Một số phương pháp giải gần đúng phương trình phi tuyến

LỜI CẢM ƠN Sau thời gian nỗ lực thực đề tài “Một số phƣơng pháp giải gần phƣơng trình phi tuyến” phần đƣợc hoàn thành Ngoài cố gắng thân, em nhận đƣợc khích lệ nhiều từ phía nhà trƣờng, thầy cô, gia đình bạn bè Trƣớc hết, em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy cô trƣờng Đại học Quảng Bình truyền đạt kiến thức quý báu cho chúng em suốt trình học tập Đặc biệt, em xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến giảng viên Ths Phạm Hồng Minh, ngƣời tận tình hƣớng dẫn, giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho em trình làm đề tài tốt nghiệp Xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến tập thể lớp CĐSP Toán- Tin K55, động viên, khích lệ em trình học tập hoàn thành khóa luận tốt nghiệp Lời cảm ơn đặc biệt em xin dành cho gia đình, ngƣời thân động viên tạo điều kiện tốt để em học tập hoàn thành đề tài tốt nghiệp Một lần em xin chân thành cảm ơn! Đồng Hới, tháng năm 2016 Tác giả Nguyễn Thị Phƣớc Lộc MỤC LỤC PHẦN MỞ ĐẦU 1.Lí chọn đề tài 2.Mục đích nghiên cứu 3.Nhiệm vụ nghiên cứu 4.Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu 5.Phƣơng pháp nghiên cứu PHẦN NỘI DUNG CHƢƠNG I: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Đặt vấn đề Khoảng cách ly nghiệm 2.1.Phƣơng pháp giải tích 2.2 Phƣơng pháp hình học CHƢƠNG II: MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP GIẢI PHƢƠNG TRÌNH PHI TUYẾN 12 Phƣơng pháp chia đôi 12 1.1.Nội dung phƣơng pháp 12 1.2.Sự hội tụ phƣơng pháp 12 1.3.Đánh giá sai số nghiệm gần 13 1.4.Ƣu nhƣợc điểm phƣơng pháp 14 1.5.Thuật toán 15 1.6.Chƣơng trình 16 Phƣơng pháp lặp 17 2.1.Nội dung phƣơng pháp 17 2.2.Sự hội tụ phƣơng pháp 19 2.3.Đánh giá sai số nghiệm gần 20 2.4 Ƣu điểm nhƣợc điểm phƣơng pháp lặp 23 2.5 Thuật toán 23 Phƣơng pháp dây cung 23 3.1.Nội dung phƣơng pháp 23 3.2.Sự hội tụ phƣơng pháp 27 3.3.Đánh giá sai số nghiệm gần 27 3.4.Ƣu nhƣợc điểm phƣơng pháp dây cung 29 3.5.Thuật toán 31 3.6.Chƣơng trình 32 Phƣơng pháp tiếp tuyến (phƣơng pháp Newton) 33 4.1.Nội dung phƣơng pháp 33 4.2.Sự hội tụ phƣơng pháp 36 4.3.Đánh giá sai số nghiệm gần 37 4.4.Ƣu nhƣợc điểm phƣơng pháp tiếp tuyến 38 4.5.Thuật toán 39 4.6.Chƣơng trình 40 4.7.Giải gần hệ thống phƣơng trình phi tuyến phƣơng pháp Newton.41 5.So sánh số phƣơng pháp giải phƣơng trình phi tuyến 45 T UT M ẢO………………………………………………… 54 KẾT LUẬN 55 P ẦN MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Giải tích số lĩnh vực toán học rộng, nghiên cứu lí thuyết xấp xỉ hàm, giải gần lớp toán, phƣơng trình thƣờng gặp……đặc biệt giải tích số chuyên nghiên cứu phƣơng pháp số giải gần toán thực tế đƣợc mô hình hóa ngôn ngữ toán học Trong nghiên cứu khoa học thực tế có nhiều toán đƣợc chuyển thành toán