Ứng dụng định lý BaBuska-Brezzi đối với một số bài toán biên elliptic

Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Trần Văn Bằng, người đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành luận văn này. Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, Phòng sau đại học, các thầy cô giáo giảng dạy chuyên ngành Toán giải tích, gia đình, bạn bè đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn. Hà Nội, tháng 08 năm 2013 Tác giả Linh Thị Thanh Loan Lời cam đoan Tôi xin cam đoan luận văn này là kết quả nghiên cứu của cá nhân tôi, dưới sự hướng dẫn của TS. Trần Văn Bằng. Luận văn là sự tổng hợp các kết qủa trong các tài liệu tham khảo xoay quanh chủ đề ứng dụng của Định lý Babuska-Brezzi đối với một số bài toán biên elliptic. Hà Nội, tháng 08 năm 2013 Tác giả Linh Thị Thanh Loan Mục lục Mở đầu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Danh mục kí hiệu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1. Hàm suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.1. Hàm thử và phân bố . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.2. Một số phép toán với phân bố . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1.3. Biến đổi Fourier và không gian Schwartz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.1.4. Hàm suy rộng tăng chậm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2. Không gian Sobolev . . . . . . . . . . . . . . 14 1.2.1. Định nghĩa và các tính chất cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.2.2. Xấp xỉ bởi các hàm trơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.2.3. Các định lý thác triển . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.2.4. Các định lý nhúng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.2.5. Các định lý nhúng compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.2.6. Không gian đối ngẫu, không gian bậc phân số và không gian vết . . . . . . . . . . 26 1.2.7. Lý thuyết vết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Chương 2. Định lý Babuˇska – Brezzi và ứng dụng . . . 33 2.1. Bài toán biến phân và định lý Babuˇska – Brezzi . . . . 33 2.1.1. Bài toán biến phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.1.2. Định lý Babuˇska – Brezzi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.2. Ứng dụng đối với một số bài toán biên elliptic . . . . 40 2.2.1. Phương trình song điều hòa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.2.2. Hệ đàn hồi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 1 2.2.3. Hệ Stokes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 2 Mở đầu 1. Lí do chọn đề tài Các bài toán biến phân đã xuất hiện từ rất lâu, thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà toán học nổi tiếng trong các thế kỷ XVII – XIX và có ảnh hưởng rất lớn đối với sự phát triển của Giải tích toán học. Nhưng phải đến thế kỷ XX bài toán biến phân mới được hình thành với tư cách là một lý thuyết toán học độc lập, với nhiều hướng nghiên cứu khác nhau. Cho tới ngày nay, nghiên cứu các bài toán biến phân chủ yếu được tập trung vào ba vấn đề chính: - Nghiên cứu định tính (điều kiện cần và đủ để có nghiệm, các định lý đối ngẫu, cấu trúc tập nghiệm, tính ổn định nghiệm, . ); - Nghiên cứu định lượng (xây dựng các thuật toán tìm nghiệm thỏa mãn các tiêu chuẩn cho trước, xác định tập nghiệm, . ); - Ứng dụng (giải quyết các bài