Không gian đối ngẫu, không gian bậc phân số và không gian vết

gian vết

Trong mục này ta sẽ định nghĩa không gian Sobolev đối với các tham số thực s thay cho số tự nhiên n.

Định nghĩa 1.2.3. Cho 1 ¤ p   8, p¹ là số mũ liên hợp của p. Đối ngẫu của không gian W₀^m,ppΩq mà m ¥ 1 là số nguyên, được ký hiệu bởi

W^m,p1pΩq. Nếu p 2, H^mpΩq là đối ngẫu của không gian H₀^mpΩq. Nhận xét 1.2.4. H₀^mpΩq là không gian Hilbert nên theo Định lý biểu diễn Riesz, nó có thể được đồng nhất với đối ngẫu của nó. Tuy nhiên ngoại trừ khi m 0, tức là trong trường hợp của L²pΩq, ta không thể đồng nhất H₀^mpΩq với đối ngẫu của nó. Ta có phép nhúng liên tục và trù mật sau:

H₀¹pΩq Ñ L²pΩq Ñ H¹pΩq.

Không gian Sobolev W^s,ppΩq với s không nguyên cũng có thể được định nghĩa theo một số cách. Sau đây là một cách: cho 1 ¤ p   8 và

0  s   1. Khi đó, định nghĩa W^s,ppΩq # u P L^ppΩq |upxq upyq| |xy|s pn{pq P L^ppΩΩq + (1.2.32) với chuẩn rõ ràng. Đặt s m σ, m ¥ 0, m - nguyên, 0  σ   1,

W^s,ppΩq tu P W^m,ppΩq | D^αu PW^σ,ppΩq, @ |α| mu. (1.2.33) Ký hiệu W₀^s,ppΩq là bao đóng của DpΩq trong W^s,ppΩq và W^s,p1pΩq là đối ngẫu của W₀^s,ppΩq.

Nếu p 2 ta có không gian H^spΩq. Nếu Ω Rⁿ, ta đã gặp định nghĩa của không gian H^spRⁿq (xem (1.2.11)). Có thể chỉ ra rằng các định nghĩa này xác định cùng một không gian đối với mỗi s ¡ 0. Cũng như vậy ta có H^spRⁿq như là đối ngẫu của H^spRⁿq khi s   0. Lúc này ta chứng tỏ định nghĩa dựa theo biến đổi Fourier cũng đúng cho các chỉ số âm.

Định lý 1.2.19. Cho s ¡ 0 là số thực. Khi đó H^spRⁿq " u P S¹pRⁿq 1 |ξ|2 s{2 p upξq P L²pRⁿq * . (1.2.34) Ta kết thúc mục này bằng định nghĩa không gian vết H^spΓq, trong đó Γ BΩ - biên của tập con mở bị chặn của _Rⁿ, n ¥ 2. Giả thiết Ω

thuộc lớp C⁸ và theo nghĩa địa phương nó nằm về một phía của biên của nó, tức là, ta bỏ qua các miền mà nằm về cả hai phía của biên như được mô tả trong Hình 1.1.

Hình 1.1: Với s P R, ta có thể định nghĩa H^spΓq u _{vj P H}s Rⁿ1 , 1 ¤ j ¤ k( . (1.2.35) 1.2.7. Lý thuyết vết

Trong mục này ta sẽ đưa ra ý nghĩa của các biểu thức dạng u|Γ , ^B_B^u_ν (đạo hàm theo vectơ pháp tuyến ngoài trên Γ) khi u P H^mpΩq, Ω là tập mở bị chặn trong _Rⁿpn ¥ 2q với biên Γ.

Định lý 1.2.20. Cho Ω Rⁿ. Khi đó tồn tại ánh xạ tuyến tính liên tục

γ₀ : H¹pRⁿq Ñ L² _Rⁿ¹ sao cho nếu v liên tục trên _Rⁿ thì

γ₀pvq v|_Rn1 (1.2.36) Bây giờ ta chỉ ra tập giá trị của ánh xạ γ₀, được gọi là ánh xạ vết (cấp 0), không phải là toàn bộ L² _Rⁿ¹

. Cụ thể hơn ta có kết quả sau. Định lý 1.2.21. Tập giá trị của ánh xạ γ₀ là không gian H^1{2 _Rⁿ¹

. Bây giờ ta xét hạch của ánh xạγ₀. Ta đã thấy (xem Định lý 1.2.8) nếu ulà liên tục trên Ωvà utriệt tiêu trênΓ, thìu P H₀¹pΩq. Lúc này ta sẽ chỉ ra H₀¹pRⁿq chính là hạch của ánh xạ γ₀. Thật vậy, vì DpRⁿq € Kerpγ₀q, là không gian con đóng của H¹pRⁿq, nên ta đã có H₀¹pRⁿq € Kerpγ₀q. Chứng minh bao hàm ngược lại tinh vi hơn và bao gồm nhiều bước. Bổ đề 1.2.2. (Công thức Green) Cho u, v P H¹pRⁿq. Khi đó » Rⁿ uBv Bxi » Rⁿ Bu Bxi v nếu 1¤ i ¤ n 1 (1.2.37) » Rⁿ u Bv Bx_n » Rⁿ Bu Bx_n^v » Rⁿ1 γ0puqγ0pvq. (1.2.38) Định lý 1.2.22. (Định lý vết)

Cho Ω € Rⁿ là tập mở bị chặn thuộc lớp C^{m 1} với biên Γ. Khi đó tồn tại ánh xạ vết γ pγ₀, γ₁, ..., γ_m1q từ H^mpΩq vào L²pΩq^m sao cho

piq Nếuv P C⁸ Ω

thìγ₀pvq v|Γ , γ₁pvq Bv

Bν |Γ , ...,và γ_m1pvq Bm1

Bνm1 pvq |Γ,trong đó ν là vectơ pháp tuyến ngoài đơn vị của biên Γ. piiq Tập giá trị của γ là không gian

m±1 j0 H^mj 1 2 pΓq. piiiq Hạch của γ là H₀^mpΩq.

Định lý vết ở trên giúp ta thu được Định lý Green đối với hàm trong H¹pΩq, Ω thuộc lớp C¹. Nếu νpxq ký hiệu vectơ pháp tuyến ngoài đơn vị trên biên Γ (nó được xác định duy nhất h.k.n trên Γ) thì ta ký hiệu thành phần của nó dọc theo các trục tọa độ bởi ν_ipxq. Tổng quát ta viết ν pν1, ..., νnq.

Ví dụ, nếu Ω Bp0; 1q thì νpxq x với @ |x| 1. Vì vậy trong trường hợp này ν_ipxq x_i. Nếu Ω Bp0;Rq thì νpxq x

R. Nếu Ω có một phần của biên có phương trình:xn 0, thì trên phần đó vectơ pháp tuyến ngoài là e_n tùy thuộc vào phía mà Ω nằm.(Hình 1.2)

Hình 1.2:

Định lý 1.2.23. (Định lý Green hoặc công thức Green)

đối với biên Γ của nó. Giả sử u, v P H¹pΩq. Khi đó với 1 ¤ i ¤ n, » Ω u Bv Bx_i » Ω Bu Bx_i^v » Γ pγ₀uq pγ₀vqν_i. (1.2.39)

Chứng minh. Theo Hệ quả 1.2.2, C⁸ Ω

là trù mật trong H¹pΩq. Nếu u_m, v_m P C⁸ Ω

thì theo Định lý Green cổ điển, ta có » Ω u_mBv_m Bx_i » Ω Bu_m Bx_i ^vm » Γ u_mv_mν_i (1.2.40)

và chọn u_m Ñ u, v_m Ñ v trong H¹pΩq ta suy ra (1.2.39) nhờ tính liên tục của ánh xạ vết γ0.

Sau này ta sẽ không viết γ₀v, mà chỉ viết v trên Γ và phải hiểu đó là vết của v trên Γ. Tương tự, nếu γ₁v được xác định ta sẽ viết nó là

Bv

Bν. Dưới đây là một vài hệ quả đơn giản của Định lý Green mà ta sẽ sử dụng trong chương sau.