giải phƣơng trình: f ( x)  (1) Tuy nhiên, số trƣờng hợp đặc biệt ta có cách tìm nghiệm phƣơng trình đó, trƣờng hợp lại phải tìm cách giải gần Nếu phƣơng trình xuất phát từ toán thực tế biểu thức (1) thƣờng biết gần Vì việc giải gần phƣơng trình không thực mà nhiều ý nghĩa Đối với toán việc xác định sai số vấn đề đáng quan tâm Vấn đề tìm nghiệm gần phƣơng trình phi tuyến có ý nghĩa lí thuyết ứng dụng lớn sở môn giải tích số Vì vậy, em lựa chọn đề tài cho khóa luận tốt nghiệp là: “Một số phƣơng pháp giải gần phƣơng trình phi tuyến” Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu cách có hệ thống kiến thức phƣơng pháp giải phƣơng trình phi tuyến là: phƣơng pháp chia đôi, phƣơng pháp dây cung, phƣơng pháp lặp đơn, phƣơng pháp Newton Sau vận dụng phƣơng pháp giải số hệ phƣơng trình phi tuyến ẩn, ẩn,… Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu việc giải phƣơng trình phi tuyến phƣơng pháp phƣơng pháp chia đôi, phƣơng pháp dây cung, phƣơng pháp lặp đơn, phƣơng pháp Newton - Ứng dụng chƣơng trình Wolfram Mathematica việc tìm nghiệm gần phƣơng trình phi tuyến Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu - Nghiên cứu cách có hệ thông kiến thức phƣơng pháp: phƣơng pháp chia đôi, phƣơng pháp dây cung, phƣơng pháp lặp đơn, phƣơng pháp Newton Ứng dụng chƣơng trình Wolfram Mathematica việc tìm nghiệm gần phƣơng trình phi tuyến Khóa luận đƣợc chia thành chƣơng (ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo): Chƣơng I: Kiến thức chuẩn bị Chƣơng II: Một số phƣơng pháp giải phƣơng trình phi tuyến Phƣơng pháp nghiên cứu Đọc tài liệu, phân tích, so sánh, tổng hợp P ẦN NỘ DUNG C ƢƠNG : ẾN THỨC CHUẨN BỊ Đặt vấn đề Tìm nghiệm phƣơng trình: f ( x)  (1.1) Trong f hàm số đại số siêu việt toán thƣờng gặp kĩ thuật Nhƣ biết, (1.1) phƣơng trình đại số bậc n: a0 xn  a1xn1   an1x  an  (1.2) Với n  n  , ta có công thức tính nghiệm chúng cách đơn giản Ngƣời ta tìm công thức tính nghiệm (1.2) n  n  , nhƣng việc sử dụng chúng phức tạp Còn phƣơng trình đại số từ bậc năm trở lên công thức tính nghiệm Hơn nữa, phƣơng trình siêu việt dạng (1.1) nhƣ: cos x  5x  công thức tính nghiệm Ngoài ta thƣờng gặp trƣờng hợp phƣơng trình (1.1) chứa hệ số biết cách gần đúng, việc xác định nghiệm (1.1) ý nghĩa Vì vậy, việc tìm phƣơng pháp giải gần phƣơng trình đại số siêu việt nhƣ việc đánh giá mức độ xác định nghiệm gần tìm đƣợc có vai trò quan trọng Sau ta xét việc tính gần nghiệm thực (hoặc xác) phƣơng trình (1.1) với giả thiết hàm f ( x) xác định liên tục khoảng hữu hạn vô hạn Mỗi số thực  thỏa mãn f ( )  gọi nghiệm thực phƣơng trình (1.1) Ta giả thiết thêm phƣơng trình (1.1) có nghiệm thực cô lập, nghĩa với nghiệm thực phƣơng trình (1.1) tồn miền lân cận không chứa nghiệm thực khác phƣơng trình Việc