Trong mục 1.2.1 ta đã thấy phép nhúng của W1,ppIq trong C I là compact khi I là một khoảng bị chặn. Vậy trong các phép nhúng liên tục đã chứng minh trong mục trước, phép nhúng nào là compact? Ví dụ sau cho thấy, khi miền không bị chặn thì phép nhúng không compact. Ví dụ 1.2.2. Cho I p0,1q R và Ij pj, j 1q. Lấy f P C1 với giá trong I. Ta định nghĩa fj là hàm f nhưng xác định trên Ij nhờ phép tịnh tiến. Ta có thể chuẩn hóa f một cách thích hợp sao cho
}f}1,p,I 1.
Điều đó cũng đúng đối với mỗi fj và như vậy tfju cũng là dãy bị chặn trong W1,ppRq. Vì f P C1 và có giá compact nên f P LqpRq với 1¤ q ¤ 8. Ngoài ra, nếu
|f|0,q,R |f|0,q,I a ¡ 0, thì với bất kỳ j k,
nêntfju không thể có dãy con hội tụ trong LqpRq. Vì vậy không có phép nhúng của W1,ppRq vào không gian LqpRq là compact. Ví dụ này có thể dễ dàng được khái quát đến Rn và đối với các tập mở giống như nửa không gian.
Định lý 1.2.17. (Rellich – Kondrasov)
Cho Ω Rn là tập mở bị chặn của lớp C1. Khi đó các phép nhúng sau là compact piq Nếu p n thì W1,ppΩq Ñ LqpΩq, 1 ¤ q ¤ p, piiq Nếu p n thì W1,npΩq Ñ LqpΩq, 1¤ q 8, piiiq Nếu p¡ n thì W1,ppΩq Ñ C Ω . Định lý 1.2.18. (Bất đẳng thức Poincaré – Wirtinger)
Tồn tại một hằng số C ¡ 0 sao cho với mỗi u P W1,ppΩq, 1¤ p¤ 8, |uu¯|0,p,Ω ¤ C|u|1,p,Ω (1.2.30) trong đó u¯ 1
measpΩq ³
Ω
u là trung bình của u trên Ω. Hơn nữa, nếu p n thì
|uu¯|0,p,Ω ¤ C|u|1,p,Ω. (1.2.31)