Giải gần đúng phương trình phi tuyến và phương trình vi phân trên máy tính điện tử

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TRẦN THỊ HOÀN GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN VÀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TRÊN MÁY TÍNH ĐIỆN TỬ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 200 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TRẦN THỊ HOÀN GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN VÀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TRÊN MÁY TÍNH ĐIỆN TỬ Chuyên ngành: Giải tích Mã số: 60.46.01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Tạ Duy Phượng THÁI NGUYÊN - 2007 MỤC LỤC Trang Lời nói đầu 2-3 Chương Giải gần phương trình phi tuyến máy tính điện tử………………… …… ………… .………4 Đ1 Giải gần phương trình f ( x )  …… ……………… ….…4 Đ2 Các phương pháp tìm nghiệm gần phương trình f ( x)  ……… ……………………………….…………….…………….……10 Đ3 Tìm nghiệm gần phương trình f ( x)  máy tính điện tử……………… ……………………………….…………….……24 Chương Giải gần nghiệm toán Cauchy cho phương trình vi phân thường máy tính điện tử …48 Đ1 Phương pháp giải gần toán Cauchy cho phương trình vi phân thường……………………….….………………………… 48 Đ2 Phương pháp Euler ………… ………………………… …… ….…52 Đ3 Phương pháp Runge-Kutta ………… ……………………… ….…57 Đ4 Giải toán Cauchy cho phương trình vi phân máy tính điện tử ………… ………………….……… ……………………………… 64 Kết luận 82 Tài liệu tham khảo .83 LỜI NÓI ĐẦU Các toán thực tế (trong thiên văn, đo đạc ruộng đất,…) dẫn đến việc cần phải giải phương trình phi tuyến (phương trình đại số phương trình vi phân), nhiên, phương trình thường phức tạp, nói chung khó giải (đưa phương trình bản) biến đổi đại số Hơn nữa, công thức nghiệm (của phương trình phi tuyến phương trình vi phân) thường phức tạp, cồng kềnh, nên cho dù có công thức nghiệm, việc khảo sát tính chất nghiệm qua công thức gặp phải nhiều khó khăn Vì vậy, từ thời Archimedes, phương pháp giải gần xây dựng Nhiều phương pháp (phương pháp Newton-Raphson giải gần phương trình phi tuyến, phương pháp Euler phương pháp Runge-Kutta giải phương trình vi phân) trở thành kinh điển sử dụng rộng rãi thực tế Với phát triển công cụ tin học, phương pháp giải gần lại có ý nghĩa thực tế lớn Để giải phương trình tay giấy, có phải hàng ngày với sai sót dễ xảy ra, với máy tính điện tử, chí với máy tính điện tử bỏ túi, cần vài phút Tuy nhiên, việc thực tính toán toán học máy cách dễ dàng đòi hỏi người sử dụng có hiểu biết sâu sắc lí thuyết toán học Mặt khác, nhiều vấn đề lí thuyết (sự hội tụ, tốc độ hội tụ, độ xác, độ phức tạp tính toán,…) soi sáng thực hành tính toán cụ thể Vì vậy, việc sử dụng thành thạo công cụ tính toán cần thiết cho học sinh, sinh viên Công cụ tính toán hỗ trợ đắc lực cho việc tiếp thu kiến thức lí thuyết, giảng dạy lí thuyết gắn với thực hành tính toán, giúp học sinh, sinh viên không tiếp thu tốt kiến thức khoa học, mà tiếp cận tốt với phương pháp công cụ tính toán đại Nói chung, trường phổ thông đại học nay, việc gắn giảng dạy lí