tính gần nghiệm thực phƣơng trình (1.1) đƣợc tiến hành theo bƣớc: Bước 1: Tìm khoảng cách ly nghiệm, nghĩa tìm khoảng (a, b) chứa nghiệm thực phƣơng trình (1.1) Bước 2: Xuất phát từ khoảng cách ly nghiệm bƣớc 1, tính gần nghiệm thực phƣơng trình (1.1) đạt độ xác yêu cầu phƣơng pháp giải gần hoảng cách ly nghiệm Định lý 1.1 dƣới cho ta cách tìm khoảng cách ly nghiệm phƣơng trình (1.1) Định lý 1.1 Nếu hàm số f ( x ) liên tục (a, b) , f (a) f (b)  , f '( x) tồn giữ dấu không đổi (a, b) (a, b) có nghiệm thực phƣơng trình (1.1) Ý nghĩa hình học định lý 1.1 nhƣ sau: đƣờng cong liền nét y  f ( x) tăng giảm, nối liền hai điểm A(a, f (a)) B(b, f (b)) nằm hai phía khác trục Ox , cắt trục Ox điểm x   (hình 1.1) Từ định lý 1.1 suy (a, b) khoảng cách ly nghiệm phƣơng trình (1.1) f (a) f (b)  , f '( x) tồn giữ dấu không đổi (a, b) Để tìm khoảng cách ly nghiệm phƣơng trình (1.1) có hai phƣơng pháp giải tích hình học Hình 1.1 2.1 Phương pháp giải tích Xác định dấu hàm số f ( x) điểm mút miền xác định hàm số f ( x) điểm trung gian x  1, x  2 , , x  n Những điểm thƣờng đƣợc lựa chọn vào đặc điểm hàm số f ( x) Mỗi khoảng, hai điều kiện đƣợc thỏa mãn khoảng cách ly nghiệm phƣơng trình (1.1) Thông thƣờng để tiện, ngƣời ta thƣờng dùng trình chia đôi, chia khoảng xác định hàm số f ( x) thành hai, bốn, tám,… phần xác định dấu hàm số f ( x) hai mút khoảng xác định điểm chia Chú ý phƣơng trình đại số bậc n (1.2) có không nhiều n nghiệm thực, ta tìm đƣợc n  điểm đó: a0 xn  a1xn1   an  lần lƣợt thay đổi dấu điều có nghĩa phƣơng trình (1.2) có n nghiệm thực từ n  điểm trên, ta dễ dàng xác định đƣợc n khoảng cách ly nghiệm Ví dụ 1.1: Tìm khoảng cách ly nghiệm phƣơng trình: f ( x )  x3  x   Giải: Thành lập bảng dấu hàm số f ( x) x Dấu f ( x) -∞ -3 -2 +∞ - - + + - - + + Từ bảng ta tìm đƣợc bốn điểm -3, -2, 1, 3, x3  x  lần lƣợt thay đổi dấu Kết hợp với điều kiện f '( x ) tồn giữ dấu không đổi ta suy (3,  2); (0, 1); (2, 3) ba khoảng cách ly nghiệm phƣơng trình cho Trong trƣờng hợp f '( x ) hàm số liên tục phƣơng trình f '( x)  dễ tìm nghiệm, để tìm khoảng cách ly nghiệm phƣơng trình (1.1) ta cần xác định dấu hàm số f ( x) hai mút khoảng xác định không điểm đạo hàm f '( x) điểm gần không điểm đạo hàm f '( x) Ví dụ 1.2: Tìm khoảng cách ly nghiệm phƣơng trình: f ( x )  x  5x   Giải: Ta có: f '( x)  x ln  Do f '( x)  khi: x ln    2x  ln  x lg  lg5  lg ln x lg5  lg ln 0,6990  0,1592 0,8582    2,85 lg 0,3010 0,3010 Thành lập bảng dấu hàm số f ( x) hai mút khoảng xác định hai điểm gần không điểm đạo hàm f '  x  : -∞ x Dấu f ( x) + - +∞ - + Từ bảng ta suy phƣơng trình cho có hai nghiệm thực Để tìm hiểu đƣợc hai khoảng hẹp chứa hai nghiệm thực, ta xét bảng dấu sau: x Dấu f ( x) -1 + - - - - + Vậy khoảng cách ly nghiệm