(SKKN mới NHẤT) SKKN tìm hiểu bài toán cự trị hình học giải tích trong mặt phẳng oxy

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT HOẰNG HỐ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM TÊN ĐỀ TÀI TÌM HIỂU BÀI TỐN CỰC TRỊ HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG Oxy Người thực hiện: Lê Đức Huy Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc mơn: Tốn học THANH HỐ NĂM 2018 download by : skknchat@gmail.com PHẦN 1: MỞ ĐẦU I Lý chọn đề tài Xuất phát từ toán thực tế, toán cực trị mơ hình đơn giản tốn kinh tế sống Với tinh thần đổi giáo dục đề thi học sinh giỏi, đại học năm gần đây, tốn cực trị nói chung đưa vào thường xuyên Điều đặt cho q trình giảng dạy mơn Tốn học cần phải ý rèn luyện cho học sinh dạng tốn này, nhằm đáp ứng với địi hỏi thực tiễn đưa giáo dục nói chung Tốn học nói riêng gần với sống Với lý với mong muốn nâng cao chất lượng giảng, chất lượng q trình giáo dục tơi mạnh dạn đưa ý tưởng “Tìm hiểu tốn cực trị hình học giải tích mặt phẳng Oxy” II Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu sở lý luận thực tiễn phương pháp giải toán cực trị hình học giải tích III Đối tượng phạm vi nghiên cứu 1.Khách thể đối tượng nghiên cứu Các phương pháp giải tốn cực trị hình học giải tích 2.phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu phương pháp giải tốn cực trị hình học giải tích giảng dạy trường IV.Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu lý luận Phương pháp nghiên cứu thực tiễn Phương pháp thống kê Toán học V.Những điểm sáng kiến kinh nghiệm Có hệ thống tập hay, khó Phương pháp giải đa dạng , gắn gọn download by : skknchat@gmail.com PHÂN 2: NỘI DUNG I Cơ sở lý luận Các tính chất Bất đẳng thức Điều kiện Nội dung Định nghĩa giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Cho hàm số xác định tập D Giá trị M gọi giá trị lớn hàm số D Giá trị m gọi giá trị nhỏ hàm số D Đối với hàm hai biến, ba biến…ta có định nghĩa tương tự Bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân (AM-GM) Cho n số khơng âm: download by : skknchat@gmail.com ta có: Dấu xảy Bất đẳng thức Bunhiacopxki Cho hai n số: ta có bất đẳng thức: Dấu xảy Định lý Nếu hàm số liên tục đoạn giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ đoạn hàm số tồn Phương trình tham số đường thẳng Đường thẳng Khi qua nhận làm vector phương có phương trình tham số là: Phương trình tổng quát đường thẳng Đường thẳng qua điểm nhận tuyến Khi có phương trình tổng qt là: làm vector pháp Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Cho đường thẳng có phương trình tổng qt: ax + by + c = điểm Khi khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng công thức: tính Góc hai đường thẳng Cho đường thẳng có phương trình download by : skknchat@gmail.com Gọi góc hai đường thẳng cho Khi đó: 10 Phương trình tổng qt mặt phẳng Cho đường thẳng qua nhận pháp tuyến Khi đường thẳng làm vector có phương trình tổng quát là: 11 Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Cho mặt phẳng cách từ điểm M đến điểm Khoảng tính cơng thức II Tình hình thực tế trước thực đề tài Các tốn cực trị hình học giải tích dạng tập khó xuất nhiều