thuyết với tính toán thực hành chưa đẩy mạnh Điều hoàn toàn thiếu công cụ tính toán, mà có lẽ việc phổ biến cách sử dụng công cụ tính toán quan tâm Với mục đích minh họa khả sử dụng máy tính điện tử dạy học môn Giải tích số, chọn đề tài luận văn Giải gần phương trình phi tuyến phương trình vi phân máy tính điện tử Luận văn gồm hai chương: Chương trình bày ngắn gọn phương pháp giải gần phương trình phi tuyến đặc biệt, minh họa so sánh phương pháp giải gần phương trình thông qua thao tác thực hành cụ thể máy tính điện tử khoa học Casio fx-570 ES Chương trình bày phương pháp Euler, phương pháp Euler cải tiến phương pháp Runge-Kutta giải phương trình vi phân thường Các phương pháp so sánh minh họa qua thực hành tính toán máy tính Casio fx-570 ES chương trình Maple Có thể coi qui trình chương trình luận văn chương trình mẫu để giải phương trình phi tuyến phương trình vi phân (chỉ cần khai báo lại phương trình cần giải) Điều thực nhiều phương trình cụ thể Tác giả xin chân thành cám ơn TS Tạ Duy Phượng (Viện Toán học), người Thầy hướng dẫn tác giả hoàn thành luận văn Xin cảm ơn Trường Đại học Sư phạm (Đại học Thái Nguyên), nơi tác giả hoàn thành chương trình cao học giảng dạy nhiệt tình Thầy Xin cám ơn Phòng Giáo dục Phổ Yên (Thái Nguyên), nơi tác giả công tác, tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành khóa học luận văn Cuối cùng, xin cám ơn Gia đình động viên, giúp đỡ chia xẻ khó khăn với tác giả thời gain học tập Thái Nguyên, 20.9.2007 Trần Thị Hoàn CHƢƠNG I GIẢI GẦN ĐÚNG PHƢƠNG TRÌNH PHI TUYẾN TRÊN MÁY TÍNH ĐIỆN TỬ Đ1 GIẢI GẦN ĐÚNG PHƢƠNG TRÌNH f ( x)  Phương trình f ( x)  thường gặp nhiều thực tế Tuy nhiên, số lớp phương trình đơn giản phương trình bậc nhất, phương trình bậc hai, phương trình bậc ba bậc bốn phương trình có công thức nghiệm biểu diễn qua hệ số, vài lớp phương trình giải nhờ kĩ thuật đại số (phân tích thừa số, đặt ẩn phụ,…) để đưa phương trình bậc bậc hai, hầu hết phương trình phi tuyến không giải xác (không có công thức biểu diễn nghiệm qua hệ số phương trình), người ta thường tìm cách tìm nghiệm gần phương trình Và biết công thức nghiệm, tính phức tạp công thức, giá trị sử dụng công thức nhiều không cao Thí dụ, với lớp phương trình đơn giản phương trình đa thức bậc ba ax3  bx  cx  d  , có công thức Cardano để giải, công thức chứa nhiều thức cồng kềnh (xem, thí dụ: Eric W Weisstein: CRS Concise Encyclopedia of Mathematics, CRS Press, New York, 1999, mục Cubic Equation, trang 362-365), nên thực chất tìm nghiệm gần Hơn nữa, đa số phương trình, chí phương trình đơn giản mặt hình thức lại xuất phát từ toán thực tế, thí dụ, phương trình x  cos x công thức biểu diễn nghiệm thông qua phép toán (cộng, trừ, nhân, chia, khai căn, lũy thừa), nói cách khác, không giải khó giải phép biến đổi đại số, giải gần đến độ xác dễ dàng nhờ phép lặp xn1  cos xn , máy tính điện tử bỏ túi (chỉ cần bấm liên tiếp phím  ) Những phương trình xuất toán thực tế (thí dụ, đo đạc,…) nói chung có thông tin đầu vào (thể hệ số, công thức) gần (sai số đo đạc, đánh giá, tính toán sơ bộ, ) Vì việc tìm nghiệm xác ý nghĩa thực tế lớn, với phương pháp giải gần phương trình, ta thường có công thức đánh giá độ xác nghiệm gần tìm nghiệm đến độ xác cho trước, nên phương pháp giải gần phương trình có ý nghĩa quan trọng giải toán thực tế Các phương pháp giải xác phương trình mang tính đơn lẻ (cho lớp phương trình), phương pháp giải gần phương trình mang tính phổ dụng: phương pháp dùng để giải cho lớp phương trình rộng, thí dụ, đòi hỏi hàm số liên tục chẳng hạn, khả ứng dụng giải gần cao Giải gần phương trình liên quan đến nhiều vấn đề quan trọng khác toán học Thí dụ, theo điều kiện cần cực trị (Định lí Fermat), điểm x0 điểm cực trị (địa phương) hàm số y  F ( x) phải điểm dừng, tức y '( x0 )  F '( x0 )  Như vậy, để tìm điểm cực trị, trước tiên ta phải giải phương trình y '  F '( x) : f ( x)  để tìm điểm dừng (điểm nghi ngờ điểm cực trị) Trong thực tế để tìm nghiệm tối ưu, ta thường tìm điểm dừng (nghi ngờ cực trị) nhờ giải gần phương trình y '  F '( x) : f ( x)  Bởi mạnh máy tính điện tử khả lặp lại công việc với tốc độ cao, mà giải gần phương trình thực chất việc thực dãy bước lặp, nên nhờ máy tính mà việc giải gần phương trình trở nên đơn giản, nhanh chóng thuận tiện Không thế, máy tính cho phép, thông qua lập trình, mô trình thực bước lặp giải phương trình, công cụ tốt trợ giúp học sinh sinh viên tiếp thu kiến thức toán học nói chung, phương pháp giải gần phương trình nói riêng Do thực hành giải gần máy tính điện tử có ý nghĩa định giảng dạy học tập môn toán trường phổ thông đại học Trong chương này, để giải gần phương trình, giả thiết rằng, f ( x ) hàm xác định liên tục đoạn đường thẳng thực Nhiều điều kiện đủ để xây dựng phương pháp giải gần Trong số phương pháp, ta giả thiết f ( x ) khả vi đến cấp cần thiết (có đạo hàm cấp có đạo hàm cấp hai) Nếu f ( x )  điểm x gọi nghiệm không điểm phương trình f ( x)  Ta giả thiết nghiệm cô lập, tức tồn lân cận điểm x không chứa nghiệm khác phương trình Khoảng lân cận (chứa x ) gọi khoảng cách li nghiệm x Các bước giải gần phương trình Giải gần phương trình f ( x )  tiến hành theo hai bước: Bước Tìm khoảng chứa nghiệm Một phương trình nói chung có nhiều nghiệm Ta cần tìm khoảng chứa nghiệm, tức khoảng ( a, b) phương trình có nghiệm (có nghiệm), tiêu chuẩn sau Định lí (Bolzano-Cauchy) Nếu hàm f ( x ) liên tục đoạn  a, b thỏa mãn điều kiện f (a ) f (b)  phương trình f ( x)  có nghiệm khoảng ( a, b) Ý nghĩa hình học Định lí rõ ràng: Đồ thị hàm số liên tục đường cong liên tục (liền nét), chuyển từ điểm A(a, f (a)) sang điểm B (b, f (b)) nằm hai phía khác trục hoành, đường cong phải cắt trục hoành điểm (có thể nhiều điểm) Thí dụ, hàm số y  f ( x)  x3  3x  có f (2)  3 ; f ( 1)  ; f (0)  1 f (2)  nên phương trình x  x   có ba nghiệm phân biệt khoảng ( 3, 1) ; ( 1,0) (0, 2) Định lí (Hệ Định lí 1) Giả sử f ( x ) hàm liên tục đơn điệu chặt đoạn  a, b Khi f (a ) f (b)  phương trình f ( x)  có nghiệm khoảng ( a, b) Ý