t)k ; nên jI20 j Z Z t ^ f" (s) kv_ (s)k ds 2K1 (M; f ) krv (s)k kv_ (s)k ds 0 Z K1 M t kv_ (s)k2 + krv (s)k2 ds: p t (5.9) Đánh giá tích phân I30 : Ta có Z t jI3 j 2" k u" (s)k kv_ (s)k ds ku" (s)k Z t Z t 2 ~ 2"K0 M kv_ (s)k ds " K1 M T + kv_ (s)k2 ds 0 Z t ~ 02 M T + "2 K kv_ (s)k2 + krv (s)k2 ds: Đánh giá tích phân I40 : 55 (5.10) Ta có Z t ku" (s)k2 ku0 (s)k2 k u0 (s)k kv_ (s)k ds Z t ~1 Z t 4M K ~ 4M K1 kv (s)k kv_ (s)k ds krv (s)k kv_ (s)k ds p jI40 j ~1 Z 2M K p t kv_ (s)k2 + krv (s)k2 ds: Vậy suy từ (5.7), (5.8) – (5.11), ta Z 2 kv_ (s)k + krv (t)k " 1T + t (5.11) kv_ (s)k2 + krv (s)k2 ds; (5.12) ~ 02 M ; =K ~1 2M K = + ~ +K1 M 2M K p1 + 1: (5.13) Do bổ đề Gronwall, ta thu 1+ p (t) " p 1T exp T ; t T: (5.14) Từ (5.14), suy kvk _ L1 (0;T;H ) + krvkL1 (0;T;L2 ) C"; 1+ p C= p 1T exp T ~ i ; K1 ; f; : Định lý chứng minh hoàn tất số phụ thuộc vào T; M; K Trong phần tiếp theo, ta nghiên cứu khai triển tiệm cận nghiệm yếu toán nhiễu cấp cao theo tham số bé "; số hạng nhiễu đa thức bậc N điều kiện đầu toán (P" ) Giả sử g0; g1 C (R+ ) [N ] H3 [N ] H4 ; C N +1 (R+ ) ; f C N +1 ([0; 1] R+ > 0; R) ; thỏa điều kiện sau: D3 f (0; t; u) = D3 f (1; t; u) = 0; Z+ ; N; 8t 0; 8u R; ta dùng ký hiệu @f @f @ 1f @ 2f @ 3f @f ; D2 f = ; D3 f = ; D1 f = ; D f = ; D f = ; @x @t @u @x @t @u @ 1+ 2+ = D1 D2 D3 f = f; = ( ; ; ) Z3+ ; + + N: @x @t @u D1 f = D 56 Để cho gọn, ta dùng ký hiệu f (x; t; u) = f [u] : Ta nghiên cứu khai triển tiệm cận đến cấp N + toán nhiễu (P" ) : Gọi u0 = v0 + ; v0 W1 (M; T ) nghiệm yếu toán (P0 ) tương ứng với " = 0: Ta xét nghiệm yếu u1 ; u2 ; :::; uN W1 (M; T ) ( với số dương M; T thích hợp) xác định toán đây: Bài toán tìm u1 : u•1 ku0 k2 u1 = F~1 [u1 ] ; < x < 1; < t < T; > > > < (Q1 ) u1 (0; t) = u1 (1; t) = 0; > > > : u1 (x; 0) = u_ (x; 0) = 0; đó, F~1 [u1 ] = với [f ] + [ ]+ [ ] u0 ; (5.15) [f ] ; [f ] [ ] xác định sau < [f ] = f [u0 ] f (x; t; u0 ) ; : < : [f ] = [ 1] = [ ]= (5.16) [D3 f ] u1 : [u0 ] = [u1 ] = ku0 k2 ; (5.17) [ ] hru0; ru1 i : Bài toán tìm ui : Với i N; 00 ku0 k2 ui = F~i [ui ] ; < x < 1; < t < T; ui > > > < (Qi ) ui (0; t) = ui (1; t) = 0; > > > : ui (x; 0) = u_ i (x; 0) = 0; đó, F~i [ui ] = i [f ] + Pi k=1 k [ ]+ k với i [f ] = i [f; u0 ; u1 ; :::; ui ] ; i [ ] = công thức quy nạp < [f ] = [D3 f ] u1 ; : < : Pi i k k=0 i i [f ] = [ ]=2 i[ ] = i k i [ 1] ui k ; [ ; u0 ; u1 ; :::; ui ] ; (5.18) i N xác định (5.19) [D3 f ] ui k ; i N; [ ] hru0 ; ru1 i ; Pi k=0 Pi k j=0 (i (5.20) k j) k [ ] hruj ; rui 57 k ji ; i N: Ta ý i [f ] = i [f ] hàm bậc theo ui : Thật vậy, [D3 f ] ui + Pi i k k=1 i k [D3 f ] ui i i = [D3 f ] ui (5.21) + số hạng phụ thuộc vào (i; Tương tự k i k [D3 f ] uk ); k = 0; 1; :::; i 1: [ ] hàm bậc theo rui : Bởi vì, [ ] = i [ ] hru0 ; rui i (5.22) + số hạng phụ thuộc vào i; k [ ] ; ruk ; k = 0; 1; :::; i 1: nghiệm yếu toán (P" ) : Khi v = u" PNGọii u" W1 (M; PNT ) i " u = u " u u" h thỏa toán biến phân i " i i=1 i=0 v• f [h] > " [v + h] v = ( " [v + h] " [h]) h + f [v + h] > > > > PN i ~ > > < + ( " [h] [u0 ]) h + f [h] f [u0 ] i=1 " Fi ; > > v (0; t) = v (1; t) = 0; > > > > > : v (x; 0) = v_ (x; 0) = 0; đó, < " [v + h] = : E" (x; t) = ( kv + hk2 + " " [h] kv + hk2 ; [u0 ]) h + f [h] Khi đó, ta có bổ đề sau Bổ đề 5.2 Các hàm i [f ] = i[ ] = i [f ] ; @i (f [h]) i! @"i "=0 @i ( [h]) i! @"i "=0 i f [u0 ] PN u0 (5.23) (5.24) ~ i=1 " Fi : i N xác định công thức sau ; i N; (5.25) ; i N: (5.26) Chứng minh Bổ đề 5:2: (i) Chứng minh (5.25) Dễ thấy f [h]j"=0 = f [u0 ] f (x; t; u0 ) = [f ] : (5.27) Với i = 1; ta có @ @ (f [h]) = D3 f [h] h: @" @" (5.28) Mặt khác, từ công thức h= PN i=0 "i u i ; P @ i h= N ui ; i=0 i" @" (5.29) 58 ta có @ h @" = u1 : (5.30) "=0 Do đó, ta suy từ (5.19),(5.28),(5.30),rằng @ (f [h]) @" = [D3 f ] u1 : (5.31) "=0 Vậy, (5.25) với i = 1: Giả sử rằng, ta xác định hàm thức (5.16), (5.19) Do đó, ta suy từ (5.28) k [D3 f ] ; k = 0; 1; :::; i từ công @i @i @ @i @ (f [h]) = D3 f [h] h (f [h]) = i i i @" @" @" @" @" k i k Pi k @ @ = (D3 f [h]) i k (h) : k=0 Ci k @" @" (5.32) Ta ý @i h @"i = i!ui ; i N: (5.33) "=0 Do đó, ta suy từ (5.32) (5.33), @i (f [h]) @"i Pi k=0 = "=0 Pi k=0 = Pi k=0 = k!Cik Cik (i k k @i @"i [D3 f ] [D3 f ] (i k) (i 1)! k k (h) "=0 k)!ui k k [D3 f ] ui k : (5.34) Do đó, ta có từ (5.19) (5.34), @i (f [h]) i! @"i = "=0 Pi k=0 i k i k [D3 f ] ui k = i [f ] : (5.35) (ii) Chứng minh (5.26) Dễ thấy 0[ ] = kru0 (t)k2 = [u0 ] [h]j"=0 = Giả sử rằng, ta xác định hàm (5.17) (5.20) Ta có @ ( [h]) = @" k @0 ( [h]) 0! @"0 : (5.36) "=0 [ ] ; k = 0; 1; :::; i từ công thức @ krhk2 : @" [h] (5.37) Do đó, ta suy từ (5.37), @i @i ( [h]) = @"i @"i Pi k @ ( [h]) = i=0 Ci @" 59 @k @i ( [h]) @"k @"i k k krhk2 : (5.38) Mặt khác, từ công thức @m @m (krhk) = @"m @"m @j @"j Ta ý @m krhk2 @"m rh; @ rh @" Pm j=0 Pm j=0 =2 (rh) = i!rui ; =2 "=0 i @j @m (rh) ; @"j @"m j j (rh) : (5.39) N; ta thu từ (5.39) j j)!Cm j! (m j Cm hruj ; rum j i : (5.40) Ta suy từ (5.38) (5.40), @i ( [h]) @"i = "=0 Pi k=0 = Pi k!Cik k=0 = (i 1)! = "=0 k j=0 Pi k=0 Pi Pi k i k=0 j=0 @i @"i [ 0] Pi k!Cik Do đó, @i ( [h]) i! @"i k k k krhk2 "=0 j! (i k j)!Cij Pi k j=0 (i (i k k j) k j) k k k [ ] hruj ; rui [ ] hruj ; rui [ ] hruj ; rui k ji = k ji : i k ji (5.41) [ ] : (5.42) Vậy bổ đề 5.2 chứng minh hoàn tất Bổ đề 5.3 Giả sử (H1 ) ; (H2 ) ; ~ cho số K [N ] H3 [N ] H4 Khi đó, tồn ~ "N +1 ; K kE" kL1 (0;T ;L2 ) (5.43) ~ số phụ thuộc M; T; N số K X Ki (M; f ) = sup D1 D3 f [u] ; i = 1; 2; :::; N + 1; đó, sup lấy = đa số x 1; Z2+ thỏa j j = 1; T ; juj t + = i: M; tổng (5.44) P lấy cá Chứng minh bổ đề 5.3 Trong trường hợp N = 1; chứng minh bổ đề 5.3 dễ dàng, ta bỏ qua chi tết, mà ta chứng minh với N 2: Bằng cách khai triển Malaurin cho hàm f [h] xung quanh điểm " = đến cấp N +1; ta thu được: P i N +1 f [h] f [u0 ] = N RN +1 [f; "; ] ; (5.45) i=1 i [f ] " + " đó, sau i [f ] ; RN +1 [f; "; i 1] = N xác định (5.16), (5.19) RN +1 [f; "; @ N +1 (f [h]) (N + 1)! @"N +1 60 ; " 1" 1] xác định (5.46) với < < 1: Bằng cách khai triển Maclaurin cho hàm [h] [h] xung quanh điểm " = đến cấp N + N; ta thu PN i N +1 [h] [u0 ] = RN +1 [ ; "; ] ; (5.47) i=1 i [ ] " + " PN i N (5.48) [h] = i [ ] " + " RN [ ; "; ] ; i=0 đó, i [ ] ; i N xác định (5.17), (5.20) RN +1 [ ; "; xác định sau @ N +1 ( [h]) RN +1 [ ; "; ] = (N + 1)! @"N +1 RN [ ; "; @N ( [h]) N ! @"N 3] = 2] RN [ ; "; ; " (5.49) 2" ; " 3] (5.50) 3" với < i < 1; i = 2; 3: Kết hợp (5.47)-(5.50), ta thu ( = = = = = = = " [h] hP [u0 ]) h = ( [h] N i=1 i i[ ]" + PN h i i=1 hP PN PN uj i=1 P2N P k=1 k=1 i=1 PN Pk k=1 i=1 i uk i+j=k P2N Pk + P2N k=1 i=1 (1) ~ [ ; = "N +1 R N ~ (1) [ ; đó, R N ~ (1) [ ; R N i[ ]+ [ ]+ i i i [ ]+ i i [ ]+ i uk i i [ ]+ i Pk i=1 uk i uk i ; "; ; ] ; "; ; ] ; "; ; ] = i [ ]+ + + RN [ ; "; ; "; ; ] i ; "; ; ] ; "; ; ] ~N [ ; [ ] "k + "N +1 hR i i [ ] "k N h h i i ~N [ ; [ ] " + "N +1 hR 1 [ ]+ i ]) ; "; ; ] ~ N [ ; ; "; ; ] [ ] "k + "N +1 hR P2N Pk k uk i i [ ] + [ 1] " + k=N +1 i=1 i ; "; ; ] 2] ~N [ ; [ ] "i+j + "N +1 hR i k=N +1 PN Pk ~N [ ; [ ] "i + "N +1 R uk ~N [ ; +"N +1 hR = "N +1 i N i=1 j uj j=0 " [h]) h i N +1 (RN +1 [ ; "; [ 1] " + " i i=1 [ ] "i + PN j=0 PN [u0 ] + " ~N [ ; hR + i [ ] "k ; "; ; ] [ ] "k PN Pk k=1 uk i=1 i i [ ]+ i [ ] "k ; (5.51) xác định P2N k=N +1 Pk uk i=1 ~N [ ; + hR i i [ ]+ ; "; ; ] : 61 i [ ] "k N (5.52) Tổ hợp (5.15)-(5.18), (5.45) (5.51) ta thu PN i ~ E" (x; t) = ( " [h] [u0 ]) h + f [h] f [u0 ] i=1 " Fi h i N +1 ~ (1) = " RN [ ; ; "; ; ] + RN +1 [f; "; ] + + PN Pk k=1 PN i=1 i=1 i i [f ] "i h ~ (1) [ ; = "N +1 R N [ ]+ PN ; "; i [ 1] uk i "k i=1 "i F~ [ui ] 2; ] + RN +1 [f; "; i ] : (5.53) Do tính bị chận hàm ui ; i = 0; 1; 2; :::; N không gian L1 (0; T ; H ), ta thu từ (5.46), (5.49), (5.50) (5.52) rằng: kE" kL1 (0;T ;L2 ) ~ "N +1 ; K (5.54) ~ số phụ thuộc vào M; T; N số Ki (M; f ) ; K ~ i (M; ) ; đó, K ~ i (M; ) ; i = 1; :::; N: i = 1; 2; :::; N + 1; K Chứng minh bổ đề 5.3 hoàn tất Bây giờ, ta xét dãy hàm fvm g định nghĩa > v0 = 0; > > > > > > 00 > f [h] + ( " [vm + h] > " [vm + h] vm = f [v + h] " [h]) h > vm > < +E" (x; t) ; < x < 1; < t < T; (5.55) > > > > > > vm (0; t) = vm (1; t) = 0; > > > > > : v (x; 0) = v (x; 0) = 0; m 1: m m Với m = 1; ta có toán 00 v1 > " [h] v1 = E" (x; t) ; < x < 1; < t < T; > > < v1 (0; t) = v1 (1; t) = 0; > > > : v1 (x; 0) = v10 (x; 0) = 0: (5.56) Bằng cách nhân hai vế (5.56) v10 ; sau lấy tích phân theo t; ta tìm thấy không khó khăn Z t Z t z1 (t) = hE" (s) ; v10 (s)i ds; (5.57) " [h] (s) krv1 (s)k ds + 0 < z1 (t) = kv10 (t)k2 + : " [h] (t) = " kh (t)k [h] krv1 (t)k2 ; +" kh (t)k 62 (5.58) : Chú ý với M = (N + 1) M; ta có D E 0 _ h (t) ; h (t) + 2" j " [h] (t)j = kh (t)k 2M kh (t)k2 + " h kh (t)k2 1 kh (t)k E _ h (t) ; h (t) kh (t)k h_ (t) i 1) ~ (M ; ) + K ~ (M ; K D 0: (5.59) Sử dụng (5.57)-(5.59), ta Z t Z t j " [h] (s)j krv1 (s)k ds + kE" (s)k kv10 (s)k ds z1 (t) Z 0t p Z t ~ "N +1 krv1 (s)k2 ds + 2K z1 (s)ds 0 Z t Z t 2 2N +2 ~ " z1 (s) ds krv1 (s)k ds + T K + 0 Z t 2N +2 ~ TK " + 1+ z1 (s) ds: (5.60) Dùng bổ đề Gronwall, ta thu từ (5.60), z1 (t) C~T "2N +2 ; 8t [0; T ] ; (5.61) ~ exp C~T = T K 1+ T : (5.62) Suy CT "N +1 : kv10 kL1 (0;T ;L2 ) + kv1 kL1 (0;T ;H ) (5.63) Ta chứng minh rằng, tồn số CT ; độc lập với m "; cho CT "N +1 ; < " kvm kL1 (0;T ;L2 ) + kvm kL1 (0;T ;H ) 1; 8m: (5.64) Bằng cách nhân hai vế (5.60) vm ;sau tích phân theo t; ta zm (t) = Z t ";m (s) krvm Z t +2 ( " [vm Z t (s)k ds + hf [vm + h] + h] f [h] ; vm (s)i ds " [h]) h h (s) ; vm Z t (s)i ds + hE" (s) ; vm (s)i ds = J1 + J2 + J3 + J4 ; (5.65) < zm (t) = kvm (t)k2 + : ";m (t) = " [vm ";m (t) krvm + h] = kvm (t)k2 ; (5.66) + hk 63 +" kvm + hk : Đánh giá J1 : Z jJ1 j t ";m (s) Chú ý rằng, với M ";m (s) = (N + 2) M; ta có = kvm vm kvm 2M nên jJ1 j Z krvm (s)k2 ds: 1 h + hk2 + " + h; vm + hk vm kvm + hk2 D kvm + hk2 + "D kvm h i ~ ~ + h K (M ; ) + K (M ; ) 1 + h0 i ~ ~ K1 (M ; ) + K1 (M ; ) t krvm (s)k ds 1 Z + hk2 1; t (5.67) zm (s) ds: Đánh giá J2 : Z t jhf [vm + h] f [h] ; vm (s)ij ds Z t 2K1 (M ; f ) kvm (s)k kvm (s)k ds Z t 2K1 (M ; f ) kvm kW (T ) kvm (s)k ds Z t 2 zm (s) ds: T K1 (M ; f ) kvm kW (T ) + jJ2 j (5.68) Đánh giá J3 : Z t j jJ3 j " [vm [vm + h] " Ta đánh giá j " " [vm + h] + h] " [h]j " [h]j k h (s)k kvm (s)k ds: [h] sau kvm + hk2 khk2 +" kvm + hk2 h ~ (M ; ) + K ~ (M ; K 2M 2M h h khk2 i ) kvm 1 ~ (M ; ) + K ~ (M ; K ~ (M ; ) + K ~ (M ; K 64 + hk2 i ) kvm k khk2 i ) kvm kW1 (T ) : Do đó, ta suy Z t i ~ ~ 4M K1 (M ; ) + K1 (M ; ) kvm kW1 (T ) kvm (s)k ds Z t kvm (s)k ds kvm kW1 (T ) Z t 2 zm (s) ds: T kvm kW1 (T ) + jJ3 j h (5.69) Đánh giá J4 : Z t Z t 0 N +1 ~ " kvm (s)k ds kE" (s)k kvm (s)k ds 2K 0 Z t Z t 2 2N +2 2N +2 ~ " ~ " zm (s) ds: kvm (s)k ds T K + TK + jJ4 j (5.70) 0 Do đó, ta suy từ (5.65), (5.67)-(5.70), ~ "2N +2 + T TK zm (t) kvm kW1 (T ) + Z t zm (s) ds; (5.71) = + K12 (M ; f ) ; =3+ : (5.72) Dùng bổ đề Gronwall, ta thu từ (5.71), h i 2T ~ "2N +2 + T kvm k2 zm (t) TK W1 (T ) e ~ 2e TK 2T 2N +2 T" "2N +2 + T + 3T 2T 1e kvm k2W1 (T ) kvm k2W1 (T ) ; (5.73) T = p ~ T Ke 2T ; 3T =T 1e 2T (5.74) : Ta thu từ (5.66), (5.73), (5.74), m m + ; 8m 1; (5.75) với m > < > : kL1 (0;T ;L2 ) + kvm kL1 (0;T ;H ) ; = kvm (5.76) = 1+ p = 1+ p p 3T = 1+ p p T 1e 2T ; (5.77) T" N +1 : 65 Ta giả sử = p 1+ p T 2T 1e < 1; (5.78) với số T > thích hợp Ta cần bổ đề sau mà chứng minh không khó khăn Bổ đề 5.4 Giả sử dãy số thực f m m m + ; 8m < 1; 1; thỏa = 0; (5.79) số cho trước Khi ; 8m mg 1: Áp dụng bổ đề 5.4 với (5.80) m = kvm kL1 (0;T ;L2 ) + kvm kL1 (0;T ;H ) ; (5.77), ta suy từ (5.75) (5.78), 1+ m = 1 p p 1+ T p T 1e 2T "N +1 = CT "N +1 ; (5.81) 1+ CT = 1+ p p T p : T 1e (5.82) 2T Do CT "N +1 ; < " kvm kL1 (0;T ;L2 ) + kvm kL1 (0;T ;H ) 1; 8m: (5.83) Măt khác, dãy quy nạp tuyến tính fvm g xác định (5.55) hội tụ mạnh không gian W1 (T ) nghiệm v toán (5.23) Do đó, cho m ! +1 (5.83), ta CT "N +1 ; kv kL1 (0;T ;L2 ) + kvkL1 (0;T ;H ) (5.84) hay u0" PN i=0 u0i "i L1 (0;T ;L2 ) + u" PN i=0 ui "i L1 (0;T ;H01 ) CT "N +1 : (5.85) Khi đó, ta có định lý sau Định lý 5.2 Giả sử (H1 ) ; [N ] H3 [N ] H4 Khi đó, tồn số M > T > cho, với "; với " đủ bé, toán (P" ) có nghiệm yếu u" ; với u" W1 (M; T ) thỏa đánh giá tiệm cận đến cấp N +1 (5.85), hàm u0 ; u1 ; :::; uN nghiệm yếu toán (P0 ) ; (Q1 ) ; :::; (QN ) : 66 KẾT LUẬN Qua luận văn này, tác giả thực làm quen với công việc nghiên cứu khoa học cách nghiêm túc có hệ thống Tác giả học tập phương pháp nghiên cứu qua việc đọc tài liệu thảo luận nhóm sinh hoạt học thuật, hiểu công cụ Giải tích hàm phi tuyến việc nghiên cứu tính giải toán phi tuyến, phương pháp chứng minh tồn nghiệm toán biên phi tuyến phương pháp Galerkin liên hệ với kỹ thuật đánh giá tiên nghiệm, kỹ thuật tính compact hội tụ yếu Chúng có dịp vận dụng định lý ánh xạ co việc chứng minh tồn nghiệm xấp xỉ Galerkin Nội dung luận văn bao gồm chương 2, chương 3, chương chương Trong chương 2, trình bày kết tồn nghiệm yếu toán giá trị biên ban đầu cho phương trình sóng phi tuyến có chứa số hạng Carrier Trong chương 4, xây dựng dãy lặp tinh tế thu dãy lặp phi tuyến fvm g hội tụ cấp hai nghiệm yếu toán không gian W1 (T ) với giả thiết ban đầu cho tốt Trong chương 5, nghiên cứu khai triển tiệm cận với tham số bé : Tuy nhiên với hiểu biết hạn chế thân, tác giả mong học hỏi từ đóng góp bảo Quý Thầy Cô hội đồng chấm luận văn 67 Tài liệu tham khảo [1] R A Adams, Sobolev Space, Academic Press, New York, 1975 [2] H Brézis, Analyse