báo cáo bài tập lớn môn giải tích đề tài Ứng dụng đạo hàm, vi phân để giải một số bài toán trong giải tích

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN MÔN GIẢI TÍCH (2021-2022) Đề tài 4: “Ứng dụng đạo hàm, vi phân để giải số tốn giải tích” GVHD: Ths Đậu Thế Phiệt Lớp: L24 Nhóm số: 12 TP HỒ CHÍ MINH, tháng 12 năm 2021 ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN MÔN VẬT LÝ ĐỀ TÀI “Ứng dụng đạo hàm, vi phân để giải số tốn giải tích” GVHD: Ths Đậu Thế Phiệt Lớp: L24 Nhóm số: 12 Danh sách thành viên: Họ tên MSSV Lê Minh Hồng (nhóm trưởng) 2113398 Hồ Quang Thiện 2114866 Lê Khánh Huy 2110197 Nguyễn Chí Trung 2115117 Phạm Tiến Đạt 2113156 TP HỒ CHÍ MINH, tháng 12 năm 2021 MỤC LỤC DANH MỤC HÌNH ẢNH iii DANH MỤC BẢNG BIỂU iv TÓM TẮT CHƯƠNG MỞ ĐẦU CHƯƠNG CƠ SỞ LÝ THUYẾT CHƯƠNG MATLAB CHƯƠNG KẾT QUẢ VÀ KẾT LUẬN 13 4.1 Kết 13 4.2 Kết luận 13 TÀI LIỆU THAM KHẢO 14 PHỤ LỤC (nếu có) 15 ii DANH MỤC HÌNH ẢNH Ví dụ Hình 1.1………………………………………………………………………………1 Hình 1.2……………………………………………… …………………………….2 iii DANH MỤC BẢNG BIỂU Ví dụ: Bảng 1.1…………………………………… …………………………………………1 Bảng 1.2……………………………………………… ………………… ………….2 iv TÓM TẮT Tóm tắt đề tài: I - Giải tích hàm số biến số môn học quan trọng sinh viên cá ngành khoa học tự nhiên kỹ thuật, suốt chương trình thầy xây dựng đề mục để sinh viên dễ dàng tiếp thu kiến thức, có chương đạo hàm vi phân hàm số biến số chương quen thuộc mà tìm hiểu từ cấp ba Các toán báo giúp bạn hiểu rõ khái niệm đạo hàm vi phân hàm số biến số đồng thời ứng dụng công cụ Matlab để trình bày kết cách nhanh chóng giúp nâng cao khả lập trình Matlab đưa đến cách nhìn khách quan tốn - Trong học phương trình chuyển động phương trình mơ tả hành vi hệ vận động chuyển động hàm số theo thời gian Phương trình quỹ đạo chất điểm chuyển động phương trình mơ tả điểm mà chất điểm qua, gọi quỹ đạo hay quỹ tích Phương trình quỹ đạo nói đến mối liên hệ thành phần tọa độ mà khơng nói đến yếu tố thời gian chuyển động Phương trình quỹ đạo tìm từ phương trình chuyển động, sau tích phân theo thời gian để loại bỏ tham số thời gian - Trong chuyển động trịn đều, vận tốc có độ lớn không đổi, hướng thay đổi, nên chuyển động có gia tốc Gia tốc chuyển động trịn ln hướng vào tâm quỹ đạo nên gọi gia tốc hướng tâm II Hướng giải ý nghĩa toán: - Hướng giải đề tài: Sử dụng kiến thức chương đạo hàm vi phân, tìm hiểu thêm cơng thức hình thang, cơng thức euler Qua giải tốn Đồng thời sử dụng kiến thức lập trình matlab để biểu diễn hình học phương trình chuyển động, phương trình tiếp tuyến,… - Ý nghĩa toán: Bài toán giúp hiểu vi phân, đạo hàm, biết thêm số cơng thức giải tích, cao khả vận dụng kiến thức để giải tốn thực tế Bên cạnh giúp có nhìn trực quan thơng qua giải tốn biểu diễn phương trình tốn học cơng cụ hỗ trợ Matlab CHƯƠNG MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài: - Giải tích mơn học có tính ứng dụng vào đời sống thực tiễn cao Vì thế, tốn thực tế đưa vào chương trình dạy học