Đặt u 1 và v v_i P H¹pΩq, từ (1.2.39) ta nhận được » Ω Bv_i Bx_i » Γ viνi (1.2.41)

và nếu v¯ pv_iq P H¹pΩqⁿ, thì lấy tổng đối với i, ta có » Ω div v¯ » Γ ¯ vν (1.2.42)

nó là Định lý Divergence của Gauss. Nếu ta có u P H²pΩq và sử dụng Bu

Bxi thay cho u trong (1.2.39), thì ta nhận được » Ω Bu Bx_i Bv Bx_i » Ω B2u Bx²_i^v » Γ Bu Bx_i^vνi.

Nếu u là trơn thì n ° i1 Bu Bxiν_i Bu

Bν. Do vậy nhờ tính liên tục của vết γ_i, ta nhận được, với u P H²pΩq, v P H¹pΩq, » Ω ∇u∇v » Ω p∆uqv » Γ vBu Bν^{. (1.2.43)}

Chương 2

ĐỊNH LÝ BABUˇSKA - BREZZI

VÀ ỨNG DỤNG

Nội dung của chương này chủ yếu tham khảo từ [3].

2.1. Bài toán biến phân và định lý Babuˇska – Brezzi

2.1.1. Bài toán biến phân

Hầu hết nghiệm của phương trình đạo hàm riêng trong Vật lý và kỹ thuật đều sinh ra nhờ một nguyên lý biến phân. Thông thường, ta có một lớp hàm chấp nhận được và một phiếm hàm năng lượng liên kết với các hàm chấp nhận được đó. Ta tìm cách cực tiểu hóa năng lượng để xác định nghiệm của bài toán. Phương trình Euler tương ứng sẽ cho phương trình đạo hàm riêng. Trước hết ta sẽ thảo luận một số bài toán biến phân trừu tượng, tạo cơ sở cho việc nghiên cứu các bài toán biên elliptic.

Cho H là không gian Hilbert trên trường số thực. Ta biết rằng rất nhiều bài toán trong thực tế cũng như lý thuyết sẽ dẫn đến bài toán quen thuộc: Cho A là toán tử tuyến tính từ H vào chính nó, với mỗi điểm y P H tìm x P H sao cho

Việc giải phương trình (2.1.1) không hề đơn giản và không phải lúc nào phương trình cũng có nghiệm, nên ta thường chuyển phương trình (2.1.1) về dạng yếu hơn để nghiên cứu. Cụ thể, ta nhân vô hướng cả hai vế của phương trình (2.1.1) với @v P H. Khi đó ta nhận được bài toán yếu hơn: tìm x P H sao cho

pAx, vq py, vq, @v P H. (2.1.2) Định nghĩa 2.1.1. Bài toán tìm x P H thỏa mãn (2.1.2) được gọi là bài toán biến phân.

Định lý 2.1.1. Cho H là không gian Hilbert (thực) và K € H là tập lồi, đóng. Lấy xP H. Khi đó, tồn tại duy nhất y P K sao cho

}xy} min

zPK }x z}. (2.1.3) Hơn nữa, y có thể được đặc trưng bởi

y P K, pxy, z yq ¤ 0, @z P K. (2.1.4) Nhận xét 2.1.1. Nếu H R² và K là tập con lồi, đóng của _R² thì về mặt hình học, đặc trưng (2.1.4) có nghĩa là đường nối x với hình chiếu y của nó và đường nối hình chiếu y và một điểm bất kỳ thuộc K, luôn làm thành một góc tù. Xem Hình 2.1.

Hệ quả 2.1.1. Cho H là không gian Hilbert, K là tập lồi, đóng trong H.

P_K :H Ñ K

là ánh xạ x Ñ y được xác định theo Định lý 2.1.1. Khi đó, với x1, x2 P H, ta có

Hình 2.1:

Định nghĩa 2.1.2. Cho a : H H Ñ R là dạng song tuyến tính. ap., .q được gọi là liên tục nếu tồn tại hằng số M ¡ 0 sao cho

}apu, vq} ¤ M }u} }v}, @u, v P H. (2.1.6) ap., .q được gọi là H - elliptic (hay bức) nếu tồn tại α ¡ 0 không đổi sao cho

apv, vq ¥α}v}2

, @v P H. (2.1.7)

Ví dụ 2.1.1. Cho H Rⁿ. Khi đó mỗi ma trận thực cấp nn xác định một dạng song tuyến tính liên tục trên _Rⁿ. Cụ thể, nếu A pa_ijq, 1¤ i, j ¤ n là ma trận thực, thì dạng song tuyến tính tương ứng được cho bởi apu, vq v^TAu n ¸ i,i1 a_iju_jv_i. (2.1.8) Rõ ràng theo bất đẳng thức Cauchy – Schwarz,

|apu, vq| _vTAu |pv, Auq| ¤ }v} }Au} ¤ }A} }u} }v}.

