BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH ĐỀ TÀI ỨNG DỤNG MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC CỦA MA TRẬN VÀO HÌNH HỌC GIẢI TÍCH

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA KHOA KỸ THUẬT GIAO THÔNG NĂM HỌC 2020 – 2021 BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH ĐỀ TÀI 01 - ỨNG DỤNG MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC CỦA MA TRẬN VÀO HÌNH HỌC GIẢI TÍCH GVHD : NHĨM : LỚP : Đặng Thu Huyền L07_ĐSTT_01 L07 0|Page DANH SÁCH THÀNH VIÊN 01 Cao Hoàng Đức Huy 2013276 02 Chung Nguyễn Đăng Khoa 2013490 03 Dương Tuấn Kiệt 2013561 04 Cao Khả Quốc Nhân 2011723 05 Hồ Mậu Quang 2010546 06 Hà Hoàng Thái 2014471 07 Đoàn Tấn Thành 2014489 08 Dương Gia Thịnh 2012105 09 Hồ Minh Thông 2012129 10 Dương Thị Anh Thư 2014671 11 Châu Nhật Tú 2012370 1|Page MỤC LỤC Phần – GIỚI THIỆU ĐỀ TÀI VÀ CÁC YÊU CẦU Phần – CƠ SỞ LÝ THUYẾT Tính thể tích khối tứ diện khối hộp a) Khối tứ diện b) Khối hộp Viết phương trình đường thẳng, mặt phẳng a) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm phân biệt cho trước b) Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm khơng thẳng hàng cho trước Viết phương trình mặt cầu qua bốn điểm khơng đồng phẳng, phương trình ellipse a) Viết phương trình mặt cầu qua bốn điểm không đồng phẳng b) Viết phương trình ellipsoid Phần – VÍ DỤ CỤ THỂ Tính thể tích khối tứ diện khối hộp a) Khối tứ diện b) Khối hộp Viết phương trình đường thẳng, mặt phẳng a) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm phân biệt cho trước b) Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm không thẳng hàng cho trước Viết phương trình mặt cầu qua bốn điểm khơng đồng phẳng, phương trình ellipse 10 a) Viết phương trình mặt cầu qua bốn điểm khơng đồng phẳng 10 b) Viết phương trình ellipsoid 11 2|Page Phần – GIỚI THIỆU ĐỀ TÀI VÀ CÁC YÊU CẦU ỨNG DỤNG MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC CỦA MA TRẬN VÀO HÌNH HỌC GIẢI TÍCH – Nêu ứng dụng định thức • Tính thể tích khối tứ diện, khối hộp; • Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm phân biệt cho trước, phương trình mặt phẳng qua ba điểm khơng thẳng hàng cho trước; • Viết phương trình mặt cầu qua bốn điểm khơng đồng phẳng, phương trình ellipse – Viết chương trình MATLAB sử dụng cho ứng dụng 3|Page Phần – CƠ SỞ LÝ THUYẾT Tính thể tích khối tứ diện khối hộp a) Khối tứ diện Bài toán đặt  AB = ( x AB ; y AB ; z AB )  Cho hình tứ diện ABCD dựng vector  AC = ( x AC ; y AC ; z AC )   AD = ( x AD ; y AD ; z AD ) Tính thể tích khối tứ diện Hướng giải : Theo kiến thức phổ thông: Tính theo tích hỗn tạp vector: VABCD =  AB, AC  AD (1) Nếu biến đổi cơng thức (1) theo trình tự: Khai triển cơng thức tích có hướng, sau nhân vơ hướng, ta thu kết sau: y z AB x z AB x y AB (2) VABCD = xAD AB − y AD AB + z AD AB y AC z AC xAC z AC xAC y AC Nhận xét : Cơng thức (2) cơng thức tính định thức ma trận khai triển theo hàng Vì ta đưa cơng thức (1.2) dạng định thức ma trận vuông cấp VABCD x AB = x AC x AD y AB z AB y AC z AC y AD z AD (3) b) Khối hộp Bài toán đặt Từ hình tứ diện ABCD nêu trên,  AB = ( x AB ; y AB ; z AB )  Hãy dựng nên hình hộp ABEC.DHGF dựa vector  AC = ( x AC ; y AC ; z AC )   AD = ( x AD ; y AD ; z AD ) Tính thể tích khối hộp Hướng giải : Từ đề nhận thấy : VABEC DHGF = 6.VABCD Do đó, ta đưa cơng thức tính thể tích khối hộp theo dạng định thức ma trận vuông cấp x AB y AB z AB VABEC DHGF = xAC y AC z AC xAD y AD z AD (4) 4|Page Viết phương trình đường thẳng, mặt phẳng a) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm phân biệt cho trước Bài toán đặt Trong mặt phẳng Oxy, cho hai điểm phân biệt có tọa độ gồm A ( x A ; y A ) B ( xB ; yB ) Viết phương trình đường thẳng AB Hướng giải : Theo kiến thức phổ thơng, phương trình đường thẳng AB có dạng: u2 ( x − x A ) − u1 ( y − y A ) = (5) Trong đó, vector phương u = ( u1 ;u2 ) = ( x A − xB ; y A − yB ) (6) Như vậy, kết hợp (5) (6) ta : ( y A − yB ) x − ( x A − xB ) y + ( x A yB − xB y A ) = Hay x yA yB −y xA xB + xA xB yA yB =0 (7) Nhận xét : Cơng thức (7) khai triển theo hàng định thức vuông cấp x AB : x A xB y yA = (8) yB b) Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm khơng thẳng hàng cho trước Bài tốn đặt Trong mặt phẳng Oxyz, cho ba điểm không thẳng hàng có tọa độ gồm A ( x A ; y A ; z A ) , B ( xB ; yB ; z B ) C ( xC ; yC ; zC ) Viết phương trình mặt phẳng (ABC) Hướng giải : Theo kiến thức phổ thơng, phương trình mặt phẳng (ABC) có dạng: a ( x − xA ) + b ( y − y A ) + c ( z − z A ) =  y AB Trong đó, vector pháp tuyến n = ( a;b;c ) =   y AC z AB z AC ;− (9) xAB z AB xAC z AC ; xAB xAC y AB   y AC  (10) Như vậy, kết hợp (9) (10) ta thu định thức ma trận vuông cấp x − xA y − yA z − zA x AB y AB z AB x AC y AC z AC =0 (11) 5|Page Nhận xét : Công thức (11) cơng thức khai triển tính định thức theo cột ma trận vuông cấp sau: x y z x − xA y − yA z − zA x AB y AB z AB x AC y AC z AC =0 (12) Dùng phép biến đổi sơ cấp cho hàng cột ma trận công thức (12) ta thu kết cuối sau: ( ABC ) : x y z xA yA zA xB yB zB xC yC zC 1 =0 (13) Viết phương trình mặt cầu qua bốn điểm khơng đồng phẳng, phương trình ellipse a) Viết phương trình mặt cầu qua bốn điểm khơng đồng phẳng Bài tốn đặt Trong mặt phẳng Oxyz, cho bốn điểm khơng đồng phẳng có tọa độ gồm A ( x A ; y A ; z A ) , B ( xB ; yB ; z B ) , C ( xC ; yC ; zC ) D ( xD ; yD ; z D ) Viết phương trình mặt cầu (S) qua bốn điểm Hướng giải : Phương trình mặt cầu (S), nhận I ( a;b;c ) làm tâm, tổng quát dạng: x + y + z = 2ax + 2by + 2cz − d với a + b + c − d  2ax A + 2by A + 2cz A = x A2 + y A2 + z A2  2 2ax + 2byB + 2cz B = xB + yB + z B Do bốn điểm A, B,C D nằm (S) nên  B (14) 2 2 ax + by + cz = x + y + z  C C C C C C 2ax + 2by + 2cz = x + y + z  D D D D D D Đưa công thức (15) dạng ma trận giải hệ phương trình tuyến tính, thu kết quả: −1  −1 −1  −1 −1  x A2 + y A2 + z A2   2  yB z B  xB + y B + z B  (15)  xC2 + yC2 + zC2  yC zC   2  yD z D  xD + y D + z D  Từ cơng thức (15) tìm tọa độ tâm I ( a;b;c ) phương trình mặt cầu (S)  a   xA    2x b = B  c   xC     d   xD yA 2zA b) Viết phương trình ellipsoid Bài tốn đặt Trong khơng gian Oxyz, cho ba điểm khơng