ngày nhiều để tăng tính thực tiễn cho học sinh sinh viên Quá trình giải tập yêu cầu vận dụng lý thuyết vào việc giải nhiệm vụ học tập cụ thể, qua rèn luyện khả vận dụng tri thức, rèn luyện tính kiên trì, tính chủ động sáng tạo người học - Các kĩ tính tốn, sử dụng phần mềm ngày ứng dụng nhiều vào trình giải tập, đặc biệt phần mềm lập trình MATLAB Đây công cụ thông dụng hiệu cho sinh viên Do chúng tơi lựa chọn đề tài “Ứng dụng đạo hàm vi phân để giải số tốn giải tích” giải toán đề MATLAB để nghiên cứu trình bày đưới - Ví dụ thực tiễn số toán xe máy chuyển động kim đồng hồ công-tơ-mét xe máy di chuyển số vận tốc xe máy đạt kim tốc độ tượng trưng cho đạo hàm quãng đường xe theo thời gian thời điểm Khi xe dừng lại, kim tốc độ 0, tức quãng đường khơng tăng khơng giảm, có nghĩa xe đứng yên Mục tiêu để tài: - Áp dụng kiến thức giải tích đạo hàm vi phân học vào việc giải tập đề ban đầu - Hướng đến việc tiếp xúc, sử dụng thuật tốn, chương trình matlab để dễ dàng việc giải tốn trình bày tốn cách trực quan dễ tiếp cận: + Đối tượng: Các khái niệm đạo hàm, vi phân, phương pháp giải tích; Cách sử dụng matlab để hiểu thuật toán , cách vẽ đồ thị , quỹ đạo + Phạm vi: Bài báo cáo trình bày sơ lược kiến thức phần “Đạo hàm, vi phân hàm số theo biến số”, tập trung chủ yếu khái niệm, cơng thức, loại phương trình bản, kiến thức giải tích có tương quan đến việc xử toán nâng cao kĩ lập trình Matlab CHƯƠNG CƠ SỞ LÝ THUYẾT Khái niệm đạo hàm biến: I - Trong giải tích tốn học, đạo hàm hàm số đại lượng mô tả biến thiên hàm điểm Đạo hàm khái niệm giải tích Tức giới hạn có tỉ số số gia hàm số số gia đối số 𝑥0 , số gia đối số tiến dần tới 0, gọi đạo hàm hàm số 𝑦 = 𝑓 (𝑥) điểm 𝑥0 Đạo hàm hàm số 𝑦 = 𝑓 (𝑥) ký hiệu 𝑦′(𝑥0) 𝑓 ′ (𝑥0): 𝑓 (𝑥) − 𝑓 (𝑥0 ) 𝑥→𝑥0 𝑥 − 𝑥0 𝑓 ′ (𝑥0 ) = lim ∆𝑦 ∆𝑥→𝑜 ∆𝑥 𝑦 ′ (𝑥0 ) = lim + Số gia đối số 𝛥𝑥 = 𝑥 − 𝑥0 + Số gia hàm số 𝛥𝑦 = 𝑦 − 𝑦0  Nói cách dễ hiểu đạo hàm delta y chia delta x với delta x nhỏ - Giá trị đạo hàm điểm 𝑥0 thể hiện: + Chiều biến thiên hàm số (đang tăng hay giảm, xem đạo hàm dương + hay âm -) + Độ lớn biến thiên (ví dụ: đạo hàm => delta y tăng delta x) - Trong q trình tính đạo hàm cịn xuất khái niệm đạo hàm bên giá trị x tiến đến bên trái bên phải giá trị 𝑥0 + Đạo hàm bên trái hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) 𝑥0 ∆𝑥 → 0− (tức 𝑥 → 𝑥0 nhỏ 𝑥0 ) 𝑓 ′ (𝑥0− ) = lim+ 𝑥→𝑥0 𝑓(𝑥)−𝑓(𝑥0 ) 𝑥−𝑥0 + Đạo hàm bên phải hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) 𝑥0 khi ∆𝑥 → 0+ (tức 𝑥 → 𝑥0 lớn 𝑥0 ) 𝑓 ′ (𝑥0+ ) = lim− 𝑥→𝑥0 𝑓(𝑥)−𝑓(𝑥0 ) 𝑥−𝑥0 - Hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) có đạo hàm 𝑥0 𝑓 ′ (𝑥0 ) = 𝑓−′ (𝑥0 ) = 𝑓+′ (𝑥0 ) - Đạo hàm cịn gồm có nhiều cấp đạo hàm cấp một, đạo hàm cấp hai,… II Khái niệm vi phân hàm biến: - Phép toán để tính đạo hàm gọi vi phân hay nói cách khác vi phân q trình tính đạo hàm dùng để khảo sát tốc độ thay đổi hàm số biến số thay đổi - Vi phân cấp hàm số 𝑦 = 𝑓 (𝑥) điểm 𝑥0 𝑑𝑓(𝑥0 ) = 𝑓 ′ (𝑥0 )𝑑𝑥 - Ngoài giống đạo hàm