fonctionnelle, Théorie et Applications, Mason Paris, 1983 [3] G F Carrier, On the nonlinear vibrations problem of elastic string, Quart J Appl Math (1945) 157 – 165 [4] Y Ebihara, L A Medeiros, M M Minranda, Local solutions for a nonlinear degenerate hyperbolic equation, Nonlinear Anal 10 (1986) 27 – 40 [5] G R Kirchhoff, Vorlesungen u ¨ber Mathematische Physik: Mechanik, Teuber, Leipzig, 1876, Section 29.7 [6] J L Lions, Quelques méthodes de résolution des problèmes aux limites nonlinéaires, Dunod; Gauthier – Villars, Paris, 1969 [7] Nguyễn Thành Long, Alain Phạm Ngọc Định, Trần Ngọc Diễm, Linear recursive schemes and asymptotic expansion associated with the Kirchhoff – Carrier operator, J Math Anal Appl 267 (1) (2002) 116 – 134 [8] Nguyễn Thành Long, On the nonlinear wave equation utt B t; kux k2 uxx = f (x; t; u; ux ; ut ) associated with the mixed homogenerous conditions, J Math Anal Appl 274 (1) (2005) 102 – 123 [9] Nguyễn Thành Long, On the nonlinear wave equation utt B t; kux k2 ; kut k2 uxx = f (x; t; u; ux ; ut ; kux k2 ; kut k2 ) associated with the mixed homogenerous conditions, J Math Anal Appl 306 (1) (2005) 243 – 268 [10] Nguyễn Thành Long, Nonlinear Kirchhoff – Carrier wave equation in a unit membrane with mixed homogenerous boundary conditions, Electron J Differential Equations 2005, No.138, 18 pp [11] Nguyễn Thành Long, Bùi Tiến Dũng, On the nonlinear wave equation utt B kux k2 uxx = f x; t; u; ux ; ut ; kux k2 associated with the mixed homogenerous conditions, Nonlinear Anal, Ser A: Theory Methods, 55 (5) (2003) 493 – 519 [12] Nguyễn Thành Long, Bùi Tiến Dũng, On the nonlinear wave equation utt B t; kux k2 uxx = f x; t; u; ux ; ut ; kux k2 associated with the mixed homogenerous conditions, J Math Anal Appl 292 (2) (2004) 433 – 458 [13] Nguyễn Thành Long, Nguyễn Công Tâm, Nguyễn Thị Thảo Trúc, On the nonlinear wave equation with the mixed nonhomogenerous conditions: Linear approximation and asymptoic expansion of solution, Demonstretio Math 38 (2) (2005) 365 – 386 68 [14] Nguyễn Thành Long, Lê Thị Phương Ngọc, On nonlinear boundary value problems for nonlinear wave equations, Vietnam J Math 37 (2 – 3) (2009) 141 – 178 [15] Lê Thị Phương Ngọc, Nguyễn Thành Long, Linear approximation and asymptotic expansion of solutions in many small parameters for a nonlinear Kirchhoff wave equation with mixed nonhomogeneous conditions, Acta Applicanda Mathematicae, 112 (2) (2010) 137 – 169 [16] Lê Thị Phương Ngọc, Lê Xuân Trường, Nguyễn Thành Long, An N – order iterative scheme for a nonlinear Kirchhoff-Carrier wave equation associated with mixed homogeneous conditions, Acta Mathematica Vietnamica, 35 (2) (2010) 