(SKKN mới NHẤT) SKKN sử dụng phương pháp véc tơ để giải bài toán cực trị hình học không gian

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THPT THẠCH THÀNH I SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP VÉC TƠ ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC KHƠNG GIAN Người thực : Nguyễn Cơng Phương Chức vụ : Giáo viên SKKN thuộc mơn :Tốn THANH HÓA NĂM 2018 download by : skknchat@gmail.com MỤC LỤC STT Tên mục Mở đầu Trang 2 1.1 Lí chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2.2.1 Thuận lợi 10 2.2.2 Khó khăn 11 2.2.3 Số liệu thống kê 12 2.3.Các giải pháp thực đề tài 13 2.3.1 Lý thuyết véc tơ 14 2.3.2 Một số ví dụ minh họa 15 2.3.3 Bài tập tự luyện 17 16 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường 17 Kết luận kiến nghị 18 3.1 Kết luận 18 19 19 3.2 Kiến nghị download by : skknchat@gmail.com 19 19 PHẦN MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài: Trong thực tế giảng dạy thấy : Đa số học sinh ngại học môn hình học, đặc biệt tốn cực trị hình học khơng gian Bởi vì, mơn học khó địi hỏi trí tưởng tượng, óc thẩm mỹ tính tư cao, khơng phải học sinh học tốt Việc sử dụng phương pháp véc tơ để giải tốn cực trị hình học khơng gian, đơi ta biến tốn khó thành tốn đơn giản, lời giải ngắn gọn hơn, khơng địi hỏi nhiều đến khả tư duy, kỹ vẽ hình chứng minh hình học Khi dạy phần hình học khơng gian lớp 11 cho học sinh thấy học sinh bế tắc phương pháp cho loại tốn sách giáo khoa hay sách tập khơng có nhiều tập loại lại có đề thi tốt nghiệp THPTQG xuất nhiều đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh khiến cho học sinh bối rối phương pháp, nhiều học sinh không làm hết phải bỏ qua tốn hình học thi Trong em lại làm tốt biến đổi đại số chứng minh bất đẳng thức việc sử dụng phương pháp véc tơ chuyển tốn hình học với tư trìu tượng hướng tư biến đổi đại số, giải tích mang lại hứng thú tính sáng tạo cho em học sinh Bởi việc giúp em có cách tiếp cận cho dạng tốn cực trị hình học, thêm hứng thú học tập phát triển tư thúc viết đề tài sáng kiến kinh nghiệm “sử dụng phương pháp véc tơ để giải toán cực trị hình học khơng gian” 1.2 Mục đích nghiên cứu: - Giúp học sinh hệ thống hóa có kiến thức vững lý thuyết vec tơ - Hướng dẫn học sinh giải toán toán cực trị hình học khơng gian lớp 11 phương pháp véc tơ - Thông qua việc học sinh giải tốn số tình cụ thể Từ bồi dưỡng cho học hoc sinh kỹ giải toán khả tư sáng tạo 1.3 Đối tượng nghiên cứu: Véc-tơ tính chất véc-tơ hình học phẳng khơng gian liên quan đến toán cực trị 1.4 Phương pháp nghiên cứu: - Phương pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu sách giáo khoa, sách tập ,sách tài liệu đề thi học sinh giỏi tỉnh - Phương pháp điều tra thực tiễn : Quan sát trình học tập lấy phiếu điều tra đối tượng học sinh trước sau dạy chuyên đề download by : skknchat@gmail.com PHẦN NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lí luận: Véc tơ xem kiến thức hình học ứng dụng rộng rãi hình học phẳng hình học không gian Lý thuyết véc tơ bắt nguồn từ vật lý sáng lập nhà lý hóa học người Mỹ Josiah Willard Gibbs (1839 -1903 ) Cũng theo Josiah Willard Gibbs Để giải toán phương pháp véc tơ ta thực theo bước sau :  Bước : Thực việc chọn hệ véc tơ thích hợp, chuyển tốn hình học khơng gian tốn biến đổi véc tơ dựa vào tính chất véc tơ  Bước : Giải toán hình học véc tơ nói  Bước : Chuyển kết luận tốn hình học khơng gian sang tính chất hình học véc tơ tương ứng Tuy nhiên qua thực