Đang tải... (xem toàn văn)
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THPT TĨNH GIA 3 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM TÌM HIỂU BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG OXY Người thực hiện Hồ Trung Sơn Chức vụ Hiệu trưởng SKKN thu[.]
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THPT TĨNH GIA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM TÌM HIỂU BÀI TỐN CỰC TRỊ HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG OXY Người thực hiện: Hồ Trung Sơn Chức vụ: Hiệu trưởng SKKN thuộc mơn: Tốn THANH HĨA, NĂM 2022 MỤC LỤC skkn Nội dung Trang 1.Mở đầu 1.1 Lý chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu 2 Nội dung nghiên cứu .2 2.1 Cơ sở lý luận 2.1.1 Các tính chất bất đẳng thức 2.1.2 Định nghĩa giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số 2.1.3 Bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân (AM-GM) 2.1.4 Bất đẳng thức Bunhiacopxki .3 2.1.5 Định lý 2.1.6 Phương trình tham số đường thẳng .3 2.1.7 Phương trình tổng quát đường thẳng 2.1.8 Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng 2.1.9 Góc hai đường thẳng 2.1.10 Phương trình tổng quát mặt phẳng 2.1.11 Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng 2.2 Thực trạng đề tài 2.3 Các biện pháp giải vấn đề 2.3.1 Dạng tìm điểm thỏa mãn yếu tố cực trị 2.3.2 Dạng tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ sử dụng phương pháp hình giải tích 15 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm 18 Kết luận 19 Tài liệu tham khảo…………………………………………………………… 20 skkn Mở đầu 1.1 Lý chọn đề tài Xuất phát từ toán thực tế, toán cực trị mơ hình đơn giản tốn kinh tế sống Với tinh thần đổi giáo dục nhằm phát huy tính chủ động, sáng tạo trình tiếp thu kiến thức học sinh, mặt khác, toán cực trị đưa vào thường xuyên đề thi tốt nghiệp trung học phổ thông đề thi học sinh giỏi, đề thi đánh giá lực, đánh giá tư trường Đại học tổ chức Điều đặt cho q trình giảng dạy mơn Tốn học cần phải ý rèn luyện cho học sinh dạng toán này, nhằm đáp ứng với đòi hỏi thực tiễn đưa giáo dục nói chung Tốn học nói riêng gần với sống Với lý với mong muốn nâng cao chất lượng giảng, chất lượng q trình giáo dục, tơi mạnh dạn đua sáng kiến “Tìm hiểu tốn cực trị hình học giải tích mặt phẳng Oxy” 1.2 Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu sở lý luận thực tiễn phương pháp giải tốn cực trị hình học giải tích 1.3 Đối tượng nghiên cứu Với mục đích nghiên cứu nêu trên, đối tượng nghiên cứu đề tài là: Các phương pháp giải toán cực trị hình học giải tích 1.4 Phương pháp nghiên cứu Sử dụng phương pháp nghiên cứu chuyên ngành lí luận phương pháp giảng dạy mơn tốn học tập trung vào phương pháp sau: -Đọc tài liệu sách, báo, tạp chí giáo dục có liên quan đến nội dung đề tài -Đọc SGK, sách giáo viên, loại sách tham khảo Dự giờ, trao đổi ý kiến với đồng nghiệp nội dung Thể tích khối đa diện -Tổng kết rút kinh nghiệm trình dạy học -Tổ chức tiến hành thực nghiệm sư phạm (Soạn giáo án thông qua tiết dạy) để kiểm tra tính khả thi đề tài skkn Nội dung nghiên cứu 2.1 Cơ sở lý luận 2.1.1 Các