207 – 227 [17] Lê Thị Phương Ngọc, Lê Khánh Luận, Trần Minh Thuyết, Nguyễn Thành Long, On the nonlinear wave equation with the mixed nonhomogenerous conditions: Linear approximation and asymptoic expansion of solutions: Nonlinear Analysis, Theory, Methods & Applications, Series A: Theory and Methods, 71 (11) (2009) 5799 – 5819 [18] S I Pohozaev, On a class of quasilinear hyperbolic equation, Math USSR Sb 25 (1975) 145 – 158 [19] R E Showater, Hilbert space methods for partial differential equations, Election J Differential Equations, Monograph 01, 1994 [20] Lê Xuân Trường, Lê Thị Phương Ngọc, Nguyễn Thành Long, High-order iterative schemes for a nonlinear Kirchhoff – Carrier wave equation associated with the mixed homogenerous conditions, Nonlinear Analysis, Theory, Methods & Applications, Series A: Theory and Methods, 71 (1 – 2) (2009) 467 – 484 69 [...]... trước thỏa các điều kiện mà ta sẽ chỉ ra sau và số Z 1 2 2 hạng phi tuyến ku(t)k là hàm phụ thuộc vào tích phân ku(t)k = u2 (x; t)dx 0 Chứng minh được dựa vào kỹ thuật tuyến tính hóa và phương pháp Galerkin liên hệ với các đánh giá tiên nghiệm, từ đó rút ra các dãy con hội tụ yếu trong các không gian hàm thích hợp Trong phần này, định lý ánh xạ co dạng lặp được sử dụng trong việc chứng minh tồn tại... biết ơn sâu sắc của tôi đến thầy hướng dẫn cho tôi là thầy Tiến sĩ Trần Minh Thuyết và Tiến sĩ Lê Xuân Trường người đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ cho tôi vượt qua mọi khó khăn trong suốt quá trình làm luận văn Tôi xin gởi lời biết ơn chân thành và sâu sắc đến các thầy Xin chân thành cảm ơn thầy Tiến Sĩ Nguyễn Thành Long đã đọc luận văn, đóng góp chân tình và cho tôi những nhận xét quý báu Tôi xin cảm... chấm luận văn đã dành thời gian quý báu để tham dự hội đồng chấm luận văn của tôi và cả những góp ý sâu sắc cho buổi bảo vệ Tôi xin trân trọng cảm ơn Quý Thầy Cô trong và ngoài của Khoa Toán-Tin học Trường Đại học Khoa học Tự nhiên thành phố Hồ Chí Minh, đã truyền đạt kiến thức và kinh nghiệm học thuật cho tôi trong suốt quá trình học tại trường Xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu, các thầy cô phòng Quản... điều kiện thuận lợi giúp tôi hoàn thành chương trình học Cảm ơn các bạn học viên lớp cao học Khóa 18 đã hỗ trợ cho tôi nhiều mặt trong thời gian học và làm luận văn Cảm ơn anh Phạm Thanh Sơn và các anh trong trong lớp Seminar cho những ý kiến đóng góp về luận văn Lời thân thương nhất xin được gởi đến gia đình tôi, nơi đã tạo mọi điều kiện cho tôi học tập và hoàn thành luận văn này Mặc dù đã cố gắng nhiều... Thuật giải lặp cấp ba 34 4.1 Giới thiệu 34 4.2 Thuật giải lặp cấp 3 34 Chương 5 Khai triển tiệm cận 53 Phần