Ứng dụng định lý BaBuska-Brezzi đối với một số bài toán biên elliptic

Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Trần Văn Bằng, người đã định hướng chọn đồ tài và tận tình hướng dẫn đổ tôi có thổ hoàn thành luận văn này. Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, Phòng sau đại học, các thầy cô giáo giảng dạy chuyên ngành Toán giải tích, gia đình, bạn bè đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn. Hà Nội, tháng 08 năm 2013 Tác giả Linh Thi Thanh Loan Lời cam đoan Tôi xin cam đoan luận văn này là kết quả nghiên cứu của cá nhân tôi, dưới sự hướng dẫn của TS. Trần Văn Bằng. Luận văn là sự tổng hợp các kết qủa trong các tài liệu tham khảo xoay quanh chủ đề ứng dụng của Định lý Babuska-Brezzi đối với một số bài toán biên elliptic. Hà Nội, tháng 08 năm 2013 Tác giả Linh Thị Thanh Loan Mục lục Mở đầu Danh mục kí hiệu > ? Kiên thức chuân bị Hàm suy rộng Hàm thử và phân bố Một số pliép toán với phân bố Biến đổi Fourier và không gian Schwartz Hàm suy rộng tăng chậm Không gian Sobolev ĐỊnli nghĩa và các tính chất cơ bản 14 19 Xấp xỉ bởi các hàm trơn Các định lý thác triển Các định lý nhúng Các định lý nhúng compact Không gian đối ngẫu, không gian bậc pliân số và không gian vết Lý thuyết vết Định lý Babuska — Brezzi và ứng dụng Bài toán biến phân và định lý Babuska 3 5 6 6 7 9 1 2 1 3 1 4 Chương 1. 1.1. 1.1.1. 1.1.2. 1.1.3. 1.1.4. 1.2. 1.2.1. 1.2.2 . 1.2.3. 1.2. 4. 1.2.5. 1.2.3. 1 . 2 . 7 . 22 24 25 24 2 8 33 33 33 37 40 40 45 Chương 2. 2.1. - Brczzi Bài toán biến phân Định lý Babuska - Brezzi ứng dụng đối với một số bài toán biên elliptic Phương trình song điều hòa Hệ đàn hồi 4 2.1.1. 2.1.2. 2.2. 2.2.1. 2.2.2. 2.2.3. Hệ St.okcs Kết luận Tài liệu tham khảo 48 53 54 Mở đầu 1. Lí do chọn đề tài Các bài toán biến phân đã xuất hiện từ rất lâu, thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà toán học nổi tiếng trong các thế kỷ XVII - XIX và có ảnh hưởng rất lớn đối với sự phát triển của Giải tích toán học. Nhưng phải đến thế kỷ XX bài toán biến phân mới được hình thành với tư cách là một lý thuyết toán học độc lập, với nhiều hướng nghiên cứu khác nhau. Cho tới ngày nay, nghiên cứu các bài toán biến phân chủ yếu được tập trung vào ba vấn đề chính: - Nghiên cứu định tính (điều kiộn cần và đủ đổ có nghiệm, các định lý đối ngẫu, cấu trúc tập nghiệm, tính ổn định nghiệm, ); - Nghiên cứu định lượng (xây dựng các thuật toán tìm nghiệm thỏa mãn các tiêu chuẩn cho trước, xác định tập nghiệm. ); - ứng dụng' (giải quyết các bài toán vồ kinh té, bất đẳng thức biến phân, bài toán cân bằng, phương trình đạo hàm riêng, Một trong những vấn đề quan trọng của bài toán biến phân là nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm. Không phải tính chất định tính nào cũng được sử dụng trong nghiên cứu định lượng, nhưng các kết quả nghiên cứu định tính thường giúp ta có cái nhìn sâu hơn vào lớp bài toán được xét và hiểu nó ngày một đầy đủ hơn. Đã có rất nhiều các công trình toán học nghiên cứu về vấn đề này, trong đó phải kể đến hai nhà toán học Ivo Babuska và Franco Brezzi với định lý Babuska- Brezzi, cho ta một điều kiện để xác định bài toán biến phân có nghiệm duy nhất. Kết quả này được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực toán học khác nhau như tối ưu hóa, phương trình vi phân và phương trinh đạo hàm riêng. Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về ứng dụng của định lý Babuska- Brczzi, dưới sự hướng dẫn tận tình của TS. Trần Văn Bằng, tôi mạnh dạn chọn đề tài “ ứng dụng định lý Babuễka-Brezzỉ đối với một số bài toán biên ellỉptic Luận văn được cấu trúc thành 2 chương. Chương 1 được dành đổ đưa, ra một số kiến thức căn bản về lý thuyết hàm suy rộng và không gian Sobolev. Chương 2 trình bày tổng quan về định lý Babuska-Brezzi và ứng dụng của nó đối với một số bài toán biên Elliptic. Danh mục kí hiệu 11 Au — : toán tử Laplace của u. i-1 a ' v,t - (fe7> è) : s raclierit của u - M 7 ị — Ịx — (x r ,:r 7ỉ ) b R n _ 1 X R" |ic n > 0|. c (Q) : không gian các hàm liên tục trên c : không gian các hàm liên tục trên ũ. c k {n) - {uí.C{n)\D a utC{n) y V\a\ ^ k}. c k (íỉ) — {?/, ĩ= c k \D a u liên tục đều trên fỉ|. c™ (fì) - Hơ* C'*> m - n c k (ft)- Ả —0 k- 0 ư — {/ — đo được, lũy thừa bậcpkhả tích trên 17} với chuẩn l/l - l/l - y I/ ,p > 1 V (Q) : không gian các C'**- hàm với giá compact trong íì. D r (íĩ) : không gian các hàm suy rộng trên íì. s : không gian Schwartz của các hàm giảm nhanh trong R n . s r : không gian các hàm suy rộng tăng chậm trên R n . w m,p (0) : không gian Sobolev với 1 ^ p ^ x>. w™' p (íí) : bao đóng của D (Í2) trong w m ' p . W mS t (íĩ) - H m (Q); w™- 2 (Q) - H™ (Q). w°' p [Q) - ư (fi); w°' 2 {ũ) - ữ (fi). Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Nội dung của chương này được tham khảo chủ yếu từ các tài liệu ỈU-Í5Ị. 1.1. Hàm suy rộng Khi nghicn cứu phương trình đạo hàm riêng, theo nghĩa cổ điển - nghiệm phải là hàm có số lần khả vi bằng cấp của phương' trình và thỏa mãn phương trình mọi nơi trong không gian và thời gian. Tuy nhiên, quan niệm như vậy rất hạn chế và một số phương trình mà nó mô tả hiện tượng vật lý sẽ không có nghiệm, nên sẽ cản trở việc nghiên cứu toán học từ các trạng thái vật lý đó. Do vậy việc IĨ1Ở rộng khái niệm nghiộm của phương trình đạo hàm riêng là cần thiết, tức là cần thiết mở rộng khái niệm hàm khả vi. Nói cách khác, ta sẽ nghiên cứu lớp rộng hơn gồm các đối tượng được gọi là phân bố (hay hàm suy rộng)- trên đó ta có thể định nghĩa đạo hàm (suy rộng) sao cho các quy tắc tính toán thông thường vẫn đúng. Ngoài ra, đối với các hàm trơn, khái niệm đạo hàm mới phải trùng với đạo hàm thông thường. Cho / i= L 2 (R) - không gian các hàm bình phương khả tích trôn R. Có thể chỉ ra rằng không gian D -các hàm khả vi vô hạn với giá compact trong R là trù mật trong L 2 (R) (giá của hàm ậ : M —► M (hoặc C) là tập K - (xĩ=R\ộ{x) 7^0}). (1.1.1) Khi đó, vì L 2 (R) là không gian Hilbcrt ncn / sẽ hoàn toàn xác định khi biếttích vô hướng của nó với mỗi phần tử của D, nghĩa là,khi biết tất cả các số J fộ,ộ cr V. Lúc này giả sử f là khả vi liên tục, với đạo n hàm f. Tích phân từng phần, ta có ị f ệ - - ị f ệ r . (1.1.2) R R Lưu ý rằng vế phải của (1.1.2) không liên quan tới đạo hàm của /. Hơn nữa các ánh xạ ộ —> \ fộ và ậ —► — y fộ r là tuyến tính trên D. Do đó M ả nếu ta có thể xác định một tôpô tương thích trên D làm cho các ánh xạ đó liên tục, thì ta có thể định nghĩa / như một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên T> và định nghĩa f thông qua vế phải của (1.1.2) ngay cả khi f không khả vi, miễn là tích phân có nghĩa. 