phƣơng trình cho (-1, 0) (4, 5) 2.2 Phương pháp hình học Trong trƣờng hợp đồ thị hàm số y  f ( x) dễ vẽ, để tìm hiểu khoảng cách ly nghiệm phƣơng trình (1.1), ta vẽ đồ thị hàm số y  f ( x) Hoành độ giao điểm đồ thị với trục hoành Ox cho ta giá trị thô nghiệm thực phƣơng trình (1.1) Từ đồ thị, ta dễ dàng tìm đƣợc khoảng cách ly nghiệm phƣơng trình (1.1) Nếu đồ thị hàm số y  f ( x) khó vẽ, ta đƣa phƣơng trình (1.1) phƣơng trình tƣơng đƣơng: g ( x)  h( x) cho đồ thị hai hàm số y  h( x) y  g  x  dễ vẽ Ta vẽ hai đồ thị hệ trục tọa độ Hoành độ giao điểm hai đồ thị cho ta giá trị thô nghiệm thực phƣơng trình (1.1) Từ đồ thị, ta dễ dàng tìm đƣợc khoảng cách ly nghiệm phƣơng trình (1.1) Ví dụ 1.3 Dùng phƣơng pháp đồ thị, tìm khoảng cách ly nghiệm phƣơng trình: f ( x)  x3  3x   Giải: Cách 1: Vẽ đồ thị hàm số y  x3  3x  (hình 1.2) Ta thấy đồ thị cắt trục hoành Ox ba điểm, phƣơng trình cho có ba nghiệm thực Từ đồ thị, ta tìm đƣợc ba khoảng cách ly nghiệm: (-2, -1); (-1, 0); (1, 2) Cách 2: Đƣa phƣơng trình cho dạng tƣơng đƣơng sau: x3  3x  Vẽ đồ thị hai hàm số y  x3, y  3x  hệ trục tọa độ (hình 1.3) Ta thấy rằng: hai đồ thị cắt ba điểm phƣơng trình cho có ba nghiệm thực Từ đồ thị, ta tìm đƣợc ba khoảng cách ly nghiệm nhƣ cách 10 xn1  xn  f ( xn ) ; n  0,1,2, f '( xn ) Cách làm phƣơng pháp Newton mở rộng để giải gần hệ thống phƣơng trình phi tuyến Để đơn giản, ta xét trƣờng hợp hai phƣơng trình phi tuyến hai ẩn số: F ( x, y ) G ( x, y ) (1.27) F G hàm khả vi đến cấp cần thiết Giả sử xn yn nghiệm gần thứ n hệ thống phƣơng trình phi tuyến (1.27) Xem: x  xn  hn y  yn  kn ta có : F ( x, y )  F ( xn  hn ; yn  kn )  G( x, y )  G( xn  hn ; yn  kn )  Khai triển Taylo hàm số hai biến số F ( x, y), G( x, y) điểm ( xn , yn ) , ta có : F ( x, y)  F ( xn , yn )  hn Fx' ( xn , yn )  kn Fy' ( xn , yn )   G( x, y)  G( xn , yn )  hnGx' ( xn , yn )  knG'y ( xn , yn )   Bỏ qua số hạng từ bậc hai trở hn , kn ta xem: F ( x, y)  F ( xn , yn )  hn Fx' ( xn , yn )  kn Fy' ( xn , yn )  G( x, y )  G( xn , yn )  hnGx' ( xn , yn )  knG'y ( xn , yn )  và: hn Fx' ( xn , yn )  kn Fy' ( xn , yn )   F ( xn , yn ) hnGx' ( xn , yn )  knG'y ( xn , yn )  G( xn , yn ) (1.28) Nếu định thức Jacobi: 42 Fy' ( xn , yn ) Fx' ( xn , yn ) J ( xn , yn )  Gx' ( xn , yn ) G'y ( xn , yn ) 0 từ (1.28), ta nhận đƣợc: Fy' ( xn , yn ) F ( xn , yn ) hn   J ( xn , yn ) G( xn , yn ) G'y ( xn , yn ) Fx' ( xn , yn ) kn   J ( xn , yn ) G' ( x , y ) F ( xn , yn ) G( xn , yn ) x n n Do đó, nghiệm gần tốt xn , yn là: F ( xn , yn ) xn1  xn  J ( xn , yn ) G( xn , yn ) Fx' ( xn , yn ) yn1  yn  J ( xn , yn ) G' ( x , y ) x n n Fy' ( xn , yn ) G'y ( xn , yn ) (1.29) F ( xn , yn ) , n  0,1,2, G( xn , yn ) Trong x0 ; y0 nghiệm gần ban đầu, thƣờng đƣợc xác định nhƣ sau: vẽ đƣờng cong F ( x, y)  G( x, y)  hệ trục tọa độ Oxy xem tọa độ giao điểm chúng x0 , y0 Ngƣời ta chứng minh đƣợc nghiệm gần ban đầu x0 , y0 “ đủ gần” nghiệm phải tìm (1.27) xn1, y y1 xác định (1.29) hội tụ đến nghiệm phải tìm n   Trong tính toán cụ thể, trình lặp (1.29) đƣợc dừng lại ta nhận đƣợc nghiệm gần đạt độ xác yêu cầu Phƣơng pháp Newton (1.29) hoàn toàn mở rộng cho hệ thống n phƣơng trình phi tuyến n ẩn số Ví dụ 1.10: Tìm nghiệm dƣơng hệ thống phƣơng trình phi tuyến: x2  y  x3  y  (1.30) phƣơng pháp Newton 43 Giải: Vẽ đồ thị đƣờng tròn x2  y  đƣờng bậc ba y  x3 giấy kẻ ô vuông hệ trục tọa độ Oxy, xác định tọa độ giao điểm chúng Ta chọn x0  0,9 ; y0  0,5 làm nghiệm gần ban đầu để tìm nghiệm dƣơng cảu hệ thống (1.30) phƣơng pháp Newton Ta có: F ( x, y )  x  y  G ( x, y )  x  y Fx' ( x, y )  x ; Fy' ( x, y )  y; Gx' ( x, y )  3x ; G'y ( x, y )  1; F ( x0 , y0 )  0,06; G( x0 , y0 )  0,229 Fx' ( x0 , y0 )  1,8; Fy' ( x0 , y0 )  1; Gx' ( x0 , y0 )  2,43; G 'y ( x0 , y0 )  1 J ( x0 , y0 )  1,8 2,43  4,23  1 Vậy: 1 0,06  0,8316785 4,23 0,229 1 0,06 1,8 y1  0,5   0,5629787 4,23 2,43 0,229 x1  0,9  Bây ta tính x2 , y2 cách thay n  (1.29) Ta có: F ( x1, y1)  0,0086341; G( x1, y1)  0,0122842; Fx' ( x1, y1)  1,663357; Fy' ( x1, y1)  1,1259574; Gx' ( x1, y1)  2,0750673; G 'y ( x1, y1)  1; 1,663357 1,1259574 J ( x1, y1)   3,9997943  2,0750673 1 : 44 0,0086341 3,9997943 0,0122842 1,663357 y2  0,5629787  3,9997943 2,0750673 x2  0,8316785  1,1259574  0,8260619 1 0,0086341  0,5636079 0,0122842 Dừng lại bƣớc lặp thứ hai, ta nhận đƣợc nghiệm gần phải tìm là: x  0,8260619; y  0,5636079 với: F ( x, y)  0,000032;G( x, y )  0,0000787 So sánh phƣơng pháp giải phƣơng trình phi tuyến 5.1 Ví dụ a) Ví dụ 1: Dùng phƣơng pháp chia đôi, phƣơng pháp lặp, phƣơng pháp dây cung, phƣơng pháp tiếp tuyến để tìm nghiệm gần phƣơng trình: f ( x )  x3  0,2 x  0,2 x  1,2  Biết khoảng cách ly nghiệm (1,1; 1,4) độ xác   0,003 Giải: * Phương pháp chia đôi Ta có f (1,1)  0,331; f (1,4)  0,872 Áp dụng liên tiếp phƣơng pháp chia đôi khoảng (1,1; 1,4) ta nhận đƣợc bảng kết dƣới Dừng lại lần thứ 7, ta lấy nghiệm gần 1,203125 với sai số 0,0023 Số an lần bn a b xn  n n f ( an ) f (bn ) f  xn  b a  n n lặp n 1,1 1,4 1,25 -0,331 0,872 0,1906 0,15 1,1 1,25 1,175 -0,331 0,1906 -0,089 0,075 1,175 1,25 1,2125 -0,089 0,1906 0,046 0,0375 1,175 1,2125 1,19375 -0,089 0,046 -0,0226 0,01875 1,19375 1,2125 1,203125 -0,022 0,096 0,114 0,009 45 1,19375 1,203125 1,1984375 -0,022 0,0114 1,1984375 1,203125 1,20078125 -0,163 0,0114 -0,163 0,004 0,00028 0,0023 *Phương pháp lặp Đƣa phƣơng trình (*) phƣơng trình tƣơng đƣơng: x   ( x) x x x  0, x  1, x  0, x  1, , 1 ( x )  0, 0, x  0, x  1, , 0, 2 ( x )  x  0, x  0, x  1, , Ta có: x  0, x  1, 0, 3 ( x )  0, x  0, x  1, 3x  0,4 x ' 1 ( x )   (1,1; 1,4) 0,2 3x  0, x  2' ( x )  0, 3' ( x )  x  0, x  1, 0,  (1,1; 1,4) 0,4 x  0,2 3.3 (0,2 x  0,2 x  1,2)2  (1,1; 1,4) Vậy, ta dùng 3 ( x )  0,2 x  0,2 x  1,2 , với 3 '( x )  0,4 x  0,2 33 (0,2 x  0,2 x  1,2)2  0,17  q  (1,1; 1,4) có công thức lặp sau: xn  0,2 xn  0,2 xn  1,2 Để tìm nghiệm gần phƣơng trình cho với độ xác 0,003 thì: 46 xn  xn1  0,003.