Ứng dụng vectơ trong mặt phẳng đề giải một số dạng toán thi học sinh giỏi ở trường trung học phổ thông

Lnghicn cứu TRAO Dổl ÚNG DỤNG VECTƠ TRONG MẶT PHẢNG ĐỂ GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN THI HỌC SINH GIỎI Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG PHẠM VĂN QUỸ Trường THPT Hùng vương, tỉnh Bình Phước NGUYỄN THANH HƯNG Trưởng Đại học sư phạm, Đại học Đà Đắng Nhận ngày 08/0 ỉ/2022 Sửa chữa xong 22/01/2022 Duyệt đăng 25/01/2022 Abstract Vectors in the plane are one of the key topics when teaching Maths at high schools It is an extremely important work, especially when fostering excellent students, to help them point out the applications of vectors when solving Maths problems The article presents the theoretical basis of vectors mentioned in high school, from which, six types of applied maths vectors are proposed to solve For each type of maths, the article outlines the corresponding content and solution method, along with detailed illustrative examples Ifstudents receive the application of vectors to solve mathematical forms effectively, the quality of Maths teaching in general, in high schools and fostering excellent students in particular will be improved Keywords: Application, good students, Maths, vector Đặt vấn đề Dạy học (DH) vectơ giúp học sinh (HS) nắm kiến thức vectơ, ứng dụng vectơ vào môn học khác (Vật lí, Hóa học, ) vận dụng vectơ để giải tốn Hình học, Đại số Vectơ có vị trí quan trọng khơng mơn Tốn mà mơn học khác chương trình THPT Tuy nhiên, thực tế, sau học xong chương Vectơ (Hình học 10) cho thấy, đa số HS chưa biết cách vận dụng vectơ để giải tập, kĩ biến đổi vectơ HS chưa tốt Vì phải làm để đạt mục tiêu việc DH vectơ Trọng trách đặt lên vai thầy, dạy mơn Tốn Đó trăn trở nhiều giáo viên (GV) suy nghĩ tìm phương pháp mới, chia nhỏ ứng dụng vectơ giúp HS học vectơ cách hiệu quả, đặc biệt HS giỏi Kinh nghiệm dạy học cho thấy, để HS học vectơ tốt GV phải giúp HS hiểu rõ chất vectơ ứng dụng quan trọng vectơ Do đó, hệ thống tập GV đưa khơng nên tập trung vào toán vectơ túy sách giáo khoa mà phải đưa vào tốn sử dụng kiến thức vectơ để giải như: Bài toán chứng minh ba điểm thẳng hàng, hai đường thẳng song song, ba đường thẳng đồng quy, hai đường thẳng vng góc, hình học; toán chứng minh bất đẳng thức đại số, Qua làm cho HS thấy vectơ có ứng dụng rộng rãi toán học, đặc biệt giải tốn thi HS giỏi Có nhiều tốn giải phương pháp khác dài phức tạp lại đơn giản ngắn gọn sử dụng phương pháp vectơ Từ phát huy tính sáng tạo HS, tìm cách giải ưu việt cho toán quen thuộc, lí chủ để ứng dụng vectơ để giải toán quan tâm nghiên cứu Email: phamvanquycqt@gmail.com 26 GIÁO DtlC - , V ©XÃ HỘI Thánq 02/2022 - NGHIỂN CỨU TRAO DỔI Nội dung nghiên cứu 2.1 Vectơ mặt phẳng 2.7.7 Định nghĩa vectơ Vectơ đoạn thẳng