đề học sinh giỏi trường, tỉnh kì thi quan trọng Đây dạng khó nên đa số học sinh gặp dạng tốn cịn lúng túng khơng giải Học sinh chưa biết phối hợp cách khéo léo lý thuyết, tập để hình thành tư để giải tốn khó Từ thực tế trên, sau Tơi xin trình bày phương pháp tốn cực trị hình học giải tích mặt phẳng Oxy III Một số dạng toán cực trị hình học giải tích chương trình phổ thơng 1.Dạng tìm điểm thỏa mãn yếu tố cực trị Bài 1.Cho đường thẳng Tìm điểm cho: a) nhỏ b) lớn Lời giải a)Phân tích: download by : skknchat@gmail.com Nếu hai điểm A, B khác phía so với đường thẳng giao điểm đường thẳng điểm M cần tìm với đường thẳng AB Nếu hai điểm A, B phía so với đường thẳng (Hình 1) ta thực theo bước sau A B  a  ;  b 5  M  Hình Bước 1: Xác định điểm điểm đối xứng với A qua Bước 2: Từ đánh giá: số Dấu xảy thẳng hàng Nên ta viết phương trình đường thẳng Bước 3: Điểm Với thuật toán ta đến lời giải chi tiết cho câu a) sau: Đặt Ta có: Như hai điểm Gọi nằm phía so với đường thẳng điểm đối xứng với A qua Đường thẳng Gọi Tọa độ I nghiệm hệ phương trình: Do I trung điểm Từ nên ta có: download by : skknchat@gmail.com Đường thẳng Tọa độ điểm M cần tìm nghiệm hệ phương trình: Trong trường hợp câu b) thuật tốn lại có khác biệt so với câu a) Nếu hai điểm A; B mà nằm hai phía so với xứng với A qua ta lại phải tìm điểm đối Sau ta sử dụng đánh giá: số Dấu xảy thẳng hàng Từ tìm tọa độ M Nếu hai điểm nằm phía so với ta có đánh giá: số Dấu xảy Do điểm M cần tìm giao với Sử dụng kết câu a) ta có hai điểm có đánh giá: thẳng hàng nằm phía so với nên ta số Dấu xảy thẳng hàng Ta có nên Tọa độ M nghiệm hệ phương trình: Để củng cố thuật tốn em học sinh làm thêm số tập: Bài 2.Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm cắt Ox; Oy Đường thẳng qua M a)Tìm để diện tích tam giác OAB đạt giá trị nhỏ nhất? a) Tìm đạt giá trị nhỏ nhất? download by : skknchat@gmail.com b) Tìm đạt giá trị nhỏ nhất? a) Lời giải Sử dụng phương trình đoạn chắn ta có: Nhận thấy tam giác vng nên: Mặt khác Theo bất đẳng thức AM-GM ta có: Từ suy ra: Dấu xảy Khi kết hợp với xảy dấu ta có hệ phương trình: Bình luận: Ở ta sử dụng bất đẳng thức AM-GM nhận thấy tính hiệu cao, lời giải gọn gàng đẹp Vấn đề học sinh cần tìm hiểu nhiều cách giải cho đề toán Do thủ thuật người thầy (theo cá nhân tơi) sau lời giải tốn nên đặt câu hỏi tự nhiên theo diễn biến tâm lý: Cịn lời giải khác khơng? Câu hỏi làm cho học sinh có hứng thú tìm tịi, phải làm cho học sinh thấy khơng nên lịng theo kiểu “ăn xổi” a) Lời giải Từ kết ta rút ra: Theo download by : skknchat@gmail.com Từ đó: Ta khảo sát hàm số miền Lại có: Lập bảng biến thiên ta có: Suy ra: Với Vậy giá trị cần tìm là: Bình luận: Lời giải phức tạp, nhiên việc sử dụng đạo hàm vào toán cực trị cần ý cơng cụ mạnh chương trình tốn phổ thơng mà học sinh cần trang bị thành thạo b) Lời giải Gọi chân đường cao hạ từ O xuống cạnh AB download by : skknchat@gmail.com Sử dụng hệ thức lượng tam giác vuông OAB số Dấu xảy Tức ta có: Vậy ta có hệ phương trình: Vậy giá trị cần tìm là: Bình luận: Trong câu b) ta sử dụng kiến thức: độ dài đường chiếu nhỏ độ dài đường xiên Giống câu a) ta lại có