Hầu hết nghiệm của phương trình đạo hàm riêng trong Vật lý và kỹ thuật đều sinh ra nhờ một nguyên lý biến phân. Thông thường, ta có một lớp hàm chấp nhận được và một phiếm hàm năng lượng liên kết với các hàm chấp nhận được đó. Ta tìm cách cực tiểu hóa năng lượng để xác định nghiệm của bài toán. Phương trình Euler tương ứng sẽ cho phương trình đạo hàm riêng. Trước hết ta sẽ thảo luận một số bài toán biến phân trừu tượng, tạo cơ sở cho việc nghiên cứu các bài toán biên elliptic.
Cho H là không gian Hilbert trên trường số thực. Ta biết rằng rất nhiều bài toán trong thực tế cũng như lý thuyết sẽ dẫn đến bài toán quen thuộc: Cho A là toán tử tuyến tính từ H vào chính nó, với mỗi điểm y P H tìm x P H sao cho
Việc giải phương trình (2.1.1) không hề đơn giản và không phải lúc nào phương trình cũng có nghiệm, nên ta thường chuyển phương trình (2.1.1) về dạng yếu hơn để nghiên cứu. Cụ thể, ta nhân vô hướng cả hai vế của phương trình (2.1.1) với @v P H. Khi đó ta nhận được bài toán yếu hơn: tìm x P H sao cho
pAx, vq py, vq, @v P H. (2.1.2) Định nghĩa 2.1.1. Bài toán tìm x P H thỏa mãn (2.1.2) được gọi là bài toán biến phân.
Định lý 2.1.1. Cho H là không gian Hilbert (thực) và K H là tập lồi, đóng. Lấy xP H. Khi đó, tồn tại duy nhất y P K sao cho
}xy} min
zPK }x z}. (2.1.3) Hơn nữa, y có thể được đặc trưng bởi
y P K, pxy, z yq ¤ 0, @z P K. (2.1.4) Nhận xét 2.1.1. Nếu H R2 và K là tập con lồi, đóng của R2 thì về mặt hình học, đặc trưng (2.1.4) có nghĩa là đường nối x với hình chiếu y của nó và đường nối hình chiếu y và một điểm bất kỳ thuộc K, luôn làm thành một góc tù. Xem Hình 2.1.
Hệ quả 2.1.1. Cho H là không gian Hilbert, K là tập lồi, đóng trong H.
PK :H Ñ K
là ánh xạ x Ñ y được xác định theo Định lý 2.1.1. Khi đó, với x1, x2 P H, ta có
Hình 2.1:
Định nghĩa 2.1.2. Cho a : H H Ñ R là dạng song tuyến tính. ap., .q được gọi là liên tục nếu tồn tại hằng số M ¡ 0 sao cho
}apu, vq} ¤ M }u} }v}, @u, v P H. (2.1.6) ap., .q được gọi là H - elliptic (hay bức) nếu tồn tại α ¡ 0 không đổi sao cho
apv, vq ¥α}v}2
, @v P H. (2.1.7)
Ví dụ 2.1.1. Cho H Rn. Khi đó mỗi ma trận thực cấp nn xác định một dạng song tuyến tính liên tục trên Rn. Cụ thể, nếu A paijq, 1¤ i, j ¤ n là ma trận thực, thì dạng song tuyến tính tương ứng được cho bởi apu, vq vTAu n ¸ i,i1 aijujvi. (2.1.8) Rõ ràng theo bất đẳng thức Cauchy – Schwarz,
|apu, vq| vTAu |pv, Auq| ¤ }v} }Au} ¤ }A} }u} }v}.
Nếu A là ma trận đối xứng và xác định dương thì tồn tại α ¡ 0 sao cho
n
¸
i,j1
aijvivj ¥ α}v}2
Định lý 2.1.2. (Stampachia)
Cho H là không gian Hilbert, ap., .q là dạng song tuyến tính liên tục và H - elliptic trên H. K ∅, K H là tập con lồi, đóng. Khi đó, với f P H, tồn tại duy nhất u P K sao cho
apu, vuq ¥ pf, v uq, @v P K. (2.1.9) Cho K V là một không gian con đóng của H, thì K tự động lồi. Giả sử u P V như trong (2.1.9) với f P H đã cho. Nếu v P V thì đặt w v u. Khi đó
apu, vq ¥ pf, vq, @v P V. Áp dụng điều này cho v P V ta nhận được
apu, vq pf, vq, v P V. Đặc biệt, điều này đúng với V H.
Định lý 2.1.3. (Lax – Milgram)
Cho V là không gian Hilbert và ap., .q là dạng song tuyến tính liên tục và V - elliptic. Khi đó với mỗi f P V đã cho, tồn tại duy nhất u P V sao cho
apu, vq pf, vq, @v P V. (2.1.10) Hơn nữa, nếu ap., .q là đối xứng thì phiếm hàm J : V Ñ R được xác định bởi (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Jpvq 1
2apv, vq pf, vq (2.1.11) đạt cực tiểu tại u.
Nhận xét 2.1.2. Khi ap., .q là đối xứng và J : V Ñ R được cho bởi (2.1.11) thì cực tiểu toàn cục của J đạt được tại u P V và thỏa mãn (2.1.10). Phương trình đó có thể được coi là phương trình Euler của bài toán tối ưu không ràng buộc. Khi xét bài toán tối ưu ràng buộc, tức là ta cực tiểu J trên một tập con lồi, đóng K, thì ta không thể kỳ vọng có các phương trình trong kết quả, mà chỉ có bất đẳng thức (??). Chúng được gọi là bất đẳng thức biến phân.