tế , việc học nắm vững bước để vận dụng vào giải tốn thật khơng đơn giản học sinh, qúa trình trừu tượng hố khái qt hóa việc rèn luyện tư tốn học Do vậy, thơng qua số tốn cụ thể để hướng dẫn em làm quen dần với việc giải tốn hình học khơng gian phương pháp véc tơ 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm: 2.2.1 Thuận lợi: Khái niệm vectơ không gian đưa vào nội dung chưng trình lớp 11, làm cơng cụ nghiên cứu quan hệ vng góc hai đường thẳng, đường thẳng với mặt phẳng, hai mặt phẳng khoảng cách số đối tượng hình học không gian Việc sử dụng vectơ để xây dựng quan hệ vng góc khơng gian làm cho cách diễn đạt số nội dung hình học gọn nhẹ hơn, học sinh dễ dàng tiếp thu Mặt khác số kiến thức vectơ sở chuẩn bị cho việc xây dựng khái niệm tọa độ khơng gian chương trình hình học lớp 12, cơng cụ hữu ích để giải nhiều tốn hình học khơng gian 2.2.2 Khó khan: Khơng học sinh chưa nắm vững kiến thức véc tơ khái niệm phần học từ lớp 10, sách giáo khoa lại trình bày phần lý thuyết tính đồng phẳng véc tơ chưa sau, tập vận dụng ít, đề thi năm trước đề cập đến phần nên nhiều học sinh giáo viên trọng download by : skknchat@gmail.com Đây nội dung khó học sinh lớp 11 Do chưa tìm phương pháp thích hợp để giải tốn nên nhiều vướng mắc, từ thiếu hứng thú học tập.Để giúp em mau chóng tiếp cận phương pháp giảng dạy mới, đòi hỏi nỗ lực tâm cao thầy trò 2.2.3 Số liệu thống kê: Kế làm kiểm tra khảo sát mơn hình học 42 học sinh lớp 11 trước thực đề tài Khối lớp 11 Tổng số học sinh 42 KẾT QUẢ XẾP LOẠI Giỏi Khá Trung bình Yếu TS % TS % TS % TS % 2,3% 11,9% 30 71,4 14 ,4 2.3.Các giải pháp thực đề tài: Trước hết cần hệ thống hóa lại lý thuyết véc tơ , nêu tóm tắt tính chất kết quan trọng trình bày sách giáo khoa lớp 10 11 2.3.1 [1] Lý thuyết véc tơ : Các qui tắc  Qui tắc ba điểm: Với ba điểm , , ta có: B Mở rộng: Cho n điểm A  Qui tắc trừ (ba điểm cho phép trừ): Với ba điểm , , ta có:  Qui tắc hình bình hành: Với hình bình hành ta có: C Ta có: download by : skknchat@gmail.com B  Qui tắc hình hộp Cho hình hộp với chung đỉnh C A , D , ba cạnh có đường chéo, ta có: D C A B D' C' A' B' Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng: - Khái niện đồng phẳng ba vectơ khơng gian Cho ba vectơ , , (¹ ) khơng gian Từ điểm O ta dựng , , Khi xảy hai trường hợp:  Các đường thẳng , , không nằm mặt phẳng ta nói ba vectơ , , không đồng phẳng  Các đường thẳng , , nằm mặt phẳng ta nói ba vectơ , , đồng phẳng  a  b  c B C A O  - Định nghĩa Ba vectơ gọi đồng phẳng giá chúng song song với mặt phẳng Trên hình bên, giá vectơ , , song song với mặt phẳng (a) nên ba vectơ , , đồng phẳng - Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng Định lí download by : skknchat@gmail.com   Cho ba vectơ , , a b không phương Điều kiện cần đủ để ba vectơ , , đồng phẳng có số , cho  b A  c  c  m.a  a O  n.b B Phân tích vectơ theo ba vectơ khơng đồng phẳng Định lí Nếu ba vectơ , , khơng đồng phẳng với vectơ số , , cho  pc D  c   d nb O ma A , ta tìm  b  a D' *) Chú ý  Với ba vectơ khác vectơ - không đồng phẳng tồn số thực  Xét ba tia gốc mặt phẳng cho , điểm thuộc , ta có với Thật vậy:  Một phát biểu khác Bốn diểm đồng phẳng điểm bất kì, ta có download by : skknchat@gmail.com Việc học nắm vững lý thuyết, bước giải toán để vận dụng vào giải tốn thật khơng đơn giản học sin Do cần thông qua số toán cụ thể để hướng dẫn em làm quen dần với việc giải tốn hình học khơng gian phương pháp véc tơ 1.3.2 Một số ví dụ minh họa Bài [2].Cho tứ diện tâm có , mặt phẳng tứ diện, cắt cạnh qua trọng Chứng minh rằng: (khác ) Tìm giá trị lớn biểu thức : Lời giải Vì mà bốn điểm phẳng nên đồng Lại có Nên Bài [3] Cho tứ diện có cạnh điểm thuộc miền tam giác đơi vng góc Tìm giá trị nhỏ download by : skknchat@gmail.com A P H O C B + Do không đồng phẳng nên tồn số cho + Mặt khác + Theo giả thiết nằm mặt phẳng vecto nằm mặt phẳng sảy + Thay vào nên Vì để ta download by : skknchat@gmail.com Cách Gọi kẻ Kẻ (1) Tương tự: (2) (3) Từ (1), (2), (3) Lại có: Do Bài Vậy MinT=2 M trùng H [4] Cho tứ diện cạnh , hai điểm chạy tương ứng đoạn cho Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ Lời giải +) Đặt , với Khi ta có: +) Ta có: Do đó: +) +) Xét hàm số đoạn ta có: download by : skknchat@gmail.com +) Bài đạt giá trị nhỏ trung điểm +) đạt giá trị lớn , , [5] Cho tứ diện ABCD thỏa mãn điều kiện điểm X thay đổi khơng gian Tìm vị trí điểm X cho tổng đạt giá trị nhỏ Lời giải A Q M G D B N P C Gọi G trọng tâm tứ diện; M, N, P, Q trung điểm cạnh AB, CD, BC, AD Ta có tam giác ACD tam giác BCD nên suy , tương tự ta chứng minh đường thẳng PQ vng góc với hai đường thẳng BC, AD Từ suy Ta có Dấu xảy X trùng với điểm G Vậy X trọng tâm tứ diện ABCD nhỏ download by : skknchat@gmail.com Bài [6] Cho hình chóp , Cho hai điểm có Hai , thỏa mãn thay đổi, nằm hai đoạn thẳng Tìm giá trị nhỏ độ dài đoạn điểm Lời giải Đặt Suy Kết luận giá trị nhỏ Bài [7] Cho hình chóp có tâm tam giác Mặt phẳng cạnh thức Gọi trọng qua trung điểm cắt Tính giá trị nhỏ biểu Lời giải Do Do trọng tâm suy Khi đồng phẳng nên Áp dụng BĐT bunhiacopxki, ta có 10 download by : skknchat@gmail.com Suy Bài [8] Cho tứ diện điểm mặt phẳng cho nhỏ Gọi trung điểm kỳ ta có Lời giải ; trung điểm Þ bé Û mặt phẳng Bài Tìm mặt phẳng Với bất hình chiếu [9] Cho tam giác , điểm tam giác Các đường thẳng qua song song với , , tương ứng cắt mặt , , , , Tìm điểm cho đạt giá trị nhỏ Lời giải Đặt , ; ; ; ; ; Trong mặt phẳng ; kẻ đường thẳng qua Trong mặt phẳng cắt Xét tam giác có , Xét tam giác : ; Trong Ta có nên Trong mặt phẳng , : Kẻ đường thẳng qua có song song với song song với nên cắt 11 download by : skknchat@gmail.com Tương tự ta có , Suy (do ) Ta có Suy (không đổi) Vậy giá trị lớn đạt Bài Hay [10] trọng tâm tam giác Cho tứ diện Tìm điểm không gian cho đạt giá trị nhỏ Lời giải A E O D B F C Gọi , , trung điểm đoạn , , Ta có: Lại có Suy ; 12 download by : skknchat@gmail.com Vậy đạt giá trị nhỏ Bài 10 [11] Cho lăng trụ tứ giác có chiều cao nửa cạnh đáy Với M điểm cạnh AB, tìm giá trị lớn góc Lời giải Chọn sở Gọi chiều cao h đáy hình vng cạnh 2h nên có số cho: , với Do Vậy lớn Bài 11 [12] Cho hình lập phương trung điểm cạnh nên M trung điểm AB cạnh Các điểm Điểm 13 download by : skknchat@gmail.com thuộc đoạn điểm thuộc đoạn mặt phẳng góc cho đường thẳng tạo với a Chứng minh b Tìm giá trị nhỏ Lời giải A' D' C' B' K M N B H D A E F I C a) + Đặt + + + Suy b) + Ta có + Giả sử với với + Khi + tạo với góc góc 14 download by : skknchat@gmail.com Tức + Từ ta có + Do + Áp dụng bất đẳng thức bunhia vào + Vì ta nên ta có + Mặt khác + Thay + Vậy vào ta có Dấu “=” sảy Bài 12 [13] Cho hình lập phương thuộc đoạn , điểm cạnh thuộc đoạn Tìm theo để đoạn Lấy điểm cho ngắn Lời giải 15 download by : skknchat@gmail.com Khi Vậy ngắn đạt Để củng cố kiến thức phát huy tính tư sáng tạo học sinh cần làm thêm tập tương tự tập có phương pháp giải sau đó, giải tốn bàng nhiều phương