nghĩa hình học Định lí là: Đồ thị hàm số liên tục tăng chặt (giảm chặt) đường cong liên tục (liền nét) lên (đi xuống) Khi di chuyển từ điểm A(a, f (a)) sang điểm B (b, f (b)) nằm hai phía khác trục hoành đồ thị phải cắt cắt trục hoành lần (Hình vẽ) Hai định lí đòi hỏi tính liên tục mà không đòi hỏi tính khả vi (tồn đạo hàm) f ( x ) Nếu f ( x ) có đạo hàm dùng tiêu chuẩn Định lí (Hệ Định lí 2) Giả sử hàm số f ( x ) có đạo hàm f ( x) đạo hàm f ( x) không đổi dấu (luôn dương âm) đoạn  a, b Khi f (a ) f (b)  phương trình f ( x)  có nghiệm khoảng ( a, b) Từ ba định lí trên, ta đến hai phương pháp tìm khoảng cách li nghiệm phương trình f ( x)  (khoảng chứa nghiệm): phương pháp hình học phương pháp giải tích Phƣơng pháp giải tích Giả sử ta phải tìm nghiệm phương trình f ( x)  khoảng ( a, b) Ta tính giá trị f ( a ) , f (b) giá trị f ( xi ) hàm số số điểm xi  (a, b) , i  1,2, , n Nếu hàm f ( x ) đơn điệu chặt khoảng  xi , xi 1  điều kiện f ( xi ) f ( xi1 )  thỏa mãn  xi , xi1  khoảng cách li nghiệm phương trình f ( x)  Nếu thông tin hàm f ( x ) ta thường dùng quy trình chia đoạn thẳng (chia khoảng ( a, b) thành 2, 4, 8,…phần) thử điều kiện f ( xi ) f ( xi1 )  để tìm khoảng cách li nghiệm Một đa thức bậc n có không n nghiệm Vì phương trình đa thức có không n khoảng cách li nghiệm Khi hàm f ( x ) đủ tốt (có đạo hàm, có dạng cụ thể, ), ta khảo sát đồ thị để chia trục số thành khoảng đổi dấu đạo hàm (khoảng đồng biến nghịch biến hàm số) xác định khoảng cách li nghiệm Phƣơng pháp hình học Trong trường hợp đồ thị hàm số tương đối dễ vẽ, ta vẽ phác đồ thị để tìm khoảng cách li nghiệm giá trị thô nghiệm giao điểm (gần đúng) đồ thị với trục hoành Cũng dùng máy tính đồ họa (máy tính có khả vẽ Casio Algebra fx-2.0 Plus Sharp EL-9650) phần mềm tính toán (Maple, Matlab,…) để vẽ đồ thị Sau đó, nhờ tính toán, ta “tinh chỉnh” để đến khoảng cách li nghiệm xác Bước Giải gần phƣơng trình Có bốn phương pháp giải gần phương trình: phương pháp chia đôi, phương pháp lặp, phương pháp dây cung phương pháp tiếp tuyến (phương pháp Newton-Raphson) Nhằm làm sở lí thuyết cho tính toán Đ3, Đ2 vắn tắt trình bày nội dung phương pháp này, chủ yếu dựa vào giáo trình Giải tích số [1] - [6] Đ2 CÁC PHƢƠNG PHÁP TÌM NGHIỆM GẦN ĐÚNG CỦA PHƢƠNG TRÌNH f ( x)  Phƣơng pháp chia đôi Nội dung phương pháp chia đôi đơn giản: Giả sử f ( x ) hàm liên tục đoạn  a, b f (a ) f (b)  Khi theo Định lí Bolzano-Cauchy, phương trình f ( x)  có nghiệm khoảng ( a, b) Chia đôi đoạn  a, b tính f ( ab ) Nếu f ( ab ab )  x  nghiệm phương trình f ( x)  2 Nếu f ( ab ab ab )  f (a ) f ( )  f ( ) f (b)  nên phương 2 trình có nghiệm khoảng ( a, ab ab ) ( , b) 2 Gọi khoảng (khoảng nhỏ) chứa nghiệm (a1, b1 ) Lại chia đôi khoảng (a1, b1 ) tính giá trị điểm x  Tiếp tục trình ta đến: a1  b1 Hoặc bước thứ n ta có f ( an  bn a b )  , tức x  n n 2 nghiệm, ta dãy đoạn thẳng lồng [an , bn ] có tính chất: a  a1  a2   an    bn   b1  b , f (an ) f (bn )  bn  an  ba 2n Sự hội tụ phƣơng pháp chia đôi Dãy an  dãy đơn điệu tăng, bị chặn b , dãy bn  đơn điệu giảm bị chặn a nên hai dãy có giới hạn Do bn  an  ba nên lim  bn  an   hay lim an  lim bn  x n n n 2n Do tính liên tục hàm số y  f ( x) , lấy giới hạn biểu thức f (an ) f (bn )  ta f ( x )  lim f (an ) f (bn )  n Suy f ( x )  hay x nghiệm phương trình f ( x)  khoảng ( a, b) Đánh giá sai số Tại bước thứ n ta có an  x  bn bn  an  Nếu chọn nghiệm gần x  an ba 2n x  x  bn  an  Nếu chọn nghiệm gần x  bn x  x  bn  an  Nếu chọn nghiệm gần x  ba ; 2n an  bn ta có đánh giá: x  x  bn  an b  a  n1 2 10 ba ; 2n Như vậy, sau bước thứ n , nên chọn nghiệm gần x  cn  an  bn , ta nghiệm xác Nếu chọn xn  an  bn b  an b  a  n1 Do với   x  xn  n 2 cho trước (độ xác   cho trước) ta có x  xn   với ba n  log      Nếu bước n ta chọn xn  an  bn ta có xn1  xn  ( xn1  x )  ( x  xn )  ba ba ba  n1  n 2n 2 Do tính toán (trên máy tính bỏ túi với hình hiển thị 10 chữ số chẳng hạn), ta dừng tính toán xn1  xn  xn1  đến số thập phân cần thiết (thí dụ, ta dừng tính toán nghiệm xác đến 10 chữ số, tức   1010 ) Phƣơng pháp lặp Giả sử ( a, b) khoảng cách li nghiệm phương trình f ( x)  Giải phương trình f ( x)  phương pháp lặp gồm bước sau: Bƣớc Đưa phương trình f ( x)  phương trình tương đương x  g ( x) Bƣớc Chọn x0  (a, b) làm nghiệm gần Bƣớc Thay x  x0 vào vế phải phương trình x  g ( x) ta nghiệm gần thứ x1  g ( x0 ) Lại thay x1  g ( x0 ) vào vế phải phương trình x  g ( x) ta nghiệm gần thứ hai x2  g ( x1 ) Lặp lại trình trên, ta nhận dãy nghiệm gần x1  g ( x0 ) , x2  g ( x1 ) , x3  g ( x2 ) , x4  g ( x3 ) , , xn  g ( xn1 ) , 11 Nếu dãy nghiệm gần xn , n  1,2, hội tụ, nghĩa tồn lim xn  x (với giả thiết hàm g ( x ) liên tục đoạn  a, b ) ta có: n x  lim xn  lim g ( xn1 )  g (lim xn1 )  g ( x ) n n n Chứng tỏ x nghiệm phương trình x  g ( x) (điểm bất động ánh xạ g ) hay x nghiệm phương trình f ( x)  Tính hội tụ Có nhiều phương trình dạng x  g ( x) tương đương với phương trình f ( x)  Phải chọn hàm số g ( x ) cho dãy  xn  xây dựng theo phương pháp lặp dãy hội tụ hội tụ nhanh tới nghiệm Ta có tiêu chuẩn sau Định lý Giả sử x nghiệm phương trình f ( x)  phương trình x  g ( x) tương đương với phương trình f ( x)  đoạn  a, b Nếu g ( x ) g '( x ) hàm số liên tục  a, b cho g( x)  q  x a, b từ vị trí ban đầu x0  (a, b) dãy xn xây dựng theo phương pháp lặp xn  g ( xn1 ) hội tụ tới nghiệm x khoảng (a, b) phương trình f ( x)  Chứng minh Giả sử x0  (a, b) Vì x nghiệm phương trình f ( x)  khoảng ( a, b) nên ta có x  g(x ) Mặt khác x1  x  g ( x0 )  g ( x ) Theo định lý Lagrange tồn điểm c   x0 , x  cho x1  x  g ( x0 )  g ( x )  g '(c)( x0  x ) Suy x1  x  g '(c)( x0  x )  q x0  x  x0  x Chứng tỏ x1  (a, b) Tương tự ta có: 12 x1  g ( x0 ) nên x2  x  q x1  x ; x3  x  q x2  x ; ; xn  x  q xn1  x ; Từ bất đẳng thức ta suy x0  (a, b) xn  (a, b) với n xn  x  q xn1  x  q xn2  x   q n x0  x Do q  nên n   vế phải tiến tới Chứng tỏ dãy  xn  hội tụ tới x Đánh giá sai số Để đánh giá sai số nghiệm gần xn (nhận phương pháp lặp) nghiệm