Ứng dụng sai phân giải bài toán biên của phương trình eliptic

Lời cảm ơn Em xin chân thành cảm ơn Phòng sau Đại học; Các thầy giáo, cô giáo trong Khoa Toán cùng toàn thể các anh chị em học viên khóa 13 chuyên ngành Toán giải tích Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, đã động viên giúp đỡ để tác giả có điều kiện tốt nhất trong suốt quá trình thực hiện đề tài nghiên cứu khoa học. Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới TS. Nguyễn Văn Hùng đã định hướng chọn đề tài và tận tình chỉ bảo giúp đỡ em hoàn thành Luận văn này. Do thời gian và kiến thức có hạn nên Luận văn không tránh khỏi những hạn chế và còn có thiếu sót nhất định. Em xin chân thành cảm ơn đã nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy giáo, cô giáo và các bạn học viên. Hà Nội, tháng 11 năm 2011 Tác giả Bùi Văn Lương Lời cam đoan Em xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn Hùng, Luận văn Thạc sỹ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài "ỨNG DỤNG SAI PHÂN GIẢI BÀI TOÁN BIÊN CỦA PHƯƠNG TRÌNH ELIPTIC" được hoàn thành bởi chính sự nhận thức của bản thân tác giả, không trùng với bất cứ Luận văn nào khác. Trong quá trình nghiên cứu thực hiện Luận văn, tác giả đã kế thừa những thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn! Hà Nội, tháng 11 năm 2011 Tác giả Bùi Văn Lương Mục lục Lời nói đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Chương 1. Các khái niệm cơ bản về phương trình đạo hàm riêng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1. Các kí hiệu và định nghĩa chung . . . . . . . . . . . . 6 1.1.1. Về miền trong R n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.2. Về đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.3. Về các không gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.4. Định nghĩa phương trình đạo hàm riêng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.5. Các phương trình đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2. Phân loại phương trình đạo hàm riêng . . . . . . . . . . . . 9 1.3. Các bài toán biên của phương trình Eliptic . . . . . . . . 10 Chương 2. Phương trình sai phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.1. Các khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.1.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.1.2. Tính chất của sai phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.2. Phương trình sai phân tuyến tính. . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2.2. Nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.2.3. Tuyến tính hóa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.3. Phương trình sai phân tuyến tính cấp một . . . . . . . . . . 25 2.3.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.3.2. Nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1 2.3.3. Một số phương pháp tìm nghiệm riêng x ∗ n của phương trình sai phân tuyến tính cấp một không thuần nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.3.4. Phương trình sai phân tuyến tính cấp một với hệ số biến thiên . . . . . . . . 29 2.4. Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai. . . . . . . . . . 31 2.4.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.4.2. Nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.4.3. Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai với hệ số biến thiên . . . . . . . . . . . 35 Chương 3. Giải bài toán biên phương trình Eliptic bằng phương pháp sai phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.1. Sai phân hóa bài toán biên của phương trình Eliptic . . . . . 38 3.1.1. Bài toán biên Đirichlê . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.1.2. Những bước đi chính trong việc sai phân hóa bài toán biên Đirichlê. . . . . . 39 3.1.3. Thí dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.1.4. Bài toán biên Nơman. Sai phân hóa biên kiện ∂u/∂n . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.2. Phương pháp giải hệ phương trình sai phân của bài toán biên phương trình Eliptic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 3.2.1. Vài điều chú ý. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 3.2.2. Về việc giải lặp các hệ phương trình đại số tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 3.2.3. Phép lặp Iacôbi và phép lặp Zayđen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.2.4. Phép giảm dư quá hạn kế tiếp (phép lặp SOR) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 3.2.5. Phép lặp luân hướng (phép lặp ADI) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.2.6. Các phép lặp khối . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 3.3. Sự hội tụ của bài toán biên sai phân phương trình Eliptic 66 3.3.1. Đường lối chung để chứng minh sự hội tụ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 3.3.2. Cách chứng minh cụ thể. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 2 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 3 Lời nói đầu Phương trình đạo hàm riêng được nghiên cứu lần đầu tiên vào giữa thế kỷ 18 trong các công trình của những nhà toán học nổi tiếng như Ơle, Đalambe, Lagrăng và Laplaxơ như là một công cụ quan trọng để mô tả các mô hình của vật lý và cơ học. Những bài toán có nội dung tương tự vẫn còn được nghiên cứu đến tận ngày nay và là một trong các nội dung cơ bản của lý thuyết phương trình đạo hàm riêng. Chỉ đến giữa thế kỷ 19 và đặc biệt là trong các công trình của Riemann, phương trình đạo hàm riêng mới trở thành công cụ mạnh trong những lĩnh vực khác của toán học lý thuyết. Phương trình đạo hàm riêng thường xuyên xuất hiện trong các bài toán ứng dụng của lý thuyết thuỷ động học, cơ học lượng tử, điện học, điện – từ trường Đa số các bài toán này rất phức tạp, không có phương pháp giải đúng. Nhiều bài toán không có nghiệm theo nghĩa cổ điển. Vấn đề tìm nghiệm đúng của các phương trình đạo hàm riêng nhiều khi không thể và cũng không cần thực hiện trong mọi trường hợp. Bởi vậy trong nhiều trường hợp ta chỉ tìm được nghiệm gần đúng của các phương trình đạo hàm riêng và cũng từ đó xuất hiện các phương pháp để giải gần đúng các phương trình đó. Phương pháp sai phân (hay còn gọi là phương pháp lưới) là một trong những phương pháp được áp dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khoa học, kỹ thuật. Nội dung của nó là dẫn đối tượng cần xét về việc giải phương trình sai phân. Một trong những ứng dụng của phương 4 pháp này là giải bài toán biên phương trình đạo hàm riêng, trong đó có phương trình Eliptic là một trong những phương trình đạo hàm riêng quan trọng. Với mong muốn được tìm hiểu kỹ hơn các ứng dụng của sai phân, cùng với sự giúp đỡ và hướng dẫn tận tình của Tiến sĩ Nguyễn Văn Hùng, tôi xin giới thiệu đề tài: “ỨNG DỤNG SAI PHÂN GIẢI BÀI TOÁN BIÊN CỦA PHƯƠNG TRÌNH ELIPTIC”. 5 Chương 1 Các khái niệm cơ bản về phương trình đạo hàm riêng 1.1. Các kí hiệu và định nghĩa chung 1.1.1. Về miền trong R n R n =  x = (x 1 , x 2 , , x n ) | x i ∈ R, i = 1, n  . Chuẩn x =  n  i=1 x 2 i  1 2 . Tích vô hướng: x.y = n  i=1 x i y i . Hình cầu mở tâm a ∈ R n , bán kính r > 0. Kí hiệu: B r (a) hoặc B(a, r); B(a, r) = {x ∈ R n : x −a < r}. Ω ⊂ R n là một miền ⇔ Ω mở và liên thông. W n là thể tích của B r (a) trong R n , W n = Π r 2 Γ  n 2 + 1  . 