định hướng, nghĩa rõ điểm mút đoạn thẳng điểm đầu điểm mút điểm cuối Nếu điểm mút đầu A, điểm mút cuối B Ta kí hiệu vectơ là: ÃB hay a [1], 2.1.2 a Các phép toán Phép cộng vectơ Cho hai vectơ a è Từ điểm A dựng AB=a, BC=b Khi AC gọi tổng hai vectơ a b Kí hiệu a + b [1] b Phép trừvectơ Tổng vectơ a với vectơ đối vectơ b gọi hiệu hai vectơ a b Kí hiệu a-b [1] c Phép nhân vectơ với số Tích vectơ ã với số thực k mộtvectơkíhiệu: k.a xác định sau: Vectơ k^a hướng với a k > 0, ngược hướng với a k < 0; độ dài: |fc.a| = |fc|.|ã| [1], d Tích vơ hướng hai vectơ Tích vơ hướng hai vectơ a b số, kí hiệu a-b xác định công thức: a.b = |a|.|ft cos(«,&j [1], 2.1.3 - Một số hệ thức vectơ Hai vectơ a b phương o e R, a = kb - Điểm M chiađoạn AB theotỉsố k * 44- ~MA = k MB Khi với điểm o tacó: OM = 0A ~ k0B 1-k - Cơng thức hình chiếu: Tích vơ hướng hai vectơ a ĩ) tích vơ hướng vectơ với hình chiếu ĩ' vectơ b đường thẳng chứa vectơ a Nghĩa 77 = 7.7* (hình vẽ) - Cho tam giác ABC có G trọng tâm tac0:G4 + GB + GC = 0;MA + M5 + MC = 3MG, với M điểm bất kì; GA2 + GB2 + GC2 = —^7—17 i I í i - Cho tam giác ABC gọi H, ỡ trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ta có OH = OA + ỠB + Ỡc[1] ! - Cho tam giác ABC gọi tâm đường tròn nội tiếp tam — I giác ta có: aJA + bJB + cJC = o; a.IA2 + b.IB2 + c.IC2 =a&c[1] —— > h i b b _ - Cho tam giác ABC ta có: CAJLB = -(a2 -b2 -C2} 2' > Thật vậy: CA + AB = CB^ (cấ + ấb) = Cb" o CA2 + AB2 + 2CA.AB = CB2 < => b2 + c2 + 2CA.AB = a2 o CA.AB = |(a2 - b2 - c2) Chứngminhtươngtựtacó: AB.BC = |(&2 - a2 - c2) ịà BCCA = ỉ(c2 - a2 - 62) - Cho tam giác ABC M điểm tuỳ ý Ta có: MA.MC = |(am2 + MC2 -AC2} Thậtvậy: MA-MC = CA=> (mA-~Mc}2 =CA & MA2+MC2-2MAMC = CA2 Tbánn co/pnpp @IÃOBỌC Tháng 05/2022 27 NGHICN CỨU TRAO ĐỔI = "(am2 + MC2 -AC2} Chứng MBMC = I (mb2 + MC2 - BC2) o MA.MC minh tương tự ta có: MA.MB = "(am2 + MB2 - AB2} 2.2 ứng dụng vectơ mặt phẳng để giải số dạng toán thi HS giỏi 2.2.1 a ứng dụng vectơ mặt phẳng giải dạng tốn Hình học Dạng chứng minh ba điểm thằng hàng Khi sử dụng phương pháp phổ biến tiên để ơclit, tổng góc 18Oo, đường đặc biệt tam giác đồng quy, để chứng minh ba điểm thẳng hàng HS thường gặp nhiều khó khăn phải vận dụng tổng hợp nhiều kiến thức hình học đặc biệt phải vẽ thêm đường phụ Công cụ vectơ cho ta cách tiếp cận đơn giản đưa toán chứng minh ba điểm thẳng hàng vể chứng minh hai vectơ phương, điều đặc biệt lời giải phép biến đổi vecơ nên ta cẩn dùng hình vẽ gốc khơng cần vẽ thêm đường phụ, chí số trường hợp ta cịn khơng cần dùng tới hình vẽ - Phương pháp: Để chứng minh ba điểm A, B, c thẳng hàng phương pháp vectơ ta sử dụng hai cách sau: A, B, c thẳng hàng Ãc = kBC / với ke R; A, B, c thẳng hàng Õc = mÕÃ ị nÕB ' với m + n = điểm tùy ýThậtvậy:Ta có 0C = mÕÃ + nOB &ÕC = mÕA + (1 - m)ÕB OC-OB = m\OA - ỠB o BC = mBA o A, B, c thẳng hàng - Ví dụ 1: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O; r) Các đường thẳng qua A, B, c song song với cắt đường tròn (ơ; #) lẩn lượt Aí, Bv C2 Chứng minh trọng tâm tam giác ABc' BCAV CAB' thẳng hàng Chứng minh: Gọi Gv G2, G3 trọng tâm tam giác ABCV BC\, CAB, ta co: ỠG1 ==|(ƠẤ + ƠB + ƠC'1)'Ỡ^ = |(ÕB + ỠC: + ÕÃ’)' Õ^ = |(ỠG + Õ4 + Õ^j' Ta có Gfii = 0Gỵ - 0G2 = —Tương tự ta có: Gfi3 = + 0C, -oc }-{bby + 44 2?b( phương => 3m e R : 44 = otBb( , CC, V phương => 3n G B : GC\ = nAíA Gfií = + nd = o\ => GìGi = rc + l G2G m+ỉ / + w' Ồ GA = I(M + md = \ ' Ó => G2G, Q Q phương 23 =► Các điểm Gp G2, G3 thẳng hàng Nếu sử dụng kĩ hình học thơng thường tốn khơng đơn giản với HS hình vẽ phức tạp.Trong lời giải phương pháp vectơ đơn giản ngắn gọn, chí ta khơng cần dùng tới hình vẽ b Dạng tốn chứng minh hai đường thẳng vng góc Nhiều tốn chứng minh vng góc phương pháp hình học tổng hợp phức tạp lại giải ngắn gọn phương pháp vectơ 28 NGHIỂN cữu Tíino ĐỔI - Phương pháp: a ±b o AB.CD = 0/ với AB, CD vectơ phương hai đường thẳng a b ta nên chọn AB, CD vectơ nằm hai đường thẳng a b - Ví dụ 2: Cho tứ giác ÀBCD có đường chéo cắt Gọi I, J trung điểm AD BC Gọi H, K trực tâm tam giác OAB OCD Chứng minh: HK1IJ Chứng minh: Ta có Ta CĨ: 2IJ.HK u = IA + AC + CJ Tj = Td + DB^J _ ^^ = ^ + BD- = hk(ac+bd} HĨỈÃC + HKJ3D - = [hb + bd + dkỴãc + (ha + ac + ck^^db ĨĨBÃC + BDAC + DKAC + HAJJB + IcroB + CKJJB - = BDMC + ÃCĨĨB = Ac(bD + DB^ = Tc.o = => HKDIJ c Dạng tốn tìm tập hợp điểm Đây dạng tốn khó hình học, nhiên giải phương pháp vectơ lại đơn giản - Phương pháp: Dựa sở kết quả: Nếu AM = ka (với A điểm cố định, ke R, a vectơ cố định) quỹ tích M đường thẳng qua A song song với phương a; Nếu pA/j = R (với A điểm cố định R số dương khơng đổi) quỹ tích M đường trịn tâm A, bán kính R; Nếu MA = \mb (với A, B hai điểm cố định) quỹ tích M đường trung trực đoạn thẳng AB; Nếu Am| = Pl (với A diêm định V vcctơ khơng đoi) thí quỹ tích M đường đường trịn tâm A, bán kính R = Pl -V/dụSíChotứgiác ABCD Tìmtậphợpcácđiểm M thỏa mãn hệthức: MA2 + MB2 + MC2 + MD2 = k2 với k số thực cho trước Giải: Gọi I điểm thỏa mãn hệ thức IA + IB + IC + ID = 6, ta có điểm I thoả mãn hệ thức điểm cố định Ta có MA2 + MB2 + MC2 + MD2 = k2 o (mi + IAj + (mi + IB^ + (mi + IC^2 + (mi + id}2 = k2 & 4MI2 + IA2 + IB2 + IC2 + ID2 + 2M7^M + IB + ĩc + 7d} = k2 4MI2 + IA2 + IB2 + IC2 + ỈD2 = k2 k2-(lA2+ IB2 + IC2 + ID2) & MI2 = - — - — + Nếu k2 - (ia2 + IB2 + IC2 + ID2} < ok2 < IA2 + IB2 + IC2 + ID2 => không tồn điểm M thoả pãn toán + Nếu k2 - (/X2 + IB2 + IC2 + ro2) = k2 = IA2 + IB2 + IC2 + ID2 MI = => M = ị + Nếu k2 - (lA2 + IB2 + ro2 + ro2) > o k2 > IA2 + IB2 + IC2 + ro2 Jk2 — ilA2 + IB2 + ro2 + ID2} => MI = i Tháng 02/2022 H ưu/ HỘI 29 I InGHKN CỨU TRAO ĐỔI