câu hỏi: Cịn lời giải khác khơng? Và học sinh có hứng thú định em trở thành nhà thám hiểm thực kho tàng kiến thức! Để ý thấy: gợi cho ta nhớ tới bất đẳng thức Bunhiacopxki? Do gợi ý cho ta lời giải thứ sau: b) Lời giải Theo Xét: Dấu xảy Kết hợp với giả thiết ta có hệ phương trình: 10 download by : skknchat@gmail.com Vậy giá trị cần tìm là: Bình luận: Thật gọn, đẹp! Cịn có cách giải khác không? Đối với câu c) Giáo viên tránh cho học sinh sai lầm sử dụng bất đẳng thức AM-GM thông qua lời giải câu c) sau: c) Lời giải Ta có (Theo bất đẳng thức AM-GM) Mặt khác (Theo bất đẳng thức AM-GM) Từ suy ra: đánh giá Dấu xảy hai xảy dấu Điều tương đương với Dễ nhận thấy hệ vô nghiệm Như lời giải sai! c) Lời giải Ta có Mặt khác Do Ta Ta khảo sát hàm số với Ta có Lại có 11 download by : skknchat@gmail.com Ta có bảng biến thiên a - + Từ ta có kết luận: Bài Bài tốn góc sút khung thành Cho hai điểm A, B nằm phía so với đường thẳng thẳng Tìm đường điểm M cho M nhìn xuống A, B góc lớn nhất? Nhận xét: Bài số lý thú, gây hứng thú tị mị cho người làm tốn Dễ nhận thấy vài trường hợp đặc biệt tiếp tuyến đường trịn đường kính AB điểm M cần tìm tiếp điểm Vậy trường hợp cịn lại ta xử lý nào? N  I M A B Dựng đường tròn qua A, B tiếp xúcvới Xét điểm N Ta có M Ký hiệu đường tròn (C) khác M Gọi I giao (C) NB (cùng chắn cung AB) 12 download by : skknchat@gmail.com Mặt khác: Vậy M điểm cần tìm 2.Dạng tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ sử dụng phương pháp hình giải tích Bài Cho Tìm: biểu thức Lời giải Nhận xét: điều kiện đầu thoả mãn phương trình đường trịn: có tâm Gọi giá trị biểu thức Dễ nhận thấy đường trịn Vì có tâm Do ta giá trị biểu thức điều tương đương với phải có điểm chung (*) (*) 13 download by : skknchat@gmail.com So sánh kết (1); (2) (3) ta có Bình luận: Như ta sử dụng phương pháp hình học giải tích để tìm Max biểu thức A nhờ nhận xét điều kiện đầu Sẽ tương đối khó khăn tìm phương pháp khác cho số 10! Với 10 ta khái qt hố thành tập sau: Bài Cho thoả mãn điều kiện P Trong P biến đổi phương trình đường trịn biểu thức trịn u cầu tìm min, max biểu thức biến đổi đưa phương trình đường Quay lại Bài ta nhận thấy biểu thức A biến đổi nhờ điều kiện đầu Thực vậy: Từ giả thiết ta có Như gọi đường thẳng tâm giá trị biểu thức A Điều chứng tỏ đường trịn có phải có điểm chung (**) 14 download by : skknchat@gmail.com Vậy Bình luận: Với việc đưa biểu thức A dạng phương trình đường thẳng ta phải xử lý trường hợp so với việc đưa biểu thức A phương trình đường trịn PHẦN 3: BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài 1.Cho hai điểm đường thẳng đạt giá trị nhỏ nhất? ( Đáp số: Bài 2.Cho hai điểm điểm Tìm điểm ) đường thẳng Tìm đạt giá trị lớn nhất? Bài 3.Cho hai điểm đường thẳng Tìm cho : a) đạt giá trị nhỏ b) đạt giá trị lớn Bài Trong mặt phẳng toạ độ điểm , viết phương trình đường thẳng cắt trục Ox, Oy M, N cho qua đạt giá trị nhỏ nhất? 15 download by : skknchat@gmail.com Bài 5.Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, viết phương trình đường thẳng qua điểm , cắt chiều dương trục Ox, Oy điểm M, N khác gốc toạ độ cho diện tích tam giác MON đạt giá trị nhỏ nhất? Bài 6.Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, viết phương trình đường thẳng qua điểm , cắt chiều dương trục Ox, Oy điểm A; B khác gốc toạ độ cho đạt giá trị nhỏ nhất? Bài 7.Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức kiện: với điều Bài 8.Cho đường trịn: Tìm điểm H đường trịn (C) cho tam giác HAB có diện tích lớn nhất, nhỏ Bài 9.Cho đường trịn: Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M cắt (C) hai điểm phân biệt A, B cho diện tích tam giác IAB lớn I tâm đường tròn (C) Bài 10.Cho đường thẳng: Tìm đạt giá trị nhỏ (Đ/s: cho ) PHẦN 4: KẾT QUẢ THỰC HIỆN Chuyên đề thực lớp 11A1 năm học 2017-2018 Để đánh giá kết chuyên đề thực cho học sinh làm dạng chuyên đề trước sau giảng dạy kết thu khả quan Trước giảng dạy có số em làm sau giảng dạy chuyên đề đa số em định hình phương pháp làm thực thành thạo Kết cụ thể thống kê bảng sau KẾT QUẢ KIỂM TRA LỚP 11A1 Điểm Trước 2 27 10 16 download by : skknchat@gmail.com Sau 15 5 Như nhìn vào bảng thống kê đa số học sinh hiểu vận dụng thực tốn cực trị hình giải tích (Oxy) PHÂN 5: KẾT LUẬN Chun đề có giá trị thực tiễn công tác giảng dạy học tập học sinh giáo viên Phù hợp với khả nhận thức tiếp thu học sinh Chuyên đề mở rộng tốn cực trị khơng gian Do trình độ nên chun đề cịn số khiếm khuyết, mong đóng góp ý kiến đồng nghiệp để chuyên đề có giá trị cao Xin trân trọng cảm ơn! TÀI LIỆU THAM KHẢO Hạ Vũ Anh - Phương pháp Vectơ phương pháp toạ độ hình học Nguyễn Minh Hà (Chủ biên) – Nguyễn Xuân Bình - Bài tập nâng cao số chuyên đề hình học 10 Trần Văn Hạo (Chủ biên) - Đại số 10 MỤC LỤC PHẦN 1: MỞ ĐẦU I Lý chọn đề tài II Mục đích nghiên cứu III Nhiệm vụ nghiên cứu IV Phương pháp nghiên cứu V Những điểm sáng kiến kinh nghiệm PHẦN 2: NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM “TÌM HIỂU BÀI TỐN CỰC TRỊ HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG Oxy” I Cơ sở lý luận II.Tình hình thực tế trước thực đề tài III Một số dạng tốn cực trị hình học giải tích chương Trang 1 1 1 2 4 17 download by : skknchat@gmail.com trình phổ thơng Dạng tìm điểm thỏa mãn yếu tố cực trị Dạng tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ sử dụng phương 11 pháp hình giải tích PHẦN 3: BÀI TẬP VẬN DỤNG PHẦN 4: KẾT QUẢ THỰC HIỆN PHẦN 5: KẾT LUẬN TÀI LIỆU THAM KHẢO 13 15 15 XÁC NHẬN CỦA HỆU TRƯỞNG Thanh Hoá, ngày 25 tháng 05 năm 2018 Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Lê Quốc Tuấn Lê Đức Huy 18 download by : skknchat@gmail.com ... KIẾN KINH NGHIỆM “TÌM HIỂU BÀI TỐN CỰC TRỊ HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG Oxy? ?? I Cơ sở lý luận II.Tình hình thực tế trước thực đề tài III Một số dạng toán cực trị hình học giải tích chương Trang... pháp tốn cực trị hình học giải tích mặt phẳng Oxy III Một số dạng tốn cực trị hình học giải tích chương trình phổ thơng 1.Dạng tìm điểm thỏa mãn yếu tố cực trị Bài 1.Cho đường thẳng Tìm điểm... mạnh dạn đưa ý tưởng ? ?Tìm hiểu tốn cực trị hình học giải tích mặt phẳng Oxy? ?? II Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu sở lý luận thực tiễn phương pháp giải tốn cực trị hình học giải tích III Đối tượng