tính chất Bất đẳng thức Điều kiện Nội dung [1] 2.1.2 Định nghĩa giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Cho hàm số xác định tập D Giá trị M gọi giá trị lớn hàm số D Giá trị m gọi giá trị nhỏ hàm số D [2] skkn Đối với hàm hai biến, ba biến…ta có định nghĩa tương tự 2.1.3 Bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân (AM-GM) Cho n số khơng âm: ta có: Dấu xảy [3] 2.1.4 Bất đẳng thức Bunhiacopxki Cho hai n số: ta có bất đẳng thức: Dấu xảy 2.1.5 Định lý Nếu hàm số [3] liên tục đoạn giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ đoạn hàm số tồn [3] 2.1.6 Phương trình tham số đường thẳng Đường thẳng Khi qua nhận làm vector phương có phương trình tham số là: [4] 2.1.7 Phương trình tổng quát đường thẳng Đường thẳng qua điểm nhận tuyến Khi có phương trình tổng qt là: làm vector pháp [4] skkn 2.1.8 Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Cho đường thẳng điểm có phương trình tổng quát: ax + by + c = Khi khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng tính cơng thức: [4] 2.1.9 Góc hai đường thẳng Cho đường thẳng Gọi có phương trình góc hai đường thẳng cho Khi đó: 2.1.10 [4] Phương trình tổng quát mặt phẳng Cho đường thẳng qua pháp tuyến Khi đường thẳng nhận làm vector có phương trình tổng quát là: [5] 2.1.11 Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Cho mặt phẳng cách từ điểm M đến điểm Khoảng tính công thức skkn [5] 2.2 Thực trạng đề tài Hiện việc giảng dạy học tập phương pháp giải toán cực trị hình học giải tích cịn gặp số khó khăn Trước áp dụng đề tài khảo sát lớp mà giảng dạy dạng tốn cực trị hình học giải tích mặt phẳng Oxy, tác giả thấy học sinh làm kết thấp Cụ thể sau: Năm học 2021-2022 KẾT QUẢ KIỂM TRA LỚP 11A1 Điểm 2 20 1 Số lượng điểm trước áp dụng sáng kiến 2.3 Các biện pháp giải vấn đề 2.3.1 Dạng tìm điểm thỏa mãn yếu tố cực trị Bài Cho đường thẳng Tìm điểm cho: a) nhỏ b) lớn Lời giải a) Phân tích: A Nếu hai điểm A, B khác phía so với đường thẳng điểm M cần tìm giao điểm đường thẳng đường thẳng AB B với skkn M Bước 1: Xác định điểm điểm đối xứng với A quaHình Bước 2: Từ đánh giá: số Dấu xảy thẳng hàng Nên ta viết phương trình đường thẳng Bước 3: Điểm Với thuật toán ta đến lời giải chi tiết cho câu a) sau: Đặt Ta có: Như hai điểm Gọi nằm phía so với đường thẳng điểm đối xứng với A qua Đường thẳng Gọi Tọa độ I nghiệm hệ phương trình: Do I trung điểm Từ nên ta có: Đường thẳng Tọa độ điểm M cần tìm nghiệm hệ phương trình: skkn Trong trường hợp câu b) thuật tốn lại có khác biệt so với câu a) Nếu hai điểm A; B mà nằm hai phía so với xứng với A qua ta lại phải tìm điểm đối Sau ta sử dụng đánh giá: số Dấu xảy thẳng hàng Từ tìm tọa độ M Nếu hai điểm nằm phía so với ta có đánh giá: số Dấu xảy Do điểm M cần tìm giao với Sử dụng kết câu a) ta có hai điểm có đánh giá: thẳng hàng nằm phía so với nên ta số Dấu xảy thẳng hàng Ta có nên Tọa độ M nghiệm hệ phương trình: Để củng cố thuật tốn em học sinh làm thêm số tập: Bài skkn Cho hai điểm đường thẳng đạt giá trị nhỏ nhất? ( Đáp số: Tìm điểm ) Bài Cho hai điểm đường thẳng Tìm điểm đạt giá trị lớn