xác x phương trình f ( x)  bước thứ n ta xét hiệu xn  x Từ chứng minh ta có: xn  x  q xn1  x  q xn1  xn  xn  x  q xn1  xn  q xn  x Vậy (1  q) xn  x  q xn1  xn hay xn  x  q xn1  xn 1 q Mặt khác, áp dụng công thức số gia hữu hạn (công thức Lagrange) ta có: xn  xn1  g ( xn1 )  g ( xn2 )  g '(cn )( xn1  xn2 ) cn  ( xn1, xn2 ) Suy xn  xn1  g '(cn ) xn1  xn2  q xn1  xn2 Từ bất đẳng thức trên, cho n=2,3,4, ta được: 13 x2  x1  q x1  x0 x3  x2  q x2  x1  q x1  x0 xn  xn1  q n1 x1  x0 Thay vào bất đẳng thức xn  x  q xn1  xn 1 q ta được: q q n1 qn xn  x  xn1  xn  q x1  x0  x1  x0 1 q 1 q 1 q Công thức cho thấy phương pháp lặp hội tụ nhanh q bé Từ công thức ta suy rằng, để đạt độ xấp xỉ  (nghiệm gần sai khác nghiệm không  , xn  x   ), ta phải làm N ( ) bước,   (1  q )   lg x  x   N ( )    lg q    Từ công thức xn  xn1  q n1 x1  x0 ta có kết luận: dãy  xn  hội tụ n đủ lớn hai nghiệm gần xn xn1 xấp xỉ Vì sử dụng máy tính ta thường dừng trình lặp kết liên tiếp xn1 , xn , xn1 , đạt độ xấp xỉ yêu cầu (trùng tới số chữ số thập phân sau dấu phẩy cần thiết) Nhận xét Vì ta coi ( a, b) khoảng cách li nghiệm (chứa nghiệm x ) phương trình f ( x)  nên Định lý ta giả thiết tồn nghiệm x Hơn nữa, ta đòi hỏi g ( x ) phải hàm khả vi Dưới phiên 14 Định lý (không đòi hỏi trước tồn nghiệm phương trình f ( x )  đòi hỏi g ( x ) hàm liên tục Lipschitz) Định lý Giả sử g ( x ) hàm số xác định khoảng  a; b cho: i) g ( x)  g ( y)  q x  y x, y a; b ( g ( x ) Lipschitz  a; b ) ii) Tồn số   a; b cho g ( )    (1  q)(b  a) Khi với x0  a; b , dãy  xn  xây dựng theo phương pháp lặp xn  g ( xn1 ) hội tụ tới điểm bất động (tức x  g ( x ) ) x khoảng ( a, b) ánh xạ g Phƣơng pháp dây cung Giả sử ( a, b) khoảng cách li nghiệm Ta thay cung đường cong y  f ( x) đoạn [a, b] dây trương cung coi giao điểm dây cung (đường thẳng) với trục hoành nghiệm xấp xỉ phương trình f ( x)  Để xây dựng dãy xấp xỉ xn , ta xét hai trường hợp: f(b) Trƣờng hợp f '( x ) f ''( x )  a Để xác định, ta coi f (a )  0, f (b)  0, x1 x b f(a) f '( x)  0, f ''( x)  (Hình 1) Dây cung AB đường thẳng nối hai điểm A(a, f (a)) B (b, f (b)) có phương trình Hình y  f (a) xa  f (b)  f (a) b  a Hoành độ giao điểm x1 đường thẳng AB với trục hoành nghiệm phương trình cho y  Suy  f (a) x a f (a)(b  a) hay x1  a   f (b)  f (a) b  a f (b)  f (a) Nghiệm x nằm khoảng ( x1, b) (xem Hình 1) 15 Thay khoảng ( a, b) khoảng ( x1, b) , ta đến nghiệm x2  x1  f ( x1 )(b  x1 ) f (b)  f ( x1 ) Tiếp tục trình trên, ta đến dãy nghiệm xấp xỉ: xn1  xn  f ( xn )(b  xn ) f (b)  f ( xn ) Công thức trường hợp f (a)  0, f (b)  0, f '( x)  0, f ''( x)  f(a) a x X1 Trƣờng hợp f '( x ) f ''( x )  b f(b) Để xác định, coi f (a)  0, f (b)  0, f '( x)  0, f ''( x)  (Hình 2) Dây cung AB đường thẳng nối hai điểm B (b, f (b)) có phương trình Hình A(a, f (a)) y  f (b) x b  f (b)  f (a) b  a Hoành độ giao điểm x1 đường thẳng AB với trục hoành nghiệm phương trình cho y  Suy  f (b) x b f (b)(b  a) hay x1  b   f (b)  f (a) b  a f (b)  f (a) Nghiệm x nằm