vi phân gồm nhiều cấp vi phân cấp một, vi phân cấp hai,… III Cơng thức hình thang: - Cơng thức hình thang hay cịn gọi cơng thức gần tích phân cơng thức dùng để tính tích phân hàm biểu diễn nguyên hàm hàm sơ cấp thông thường - Công thức: ∫𝑎𝑏 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ≈ ℎ2 [𝑓(𝑎) + 𝑓(𝑏) + ∑𝑛−1 𝑖=1 𝑓 (𝑥𝑖 )] Trong đó: ℎ = 𝑏−𝑎 𝑛 với n số đoạn chia đoạn [𝑎, 𝑏] 𝑥0 = 𝑎, 𝑥𝑛 = 𝑏, 𝑥𝑖 = 𝑥0 + 𝑖ℎ, 𝑖 = ̅̅̅̅̅ 1, 𝑛 Vấn đề sai số: ∈< 𝑀(𝑏−𝑎) 12 × ℎ2 𝑀 = max|𝑓 ′′ (𝑥)| [𝑎,𝑏] IV Công thức Euler: - Trong tốn học có nhiều cơng thức quan trọng ảnh hưởng đến nhiều tốn có cơng thức mệnh danh cơng thức tốn học đẹp bao hàm nhiều ý tưởng toán học sâu sắc bao hàm triết lý vũ trụ - Cụ Công thức Euler công thức tốn học ngành giải tích phức, xây dựng nhà toán học người Thụy Sĩ Leonhard Euler Công thức mối liên hệ hàm số lượng giác hàm số mũ phức Công thức Euler: 𝑒 𝑖𝑥 = cos 𝑥 + 𝑖 sin 𝑥 Trong đó: + Số e số logarit tự nhiên + i đơn vị số phức + Cos, sin hàm số lượng giác cosin sin - Trục tọa độ biểu diễn công thức euler: V Bài tốn: Tìm hiểu đề bài: a) Bài tốn 1: Đề bài: Cho đường cong tham số { 𝑥 (𝑡 ) = −2𝑡 + 𝑦(𝑡 ) = 𝑡 − 4𝑡 − Viết phương trình đường tiếp tuyến với đường cong điểm tự cắt Sử dụng Matlab Python, minh họa đường cong tiếp tuyến điểm tự cắt b) Bài tốn 2: Đề bài: Một xe di chuyển cung đường có dạng đường cong y = xex Tại thời điểm, vệt sáng trung tâm đè xe xem đường tiếp tuyến cung đường, tiếp điểm vị trí đầu xe Bên đường có tượng tọa độ (0.35, 0.37) (km) Giả sử xe chạy với vận tốc không đổi 60 km/h Mất để xe di chuyển từ điểm A có hoành độ x = −0.6 (km) đến điểm B mà vệt sáng trung tâm chiếu thẳng vào tượng - Tìm hiểu cơng thức hình thang để tính gần tích phân hàm số - Tính quãng đường AB phương pháp hình thang c) Bài tốn 3: Đề bài: a) Tìm hiểu cơng thức Euler để xấp xỉ nghiệm phương trình vi phân bậc với điều kiện đầu b) Viết chương trình sử dụng phương pháp Euler, tìm giá trị 𝑦(1) với 𝑦(𝑥) nghiệm phương trình vi phân điều kiện đầu 𝑑𝑥 + 3𝑥 𝑦 = 6𝑥 , 𝑑𝑦 𝑦 (0) = với (i) h=1 (ii) h=0.1 (iii) h = 0.01 (iv) h =0.001 (c) Chứng minh y = + e−x3 nghiệm xác phương trình Tìm sai số phương pháp Euler tính y(1) với bước nhảy h Vẽ hình minh họa Hướng giải toán: a) Bài toán 1: - Đạo hàm cấp phương trình tham số theo quy tắc đạo hàm tham số - Sử dụng công cụ Matlab biểu diễn phương trình tham số phương trình đường tiếp tuyến điểm tự cắt b) Bài toán 2: - Đạo hàm cấp phương trình chuyển động xe thu phương trình tiếp tuyến phương trình vệt sáng trung tâm - Dựa vào tọa độ tượng tìm tạo độ xe thời điểm vệt sáng trung tâm chiếu thẳng vào tượng - Dựa vào cơng thức hình thang giải toán c) Bài toán 3: - CHƯƠNG MATLAB Trong đề tài chúng em chủ yếu sử dụng cộng cụ Symbolic Math Toolbox có MATLAB Đây công cụ mạnh MATLAB hỗ trợ việc tính tốn biểu thức tốn học đạo hàm, tích phâm, vi phân,… I Các câu lệnh Matlab sử dụng: Trước sâu vào dòng lệnh, ta cần phải biết đối tượng đặc trưng (symbolic) ? Sự