pháp để rút tính hiệu ưu điểm phương pháp toán 2.3.3 Bài tập tự luyện: Bài [14] (Đề thi HSG tỉnh Thanh Hóa năm học 2017-2018) Cho tứ diện có Một mặt phẳng thay đổi qua trọng tâm tứ diện cắt cạnh điểm Chứng minh biểu thức có giá trị không đổi 16 download by : skknchat@gmail.com Bài [15] Cho hình lập phương cạnh điểm cạnh Điểm thuộc đoạn điểm thuộc đoạn mặt phẳng góc Các điểm trung cho đường thẳng tạo với c Chứng minh d Tìm giá trị nhỏ Bài [16] Cho tứ diện có , , , , , Gọi bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện Chứng minh : Bài [17] Cho tứ diện có , , Với điểm bất kỳ, chứng minh với bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện Bài [18] Cho tứ diện có trọng tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp Các đường thẳng cắt mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Chứng minh 2.4Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường Các nội dung tốn cực trị ln phần khó học sinh giáo viên THPT Tuy nhiên, đưa nội dung đề tài vào giảng dạy tội thấy hiệu tích cực việc bồi dưỡng học sinh khá, giỏi Nhiều học sinh chủ động tìm tịi, định hướng sáng tạo nhiều cách giải tốn khơng cần gợi ý giáo viên Từ mang lại kết bất ngờ từ việc giải tốn thơng qua phương pháp sáng tạo cho học sinh Nhiều học sinh có học lực mơn tốn giải số tốn khó đề thị Đặt biết em đội tuyển học sinh giỏi nhà trường đạt thành tích cao kỳ thi học sinh giỏi cấp tỉnh năm học 2017-2018 Kết khảo sát môn hình học 36 học sinh lớp 11 sau thực đề tài: 17 download by : skknchat@gmail.com Khối lớp 11 Tổng số học sinh KẾT QUẢ XẾP LOẠI TS % TS % TS % TS % 42 16,7 15 35,7 17 40,4 7,1 Giỏi Khá Trung bình Yếu Từ kết cho thấy tỉ lệ giỏi tăng, yếu giảm so với kiểm tra khảo sát đầu học kì II năm học tỉ lệ tăng mạnh vào nhóm học sinh có học lực giỏi KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận: Bài viết vài kinh nghiệm nhỏ chuyên đề “sử dụng phương pháp véc tơ để giải tốn cực trị hình học khơng gian” chuyên đề không chưa nhiều thầy đồng nghiệp trọng nghiên cứu hay có viết chuyên sâu dạng toán Với thời gian nghiên cứu sưu tầm tài liệu năm, tài liệu tổng hợp lý thuyết sở cho dạng tốn, đưa ví dụ minh họa làm rõ phương pháp bao gồm dạng tốn liên quan đến hình chóp hình lăng trụ Cuối chuyên đề phần tập vận dụng tương tự cho học sinh tự học nhằm khắc sâu kiến thức Hiệu việc chuyển hình học hướng tư biến đổi đại số, giải tích mang lại hiệu tích tích cực công tác dạy học Tuy nhiên với thời lượng khơng cho phép, nội dung sáng kiến cịn hạn chế mà tác giả trăn trở để tiếp tục hoàn thiện thời gian tới như: - Nội dung đề tài áp dụng phù hợp cho học sinh có học lực giỏi , bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi, chưa có nội dung áp dụng cho học sinh có học lực trung bình yếu - Đề tài véc tơ nhiều nội dung khác sử dụng phương pháp véc tơ để chứng minh quan hệ song song, vng góc , tính khoảng cách, tính góc … chưa đề cập đến 3.2 Kiến nghị: 18 download by : skknchat@gmail.com Đối với giáo viên: Cần tích cực nâng cao trình độ, lực giảng dạy, không ngừng học tập, tự bồi dưỡng chuyên môn nghiệp vụ đặc biệt phương pháp dạy học phù hợp với đối tượng học sinh Ngoài kiến thức sách giáo khoa, sách tập, giáo viên ln tìm tịi tích lũy kinh nghiệm để có thêm nhiều phương pháp giúp học sinh thêm hứng thú tìm thấy niềm vui học tập Đối với tổ chuyên môn nhà trường: Cần tổ chức hiệu buổi sinh hoạt chuyên môn phương pháp giảng dạy kiểu khó, để giáo viên trao đổi, chia