khoảng (a, x1 ) Thay ( a, b) khoảng (a, x1 ) , ta đến nghiệm xấp xỉ x2  x1  f ( x1 )( x1  a) f ( x1 )  f (a) Tiếp tục trình trên, ta đến dãy nghiệm xấp xỉ xn1  xn  f ( xn )( xn  a) f ( xn )  f (a) Công thức trường hợp f (a)  0, f (b)  0, f '( x)  0, f ''( x)  16 Ta tổng kết thành công thức sau: f ( xn )( xn  d ) , f ( xn )  f (d ) xn1  xn  d  b f (b) f ''( x)  , x0  a ; d  a f (a) f ''( x)  , x0  b Tính hội tụ Dãy xấp xỉ liên tiếp dãy tăng, bị chặn (trường hợp 1): a  x0  x1   xn  xn1   x  b dãy giảm , bị chặn (trường hợp 2): b  x0  x1   xn  xn1  x  a nên hội xn1  xn  tụ Hơn nữa, chuyển qua giới hạn công thức f ( xn )( xn  d ) f ( x )( x  d ) ta x  x  f ( x )  f (d ) f ( xn )  f (d ) Suy f ( x )  hay x nghiệm phương trình f ( x)  khoảng ( a, b) Đánh giá sai số Giả sử f '( x ) không đổi dấu ( a, b)  m  f '( x)  M   với x  ( a, b) Ta có công thức đánh giá sai số sau đây: xn  x  f ( xn ) ; m xn  x  M m xn  xn1 m Chứng minh Áp dụng Định lí giá trị trung bình Lagrange (công thức số gia hữu hạn), ta có f ( xn )  f ( x )  f '(c)( xn  x ) với c  ( xn , x )  (a, b) Vì f ( x )   m  f '( x) nên f ( xn )  f ( x )  f '(c)( xn  x )  m xn  x 17 Suy xn  x  f ( xn ) m Như vậy, để đánh giá độ xác nghiệm nhận phương pháp dây cung, ta sử dụng công thức xn  x  f ( xn max  f ( x) , x  [a, b]  m m Ngoài ra, biết hai giá trị gần liên tiếp, ta đánh giá sai số sau Từ (chứng minh hội tụ phương pháp dây cung) ta có: xn  xn1  Suy  f ( xn1 )  f ( xn1 )( xn1  d ) f ( xn1 )  f (d ) f ( xn1 )  f (d ) ( xn  xn1 ) xn1  d Vì x nghiệm phương trình f ( x)  nên ta viết: f ( x )  f ( xn1 )  f ( xn1 )  f (d ) ( xn  xn1 ) xn1  d Áp dụng Định lí giá trị trung bình Lagrange, ta có f '(c1 )( x  xn1 )  f ( x )  f ( xn1) f '(c2 )( xn1  d )  f ( xn1)  f (d ) , c1 nằm x xn1 , c2 nằm xn1 d Suy f '(c1 )( x  xn1 )  f ( x )  f ( xn1 )   f ( xn1 )  f (d ) ( xn  xn1 )  xn1  d f '(c2 )( xn1  d ) ( xn  xn1 )  f '(c2 )( xn  xn1 ) ( xn1  d ) Vậy f '(c1 )( x  xn  xn  xn1 )  f '(c2 )( xn  xn1) hay f '(c1 )( x  xn )  [ f '(c2 )  f '(c1)]( xn  xn1) 18 [...]...mềm tính toán (Maple, Matlab,…) để vẽ đồ thị Sau đó, nhờ tính toán, ta “tinh chỉnh” để đi đến khoảng cách li nghiệm chính xác hơn Bước 2 Giải gần đúng phƣơng trình Có bốn phương pháp cơ bản giải gần đúng phương trình: phương pháp chia đôi, phương pháp lặp, phương pháp dây cung và phương pháp tiếp tuyến (phương pháp Newton-Raphson) Nhằm làm cơ sở lí thuyết cho các tính toán trong Đ3,... 1 Đưa phương trình f ( x)  0 về phương trình tương đương x  g ( x) Bƣớc 2 Chọn x0  (a, b) làm nghiệm gần đúng đầu tiên Bƣớc 3 Thay x  x0 vào vế phải của phương trình x  g ( x) ta được nghiệm gần đúng thứ nhất x1  g ( x0 ) Lại thay x1  g ( x0 ) vào vế phải của phương trình x  g ( x) ta được nghiệm gần đúng thứ hai x2  g ( x1 ) Lặp lại quá trình trên, ta nhận được dãy các nghiệm gần đúng x1... 