nhất? Bài Cho hai điểm đường thẳng Tìm cho : a) đạt giá trị nhỏ b) đạt giá trị lớn Vẫn tốn tìm điểm thỏa mãn yếu tố cực trị hỏi theo hình thức khác Ta xét ví dụ Bài Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm Ox; Oy Đường thẳng a)Tìm để diện tích tam giác OAB đạt giá trị nhỏ nhất? b) Tìm đạt giá trị nhỏ nhất? c) Tìm qua M cắt đạt giá trị nhỏ nhất? a) Lời giải skkn Sử dụng phương trình đoạn chắn ta có: Nhận thấy tam giác vng nên: Mặt khác Theo bất đẳng thức AM-GM ta có: Từ suy ra: Dấu xảy Khi kết hợp với xảy dấu ta có hệ phương trình: Bình luận: Ở ta sử dụng bất đẳng thức AM-GM nhận thấy tính hiệu cao, lời giải gọn gàng đẹp Vấn đề học sinh cần tìm hiểu nhiều cách giải cho đề toán Do thủ thuật người thầy (theo cá nhân tôi) sau lời giải toán nên đặt câu hỏi tự nhiên theo diễn biến tâm lý: Còn lời giải khác khơng? Câu hỏi làm cho học sinh có hứng thú tìm tịi, phải làm cho học sinh thấy không nên lòng theo kiểu “ăn xổi” a) Lời giải Từ kết ta rút ra: skkn Theo Từ đó: Ta khảo sát hàm số miền Lại có: Lập bảng biến thiên ta có: Suy ra: Với Vậy giá trị cần tìm là: 10 skkn Bình luận: Lời giải phức tạp, nhiên việc sử dụng đạo hàm vào toán cực trị cần ý cơng cụ mạnh chương trình tốn phổ thơng mà học sinh cần trang bị thành thạo b) Lời giải Gọi chân đường cao hạ từ O xuống cạnh AB Sử dụng hệ thức lượng tam giác vuông OAB ta có: số Dấu xảy Tức Vậy ta có hệ phương trình: Vậy giá trị cần tìm là: Bình luận: Trong câu b) ta sử dụng kiến thức: độ dài đường chiếu nhỏ độ dài đường xiên Giống câu a) ta lại có câu hỏi: Cịn lời giải khác khơng? Và học sinh có hứng thú định em trở thành nhà thám hiểm thực kho tàng kiến thức! Để ý thấy: gợi cho ta nhớ tới bất đẳng thức Bunhiacopxki? Do gợi ý cho ta lời giải thứ sau: b) Lời giải Theo 11 skkn Xét: Dấu xảy Kết hợp với giả thiết ta có hệ phương trình: Vậy giá trị cần tìm là: Bình luận: Thật gọn, đẹp! Cịn có cách giải khác khơng? Đối với câu c) Giáo viên tránh cho học sinh sai lầm sử dụng bất đẳng thức AM-GM thông qua lời giải câu c) sau: c) Lời giải Ta có (Theo bất đẳng thức AM-GM) Mặt khác (Theo bất đẳng thức AM-GM) Từ suy ra: đánh giá Dấu xảy hai xảy dấu Điều tương đương với Dễ nhận thấy hệ vô nghiệm Như lời giải sai! c) Lời giải 12 skkn Ta có Mặt khác Do Ta Ta khảo sát hàm số với Ta có Lại có Ta có bảng biến thiên a - + 13 skkn Từ ta có kết luận: Củng cố thuật toán em học sinh làm thêm số tập sau: Bài Trong mặt phẳng toạ độ , viết phương trình đường thẳng cắt trục Ox, Oy M, N cho qua điểm đạt giá trị nhỏ nhất? Bài Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, viết phương trình đường thẳng qua điểm , cắt chiều dương trục Ox, Oy điểm M, N khác gốc toạ độ cho diện tích tam giác MON đạt giá trị nhỏ nhất? Bài Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, viết phương trình đường thẳng qua điểm , cắt chiều dương trục Ox, Oy điểm A; B khác gốc toạ độ cho đạt giá trị nhỏ nhất? Bài Bài tốn góc sút khung thành Cho hai điểm A, B nằm phía so với đường thẳng thẳng Tìm đường điểm M cho M nhìn xuống A, B góc lớn nhất? Nhận xét: Bài số lý thú, gây hứng thú tò mò cho