Nếu A là ma trận đối xứng và xác định dương thì tồn tại α ¡ 0 sao cho

n

¸

i,j1

a_ijv_iv_j ¥ α}v}2

Định lý 2.1.2. (Stampachia)

Cho H là không gian Hilbert, ap., .q là dạng song tuyến tính liên tục và H - elliptic trên H. K ∅, K € H là tập con lồi, đóng. Khi đó, với f P H, tồn tại duy nhất u P K sao cho

apu, vuq ¥ pf, v uq, @v P K. (2.1.9) Cho K V là một không gian con đóng của H, thì K tự động lồi. Giả sử u P V như trong (2.1.9) với f P H đã cho. Nếu v P V thì đặt w v u. Khi đó

apu, vq ¥ pf, vq, @v P V. Áp dụng điều này cho v P V ta nhận được

apu, vq pf, vq, v P V. Đặc biệt, điều này đúng với V H.

Định lý 2.1.3. (Lax – Milgram)

Cho V là không gian Hilbert và ap., .q là dạng song tuyến tính liên tục và V - elliptic. Khi đó với mỗi f P V đã cho, tồn tại duy nhất u P V sao cho

apu, vq pf, vq, @v P V. (2.1.10) Hơn nữa, nếu ap., .q là đối xứng thì phiếm hàm J : V Ñ R được xác định bởi

Jpvq ¹

2^apv, vq pf, vq (2.1.11) đạt cực tiểu tại u.

Nhận xét 2.1.2. Khi ap., .q là đối xứng và J : V Ñ R được cho bởi (2.1.11) thì cực tiểu toàn cục của J đạt được tại u P V và thỏa mãn (2.1.10). Phương trình đó có thể được coi là phương trình Euler của bài toán tối ưu không ràng buộc. Khi xét bài toán tối ưu ràng buộc, tức là ta cực tiểu J trên một tập con lồi, đóng K, thì ta không thể kỳ vọng có các phương trình trong kết quả, mà chỉ có bất đẳng thức (??). Chúng được gọi là bất đẳng thức biến phân.

2.1.2. Định lý Babuˇska – Brezzi

Cho Σ, V là các không gian Hilbert và a : ΣΣ Ñ R, b : ΣV Ñ R

là các dạng song tuyến tính liên tục. Đặt

Z tσ P Σ| bpσ, vq 0, @v P V u. (2.1.12) Giả sử ap., .q là Z - elliptic, tức là tồn tại hằng số α ¡ 0 sao cho

apσ, σq ¥ α}σ}2

Σ, @σ P Z. (2.1.13)

Hơn nữa, giả sử tồn tại hằng số β ¡ 0 sao cho

sup τPΣ

bpτ, vq }τ}Σ

¥ β}v}V, @v P V. (2.1.14) Khi đó, nếu κ P Σ và l P V thì tồn tại duy nhất cặp pσ, uq P Σ V sao cho

apσ, τq bpτ, uq pκ, τq, @τ P Σ (2.1.15) bpσ, vq pl, vq, @v P V. (2.1.16) Chứng minh.

+ Sự tồn tại:

Định nghĩa A : Σ Ñ Σ, B : Σ Ñ V bởi

pAσ, τq apσ, τq, τ P Σ

pBσ, vq bpσ, vq, v P V.