thẳng hàng có tọa độ gồm A ( x A ; y A ; z A ) , B ( xB ; yB ; z B ) C ( xC ; yC ; zC ) Viết phương trình ellipsoid (E) qua ba điểm 6|Page Hướng giải : Phương trình ellipsoid (E), với a b bán kính xích đạo c bán kính cực, tổng quát dạng: x2 y z + + =1 a b2 c  x A2 y A2 z A2  + + =1  a2 b c y z x Do A, B C nằm (E) nên  B2 + B2 + B2 = (16) a b c   xC2 yC2 zC2  + + =1 b c a Đưa công thức (16) dạng ma trận giải hệ phương trình tuyến tính, thu kết quả:    a2  2 −1    x A y A z A   1   =  x y z   1 (17) B B     b2   B 2      xC yC zC   1    2 c  Từ cơng thức (17) tìm giá trị bán kính xích đạo, bán kính cực ellipsoid (E) Nhận xét : Khi giá trị cao độ z không tồn 0, ellipsoid trở thành ellipse 7|Page Phần – VÍ DỤ CỤ THỂ Tính thể tích khối tứ diện khối hộp a) Khối tứ diện VABCD x AB = x AC x AD y AB z AB y AC z AC y AD z AD Đề : Trong mặt phẳng Oxyz, cho bốn điểm A (1;1;1) , B ( 3; 2; ) , C ( 0; 3; ) D ( 4; −1; ) Hãy tính thể tích khối tứ diện ABCD Bài giải chi tiết : Bước 1: Lập ba vector dựng nên hình tứ diện ABCD  AB = ( 2;1; 3)   AC = ( −1; 2; )   AD = ( 3; −2; ) Bước 2: Lập ma trận theo tọa độ vector  3   A =  −1   −2    Bước 3: Tính thể tích khối tứ diện ABCD theo công thức (3) 1 43 VABCD = A =  2.2.4 + 1.5.3 + 3.( −1) ( −2 )  − 3.2.3 + ( −2 ) 5.2 + 4.( −1) 1 = 6 Bước 4: Kết luận 43 Thể tích khối tứ diện ABCD VABCD = b) Khối hộp   x AB y AB z AB VABEC DHGF = xAC y AC z AC xAD y AD z AD Đề : Trong mặt phẳng Oxyz, cho bốn điểm A (1;1;1) , B ( 3; 2; ) , C ( 0; 3; ) D ( 4; −1; ) Hãy tính thể tích khối hộp ABEC.DHGF Bài giải chi tiết : Bước 1: Lập ba vector dựng nên hình hộp ABEC.DHGF 8|Page  AB = ( 2;1; 3)   AC = ( −1; 2; )   AD = ( 3; −2; ) Bước 2: Lập ma trận theo tọa độ vector  3   A =  −1   −2    Bước 3: Tính thể tích khối hộp ABEC.DHGF theo công thức (4) VABCD = A =  2.2.4 + 1.5.3 + 3.( −1) ( −2 )  − 3.2.3 + ( −2 ) 5.2 + 4.( −1) 1 = 43 Bước 4: Kết luận Thể tích khối hộp ABEC.DHGF VABEC DHGF = 43 Viết phương trình đường thẳng, mặt phẳng a) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm phân biệt cho trước x AB : x A xB y yA = yB Đề : Trong mặt phẳng Oxy, cho hai điểm A ( 0; ) B ( 6;−1) Hãy viết phương trình đường thẳng AB Bài giải chi tiết : Bước 1: Lập ma trận vuông cấp theo công thức (8)  x y 1   A =  1  −1 1   Bước 2: Viết phương trình đường thẳng AB cách khai triển định thức ma trận A theo hàng 1 AB : x −y + =0 −1 6 −1 Bước 3: Rút gọn định thức bước AB : x.10 − y.( −6 ) + ( −54 ) = Bước 4: Kết luận Phương trình đường thẳng AB x + y − 27 = b) Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm khơng thẳng hàng cho trước 9|Page ( ABC ) : x y z xA yA zA xB yB zB xC yC zC =0 Đề : Trong mặt phẳng Oxyz, cho ba điểm A ( 2; 6; ) , B ( 9; 5;−8 ) C ( 7; 4;1) Hãy viết phương trình mặt phẳng (ABC) Bài giải chi tiết : Bước 1: Lập ma trận vuông cấp theo công thức (13)  x y z 1   1  A=  −8 1    1 Bước 2: Viết phương trình mặt phẳng (ABC) cách khai triển định thức ma trận A theo hàng 2 6 ( ABC ) : x −8 − y −8 + z − −8 = 1 1 7 Bước 3: Rút gọn định thức bước ( ABC ) : x.( −17 ) − y.47 + z.