toán về kinh tế, bất đẳng thức biến phân, bài toán cân bằng, phương trình đạo hàm riêng,. . . ). Một trong những vấn đề quan trọng của bài toán biến phân là nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm. Không phải tính chất định tính nào cũng được sử dụng trong nghiên cứu định lượng, nhưng các kết quả nghiên cứu định tính thường giúp ta có cái nhìn sâu hơn vào lớp bài toán được xét và hiểu nó ngày một đầy đủ hơn. Đã có rất nhiều các công trình toán học nghiên cứu về vấn đề này, trong đó phải kể đến hai nhà toán học Ivo Babuˇska và Franco Brezzi với định lý Babuˇska-Brezzi, 3 cho ta một điều kiện để xác định bài toán biến phân có nghiệm duy nhất. Kết quả này được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực toán học khác nhau như tối ưu hóa, phương trình vi phân và phương trình đạo hàm riêng. Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về ứng dụng của định lý Babuˇska- Brezzi, dưới sự hướng dẫn tận tình của TS. Trần Văn Bằng, tôi mạnh dạn chọn đề tài “Ứng dụng định lý Babuˇska-Brezzi đối với một số bài toán biên elliptic”. Luận văn được cấu trúc thành 2 chương. Chương 1 được dành để đưa ra một số kiến thức căn bản về lý thuyết hàm suy rộng và không gian Sobolev. Chương 2 trình bày tổng quan về định lý Babuˇska-Brezzi và ứng dụng của nó đối với một số bài toán biên Elliptic. 4 Danh mục kí hiệu ∆u n i 1 2 u x 2 i : toán tử Laplace của u. ∇u u x 1 , , u x n : gradient của u. R n x x , x n R n 1 R n x n 0 . C Ω : không gian các hàm liên tục trên Ω. C Ω : không gian các hàm liên tục trên Ω. C k Ω u C Ω D α u C Ω , α k . C k Ω u C k Ω D α u liên tục đều trên Ω . C Ω k 0 C k Ω ; C Ω k 0 C k Ω . L p Ω f đo được, lũy thừa bậc p khả tích trênΩ với chuẩn f f Ω f x p dx 1 p , p 1 D Ω : không gian các C - hàm với giá compact trong Ω. D Ω : không gian các hàm suy rộng trên Ω. S : không gian Schwartz của các hàm giảm nhanh trong R n . S : không gian các hàm suy rộng tăng chậm trên R n . W m,p Ω : không gian Sobolev với 1 p . W m,p 0 Ω : bao đóng của D Ω trong W m,p . W m,2 Ω H m Ω ; W m,2 0 Ω H m 0 Ω . W 0,p Ω L p Ω ; W 0,2 Ω L 2 Ω . 5 Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Nội dung của chương này được tham khảo chủ yếu từ các tài liệu [1]-[5]. 1.1. Hàm suy rộng Khi nghiên cứu phương trình đạo hàm riêng, theo nghĩa cổ điển - nghiệm phải là hàm có số lần khả vi bằng cấp của phương trình và thỏa mãn phương trình mọi nơi trong không gian và thời gian. Tuy nhiên, quan niệm như vậy rất hạn chế và một số phương trình mà nó mô tả hiện tượng vật lý sẽ không có nghiệm, nên sẽ cản trở việc nghiên cứu toán học từ các trạng thái vật lý đó. Do vậy việc mở rộng khái niệm nghiệm của phương trình đạo hàm riêng là cần thiết, tức là cần thiết mở rộng khái niệm hàm khả vi. Nói cách khác, ta sẽ nghiên cứu lớp rộng hơn gồm các đối tượng được gọi là phân bố (hay hàm suy rộng)- trên đó ta có thể định nghĩa đạo hàm (suy rộng) sao cho các quy tắc tính toán thông thường vẫn đúng. Ngoài ra, đối với các hàm trơn, khái niệm đạo hàm mới phải trùng với đạo hàm thông thường. Cho f L 2 R - không gian các hàm bình phương khả tích trên R. Có thể chỉ ra rằng không gian D -các hàm khả vi vô hạn với giá compact 6 trong R là trù mật trong L 2 R (giá của hàm φ : R R (hoặc C) là tập K x R φ x 0 . (1.1.1) Khi đó, vì L 2 R là không gian Hilbert nên f sẽ hoàn toàn xác định khi