(1  0,17) 0,17  0,014647 Vậy ta bắt đầu trình lặp, chọn x0  1,25 thuộc (1,1; 1,4) Sau tính xn , n  1, 2, 3, Ta có: x1  0,2 x02 0,2 x0  1,2  1,2079 x2  0,2 x12 0,2 x1  1,2  1,2012 Dừng lại lần lặp thứ nghiệm gần phƣơng trình cho với độ xác 0,003 là: 1,2012 * Phương pháp dây cung Ta có: f (1,1)  0,331  ; f (1,4)  0,872  f '( x)  3x2  0,4 x  0,2 ; f "( x)  x  0,4; f '( x)  0; f "( x)  với x  (1,1;1,4) Vì f (1,4) dấu với f "( x) nên ta có d  1,4; x0  1,1 : x1  x0  f ( x0 )( x0  1,4) f (1,1)(1,1  1,4)  1,1   1,18254 f ( x0 )  f (1,4) f (1,1)  f (1,4) f ( x1)  f (1,18254)  0,06252 x2  x1  f ( x1)( x1  1,4)  1,19709 f ( x1)  f (1,4) f ( x2 )  f (1,19709)  0,01056 Vì x2    1,4 nên [x2; 1,4] đoạn chứa nghiệm gần x2 nghiệm  Ta có: f '( x)  f '( x2 )  f '(1,19709)  3,52618  m1 với x [x2 ; 1,4] và: x2    f ( xn )  0,00299  0,003 m1 Vậy x2  1,19709 nghiệm gần phải tìm 47 * Phương pháp tiếp tuyến Ta có f '( x)  3x2  0,4 x  0,2; f "( x)  x  0,4  với x  (1,1; 1,4) Vì f (1,4)  0,872 dấu với f "( x)  nên công thức (1.21) ta chọn x0  1,4 Ta có f '(1,4)  5,12 x1  x0  f ( x0 )  1,22969 f '( x0 ) f ( x1)  f (1,22969)  0,11109 f '( x1)  f '(1,22969)  3,84454 f ( x1) x2  x1   1,20079 f '( x1) Dừng lại x2 , ta đánh giá độ lệch x2 nghiệm  phƣơng trình cho Ta có: f '( x)  f '(1,1)  2,99  m1 với x [1,1; 1,4] f "( x)  f "(1,4)   M với x [1,1; 1,4] x2    M2 x2  x1  0,00112 2m1 So sánh Ta có bảng sau: Phƣơng Chia đôi Lặp Dây cung Tiếp tuyến 2 1,20078125 1,2012 1,19709 1,20079 0,0023 0,001 0,00299 0,00112 pháp Số lần lặp n Nghiệm gần xn Sai số 48 Nhận xét: Phƣơng pháp tiếp tuyến , phƣơng pháp lặp, phƣơng pháp dây cung có số lần lặp nhỏ so với phƣơng pháp chia đôi Phƣơng pháp tiếp tuyến có sai số nhỏ so với phƣơng pháp lại b) Ví dụ 2: Dùng phƣơng pháp chia đôi, phƣơng pháp lặp, phƣơng pháp dây cung, phƣơng pháp tiếp tuyến để tìm nghiệm gần phƣơng trình: f ( x )  5x3  20 x   Biết khoảng cách ly nghiệm (0, 1), độ xác   0,0004 Giải: * Phương pháp chia đôi Ta có: f (0)  f (1)  12 Áp dụng liên tiếp phƣơng pháp chia đôi với khoảng (0, 1) ta nhận đƣợc bảng kết sau: Số lần an lặp bn a b xn  n n f ( an ) f (bn ) f  xn  bn  an n 0 0,5 -12 -6,375 0,5 0,5 0,25 -6,375 -1,922 0,25 0,25 0,125 -1,9218 0,509 0,125 0,125 0,25 0,1875 0,509 -1,9218 -0,717 0,0625 0,125 0,1875 0,3125 0,509 -0,717 -3,097 0,03125 0,125 0,3125 0,21875 0,509 -3,0974 -1,322 0,09375 0,125 0,21875 0,171875 0,509 -1,3226 -0,412 0,046875 0,125 0,171875 0,1484375 0,509 -0,4121 0,0476 0,023437 0,1484375 0,171875 0,160156 0,0476 -0,4121 -0,182 0,01172 0,1484375 0,1601562 0,1542 0,0476 -0,1825 -0,067 0,00586 49 10 0,1484375 0,1542969 0,15136 11 0,1484375 0,1513672 0,14990235 0,0476 -0,01 0,0187 0,00146 12 0,1499023 0,1513672 0,150635 0,0188 -0,01 0,1506 0,000732 13 0,150635 0,1510011 0,1506 0,0188 -0,002 0,0007 14 0,1510011 0,1513672 0,15118 -0,002 0,0188 -0,006 0,0001 0,1513672 0,0476 -0,0675 -0,01 0,00293 Dừng lại lần thứ 14, ta lấy nghiệm gần 0,15118 với sai số 0,0001 * Phương pháp lặp Đƣa phƣơng trình cho phƣơng trình tƣơng đƣơng: x   ( x) x  x  (5x3  20 x  3), 1( x )  5x  19 x  20 x  20 x  , 2 ( x )  5 5x3  5x3  x , 3 ( x )  20 20 x3 Ta có: 1 '( x)  15x2  19  (0, 1) 2 '( x)  3 '( x)  Vậy, ta dùng 3( x)  >1 với x  (0, 1) 20 x  33 ( ) 3x  (0, 1) 5x  3x với 3 '( x )   0,75  q  20 [0, 1] có công thức lặp sau: 5xn31  xn  20 Để tìm nghiệm gần phƣơng trình cho với độ xác 104 , cần thỏa mãn: xn  x n1 50 xn  xn1  0,0001.(1  0,75)  0,00003 0,75 Chọn x0  0,75 Sau ta tính xn với n  1,2,3, 5x03  x1   0,25547 20 5x  x2   0,15417 20 5x23  x3   0,15092 20 5x33  x4   0,15086 20 5x43  x5   0,15086 20 Vậy ta dừng lại lần thứ nghiệm gần phƣơng trình cho có độ xác 104 là: 0,1509 * Phương pháp dây cung Ta có: f (0)   f (1)  12  f '( x )  15x  20  0, x  (0,1) f "( x )  30 x  0, x  (0,1) Vì f (0), f "( x) dấu với nên ta có d  0, x0  x1  x0  f ( x0 )( x0  0)  0,2 f ( x0 )  f (0)  f ( x1 )  0,96; x2  x1  f ( x1 )( x1  0)  0,15151515 f ( x1 )  f (0)  f ( x2 )  0,012909; x3  x2  f ( x2 )( x2  0)  0,150866 f ( x2 )  f (0)  f ( x3 )  0,00015; 51 Vì    x3 nên [0, x3 ] đoạn chứa nghiệm gần x3 nghiệm  Ta có: f '( x3 )  f '(0)  20  m1 , x [0, x3 ] x3    và: f ( xn )  0,0000075  0,0004 m1 Vậy x3 nghiệm gần cần tìm * Phương pháp tiếp tuyến Ta có: f '( x)  15x  20  0; f "( x)  30 x  với x  (0,1) Vì f (0)  dấu với f "( x )  nên ta chọn x0  Ta có: f '(0)  20 x1  x0  f ( x0 )  0,15 f '( x0 )  f ( x1 )  0,016875; f '( x1 )  19,6625 x2  x1  f ( x1 )  0,150858 f '( x1 )  f ( x2 )  6,23453.106 ; f '( x2 )  19,6586274 Dừng lại x2 ta đáng giá độ lệch x2 nghiệm gần  phƣơng trình cho Ta có: f '( x )  f '(0)  20  m1; x  [0,1] f "( x )  f "(1)  30  M ; x  [0,1] x2    M2 x2  x1  5,52123.107  0,0004 2m1 f '( x )  f '(0)  20  m1; x  [0,1] f "( x )  f "(1)  30  M ; x  [0,1] x2    M2 x2  x1  5,52123.107  0,0004 2m1 52 So sánh: Ta có bảng sau: Phƣơng Chia đôi Lặp Dây cung Tiếp tuyến 14 0,15118 0,1509 0,150866 0,150858 0,0001 0,00003 0,0000075 5,52123.10-7 pháp Số lần lặp n Nghiệm gần xn Sai số Nhận xét: Phƣơng pháp tiếp tuyến phƣơng pháp dây cung có số lần lặp hơn, sai số nhỏ so với phƣơng pháp