Rõ ràng A và B xác định và là các toán tử tuyến tính liên tục. Khi đó, (2.1.15) – (2.1.16) tương đương với hệ

Aσ Bu κ (2.1.17)

Bσ l (2.1.18)

trong đó B : V Ñ Σ là toán tử liên hợp của B. Lúc này, theo (2.1.14) suy ra

}Bv} ¥ β}v}, v P V. (2.1.19) Như vậy, B có miền giá trị đóng và là song ánh, vì B toán tử tuyến tính liên tục nên suy ra B là ánh xạ lên. Chọn σ1 P Σ sao cho Bσ1 l. Theo Định lý Lax – Milgram (Định lý 2.1.3), ta có D!σ₀ P Z sao cho

apσ₀, τq pκ, τq apσ₁, τq, @τ P Z (2.1.20) tức làAσ₀ κAσ₁ khi hạn chế trênZ. MàZ Ker B nênBσ₀ 0. Do đó nếuσ σ₀ σ₁ thì ta có Bσ l. Ngoài ra, theo (2.1.20),κAσ P Z^K - phần bù trực giao của Z trong Σ. Nhưng ta biết rằng

Range B pKer Bq^K Z^K.

Vì vậy Du P V sao cho Bu κAσ. Như vậy pu, σq thỏa mãn (2.1.17) – (2.1.18) hay tương đương với (2.1.15) – (2.1.16). Điều này chứng tỏ sự tồn tại của σ và u.

+ Tính duy nhất: Giả sử pσ₁, u₁q và pσ₂, u₂q là hai nghiệm. Đặt rσ σ₁ σ₂, ur u₁ u₂. Khi đó aprσ, τq bpτ,urq 0, @τ P Σ (2.1.21) bprσ, vq 0, @v P V. (2.1.22) Đặt τ rσ trong (2.1.21) và sử dụng (2.1.22) ta nhận được aprσ,σrq 0, rσ P Z.

Từ đó, theo (2.1.13) suy ra rσ 0. Khi đó, từ (2.1.21) ta nhận được Bur 0 và theo (2.1.19) suy ra ur 0.

Do đó σ₁ σ₂, u₁ u₂.

Nhận xét 2.1.3. i, Điều kiện (2.1.14) được gọi là điều kiện Babuˇska – Brezzi, hay còn gọi là điều kiện inf – sup.

ii, Nếu dạng song tuyến tính ap., .q là đối xứng thì ta xét bài toán tối ưu hóa có ràng buộc: Tìm σ P Z sao cho Bτ l và

Jpσq min BτlJpτq, trong đó Jpτq ¹ 2^apτ, τq pκ, τq. Khi đó xét hàm Lagrange " 1 2^apτ, τq pκ, τq * tbpτ, vq pl, vqu

và tìm một điểm yên ngựa. Hệ các điều kiện tương ứng chính là hệ (2.1.15) – (2.1.16). Có một cách nhìn khác về hệ này xuất phát từ lý thuyết đàn hồi. Phương trình (2.1.15) có thể được xem như là một quy

luật cấu thành (chẳng hạn, mối liên hệ giữa ứng suấtσ và độ dịch chuyển u do biến dạng; ví dụ: Định luật Hooke). Phương trình (2.1.16) tương ứng với phương trình cân bằng.

2.2. Ứng dụng đối với một số bài toán biên elliptic

Trong mục này ta sẽ xét ví dụ về một số bài toán biên elliptic. Trong mỗi trường hợp ta sẽ nêu rõ định nghĩa nghiệm yếu của bài toán và nghiên cứu sự tồn tại và tính duy nhất của nó.

2.2.1. Phương trình song điều hòa

Cho Ω € Rⁿ là tập mở bị chặn và ∆ là toán tử Laplace. Khi đó toán tử song điều hòa là được cho bởi ∆² và là toán tử vi phân cấp 4. Bài toán Dirichlet đối với toán tử song điều hòa là:

∆²u f trong Ω u ^B_B^u ν 0 trên Γ. , / . / - ^(2.2.1)

Cho f P L²pΩq. Nếu φ P DpΩq thì nhân phương trình đầu với φ và sử dụng công thức Green ta nhận được, khi u P C⁴ Ω

(tức là u là nghiệm cổ điển), » Ω ∆u∆φ » Ω f φ. (2.2.2)

Để phương trình (2.2.2) có nghĩa, ta chỉ cần u P H²pΩq. Hơn nữa trong trường hợp này, các vết u|Γ γ₀u và _B^Bu_ν |Γ γ₁puq hoàn toàn xác định.