kết luận 67 Tài liệu tham khảo ... (2.11)-(2.12) và (2.29) suy ra tồn tại một hằng số M > 0; không phụ thuộc vào k; m sao cho k Sm (0) M2 ; 8k; m: 2 (2.30) Hơn nữa giả thiết (H3 ) cho ta p lim+ T Ni = 0; i = 0; 1: (2.31) T !0 Từ (2.30), (2.31) ta chọn được một hằng số T > 0 thỏa M2 + C1 (M; T ) exp (T C2 (M; T )) 2 M 2; 12 (2.32) và p 1 NT = 2 2 1 + p r ~12 M 4 + N12 T exp 4N 1+ ~1 M 2 N ! ! Cuối cùng, từ (2.27), (2.30) và (2.32), ta... 0 và một dãy quy nạp tuyến tính fvm g W1 (M; T ) xác định bởi (3.10) – (3.12) Chứng minh Bước 1 Xấp xỉ Galerkin p Giả sử fwj g với wj (x) = 2 sin (j x) ; j 2 N là cơ sở đặc biệt của H01 gồm các hàm @2 riêng wj của toán tử = @x wj = j wj ; wj 2 H01 \ H 2 : 2 sao cho Dùng phương pháp Galerkin để xây dựng nghiệm xấp xỉ P (k) (k) (3.14) vm (t) = kj=1 cmj (t) wj ; (k) trong đó cmj thỏa các hệ phương trình. ..CHƯƠNG 2 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm cho bài toán biên thuần nhất 2.1 Giới thiệu Trong chương này, chúng tôi trình bày định lý tồn tại và duy nhất nghiệm yếu cho bài toán với điều kiện biên thuần nhất 8 utt ku(t)k2 uxx = f (x; t; u); 0 < x < 1; 0 < t < T; > > > < (2.1) u (0; t) = u (1; t) = 0; > > > : u (x; 0) = u~0 (x) ; ut (x; 0) = u~1 (x) ; trong đó ; u~0; u~1 ; f là các hàm cho trước thỏa các... sin (j x) ; j 2 N là cơ sở đặc biệt của H01 \ H 2 gồm các @2 hàm riêng wj của toán tử = @x wj = j wj ; wj 2 H01 \ H 2 : 2 sao cho Dùng phương pháp Galerkin để xây dựng nghiệm xấp xỉ P (k) (k) um (t) = kj=1 cmj (t) wj ; (2.9) (k) trong đó cmj thỏa các hệ phương trình vi phân tuyến tính 8 D E D E (k) (k) > < u•m ; wj + m (t) rum ; rwj = hFm (t); wj i ; > : (k) um (0) = u~0k ; (k) u_ m (0) = u~1k ; 1... (H3 ) thỏa Khi đó, tồn tại các hằng số dương M > 0; T > 0 và một dãy quy nạp tuyến tính fum g W1 (M; T ) xác định bởi (2.6) – (2.8) Chứng minh Ý tưởng chứng minh dựa vào phương pháp xấp n xỉo Galerkin được giới (k) thiệu bởi Lions [6] ; trước hết là thiết lập dãy xấp xỉ Galerkin um ; tiếp đến là đánh giá tiên nghiệm, cuối cùng qua giới hạn nhờ vào lý luận về tính compact, ta thu được um 2 W1 (M; T ) ... KHOA HỌC TỰ NHIÊN - HÀ NGUYỄN THÙY LINH THUẬT GIẢI LẶP VÀ KHAI TRIỂN TIỆM CẬN CHO PHƯƠNG TRÌNH SÓNG PHI TUYẾN KIỂU CARRIER Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN... tiên nghiệm phương pháp compact yếu Để tăng tốc độ hội tụ, chương thuật giải lặp tinh tế so với thuật giải lặp cấp thu thuật giải lặp cấp hội tụ mạnh nghiệm toán không gian hàm xét chương 3: Ngoài... : Chương 4, khảo sát thuật giải lặp cấp ba, bao gồm việc xây dựng dãy lặp, chứng minh hội tụ dãy lặp, đồng thời đánh giá tốc độ hội tụ Chương 5, nghiên cứu khai triển tiệm cận nghiệm yếu toán