bài tập tích phân kép

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH KHOA TỐN - TIN HỌC TÍCH PHÂN KÉP GIẢNG VIÊN HƯỚNG DẪN: TS Nguyễn Thành Nhân NHÓM SINH VIÊN THỰC HIỆN: NHÓM LỚP HỌC PHẦN: MATH140702 (Lớp chiều thứ tư 2022) ——————————o0o—————————– Thành phố Hồ Chí Minh - 2022 GIỚI THIỆU THÀNH VIÊN NHÓM STT HỌ VÀ TÊN MSSV PHÂN CƠNG NHIỆM VỤ ĐĨNG GĨP Huỳnh Hữu Phước 46.01.101.119 Ý nghĩa hình học tích phân kép 100% (Nhóm trưởng) Đinh Phan Khánh Vũ 44.01.101.154 Tổng hợp nội dung trình bày Latex 100% Vũ Thục Thúy Quỳnh 43.01.101.089 Định nghĩa tích phân kép 100% Phú Lương Chí Quốc 46.01.101.127 Ý nghĩa hình học tích phân kép 100% Đỗ Hồng Tú 44.01.101.130 Vẽ hình 100% Trần Thanh Tâm 44.01.101.126 Ứng dụng tích phân kép 100% Trương Thị Mai Phương 43.01.101.083 Định nghĩa tích phân kép 100% Trịnh Kim Mai 46.01.101.083 Soạn Powerpoint 100% Mục lục Định nghĩa tích phân kép Tính chất tích phân kép Ý nghĩa hình học 4 Ứng dụng tích phân hai lớp 10 4.1 Tính diện tích hình phẳng 10 4.2 Tính thể tích vât thể 10 4.3 Tính khối lượng mỏng, không đồng chất 11 4.4 Tính diện tích mặt cong 11 Ứng dụng tích phân bội ba 12 5.1 Ứng dụng hình học 13 5.2 Ứng dụng học 13 Tài liệu tham khảo 14 Giải tích hàm nhiều biến Khoa Tốn-Tin học Định nghĩa tích phân kép • Xét mặt phẳng Oxy, miền kín D giới hạn đường L (đóng bị chặn; miền D kín giới hạn đường cong kín điểm biên L coi thuộc D) • Ta xét hình trụ, có mặt đáy miền D mặt mặt cong z = f (x, y)(f (x, y) xác định liên tục miền D) • Khi đó, ta chia miền D thành n phần có diện tích tương ứng ∆Si , i = 1, 2, , n miền có đường kính (đường kính miền khoảng cách lớn hai điểm thuộc miền Hay ta ký hiệu: di = {d(x, y); ∀(x, y) ∈ ∆Si }) • Lấy miền điểm Pi (xi , yi ) miền ∆Si , hình trụ xấp xỉ với hình trụ có đáy ∆Si chiều cao f (xi , yi ) Do đó, thể tích hình trụ có mặt đáy D mặt f (x, y) có thề tính xấp xỉ bởi: n f (xi , yi ) · Si Vn = i=1 • Như vậy, tổng Vn phụ thuộc vào cách chia (còn gọi phân hoạch) miền D cách chọn điểm Pi Do vậy, chia miền D nhiều thể tích hình trụ xác Nghĩa đường kính di điểm nhỏ (càng tiến ) ta có xác diện tích miền D • Vậy, cho n → ∞ cho max (di ) → Khi đó, tổng Vn tiến đến giá trị hữu hạn V không phụ thuộc cách chia miền D cách chọn điểm Pi giới hạn y gọi tích phân kép hàm Giải tích hàm nhiều biến Khoa Toán-Tin học f (x, y) miền D ký hiệu là: D f (x, y)ds • Trong đó: hàm số f (x, y) gọi hàm dấu tích phân; D gọi miền lấy tích phân; ds yếu tố diện tích Nhận xét: a Từ định nghĩa ta thấy rằng, tích phân kép (tích phân hai lớp) xuất phát từ yêu cầu tính thề tích hình trụ có mặt mặt cong mặt đáy hình chiếu mặt cong xuống mặt phẳng z = Do đó, f (x, y) > Tuy nhiên, ta xét trường hợp f (x, y) < (trường hợp xem hình trụ có mặt f (x, y) mặt mặt phẳng z = 0) Và vậy, ta xét