BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN MÔN GIẢI TÍCH 1 ĐỀ TÀI ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

Trang 1

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

SINH VIÊN THỰC HIỆN MÃ SỐ SINH VIÊN Phân công

Trần Danh Quang 2312810 Bài tập, tổng hợp thông tin

Trang 2

Mục lục

LỜI CẢM ƠN 1

LỜI MỞ ĐẦU 2

ĐỀ TÀI CỦA NHÓM 3

ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG CÁC LĨNH VỰC ĐỜI SỐNG 4

1 Khái niệm tích phân: 4

2 Những ứng dụng nào của tích phân trong đời sống: 4

Trang 3

LỜI CẢM ƠN

Đầu tiên, cho chúng em gửi lời cảm ơn chân thành đến trường Đại học Bách Khoa - ĐHQG TPHCM đã đưa môn Giải tích 1 vào chương trình giảng dạy Đặc biệt chúng em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến giảng viên bộ môn là cô Đoàn Thị Thanh Xuân đã dạy dỗ, truyền đạt cho chúng em kiến thức quý báu trong suốt thời gian học tập và rèn luyện vừa qua Sau những buổi học chúng em thấy bản thân mình tư duy hơn, học tập càng thêm nghiêm túc và hiệu quả Đây chắc chắn là những tri thức quý báu, là hành trang cần thiết cho chúng em sau này

Bộ môn Giải tích 1 là một môn học vô cùng hữu ích, có tính thực tế cao, đảm bảo cung cấp đủ nhu cầu thực tiễn cho sinh viên Tuy nhiên, do kiến thức chúng em còn nhiều hạn chế cũng như còn bỡ ngỡ nên mặc dù đã cố gắng hết sức nhưng chắc chắn bài tập lớn Giải tích 1 lần này khó có thể tránh khỏi những thiếu sót và vài chỗ còn chưa chính xác Kính mong thầy cô xem xét, góp ý cho Bài tập lớn của chúng em được hoàn thiện hơn

Trang 4

LỜI MỞ ĐẦU

Giải tích 1 là môn học đại cương có tầm quan trọng đối với sinh viên ĐH Bách Khoa TPHCM nói riêng và sinh viên các ngành khối khoa học kỹ thuật – công nghệ nói chung Do đó, việc dành cho môn học này một khối lượng thời gian nhất định và thực hành là điều tất yếu để giúp cho sinh viên có được cơ sở vững chắc về các môn KHTN và làm tiền đề để học tốt các môn khác trong chương trình đào tạo

Ứng dụng của tích phân có vai trò quan trọng trong việc giải quyết các bài toán phức tạp liên quan đến quy hoạch không gian và tính diện tích các hình học, các bài toán liên quan đến kinh tế, sinh học Từ việc tính diện tích hình tam giác, hình chữ nhật đến tính thể tích kính cầu quy hoạch không gian trong kiến trúc, hay tính toán các đại lượng trong lĩnh vực kinh tế, sinh học , tích phân giúp chúng ta hiểu sâu hơn về các khái niệm và áp dụng chúng vào thực tế Việc tìm hiểu và nắm vững ứng dụng của tích phân sẽ giúp bạn giải quyết thành công các bài tập và giúp sinh viên áp dụng kiến thức vào cuộc sống hàng ngày

Sau đây là nội dung đề tài của nhóm

Trang 5

ĐỀ TÀI CỦA NHÓM

TÊN ĐỀ TÀI: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN

1/ Ứng dụng tích phân 2/ Bài tập:

 Tìm và giải 10 bài tập tính toán

 Tìm và giải 20 bài tập ứng dụng tích phân

Link video thuyết trình:

https://drive.google.com/file/d/1AYpUXVNc4UEfJV2fVl8D8FuiqtrMAvPN/view ?usp=sharing

Trang 6

ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG CÁC LĨNH VỰC ĐỜI SỐNG

1 Khái niệm tích phân:

Tích phân là một khái niệm và phạm trù toán học liên quan đến toàn bộ quá trình

thay đổi của một thực thể nguyên thuỷ (thực thể đó thường được diễn tả bằng một hàm số phụ thuộc vào biến số được gọi là nguyên hàm) khi đã xác định được tốc độ thay đổi của nó Tích phân cùng với khái niệm đối lập của nó, vi phân, đóng vai trò là 2 phép tính cơ bản và chủ chốt trong lĩnh vực giải tích

Có thể giải thích về tích phân bằng ngôn ngữ toán học như sau: Cho một hàm f

của một biến thực x và một miền giá trị thực [a;b] Như vậy một tích phân xác định từ

b đến a của f(x), ký hiệu là:

được định nghĩa là diện tích của một vùng trong không gian phẳng xy được bao bởi đồ

thị của hàm f, trục hoành, và các đường thẳng x = a và x = b, sao cho các vùng trên

trục hoành sẽ được tính vào tổng diện tích, còn dưới trục hoành sẽ bị trừ vào tổng diện tích

Ta gọi b là cận trên của tích phân, còn a là cận dưới của tích phân

2 Những ứng dụng nào của tích phân trong đời sống:

1 Tính diện tích: Tích phân đóng vai trò quan trọng trong việc tính diện tích của một

hình dạng Ví dụ, khi đo diện tích của một miếng đất, ta có thể sử dụng tích phân để tính toán diện tích chính xác

2 Tính thể tích: Trong lĩnh vực hình học không gian, tích phân được sử dụng để tính

thể tích của các hình dạng như hình trụ, hình cầu, và các hình dạng phức tạp khác Việc tính toán thể tích này có thể giúp trong việc xây dựng công trình, lập kế hoạch vận chuyển, và tối ưu hóa không gian sử dụng

Trang 7

3 Ứng dụng trong vật lý: Tích phân được sử dụng rộng rãi trong vật lý để tính toán

đường đi, tốc độ và gia tốc theo thời gian Ví dụ, trong quá trình di chuyển, ta có thể sử dụng tích phân để tính toán quãng đường đã đi, vận tốc trung bình, và gia tốc trung bình

4 Ứng dụng trong kinh tế học: Trong lĩnh vực kinh tế học, tích phân có thể được sử

dụng để tính toán giá trị của các biến số liên quan đến thời gian Ví dụ, tích phân có thể được sử dụng để tính toán tổng lợi nhuận, tổng doanh thu, hoặc tổng số lượng hàng hóa trong một khoảng thời gian cụ thể

5 Ứng dụng trong xác suất thống kê: Trong lĩnh vực xác suất thống kê, tích phân có

thể được sử dụng để tính toán xác suất của các sự kiện xảy ra trong một khoảng giá trị cụ thể Ví dụ, tích phân có thể được sử dụng để tính toán xác suất của một biến ngẫu nhiên rơi vào một khoảng giá trị xác định

Đây chỉ là một số ứng dụng cơ bản của tích phân trong đời sống Tích phân còn có rất nhiều ứng dụng khác trong các lĩnh vực khác nhau như công nghệ, y học, kỹ thuật, và nhiều lĩnh vực khác

Trang 12

CÁC BÀI TẬP ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN

Câu 1: Một lực 40 N được dùng để giữ một lò xo kéo giãn ra từ độ dài tự

nhiên 10 cm đến độ dài 15 cm Hỏi bao nhiêu công được làm để kéo giãn lò xo từ 15 cm đến 18 cm?

Biết lực cần dùng giữ lò xo giãn (nén) một đoạn x là f x( )kx Công để làm giãn

(nén) lò xo thêm một đoạn dx là dW  f x dx( )

Lời giải

Khi lò xo được kéo giãn từ độ dài 10 cm đến 15 cm, lượng kéo giãn là 5 cm = 0.05 m Điều này có nghĩa f(0.05)40, do đó:

Trang 13

Công thực hiện để di chuyển vật:

Nếu ta đặt khối cầu sao cho tâm nó trùng với điểm gốc (xem Hình 4), thế thì mặt phẳng Px cắt khối cầu theo một hình tròn có bán kính (cho bởi Định lý Pytago) là:

y r x Do đó, diện tích thiết diện phẳng là:

S y

Trang 14

Miền giới hạn và khối sinh ra được minh họa trong hai hình vẽ dưới đây

Vì quay quanh trục y nên ta cắt khối ấy vuông góc với trục y và sau đó tích phân theo y Thiết diện thẳng vuông góc tại y là một đĩa tròn có bán kính x, với x3 y Do đó diện tích của thiết diện thẳng qua y là:

A y dyy dynếu lấy những khoảng yrất bé Vì khối nằm giữa y = 0 và y = 8, nên thể tích cần tìm là

Trang 15

Câu 6: Tìm thể tích của khối sinh ra khi quay quanh trục y miền giới hạn bởi

yx yx

Lời giải

Miền và vỏ được minh họa trong hình dưới:

Ta thấy là vỏ có bán kính 𝑥, chu vi 2𝜋𝑥, và chiều cao 2

CÂU 7: Một cơn gió thổi một con diều về phía tây Độ cao của con diều so với mặt

đất từ vị trí x 0 đếnx80fttrên trục hoành được tính bởi công thức

Trang 16

CÂU 9: Hàm chi phí cận biên được xác định là đạo hàm của hàm chi phí Chi phí

'0.82 0.000030.000000003

(tính bằng đô la/gallon) Chi phí khởi nghiệp cố định là C 018, 000đô la Tìm chi phí sản xuất 4000 gallon nước trái cây đầu tiên:

Tổng chi phí: Chi phí sản xuất + chi phí cố định 3104 18000 21104(đô la)

 Vậy chi phí sản xuất 4000 gallon nước trái cây đầu tiên là21104đô la

CÂU 10: Một công ty ước tính rằng doanh thu cận biên (tính bằng đô la /đơn vị)

nhận được bằng cách bánxđơn vị sản phẩm được tính bằng công thức 48 0.0012x Giả sử ước tính này là chính xác, hãy tìm mức tăng doanh thu nếu doanh số bán hàng tăng từ 5000 đơn vị lên 10,000 đơn vị

Trang 17

 Vậy mức tăng doanh thu khi tăng doanh số bán hàng từ 5000 đơn vị lên

 Vậy số thặng dư sản xuất là 12,000 đô la

CÂU 12: Nếu doanh thu đổ vào một công ty với tốc độ được biểu diễn bằng

  9000 1 2

f t   t , trong đó tđược đo bằng năm và f t được đo bằng đô la/năm, hãy tìm tổng doanh thu thu được trong bốn năm đầu tiên

Trang 18

Do đó để tìm hàm C(x) thì ta lấy nguyên hàm của hàm chi phí cận biên, suy ra:

Ta xác định hằng số bất kì của tích phân dựa vào f(0)2, 000, suy ra C 2, 000

 Vậy chi phí sản xuất của 20 đơn vị sản phẩm là f(20)2, 606VND

CÂU 14: Sau t giờ một dòng nước chảy với tốc độ là dòng nước chảy từ lúc 7 giờ sáng Hỏi dòng nước chảy hết bao nhiêu lít nước từ lúc 8 giờ sáng đến 10 giờ trưa

Trang 19

CÂU 16: Cho miền giới hạn bởi cos , 0, 0,

Trang 20

Nếu ta đặt trục 𝑥 dọc theo đường kính giao của mặt cắt và đáy, thế thì đáy của khối nêm là nửa hình tròn có phương trình 2

a) Tìm xác suất để bạn nhận được email trong 2 tiếng tới với t trong đoạn [0, 2] b) Tìm xác suất để bạn nhận được email chậm nhất là 3 tiếng tới

Trang 21

CÂU 19: Một khuôn viên dạng nửa hình tròn có đường kính bằng 4√5 (𝑚) Trên đó người thiết kế 2 phần để trồng hoa có dạng một cánh hoa hình parabol có đỉnh trùng với tâm nửa hình tròn và 2 đầu mút của cánh hoa nằm trên nửa đường tròn (phần tô màu), các nhau một khoảng bằng 4 m, phần còn lại của khuôn viên (phần không tô màu) dành để trồng cỏ nhật bản

Biết các kích thước cho như hình vẽ và kinh phí để trồng cỏ nhật bản là 100000 đồng/m2 Hỏi cần bao nhiêu tiền để trồng cỏ Nhật Bản trên phần đất đó ? (số tiền được

Mặt khác (P) qua điểm M(2;4) do đó: 4 = a(-2)2 a = 1 Phần diện tích của hình phẳng giới hạn bởi (P)

và nửa đường tròn (phần tô màu):

Trang 22

CÂU 20: Giá bán lại của một máy công nghiệp nào đó thì giảm dần trong vòng 1

tháng với tốc độ là 220(x-10) đô la/năm Biểu diễn giá của máy bằng một hàm theo

số tuổi của nó và giá trị ban đầu Nếu giá ban đầu của máy là 12000 đô la, giá trị của máy sẽ là bao nhiêu khi nó được 10 tuổi?

Lời giải

Gọi 𝑉(𝑥) là giá trị của máy khi nó được 𝑥 tuổi Khi đó tốc độ thay đổi giá trị của máy theo thời gian đó chính là đạo hàm Vậy theo giả thuyết ta có:

Trang 23

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1]: James Stewart: Calculus – 8th Edition

[2]: James Stewart, Calculus Early Transcendentals 8th Edition [3]: https://vi.wikipedia.org/wiki/T%C3%ADch_ph%C3%A2n

[4]: Nguyễn Đình Huy, Giải tích 1, NXB Đại học Quốc gia TPHCM