người làm toán Dễ nhận thấy vài trường hợp đặc biệt tiếp tuyến đường trịn đường kính AB điểm M cần tìm tiếp điểm Vậy trường hợp cịn lại ta xử lý nào? 14 skkn Dựng đường tròn qua A, B tiếp xúc với M Ký hiệu đường tròn (C) Xét điểm N N khác M I Gọi I giao (C) NB (Hình 2) Ta có M (cùng chắn cung AB) A Mặt khác: B Hình Vậy M điểm cần tìm 2.3.2 Dạng tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ sử dụng phương pháp hình giải tích Bài 10 (Trích đề thi chọn HSG - lớp 11 Thành phố Hà Nội năm học 20082009) [6] Cho Tìm: biểu thức Lời giải Nhận xét: điều kiện đầu thoả mãn phương trình đường trịn: có tâm Gọi đường trịn giá trị biểu thức Dễ nhận thấy có tâm Do ta 15 skkn Vì giá trị biểu thức điều tương đương với phải có điểm chung (*) (*) So sánh kết (1); (2) (3) ta có Bình luận: Như ta sử dụng phương pháp hình học giải tích để tìm Max biểu thức A nhờ nhận xét điều kiện đầu Sẽ tương đối khó khăn tìm phương pháp khác cho số 10! Với 10 ta khái qt hố thành tập sau: Bài 11 Cho thoả mãn điều kiện P Trong P biến đổi phương trình đường trịn u cầu tìm min, max biểu 16 skkn thức biểu thức đường trịn biến đổi đưa phương trình Quay lại Bài 10 ta nhận thấy biểu thức A biến đổi nhờ điều kiện đầu Thực vậy: Từ giả thiết ta có Như gọi giá trị biểu thức A Điều chứng tỏ đường thẳng đường trịn tâm có phải có điểm chung (**) Vậy Bình luận: Với việc đưa biểu thức A dạng phương trình đường thẳng ta phải xử lý trường hợp so với việc đưa biểu thức A phương trình đường trịn Bài tập vận dụng Bài 12 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức điều kiện: với Bài 13 Cho đường tròn: Tìm điểm H đường trịn (C) cho tam giác HAB có diện tích lớn nhất, nhỏ 17 skkn Bài 14 Cho đường tròn: Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M cắt (C) hai điểm phân biệt A, B cho diện tích tam giác IAB lớn I tâm đường tròn (C) Bài 15 Cho đường thẳng: cho Tìm có độ dài ngắn (Đ/s: M(-2;1)) đạt giá trị nhỏ (Đ/s: ) 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm Sáng kiến thực từ năm học 2019-2020 tiếp tục bổ sung, hoàn thiện vào năm học 2021- 2022 Để đánh giá kết đề tài thực cho học sinh làm dạng chuyên đề trước sau giảng dạy kết thu khả quan Trước giảng dạy có số em làm sau giảng dạy chuyên đề đa số em định hình phương pháp làm thực thành thạo Sau kết kiểm nghiệm: Năm học 2021-2022 KẾT QUẢ KIỂM TRA LỚP 11A Điểm Số lượng 3 20 1 15 0 điểm trước áp dụng sáng kiến Số lượng điểm sau áp dụng sáng kiến 18 skkn ... dạn đua sáng kiến ? ?Tìm hiểu tốn cực trị hình học giải tích mặt phẳng Oxy? ?? 1.2 Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu sở lý luận thực tiễn phương pháp giải tốn cực trị hình học giải tích 1.3 Đối tượng... Tìm cho : a) đạt giá trị nhỏ b) đạt giá trị lớn Vẫn tốn tìm điểm thỏa mãn yếu tố cực trị hỏi theo hình thức khác Ta xét ví dụ Bài Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm Ox; Oy Đường thẳng a )Tìm. .. thức skkn [5] 2.2 Thực trạng đề tài Hiện việc giảng dạy học tập phương pháp giải tốn cực trị hình học giải tích cịn gặp số khó khăn Trước áp dụng đề tài khảo sát lớp mà giảng dạy dạng tốn cực trị