1.1.2. Về đạo hàm Đa chỉ số: là một bộ α = (α 1 , α 2 , , α n ) ∈ N n . Khi đó bậc của α là số |α| = α 1 + α 2 + ···+ α n . Đạo hàm cấp α của hàm số u = u(x), x ∈ R n là: D α u(x) = ∂ |α| u ∂x α 1 1 ∂x α 2 2 ∂x α n n . 6 Với hàm số z = f(x, y). Thay cho viết ∂f ∂x , ta viết f x (x, y) hoặc z x (x, y). Thay cho viết ∂ 3 f ∂x 2 ∂y , ta viết z xxy (x, y), vài trường hợp còn kí hiệu D xxy f(x, y). 1.1.3. Về các không gian Giả sử A ⊂ R n là một tập bất kì. C k (A) là tập hợp tất cả các hàm u = u(x), xác định trên A và có đạo hàm D α u(x) với |α| ≤ k liên tục trên A 0 và có thể thác triển liên tục trên toàn bộ A. A 0 là tập các điểm trong A, A mở thì A 0 = A = Ω. Khi đó C k (Ω) cũng được hiểu tương tự như trên. R n+1 = R n × R các phần tử x = (x  , t) với x  ∈ R n , t ∈ R; x  là biến không gian, t là biến thời gian. Với A ∈ R n+1 , kí hiệu C k,m (A) tập tất cả các hàm u(x, t) xác định trên A sao cho u(x, t) và D α x D β t u(x, t) liên tục trên A 0 và có thể thác triển liên tục trên A với mọi α ≤ k, 0 ≤ β ≤ n. ∂Ω là tập các điểm biên của Ω. 1.1.4. Định nghĩa phương trình đạo hàm riêng Định nghĩa: Phương trình liên hệ giữa các hàm ẩn u 1 , u 2 , , u n ; các biến và các đạo hàm riêng của chúng được gọi là phương trình đạo hàm riêng. Một phương trình đạo hàm riêng chứa ít nhất một đạo hàm cấp m và không chứa đạo hàm cấp cao hơn m được gọi là phương trình đạo hàm 7 riêng cấp m. Phương trình đạo hàm riêng được gọi là tuyến tính nếu nó tuyến tính đối với tất cả các hàm ẩn và các đạo hàm riêng của chúng. Cũng vì vậy mà phương trình đạo hàm riêng tuyến tính chỉ chứa các đạo hàm hàm ẩn bậc một. Phương trình đạo hàm riêng gọi là tựa tuyến tính nếu nó tuyến tính với các đạo hàm cấp cao nhất. Thí dụ: Xét hàm 2 biến u = u(x, y). Phương trình: x 2 u xx + u yy + u 2 = 1 là phương trình đạo hàm riêng tựa tuyến tính. Phương trình: ∂ 2 u ∂x 2 + ∂ 2 u ∂x∂y − ∂u ∂x + y 2 u = x 2 −y 2 là phương trình đạo hàm riêng cấp 2 và nó tuyến tính. Phương trình tuyến sóng: u tt − ∆u = f(x, t) là tuyến tính với u = u(x, t). Nghiệm của phương trình đạo hàm riêng là một hệ bất kì các hàm sao cho khi thay vào các hàm ẩn, phương trình biến thành đồng nhất thức. Thí dụ: Một nghiệm của phương trình ∂ 2 u ∂x 2 −a 2 ∂ 2 u ∂y 2 = 0 là hàm u(x, y) = cos(ax + y) + e −ax+y . 1.1.5. Các phương trình đặc biệt Toán tử Laplace: ∆ = ∂ 2 ∂x 2 1 + ∂ 2 ∂x 2 2 + ···+ ∂ 2 ∂x 2 n ∆u = ∂ 2 u ∂x 2 1 + ∂ 2 u ∂x 2 2 + ···+ ∂ 2 u ∂x 2 n 8 [...]... với tỉ sai phân, ta gọi tắt sai phân hữu hạn là sai phân và cũng gọi sai phân cấp 1 là sai phân Định nghĩa 2.2 Ta gọi sai phân cấp 2 của hàm số xn là sai phân của sai phân cấp 1, và nói chung sai phân cấp k của hàm số xn là sai phân của sai phân cấp k − 1 của hàm số đó Như vậy, sai phân cấp 2 của hàm số xn là: ∆2 xn = ∆ (∆xn ) = ∆xn+1 − ∆xn = xn+2 − xn+1 − (xn+1 − xn ) = xn+2 − 2xn+1 + xn Sai phân cấp... k ∈ Z  x sin 2 sin 2.2 Phương trình sai phân tuyến tính 2.2.1 Định nghĩa Định nghĩa 2.3 Phương trình sai phân tuyến tính là một hệ thức tuyến tính giữa sai phân các cấp: F xn , ∆xn , ∆2 xn , , ∆k xn = 0, trong đó xn hiểu là sai phân cấp 0 của hàm xn , cấp lớn nhất của các sai phân (ở đây là bằng k) là cấp của phương trình sai phân tuyến tính Do tính chất 1 của sai phân, sai phân các cấp đều có thể... 2 (n − 1!) 