biết tích vô hướng của nó với mỗi phần tử của D, nghĩa là, khi biết tất cả các số Ω fφ, φ D. Lúc này giả sử f là khả vi liên tục, với đạo hàm f . Tích phân từng phần, ta có R f φ R fφ . (1.1.2) Lưu ý rằng vế phải của (1.1.2) không liên quan tới đạo hàm của f. Hơn nữa các ánh xạ φ R fφ và φ R fφ là tuyến tính trên D. Do đó nếu ta có thể xác định một tôpô tương thích trên D làm cho các ánh xạ đó liên tục, thì ta có thể định nghĩa f như một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên D và định nghĩa f thông qua vế phải của (1.1.2) ngay cả khi f không khả vi, miễn là tích phân có nghĩa. 1.1.1. Hàm thử và phân bố Cho φ là hàm liên tục giá trị thực (hoặc phức) xác định trên tập mở trong R n . Giá của φ, được viết là supp φ là bao đóng (trong R n ) của tập, trên đó φ 0 (xem (1.1.1)). Nếu tập đóng này là compact, thì φ được gọi là có giá compact. Tập tất cả các hàm khả vi vô hạn trên R n với giá compact là một không gian vectơ và được ký hiệu bởi D R n hoặc đơn giản là D và được gọi là không gian các hàm thử. 7 Định lý 1.1.1. (C - phân hoạch đơn vị hữu hạn địa phương) Cho Ω R n là một tập mở và Ω i I Ω i , Ω i - mở. Khi đó, tồn tại các hàm φ i C Ω sao cho i supp φ i Ω i , ii supp φ i i I hữu hạn địa phương, iii 0 φ i x 1, i I, iv i I φ i 1. Hệ quả 1.1.1. Cho K R n là một tập compact. Khi đó, φ D R n sao cho φ 1 trên K. Hàm φ được xây dựng ở trên được gọi là hàm cắt theo tập compact K. Nếu Ω là một tập mở trong R n , thì không gian các C - hàm với giá compact và chứa trong Ω sẽ được ký hiệu bởi D Ω . Định nghĩa 1.1.1. Một dãy hàm φ m D Ω được gọi là hội tụ tới 0 nếu tồn tại tập compact cố định K Ω sao cho supp φ m K với mọi m và φ m và tất cả các đạo hàm của nó hội tụ đều tới 0 trên K. Như đã chỉ ra ở phần đầu, ta sẽ khái quát khái niệm hàm bằng cách xét các phiếm hàm tuyến tính trên D Ω liên tục đối với tôpô đã đề cập ở trên. Định nghĩa 1.1.2. Phiếm hàm tuyến tính T trên D Ω được gọi là một phân bố trên Ω nếu với mọi φ m 0 trên D Ω ta có T φ m 0. Như vậy, không gian các phân bố là đối ngẫu của không gian các hàm 8 [...]... u 0 Nhn xột 1.2.2 nh lý trờn núi rng cỏc hm liờn tc trờn , nu 1,p thuc W 1,p pq v trit tiờu trờn biờn thỡ thuc W0 pq Kt qu ú l 1,p phn quan trng ca nh lý vt rng: W0 pq chớnh l tp cỏc hm trong W 1,p pq cú giỏ tr biờn, tc l vt, bng 0 1.2.3 Cỏc nh lý thỏc trin Cho x Rn , x  px1, , xnq t xI pxI, xnq Khi ú ta nh ngha Rn  px1, , xnĂ1q  tx R | xn Ă 0 u v vit x  (1.2.23) nh lý 1.2.10 Cho u W 1,p... (1.2.38) nh lý 1.2.22 (nh lý vt) Cho Rn l tp m b chn thuc lp C m1 vi biờn Khi ú tn ti ỏnh x vt  p0, 1, , mĂ1q t H m pq vo 29 L2 pq ăm sao cho ă fv piq Nu v C V thỡ 0 pvq  v | , 1 pvq  f | , , v mĂ1 pvq  f Ă pv q | ,trong ú l vect phỏp tuyn ngoi n v ca biờn f Ă mĂ1 1 piiq Tp giỏ tr ca l khụng gian H mĂjĂ 2 pq j 0 piiiq Hch ca l H0m pq m 1 m 1 nh lý vt trờn giỳp ta thu c nh lý Green... u Lỳc ny theo nh lý 1.2.4, tn ti mt dóy tumu D pRnq sao cho um ẹ u trong Lp pq v ffux ẹ ffxu , 1 Ô i Ô n trong Lp pI q Do ú um ẹ u trong W 1,p pq v vỡ um D pq nờn 1,p 1,p u W0 pq, tc l u W0 pq Chng minh Gi s K m i i nh lý 1.2.8 (Stampacchia) Gi s G l hm liờn tc Lipschitz t R vo chớnh nú sao cho G p0q  0 Khi ú, nu l b chn, 1 1,p G Ơ u W0 pq p V v u 21 1,p W0 pq thỡ ta cú nh lý 1.2.9 Cho 1 1... dng cụng thc (1.2.2) hoc (1.2.3) cho chun trờn W 1,p pq nh lý 1.2.1 Vi 1 Ô p Ô V, W 1,p