sẻ kinh nghiệm thống cách dạy dạng cụ thể Việc dự giờ, góp ý cho đồng nghiệp kiểu bài,dạng toán cần thực cách thường xuyên để nâng cao chất lượng dạy học nhà trường nói chung mơn Tốn học nói riêng Bên cạnh cần tham khảo sáng kiến kinh nghiệm đánh giá từ Hội đồng khoa học cấp tỉnh để triển khai tới tổ viên, tạo hội cho tổ viên học hỏi, rút kinh nghiệm cho chun mơn Tạo phong trào viết sáng kiến kinh nghiệm công việc thương niên người để có thêm nhiều tài liệu tốt dạy bồi dưỡng cho học sinh Đối với Sở giáo dục đào tạo: Thường xuyên tổ chức lớp tập huấn, chuyên đề lĩnh vực chuyên môn nội dung giảng dạy khiến nhiều giáo viên băn khoăn, lúng túng cách thực hiện, đặc biệt phát động trào viết chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi, phù đạo học sinh yếu Những sáng kiến kinh nghiệm đánh giá cao, sát với thực tiễn, dễ vận dụng cần phổ biến rộng rãi để giáo viên tỉnh có hội học tập kinh nghiệm lẫn Sáng kiến kinh nghiệm đề tài“sử dụng phương pháp véc tơ để giải tốn cực trị hình học khơng gian” Là chuyên đề nhỏ việc áp ứng dụng véc tơ vào giải tốn hình học Trong q trình thực hiện, khơng tránh khỏi thiếu sót Rất mong quan tâm đóng góp ý kiến, trao đổi, bổ sung bạn bè đồng nghiệp Ban giám khảo Hội đồng khoa học ngành để sáng kiến kinh nghiệm tơi hồn thiện Xin chân thành cảm ơn! XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thạch thành, ngày 25 tháng năm 2018 Tôi xin cam đoan SKKN thân không chép nội dung người khác Người viết 19 download by : skknchat@gmail.com Nguyễn Công Phương 20 download by : skknchat@gmail.com III Tài liệu tham khảo [1] Sách giáo khoa sách tập hình học lớp 10 11 – nhà xuất Giáo dục Hà Nội ,năm 2007 [2], [3], [4], [5], [10] Tuyển tập đề thi học sinh giỏi THPT mơn tốn, nhà xuất Đại học quốc gia Hà Nội, 2016 ,tác giả:Hà Duy Hưng,Nguyễn Sơn Hà,Nguyễn Ngọc Giang,Lê Minh Cường [14] Đề thi HSG tỉnh Thanh Hóa năm học 2017-2018 [7], [8] [9], Tinh lọc chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi - nhà xuất Đại học quốc gia Hà Nội, 2013 ,tác giả: Văn Phú Quốc, Huỳnh Công Thái [6], [15], [16] , [17], [18], Tuyển tập đề thi Olimpic 30 tháng mơn tốn, nhà xuất Đại học quốc gia Hà Nội năm 2016 [10], [11] [12], [13] Tuyển tập đề thi Olimpic 30 tháng mơn tốn, nhà xuất Đại học quốc gia Hà Nội năm 2012 download by : skknchat@gmail.com DANH MỤC CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CẤP SỞ TỪ LOẠI C TRỞ LÊN Họ tên tác giả: Nguyễn Công Phương Chức vụ đơn vị công tác: Giáo viên trường THPT Thạch thành TT Tên đề tài SKKN Kết Cấp đánh đánh giá giá xếp loại xếp loại (Phòng, Sở, (A, B, Tỉnh ) C) Sở GD&ĐT B Thanh Hóa Phát triển tư cho học sinh qua tốn hình học nhiều cách giải Ứng dụng phương pháp tọa Sở GD&ĐT độ giải tốn hình học Thanh Hóa khơng gian Năm học đánh giá xếp loại C download by : skknchat@gmail.com 2011-2012 2014-2015 ... lẫn Sáng kiến kinh nghiệm đề tài? ?sử dụng phương pháp véc tơ để giải tốn cực trị hình học không gian? ?? Là chuyên đề nhỏ việc áp ứng dụng véc tơ vào giải tốn hình học Trong q trình thực hiện, khơng... cận cho dạng tốn cực trị hình học, thêm hứng thú học tập phát triển tư thúc viết đề tài sáng kiến kinh nghiệm ? ?sử dụng phương pháp véc tơ để giải toán cực trị hình học khơng gian? ?? 1.2 Mục đích... Gibbs Để giải toán phương pháp véc tơ ta thực theo bước sau :  Bước : Thực việc chọn hệ véc tơ thích hợp, chuyển tốn hình học khơng gian toán biến đổi véc tơ dựa vào tính chất véc tơ  Bước : Giải