f (x, y) hàm có dấu b Do tích phân hai lớp khơng phụ thuộc vào cách chia miền D nên ta chia miền D đường thẳng song song với trục Oy (cách khoảng ∆x ) đường thẳng song song với trục Ox (cách đoạn ∆y) Khi ∆s = ∆x ∆y ds thay bời dxdy Nên ta thường dùng ký hiệu: f (x; y)ds = D f (x; y)dxdy D c Nếu hàm số f (x, y) liên tục miền kín D khả tích miền D Nghĩa là, D f (x; y)dxdy tồn (ta công nhận điều này) Tính chất tích phân kép Từ định nghĩa, ta rút tính chất sau tích phân kép: 2.1 D dxdy = S(D) (diện tích miền D) 2.2 D C.f (x; y)dxdy = C 2.3 D (f (x; y) + g(x; y))dxdy = D f (x; y)dxdy D f (x; y)dxdy + D g(x; y)dxdy 2.4 Nếu miền D chia thành phần D1 D2 khơng có điểm chung (D1 D2 có điểm biên chung) thì: f (x; y)dxdy = D f (x; y)dxdy + D1 f (x; y)dxdy D2 2.5 Nếu f (x; y) ≤ g(x; y) D : f (x; y)dxdy ≤ D g(x; y)dxdy D 2.6 Nếu m ≤ f (x; y) ≤ M, ∀(x; y) ∈ D m.S(D) ≤ f (x; y)dxdy ≤ M · S(D) D Ý nghĩa hình học Ở chương trình Tốn THPT đặc biệt lớp 12 ta biết ý nghĩa tích phân tính diện tích miền cần lấy tích phân ví dụ cho miền tơ màu miền tạo độ thị f(x) trục Ox đoạn [a, t] Giải tích hàm nhiều biến Khoa Tốn-Tin học Ta chia phần diện tích thành phần hình chữ nhật liên tiếp với chiều rộng hình ∆x t Khi tổng diện tích hình chữ nhật f (x)∆x Ta tiếp tục chia miền thành hình chữ a t nhật ngày nhỏ tổng trở thành f (x).dx diện tích phần tô màu a Áp dụng tư tưởng ta thu cơng thức tính thể tích hình đối xứng sau, xét đường cong f(x): Giải tích hàm nhiều biến Khoa Tốn-Tin học Ta cho f(x) quay quanh trục Ox ta thu sau: Khi diện tích hình trịn đáy tạo thành π(f (x))2 Ta cắt hình thành lát mỏng có độ dày dx Giải tích hàm nhiều biến Khoa Tốn-Tin học Khi thể tích lát mỏng π[f (x)]2 dx Ta cộng thể tích lát mỏng từ tới a lại ta a π[f (x)]2 dx Tương tự nhu ý tưởng tính diện tích nêu ta tiếp tục chia hình nón thành a π[f (x)]2 dx Và cách tính thể tích hình đối lát mỏng ngày nhỏ tổng trở thành xứng Vậy vấn đề đặt làm để tính thể tích hình khơng đối xứng Ví dụ hình đây: Giải tích hàm nhiều biến Khoa Tốn-Tin học Và để tính thể tích hình ta phải sử dụng đến tích phân kép cụ thể sau: Xét mặt phẳng (Oxz) ta có: Sử dụng ý nghĩa tích phân nêu ta chứng minh diện tích miền tạo đồ thị f (x) trục Ox đoạn [0, b] b f (x, y)dx Xét đoạn dy Oy Khi ta thu phần hình tơ màu sau: Giải tích hàm nhiều biến Khoa Toán-Tin học b Như ta thu thể tích phần hình tơ màu f (x, y)dx dy Ta tiếp tục cắt hình cần tính thành nhiều hình nhỏ hình đây: Giải tích hàm nhiều biến Khoa Tốn-Tin học Khi ta thu thể tích cần tính là:  b a a b f (x, y)dxdy =   f (x, y)dxdy 0 Đây ý nghĩa hình học tích phân kép mà ta học Ứng dụng tích phân hai lớp 4.1 Tính diện tích hình phẳng Trong tích phân kép D f (x, y)dxdy, coi f(x, y) = D dxdy biểu diển thể tích hình trụ đáy miền D, chiều cao , số đo