( −9 ) − ( −316 ) = Bước 4: Kết luận Phương trình mặt phẳng (ABC) là17 x + 47 y + z − 316 = Viết phương trình mặt cầu qua bốn điểm khơng đồng phẳng, phương trình ellipse a) Viết phương trình mặt cầu qua bốn điểm không đồng phẳng −1  −1 −1  −1 −1  x A2 + y A2 + z A2   2  yB z B  xB + y B + z B   xC2 + yC2 + zC2  yC zC   2  yD z D  xD + y D + z D  Đề : Trong mặt phẳng Oxyz, cho bốn điểm A ( 2; −3; ) , B ( 2;1; ) , C ( 3; 2;1)  a   xA    2x b = B  c   xC     d   xD yA 2zA D ( 2; −3; ) Hãy viết phương trình mặt cầu (S) qua bốn điểm Bài giải chi tiết : Bước 1: Lập hai ma trận (bên phải dấu “=” công thức (15)) theo tọa độ cho  −6 10 −1  38      −1 A= B =    −1  14       −6 −1  29  Bước 2: Tìm tọa độ tâm mặt cầu (S) theo công thức (15) 10 | P a g e a  −6 10 −1      b  = A−1 B =  −1 c  −1     d   −6 −1 −1  3 −   38         =   14         29     −8    Bước 3: Kết luận Phương trình mặt cầu (S) x + y + z + 3x − y − z − = b) Viết phương trình ellipsoid    a2     xA   =  x2  b2   B    xC2    2 c  y A2 B C y y z A2   z B2  zC2  −1  1    1  1   Từ công thức (17) tìm giá trị bán kính xích đạo, bán kính cực ellipsoid (E) Nhận xét : Khi giá trị cao độ z không tồn 0, ellipsoid trở thành ellipse  7  21  Đề : Trong mặt phẳng Oxyz, cho hai điểm A  1;  B  ;  Hãy viết 7     phương trình ellipse (E) qua hai điểm Bài giải chi tiết : Bước 1: Lập ma trận (bên phải dấu “=” công thức (17)) theo tọa độ cho 36   1  A=   12      Bước 2: Tìm giá trị chiều dài chiều rộng ellipse theo công thức (17) −1 36     1  a2    1  1     = A−1   =    =    1  12  1    2      b   6 Bước 3: Kết luận Phương trình ellipse (E) x2 y + = 11 | P a g e Đề : Tính thể tích bóng bầu dục có hình ellipsoid đưa vào tọa độ Descartes sau: A ( 0; −1,37; 0,53) , B ( ,74; ,93; −0 , 25 ) C ( 0,79; −0,19; ,33) Biết đơn vị thể tích dm3 Bài giải chi tiết : Bước 1: Lập ma trận (bên phải dấu “=” công thức (17)) theo tọa độ cho 1,8769 , 2809     A =  0,5476 0,8649 0, 0625   ,6241 0,0361 ,1089    Bước 2: Tìm giá trị bán kính xích đạo bán kính cực ellipsoid theo cơng thức (17) −1  a −2  1,8769 0, 2809  1  1, 23  1   a  ,9  −2         −1    b  = A 1 =  0,5476 0,8649 0, 0625  1   0, 23   b  ,1 1  0,6241 0, 0361 0,1089  1  2,04  c  ,  c −2             Bước 3: Tính thể tích ellipsoid theo công thức Vellipsoid = abc Vb =  0,9  2,1 0,7 = 1,764 ( dm3 ) Bước 4: Kết luận Thể tích bóng bầu dục Vb  5,54 ( dm3 ) - HẾT – (Thuật toán MATLAB file kèm theo) 12 | P a g e ... 11 2|Page Phần – GIỚI THIỆU ĐỀ TÀI VÀ CÁC YÊU CẦU ỨNG DỤNG MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC CỦA MA TRẬN VÀO HÌNH HỌC GIẢI TÍCH – Nêu ứng dụng định thức • Tính thể tích khối tứ diện, khối hộp; • Viết... AC z AC xAC z AC xAC y AC Nhận xét : Công thức (2) cơng thức tính định thức ma trận khai triển theo hàng Vì ta đưa công thức (1.2) dạng định thức ma trận vuông cấp VABCD x AB = x AC x AD y AB... (10) ta thu định thức ma trận vuông cấp x − xA y − yA z − zA x AB y AB z AB x AC y AC z AC =0 (11) 5|Page Nhận xét : Cơng thức (11) cơng thức khai triển tính định thức theo cột ma trận vuông cấp