lặp phƣơng pháp chia đôi Kết luận: + Phƣơng pháp chia đôi có tốc độ hội tụ chậm so với phƣơng pháp lại + Phƣơng pháp tiếp tuyến tối ƣu Tiếp đến phƣơng pháp dây cung, phƣơng pháp lặp phƣơng pháp chia đôi 53 54 KẾT LUẬN Trên phƣơng pháp, tập mà qua trình học tập, trình tự học, tham khảo ý kiến quý thầy cô, bạn bè, tham khảo qua sách vở, báo chí internet mà thân tổng hợp đƣợc Để cho ngƣời học nắm đƣợc cách giải tƣơng ứng yêu cầu ngƣời học phải nắm đƣợc kiến thức bản, biết vận dụng kiến thức linh hoạt vào giải toán, khả tổng hợp, suy luận logic Bên cạnh ngƣời học nắm đƣợc số phƣơng pháp tính nghiệm gần phƣơng trình phi tuyến, thƣờng xuyên làm tập rèn luyện kỹ năng, phƣơng pháp làm tập Đề tài nêu đƣợc số phƣơng pháp để tính nghiệm gần phƣơng trình phi tuyến, nhƣ minh họa toán cụ thể; tài liệu tham khảo thêm cho sinh viên trình học môn Giải tích số Trong suốt trình nghiên cứu tìm hiểu em cố gắng chắt lọc vấn đề quan trọng giúp ngƣời học dễ hiểu Tuy nhiên, thân với lƣợng kiến thức hạn chế nên đề tài em không tránh khỏi thiết sót Em mong đƣợc góp ý, giúp đỡ từ thầy cô trƣờng Đại học Quảng Bình bạn sinh viên lớp để đề tài đƣợc hoàn thiênh Em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới quý thầy cô trƣờng Đại học Quảng Bình, thầy cô khoa Khoa học – Tự nhiên tận tình giảng dạy, trang bị cho em kiến thức cần thiết bổ ích năm học tập trƣờng Em xin chân thành cảm ơn cô Phạm Hồng Minh tận tình hƣớng dẫn em hoàn thành tốt đề tài khóa luận tốt nghiệp 55 T UT M ẢO 1.Vignes Jean., Algorithmes numeriques Analyse et mise en oeuvre T.2 Équations et systemes non lineaires P.,Technip, 1980 Ciarlet P.G., Introduction l’ analyse numerique matricielle et l’ optimization Masson, Paris, 1985 Volkov E.A., Numerical methods Mir Publishers, Moscow, 1986 Danilina N.I., Dubrovskaya N.S., Kavsha O.P., Smirnov G.L., Computational mathematics Mir Publishers, Moscow 1987 Sastry S.S., Introductory methods of numerical analysis Prentice- Hall of India Private limited, New Delhi, 1989 Terrence J Akai Applied numerical methods for engineers John Wiley and Sons, Inc., 1994 Giáo trình phƣơng pháp tính - Nhà xuất khoa học kỹ thuật, năm 2007 56 ... phƣơng pháp giải phƣơng trình phi tuyến là: phƣơng pháp chia đôi, phƣơng pháp dây cung, phƣơng pháp lặp đơn, phƣơng pháp Newton Sau vận dụng phƣơng pháp giải số hệ phƣơng trình phi tuyến ẩn, ẩn,…... phƣơng pháp tiếp tuyến 38 4.5.Thuật toán 39 4.6.Chƣơng trình 40 4.7 .Giải gần hệ thống phƣơng trình phi tuyến phƣơng pháp Newton.41 5.So sánh số phƣơng pháp giải. .. môn giải tích số Vì vậy, em lựa chọn đề tài cho khóa luận tốt nghiệp là: Một số phƣơng pháp giải gần phƣơng trình phi tuyến Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu cách có hệ thống kiến thức phƣơng pháp