pq l khụng gian Banach W 1,p pq l phn x nu 1 p V, v tỏch c nu 1 Ô p V c bit, H 1 pq vi u l khụng gian Hilbert tỏch c Nhn xột 1.2.1 i, Cỏc kt qu ca nh lý 1.2.1 cng ỳng i vi W m,p pq vi mi s nguyờn m Ơ 0 Sau ny, tr khi thc s cn thit, ta s ch thit lp cỏc nh lý cho khụng gian W 1,p pq M rng n khụng gian cp cao hn... trin P : W 1,p pq ẹ W 1,p pRn q nh lý 1.2.11 Cho H qu 1.2.2 Nu W 1,p pq, 1 Ô p V C 1 v f b chn thỡ C V ă trự mt trong 1,p nh lý 1.2.12 Cho 1 p V v u W0 pq, l tp m trong Rn r r Khi ú nu u l thỏc trin ca u bng 0 bờn ngoi , thỡ u W 1,p pRn q Hn na, r fu  fu , d1 Ô p Ô n fxi fxi (1.2.25) Ta kt thỳc mc ny vi mt tớnh cht quan trng ca khụng gian 1,p W0 pq nh lý 1.2.13 (Bt ng thc Poincarộ) Cho... |u|1,p,, du W01,p pq (1.2.29) v 24 Nhn xột 1.2.3 Hng s C xut hin trong bt ng thc Sobolev (1.2.27) cú th c ly bng nĂ1 pƯ n nh lý 1.2.15 Cho Rn l tp m, p  n Khi ú 1,p W0 pq Lq pq , nh lý 1.2.16 Cho p Ă dq rn, Vq n Khi ú khụng gian W 1,p pRn q l i s Banach giao hoỏn 1.2.5 Cỏc nh lý nhỳng compact ă Trong mc 1.2.1 ta ó thy phộp nhỳng ca W 1,p pI q trong C I l compact khi I l mt khong b chn Vy trong cỏc... ti thỏc trin P l tớnh trn ca biờn f nh lý 1.2.5 Nu l tp m trong Rn sao cho cú toỏn t thỏc trin P : W 1,p pq ẹ W 1,p pRnq, thỡ vi mi u W 1,p pq, h tumu D pRnq sao cho um | ẹ u trong W 1,p pq Nh vy nh lý trờn núi rng: nu tha nhn mt toỏn t thỏc trin thỡ cỏc phn t ca W 1,p pq cú th c xp x bi cỏc hm trong C V pq - l hn ch ca cỏc hm trong D pRn q Tuy nhiờn, mt nh lý khỏc ca Meyers v Serrin núi rng tp... vo phớa m nm.(Hỡnh 1.2) Vớ d, nu Hỡnh 1.2: nh lý 1.2.23 (nh lý Green hoc cụng thc Green) Cho l tp m b chn ca Rn , thuc lp C 1 , nm v cựng mt phớa 30 H 1 pq Khi ú vi 1 Ô i Ô n, i vi biờn ca nú Gi s u, v ằ fv  Ă ằ fu v ằ p uq p vq u 0 0 i fxi f xi (1.2.39) ă Chng minh Theo H qu 1.2.2, C V l trự mt trong H 1 pq Nu um , vm CV ă thỡ theo nh lý Green c in, ta cú ằ v chn um ẹ u, fvm  Ă ằ... v  Ă puq v v (1.2.43) f 32 Chng 2 NH Lí BABUSKA - BREZZI V NG DNG Ni dung ca chng ny ch yu tham kho t [3] 2.1 Bi toỏn bin phõn v nh lý Babuka Brezzi s 2.1.1 Bi toỏn bin phõn Hu ht nghim ca phng trỡnh o hm riờng trong Vt lý v k thut u sinh ra nh mt nguyờn lý bin phõn Thụng thng, ta cú mt lp hm chp nhn c v mt phim hm nng lng liờn kt vi cỏc hm chp nhn c ú Ta tỡm cỏch cc tiu húa nng lng xỏc nh... l hin nhiờn ẹ u trong Lp pq v ffux ẹ vi trong Lp pq vi 1 Ô i Ô n, fu thỡ u W 1,p pq v fx  vi ii, Nu um m i i 17 R l mt khong m v u W 1,p pI q Khi ú, nh lý 1.2.2 Cho I u liờn tc tuyt i Ta cú th kt lun mt tớnh cht quan trng ca W 1,p pI q t nh lý trc, khi I l mt khong m b chn Chng hn, I nu u W 1,p pI q, ta cú th vit u pxq  u p0q x ằ  p0, 1q Khi ú uI ptq dt (1.2.14) 0 Theo bt ng thc Hălder, nu . hợp các kết qủa trong các tài liệu tham khảo xoay quanh chủ đề ứng dụng của Định lý Babuska-Brezzi đối với một số bài toán biên elliptic. Hà Nội, tháng 08 năm 2013 Tác giả Linh Thị Thanh Loan Mục. gian Sobolev. Chương 2 trình bày tổng quan về định lý Babuˇska-Brezzi và ứng dụng của nó đối với một số bài toán biên Elliptic. 4 Danh mục kí hiệu ∆u n i 1 2 u x 2 i : toán tử Laplace của u. ∇u u x 1 , , u x n :. riêng. Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về ứng dụng của định lý Babuˇska- Brezzi, dưới sự hướng dẫn tận tình của TS. Trần Văn Bằng, tôi mạnh dạn chọn đề tài Ứng dụng định lý Babuˇska-Brezzi đối với một số