1.1.1. Hàm thử và phân bố Cho ậ là hàm liên tục giá trị thực (hoặc phức) xác định trên tập mở trong R n . Giá của 0, được viốt là supp [ộ) là bao đóng (trong R n ) của tập, trên đó ộ 7^ 0 (xem (1.1.1)). Nếu tập đóng này là compact, thì ộ được gọi là cố giá com.pacẦ. Tập tất cả các hàm khả vi vô hạn trên M n với giá compact là một không gian vectơ và được ký hiệu bởi V ^R n ) hoặc đơn giản là D và được gọi là không gian các hàm thử. Định lý 1.1.1. (C JJ - phân hoạch đơn vị hữu hạn địa phương) Cho íì s_ M n ìà một tập mở vầ Q — ỊJ ííị, £li - mở. Khi đó, tồn tại 1=7 cấc hầm ậị r ± C' v [tì) São cho (i) supp [ệi) íìị, (ü) {supp^ội)}^^ hữu hạn địa phương, [iii) 0 ^ ậi (x) ^ 1, Vz ỉr /, O) ỵ,ệi = í. Hệ quả 1.1.1. CỈ 10 K c_ R n là một tập compact. Khi đó, úệ b D (K n ) sao CÌ20 0 = 1 trcn K. Hàm ệ được xây dựng ở trên được gọi là hàm cắt theo tập compact K. Nếu íì là một tập mở trong R n , thì không gian các c x ' - hàm với giá compact và chứa trong 0. sẽ được ký hiộu bỏi D (n). Định nghĩa 1.1.1. Một dãy hàm {ậ m \ c_ D [Í2) được gọi là hội tụ tới 0 nếu tồn tại tập compact cố định K íì sao cho supp (íp m ) í- K với mọi m và ỷ m và tất cả các đạo hàm của nó hội tụ đều tới Ü trên K. Như đã chỉ ra ở phần đầu, ta sẽ khái quát khái niệm hàm bằng cách [...]... Xn J M71-1 M nh lý 1.2.22 (nh lý vt) Cho ỹ L R 71 l tp m b chn thuc lp c m l vi biờn Khi ú tn ti nh x vt 7 ( 70, 71, t H m (2) vo (L 2 sao cho ( i ) Nu V e c*> (n) thỡ 7o [v) - V |r , 7i [v) - % |r , , v 7?ri _i [v) "rn-i \v) |r, trong ú V l vect php tuyn ngoi n v ca biờn r (ii) Tp gi tr ca 7 l khụng gian [ l Hm~j~2 (r), 3-0 [i) Hch ca 7 l H 1 (2) nh lý vt trờn giỳp ta thu ic nh lý Green i vi hm... tớnh trn ca bien nh lý 1.2.5 Nu $ỡ l tp m trong R n sao cho cú ton t thỏc trin p : w 1 , p [ ớ ỡ ) > w l ' p (R n ), t h ỡ v i m i Z ' ( Ê 1 ) , d(w m } ớ- (R n ) sao cho u m 152 trong w ớ,p (fỡ) Nh vy nh lý trờn núi rng: nu Q, tha nhn mt toỏn t thỏc trin thỡ cỏc phn t ca w 1,p (Q) cú th c xp x bi cỏc hm trong C X) - l hn ch ca cỏc hm trong D (M n ) Tuy nhiờn, mt nh lý khỏc ca Meyers v Serrin... trờn K Khi ú [) Lỳc ny theo nh lý 1.2.4, tn ti mt dóy {u m V (R n ) sao cho u m trong L p v > J^-, 1 ^ i ^ n trong (f r ) Do ú > trong w 1 , p (0) v vỡ V {Ê}) nụn w' p (ft), tc l wl* [Q) nh lý 1.2.8 (Stampaccha) Gi s G l hm liờn tc Lipschitz t R vo chớnh 1ể Sóo cho G (0) 0 Khi ú, nu Q l b chn, 1 < p < v b wl ' v (2) thỡ tó cú G ằ U = W Q ' P (fỡ) nh lý 1.2.9 Cho 1 ^ 'P ^ 'X> v u b... thc (1.2.2) hoc (1.2.3) cho chun trờn w ớ , p (ớớ) nh lý 1.2.1 Vi 1 ^ p ^ X-, w l , p (ớ) l khụng gión Bóimch w l ' v (ớớ) phn x nu 1 < p < X', v tch c nu 1 ^ p < c bit, H 1 (Q) i khụng gian Hilbert tch c Nhn xột 1.2.1 i, Cỏc kt qu ca nh lý cng ỳng i vi w m ' p (Q) vi mi s nguyờn m ^ 0 Sau ny, 1.2 1 tr khi thc s cn thit, tó s ch thit lp cc nh lý cho