2.4 Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai Nhiều bài toán thực tiễn dẫn về việc giải phương trình sai phân tuyến tính cấp hai Về nguyên tắc, ta có thể đưa phương trình sai phân tuyến tính cấp hai về phương trình sai phân tuyến tính cấp một, với ẩn là vectơ gồm hai thành phần, nhưng do đặc thù của nó, người ta thường xét và giải trực tiếp 2.4.1 Định nghĩa Phương trình sai phân tuyến tính... hàm của (x, y) và mọi (x, y) ∈ G, D := a.b > 0 để (1.2) là phương trình Eliptic Người ta phân biệt ba loại bài toán biên   L(u) = f, (x, y) ∈ G 1) Bài toán Đirichlê: u | Γ = ϕ, (x, y) ∈ Γ   L(u) = f, (x, y) ∈ G 2) Bài toán Nơman: ∂u  | Γ = ϕ, (x, y) ∈ Γ ∂n    L(u) = f, (x, y) ∈ G 3) Bài toán hỗn hợp:  αu + α1 u ∂u | Γ = ϕ, (x, y) ∈ Γ  ∂n 10 Chương 2 Phương trình sai phân Phương pháp sai phân. .. 1 3 2 2 1 2 24 Giải hệ này ta được a1 = 10, a2 = −1, b = 0 và xn+1 = 10xn − xn−1 2.3 Phương trình sai phân tuyến tính cấp một Các bài toán thực tiễn thường dẫn về phương trình sai phân tuyến tính cấp một, hoặc dẫn về dạng chính tắc, mà thực chất cũng là phương trình sai phân tuyến tính cấp một với ẩn là một vectơ Bởi vậy, ta xét kĩ bài toán cấp một 2.3.1 Định nghĩa Phương trình sai phân tuyến tính... 1 > 0 nên ∂x2 ∂y phương trình thuộc loại Eliptic 9 ∂u ∂ 2 u b, Phương trình: − = 0 thuộc loại Parabol ∂y ∂x2 Các dạng phổ biến: ∂ 2u ∂ 2u 1, Phương trình Laplace (Eliptic) : ∆u = 2 + 2 = 0 ∂x ∂y 2 ∂u ∂ u 2, Phương trình truyền nhiệt: = a2 2 ; u = u (x, t) ∂t ∂x ∂ 2u ∂ 2u 3, Phương trình dây cung: 2 = a 2 ; u = u (x, t) ∂t ∂x 1.3 Các bài toán biên của phương trình Eliptic Xét phương trình: ∂ 2u ∂ 2u... sai phân Phương pháp sai phân là phương pháp được áp dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khoa học, kĩ thuật Nội dung của nó là đưa bài toán cần xét về việc giải phương trình sai phân hoặc hệ phương trình sai phân (tức là hệ thức hoặc các hệ thức liên hệ các giá trị của các hàm số tại các điểm khác nhau như những hàm số của đối số nguyên) Thí dụ, để tìm nghiệm của phương trình đại số hoặc siêu việt f (x)... hằng số, thì ta có phương trình sai phân tuyến tính cấp một với hệ số hằng số Nếu a, b, q phụ thuộc vào n thì ta có phương trình sai phân tuyến tính cấp một với một hệ số biến thiên fn là một hàm của n, gọi là vế phải; xn là ẩn Nếu fn ≡ 0 ta có phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất Nếu fn ≡ 0 ta có phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất 2.3.2 Nghiệm Nghiệm tổng quát của (2.9) có dạng:... nghiệm tổng quát của phương trình sai phân tuyến tính b thuần nhất và có dạng xn = Cλn với λ = − hoặc λ = q a n ∗ Vậy ta có thể viết xn = Cq , C = 0, còn xn là một nghiệm riêng bất kì của phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất 1 Thí dụ, phương trình xn+1 = 3xn + 1 có xn = C.3n và x∗ = − và n 2 1 n xn = C.3 − 2 2.3.3 Một số phương pháp tìm nghiệm riêng x∗ của phương n trình sai phân tuyến tính... ta được So sánh hệ số của cos 4 4   2 − √2 a − 2b = 2 − √2 2a + 2 − √2 b = 2 Giải hệ này, ta được a = 1, b = 0 Vậy x∗ = cos n nπ 4 2.2.3 Tuyến tính hóa Một số bài toán sai phân không tuyến tính, ta biến đổi đưa về phương trình sai phân tuyến tính, được gọi là tuyến tính hóa Một số phương trình sai phân hệ số thay đổi, nhiều khi cũng có thể biến đổi để đưa về phương trình sai phân tuyến tính với hệ . . 44 3.1.4. Bài toán biên Nơman. Sai phân hóa biên kiện ∂u/∂n . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.2. Phương pháp giải hệ phương trình sai phân của bài toán biên phương trình Eliptic . của nó là dẫn đối tượng cần xét về việc giải phương trình sai phân. Một trong những ứng dụng của phương 4 pháp này là giải bài toán biên phương trình đạo hàm riêng, trong đó có phương trình Eliptic. tỉ sai phân, ta gọi tắt sai phân hữu hạn là sai phân và cũng gọi sai phân cấp 1 là sai phân. Định nghĩa 2.2. Ta gọi sai phân cấp 2 của hàm số x n là sai phân của sai phân cấp 1, và nói chung sai