2 Do đó khi tính toán (trên máy tính bỏ túi với màn hình hiển thị được 10 chữ số chẳng hạn), ta có thể dừng tính toán khi xn1  xn  xn1  đúng đến số thập phân cần thiết (thí dụ, ta có thể dừng tính toán khi được nghiệm chính xác đến 10 chữ số, tức là   1010 ) 2 Phƣơng pháp lặp Giả sử ( a, b) là khoảng cách li nghiệm của phương trình f ( x)  0 Giải phương trình f ( x)  0 bằng phương pháp lặp...  g ( x) tương đương với phương trình f ( x)  0 Phải chọn hàm số g ( x ) sao cho dãy  xn  xây dựng theo phương pháp lặp là dãy hội tụ và hội tụ nhanh tới nghiệm Ta có tiêu chuẩn sau Định lý 4 Giả sử x là nghiệm của phương trình f ( x)  0 và phương trình x  g ( x) tương đương với phương trình f ( x)  0 trên đoạn  a, b Nếu g ( x ) và g '( x ) là những hàm số liên tục trên  a, b sao cho g(... Đ2 chúng tôi sẽ vắn tắt trình bày nội dung của các phương pháp này, chủ yếu là dựa vào các giáo trình Giải tích số [1] - [6] Đ2 CÁC PHƢƠNG PHÁP TÌM NGHIỆM GẦN ĐÚNG CỦA PHƢƠNG TRÌNH f ( x)  0 1 Phƣơng pháp chia đôi Nội dung của phương pháp chia đôi rất đơn giản: Giả sử f ( x ) là một hàm liên tục trên đoạn  a, b và f (a ) f (b)  0 Khi ấy theo Định lí Bolzano-Cauchy, phương trình f ( x)  0 có ít... Nếu dãy các nghiệm gần đúng xn , n  1,2, hội tụ, nghĩa là tồn tại lim xn  x thì (với giả thiết hàm g ( x ) là liên tục trên đoạn  a, b ) ta có: n x  lim xn  lim g ( xn1 )  g (lim xn1 )  g ( x ) n n n Chứng tỏ x là nghiệm đúng của phương trình x  g ( x) (điểm bất động của ánh xạ g ) hay x là nghiệm đúng của phương trình f ( x)  0 Tính hội tụ Có nhiều phương trình dạng x  g (... của phương trình f ( x)  0 trong khoảng ( a, b) Đánh giá sai số Tại bước thứ n ta có an  x  bn và bn  an  Nếu chọn nghiệm gần đúng là x  an thì ba 2n x  x  bn  an  Nếu chọn nghiệm gần đúng là x  bn thì x  x  bn  an  Nếu chọn nghiệm gần đúng là x  ba ; 2n an  bn thì ta có đánh giá: 2 x  x  bn  an b  a  n1 2 2 10 ba ; 2n Như vậy, sau bước thứ n , nên chọn nghiệm gần đúng. .. a, b và tính f ( ab ) 2 Nếu f ( ab ab )  0 thì x  là một nghiệm của phương trình f ( x)  0 2 2 Nếu f ( ab ab ab )  0 thì f (a ) f ( )  0 hoặc f ( ) f (b)  0 nên phương 2 2 2 trình có ít nhất một nghiệm trong khoảng ( a, ab ab ) hoặc ( , b) 2 2 Gọi khoảng mới (khoảng nhỏ) chứa nghiệm là (a1, b1 ) Lại chia đôi khoảng (a1, b1 ) và tính giá trị tại điểm giữa x  Tiếp tục mãi quá trình. .. bất đẳng thức trên ta suy ra nếu x0  (a, b) thì xn  (a, b) với mọi n và xn  x  q xn1  x  q 2 xn2  x   q n x0  x Do q  1 nên khi n   vế phải tiến tới 0 Chứng tỏ dãy  xn  hội tụ tới x Đánh giá sai số Để đánh giá sai số của nghiệm gần đúng xn (nhận được bằng phương pháp lặp) và nghiệm chính xác x của phương trình f ( x)  0 tại bước thứ n ta xét hiệu xn  x Từ chứng minh trên ta có:... (trùng nhau tới số chữ số thập phân sau dấu phẩy cần thiết) Nhận xét Vì ta đã coi ( a, b) là khoảng cách li nghiệm (chứa nghiệm x ) của phương trình f ( x)  0 nên trong Định lý 4 ta đã giả thiết sự tồn tại nghiệm x Hơn nữa, ta đã đòi hỏi g ( x ) phải là một hàm khả vi Dưới đây là một phi n bản của 14 Định lý 4 (không đòi hỏi trước tồn tại nghiệm của phương trình f ( x )  0 và chỉ đòi hỏi g ( x ) là một