Jk2- ÍIA2 + IB2 + IC2 + ID2} => Tập hợp điểm M đường trịn tâm I bán kính R = J - - - - Ta thay đổi kiện toán cho tứ giác ABCD cách sau: Cho bốn điểm A, B, c, D cố định; Cho hệ n điểm cố định Aư A2, A3, An d Dạng toán chứng minh đằng thức, chứng minh tính chất hình học tính tốn Khi gặp tốn chứng minh hệ thức chứa bình phương độ dài đoạn thẳng, tích độ dài đoạn thẳng ta chuyển hệ thức vể dạng chứa bình phương vơ hướng vectơ hay tích độ dài vectơ tương ứng Tiếp theo vận dụng kiến thức vectơ để giải toán Phươngpháp-.ĩà sử dụng kiến thức sau để chuyển từ tốn hình học sang tốn vectơ: - AB2 = Ãỉr, AB.CD = |ấb|.|cp|z với A, B, c, D điểm bất kì; AB.CD = Zb.CD< CD hai vectơ hướng (Thật vậy: AB.CD = |ấb|.|cỡ|.cos(ấb,CdÌ = AB.CD.cosữ" = AB.CD); AB.CD = -AB.CD, AB.CD hai vectơ ngược hướng (Thật vậy: X50 = pB|.|cz)|.cospl.B,C'£>j = 4B.C'£>.cosi800 = -AB.CD) - Ví dụ 4: Cho tam giác ABC, đặt AB = c, BC = a, CÀ = b Gọi I tâm đường tròn nội tiếp tam giác Chứngminhỉ£ + ^ + Zạ = be ac ị ab Chứng minh: Vì I tâm đường trịn nội tiếp tam giác ABC ta có: c/ a.IA + b.IB + c.IC = => (aJA + bJB + cJC\ =0 K ■ MV ' ' , _ _ , s a2.IA2 + b2.IB2 + c2.IC2 + 2abIA.IB + 2bcIB.IC + icaIC.IA = (1) Ta CÓ Ta - ĨB = Ã4 \ a [T - zsj2 = c2 o 2ĨÃÃB = IA2 + IB2 - c2 ■ Tương tự ta có 2IBJC = IB2 + IC2 - a2 2ĨỠ.Ã4 = IC2 + IA2 - b2 Ta có (1) a2.IA2 + b2.IB2 + c2.IC2 + ab(lA2 + IB2 - c2) + bc(lB2 + IC2 - a2) + caịic2 + IA2 - &2) = (a + b + c)(a.IA2 + b.IB2 + c.IC2) = abc(a + + c)o^ + — + e = Dạng toán chứng minh bất thức cực trị hình học Rất nhiều tốn cực trị hình học bất đẳng thức hình học giải trực tiếp phương pháp vectơ kết hợp phương pháp vectơ với phương pháp khác Những toán dạng giải phương pháp vectơ thường cho lời giải ngắn gọn ấn tượng - Phương pháp: Để vận dụng phương pháp vectơ cho dạng toán phải nấm kiến thức sau: Quy tắc ba điểm bất đẳng thức tam giác; Sử dụng bất đẳng thức ý trường hợp dấu "="xảy ra; Các bất đẳng thức vectơ bản: + a pl >|a.&| Đẳng thức xảy a, b phương + a + l&l > |a + &| Đẳng thức xảy a,ĩ hướng + PI + PI > p -K| Đâng thức xảy a,ĩ ngược hướng + l^l + |a21 + + pn| > p, + a2 + + an| Đẳng thức xảy tất vectơ hướng với - Ví dụ 5: Cho tam giác ABC, đặt AB = c, BC = a, CA = b.Chứng minh vớimọi điểm M ta có: a.MA2 + b.MB2 + c.MC2 > abc 30 ỠIÁODUC _ , „ 02/2022 ì -> NGHICN CỨU TRAO DOI Chứng minh: Gọi ỉ tâm đường trịn nội tiếp tam giác ABC ta có: a-MA2 + b.MB2 + C.MC2 = u[mỉ I Ãp +b[ÃĨĨ + 7bỊ +c{mỉ + ĨcJ A = (a + b + c) MI2 + a.IA2 + b.IB2 + c.IC2 + 2MI p.L4 + bJB + cJC j JZ'TTX I tâm đường trịn nội tiếp tam giác ABC ta có: Vi m \ c ỉ /\ \ / a.IA + b.IB + c.IC = • Nên -Mx có: ta a.MA2 + b.MB2 + c.MC2 = (a + b + c).MI2 + a.IA2 + b.IB2 + c.IC2 (*) ""’c a B Vì I tâm đường trịn nội tiếp tam giác ABC ta có: a.IA2 + b.IB2 + c.IC2 = abc ■ Do (*) o a.MA2 + b.MB2 + c.MC2 = (a + b + cỊ.MI2 + abc Mà (a + b + cỴMl2 > => a.MA2 + b.MB2 + c.MC2 > abc, dấu "="xảy MI = nghĩa M trùng với I 2.2.2 a ứng dụng vectơ mặt phổng giải toán Đại số Dạng toán chứng minh bất đẳng thức đại số Bất đẳng thức chủ đề quan trọng toán học Để làm bất đẳng thức yêu cầu nhiều kĩ biến đổi, sử dụng hợp lí bất đẳng thức bất đẳng thức Cauchy, bất đẳng thức Bunhiacơpxki, Tuy nhiên nhiều tốn số giải phương pháp vectơ Lời giải phương pháp vectơ thường đơn giản ngắn gọn - Phương pháp: Một số kiến thức vectơ mà ta sử dụng để chứng minh bất đẳng thức cho hai vectơ a, b ta có: a I + & > a + &I (thường gọi bất đấng thức tam giác), đẳng thức xảy o a, b hướng; Cho ba vectơ a, b, C ta có: p I + l&l + |c| > |a + b + c|, đẳng thức xảy o a,b,c hướng (Thật vộy:|al + l&l + |c| = ÍPI + |&|j + |c| > |a + &| + |c| > a + & + c|, đẳng thức xảy { - - - - hướng ứ - - , , a + b c hướng r , ' ' , I- -I l-l -I «s>a,/>,ccùnghướnị);ChohaĩveCtơ a,b ta CÓ: \a.b < a b Đẳng thức xảy I |cosp, í>j| = (Thật vậy: |a.6| = ||a|.|&|.cosp Đảng thứcxảyra o |cosp, III ■ = PI.I&j.ịcos^a, < |a|.|&| = o a, b phương) Ví dụ 6: Cho X, y, z > Chưng minh bất đẳng thức sau: - yjx2 + xy + y2 + yỊy2 + yz + z2 + yjx2 + xz + z2 > 5/3 Ịz + y + 2) (1) > vpi + y + Chứng minh: Ta có (1) o _ A A ■, _*.A z-1 r- Z.Z U yo 22’ £ Vo 22’ , Trên hệ trục toạ độ Vxạị, xét vectơ: a= x + ^ ,^-y :b= y + ~-,~-z\c= z + = ,^x Ta có 2 Ta ln có 2 V2 Tháng 02/2022 ộVhọÍ 31 NGHlêN CỨU TRAO oổl +> ỵ/x*12345+ xy + y2 + ựy2 + yz + z2 + Vz2 + xz + z2 > Vã(z + y + z), dấu "="xảy Ị> a, b, C hướng X = y = z Bài toán giải bất đẳng thức phụ, nhiên lời giải theo phương pháp vectơ đơn giản có cách tiếp cận đưa biểu thức dấu bậc hai thành tổng hai bình phương sau đưa chúng thành mơđun vectơ b Chứng minh hệ thức lượng tam giác Nhiều hệ thức lượng giác, bất đẳng thức lượng giác chứng minh đơn giản phương pháp vectơ - Phương pháp: Sử dụng cơng thức tích vơ hướng hai vetơ: "ai = |a|.|fc|.cos(a,ft) Trong ta chọn cặp vectơ a, b để có góc chúng góc xuất giả thiet toán Trong số tốn ta cần sử dụng cơng thức lượng giác để biến đổi từ sina; tana; cota cosa để phù hợp với công thức thức tính tích vơ hướng hai vetơ - Vỉ dụ 7: Cho tam giác ABC Chứng minh với X, y, z e R ta có: A -ị /X X2 + y2 + z2 > 2xy cos c + 2yz cos A + 2zx cos B ! Chứng minh: Trên cạnh AB, BC, CA tam giác ABC đặt vectơ T, J* ,~k nhưhình vẽ với j ỉ I = I j I = I k I = Ta có: Vi, y, z e R (r i + y j + z k j > —»2 —*2 —.2 / B — —» —♦ — X J c —♦ — X2 i + y2 j + z2.k + 2xj/ i j + 2yz j k + 2zx k i > 44- X2 + y2 + z1 + 2xy cos (tt — c) + 2yz cos (tt — A ) + 2zx cos (tt — B j > X2 + y2 + z2 > 2xy cos c + 2yz cos A + 2zx cos B (điều phải chứng minh) Trong kết X2 + y2 + z2 >2rycosC + 2yzcosA + 2zxcosB: Nếu thay x = y = z ta toán quen thuộc sau: cos.4 + cosB + cosC