khác biệt đối tượng th ông thường (biến số) với đối tượng đặc trưng chức chúng ? - Symbolic thay trị số/giá trị ký tự (gọi đối tượng đặc trưng sym) Để biến đổi số, biến hay đối tượng thành kiểu Symbolic ta sử dụng cách sau: >> x = sym(‘1/3’) >> a = sym(‘a’) >> z = sym(A) >>syms ( ‘b’, ‘c’, ‘d’ ) >>syms b c d Lưu ý: Trong ví dụ số 4, syms (‘b’, ‘c’, ‘d’) tương đương b = sym (‘b’) ; c = sym (‘c’) ; d = sym (‘d’) Và ví dụ số 4, số tương đương nhau, bạn thấy ví dụ s ẽ dễ thực - Symbolic giúp tính tốn biểu thức tốn học phức tạp cách sử dụng đạo hàm, tích phân, khai triển Taylor, giải phương trình vi phân,…bằng cách sử dụng biểu thức có chứa đối tượng tốn học (sym) thay cho số, hàm, toán tử, b iến - Sau số hàm dùng cho đề tài : Bảng hàm sử dụng đề tài Tên hàm Chức diff Đạo hàm fplot Vẽ đồ thị subs Thay biến số sym thành trị số grid on Mở lưới vẽ đồ thị disp Xuất liệu hình Hàm diff - Là đạo hàm cấp k theo biến Cú pháp: >> diff( f, x, k ); Trong : f - hàm theo biến x (nếu hàm có biến bỏ qua tham số x) x - ấn số k - cấp đạo hàm Ví dụ : Tìm đạo hàm cấp hàm số f = x3+2x+5x3+2x+5 >> syms x; >> f = x^3 + 2*x + 5; >> diff (f) ans = 3*x^2 + 2 Hàm fplot – Vẽ đồ thị 2D - Dùng để vẽ đồ thị Cú pháp: >> syms x >> y = x^2 +5; >> fplot (x , y , [-10 10] ) 10 Hàm subs - Dùng để đổi biến số kiểu sym thành kiểu trị số Cú pháp: >> y = x^2 + 5; >> subs ( y , x , ) % thay x = vào biểu thức ans= 11 Hàm grid on - Dùng để mở lưới cửa sổ figure vẽ đồ thị Cú pháp: >> grid on Có lưới Khơng có lưới Hàm disp - Dùng để xuất liệu hình Command Window từ file.m Cú pháp: disp (‘ Du lieu , sentence,…’); 12 II Thuật toán code: CHƯƠNG KẾT QUẢ VÀ KẾT LUẬN I Kết - SV trình bày minh hoạ kết đạt vài trường hợp nhận xét, diễn giải kết đạt được? - Ví dụ như: Hình 4.1 điều gì,……… Hình 4.2 điều gì, vậy, nhận xét, bình luận kết thu Hình 4.1 Kết chạy từ cửa sổ command window Hình 4.2 Kết quỹ đạo chuyển động chất điểm II Kết luận Kết luận nội dung thực đề tài này? 13 Ví dụ: Đề tài hỗ trợ xác định quỹ đạo chuyển động ném xiên trọng trường có lực cản mơi trường Với phương pháp sử dụng phần mềm Matlab giúp thuận tiện dễ dàng việc giải tốn tương tự mà khơng thể giải tay TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] [2] [3] [4] Ví dụ: [1] Lỗ đen vũ trụ Truy cập 25/12/2012/http:// Wikipedia.com [2] Hồ Phan Minh Đức & cộng (2010), Nghiên cứu tình hình vận dụng chế độ kế tốn doanh nghiệp địa bàn tỉnh Thừa Thiên Huế, Tạp chí Khoa học Đại học Huế, Tập 62, Số 28, tr 45 – 55 [3] … 14 PHỤ LỤC Đoạn code chúng em sử dụng ứng dụng MATLAB: syms x y t; % tạo biến kiểu symbolic x = 3*t^2 - (4/3)*t^3; % biến x kiểu symbolic y = 8*t; % biến y kiểu symbolic v = diff(y) / diff(x); % hàm diff nghĩa đạo hàm a = diff(v); % đạo hàm vận tốc (v) r = (v^2)/a; % bán kính cong fplot(x,y,[0 5]); % vẽ quỹ đạo từ t=0->t=5 grid on; % tạo lưới đồ thị disp('Ban kinh cong quy dao tai t=1(s) la: '); % xuất dịng chữ hình disp(subs(r,1)); % xuất kết hình 15