khụng gión w l ' p (fỡ) M rng n khụng gian cp cao... e n tựy thuc vo phớa m Q nm (Hỡnh 1.2) Hỡnh 1.2: nh lý 1.2.23 (nh lý Green hoc cụng thc Green) Cho Q l tp I 1 b chn ca R n , thuc lp c l , nm v cựng mt phớó i vi biờn cm nú Gi s , V Hl (ớỡ) Khi ú vi 1 ^ ^ n, U dv J- - - Xi ớ) Chng du x V -h / (1.2.39) C JJ (f) l trự mt trong H l (f) Nn minh Theo H qu ỡi m ,v m t' um Vrn Xi c x> thỡ theo nh lý Grccn c in, ta cú 1 2.2 d u , dxi J "ù~ V (1.2.40)... con thc s ca w m,p (fỡ), ngoi tr khi Q R n nh c ch ra di õy nh lý 1.2.3 Cho 1 ^ p < x\ Khi ú vi m, ^ 0 nguyờn bt k, W m,p n) _ w m,p n) Thụng thng, khi (1.2.19 ) P 2 ta vit H (p) thay cho H {R") - H m {W l ) 1.2.2 w'2 (ớỡ) v vỡ vy (1 2 20 ) Xp x bi cỏc hm trn Trong mc ny ta s xem xột mt s kt qu trự mt ó bit v mt vi h qu n gin ca chỳng nh lý 1.2.4 (Fredrichs) Cho 1 ^ p < X) v W Lp [) Khi ú d {u m }... cc tớnlỡcht (1.1.14) quan trng ca hin i Fourier Nú bin i phộp ly v phn thnh tớch i s vỡ dó thc v ngc li nh lý 1.1.5 (Cụng thc Fourier ngc) Gi s g s Khi ú g{x) - j e 2 ixi g(Odầ (1.1.15) R" H qu 1 1 2 Cho f s Khi ú L L K ) H qu ny dn n m rng u tiờn ca bin i Fourier ti mt lp cỏc hm rng hn nh lý 1.1.6 (Plancherel) Tn ti duy nht phộp ng c lờn : L 2 (R n ) ằ L 2 (M n ) Sóo cho y (/) - /, vi i / fc s... cỏc hm liờn tc m trit ticu ti X- Vỡ vy mc d hm (R n ) nhng nú khụng th =1z c xp x bi cỏc phn t ca (R n ) nh lý 1.2.6 (Quy tc o hm hm hp) Cho G - 1 (M) sao cho G ( 0) 0 v IG r {s)\ ^ M vi Vs 1 Gi s w ớ , p (ớỡ) Khi ú lim G y Il b W Lp (Q) v {G ou) [G' vu) 1 ^ i ^ n dx dx ( 1 2 22) nh lý 1.2.7 Cho 1 ^ p < X- v f= w l ' p [ớỡ) sao cho trit tiụu bn ngoi mt tp compact c cha trong Q Khi ú h W... 1.1.9) iu ny cú th d dng c khỏi quỏt nh sau: nh lý 1.1.3 (Cụng thc Leibniz) Cho IR n l mt tp m, (ớớ), TbD r (ớỡ) Khi ú, vi a C1 s Q bt k, " m - , ^r W ,>'* D "" T - Cui cựng ta xột dóy cỏc phõn b Trờn khụng gian cỏc phõn b D r [ớ]), ta xột tụpụ yu*; tc l ta núi rng mt dóy cỏc phõn b [T m hi t ti phõn b T nu vi mi CT D (n), T m () fT{) nh lý 1.1.4 C 10 T m > T trong v r ^n) Khi ú vi ó C1 s... (0) Kt qu l phn quan trng ca nh ý vt rng: wl' p (2) chớnh l tp cỏc hm trong w l , p (fỡ) cú gi tr biờn, tc l vt, bng 0 1.2.3 Cỏc nh lý thỏc trin Cho X f = IRn, X ( x i , x n ) t X ( x i , Ê n - i ) v vit X [x\x n ) Khi ú ta nh ngha M 7 (x R I x n > 0} t (1.2.23 ) nh lý 1 2 10 Cho u w 1 , p (M) nh ngha u* trờn R n bi u{x r ,x n ), x n > 0 u {:X , -x n ) , x n < 0 Khi ú u* b w ' (R ) v hn nó 1 /; . triển Các định lý nhúng Các định lý nhúng compact Không gian đối ngẫu, không gian bậc pliân số và không gian vết Lý thuyết vết Định lý Babuska — Brezzi và ứng dụng Bài toán biến phân và định lý Babuska 3 5 6 6 7 9 1 2 1 3 1 4 Chương. 1 . 2 . 7 . 22 24 25 24 2 8 33 33 33 37 40 40 45 Chương 2. 2.1. - Brczzi Bài toán biến phân Định lý Babuska - Brezzi ứng dụng đối với một số bài toán biên elliptic Phương trình song điều hòa Hệ đàn hồi 4 2.1.1. 2.1.2. 2.2. 2.2.1. 2.2.2. 2.2.3 chọn đề tài “ ứng dụng định lý Babuễka-Brezzỉ đối với một số bài toán biên ellỉptic Luận văn được cấu trúc thành 2 chương. Chương 1 được dành đổ đưa, ra một số kiến thức căn bản về lý thuyết hàm