diện tích miền D Vậy diện tích miền D là: dxdy hay S = S= rdrdφ D D Vi dụ Tìm diện tích miền giới hạn đường: y = − x2 yà y = x Miền D biểu diễn dạng: −2 ≤ x ≤ 1; Diện tích miền D là: SD = 4.2 D dxdy = −2 dx x ≤ y ≤ − x2 2−x2 − dy = 27 (đvdt) Tính thể tích vât thể Từ ý nghĩa hình học tích phân kép ta tích hình trụ cong giới hạn mặt z = f (x, y) miền D đường sinh song song với trục Oz là:   f (x, y)dxdy D V=  − f (x, y)dxdy D f (x, y) ≥ f (x, y) ≤ Trong trường hợp cần tính thể tích vật thể giới hạn mặt cong z1 = f1 (x, y), z2 = f2 (x, y) với giả thiết f1 (x, y) ≤ f2 (x, y) miền D hình chiếu mặt biên lên mặt phẳng xOy [f2 (x, y) − f1 (x, y)] dxdy V= D Trường hợp tổng quát: |f2 (x, y) − f1 (x, y)| dxdy V= 10 Giải tích hàm nhiều biến Khoa Tốn-Tin học Vi du Tìm thể tích hình giới hạn mặt: z = − y , y = x2 ,z = Mặt vật thể z = − y , Miền D giới hạn cảc đường y = y = Ta tích phải tính: V = 4.3 D x2 − y dxdy = 12, 2( (đvtt) Tính khối lượng mỏng, khơng đồng chất Giả sử có mỏng, phẳng có diện tích miền D, Tai điểm M(x, y) khối lượng riêng δ(x, y) khối lượng mỏng là: m = D δ(x, y)dxdy Ví du Tìm khối lương phẳng trịn khơng đồng chất bán kính R, biết khối lương riêng theo diên tích phẳng điểm M(x, y) tỷ lê với khoảng cách từ điểm M(x, y) đến tâm bản, nghĩa : δ(x, y) = k x2 + y Chọn hệ trục tọa độ Oxyz với gốc O trùng tâm Áp dung cơng thức nêu ta có: m= k x2 + y dxdy, D mặt trịn x2 + y2 ≤ R2 D Chuyển sang toạ độ cưc ta có: 2π m= 4.4 R kr2 dr = 2kπ · dφ r3 R = 2kπR3 Tính diện tích mặt cong Cho mặt (giới hạn đường kín) có phương trình z = f (x, y) f (x, y) hàm số liên tục có đạo hàm riêng liên tục Khi đó, diện tích mặt cong có phương trình z = f (x, y) 11 Giải tích hàm nhiều biến Khoa Tốn-Tin học tính cơng thức sau: S= ∂z ∂x 1+ D ∂z ∂y + dxdy D hình chiếu S xuống mặt phẳng xOy Ví du Tính diên tích phần mặt cầu x2 + y + z = nằm bên mặt trụ x2 + y = 2x Do tính đối xứng nên ta xét phần mặt nằm góc phần tám thứ Khi đó: z= ∂z =− ∂x − x2 − y ; x 4− x2 − y2 ∂z =− ∂y ; y − x2 − y Vậy diện tích mặt cong là: S=4 − x2 − y D dxdy Trong D nửa mặt tròn x2 + y2 − 2x ≤ 0, y ≥ Chuyển sang toạ độ cực, ta được: π dφ S=8 cos φ cos φ π rdr √ =−8 − r2 4− r2 π (1 − sin φ)dφ = 16 dφ = 16 0 π − (dvdt) Ứng dụng tích phân bội ba Tích phân bội hàm số f(x, y, z) xác định miền đóng, giới nội D không gian Oxyz xác định sau: Nếu miền D giới hạn mặt z = z1 (x, y), z = z2 (x, y), với z1 (x, y), z2 (x, y) hàm số liên tục miền D1 - hình chiếu D lên mặt phẳng Oxy, miền D1 giới hạn đường y = y1 (x), y = y2 (x), y1 (x), y2 (x) hàm số liên tục đoạn [a, b], đó: b I= y2 (x) dx a z2 (x,y) dy y1 (x) f (x, y, z)dz z1 (x,y) 12 Giải tích hàm nhiều biến Khoa Tốn-Tin học 5.1 Ứng dụng hình học Vật thể D khơng gian Oxyz tích cho bởi: V (D) = D dxdydz Trong trường hợp D giới hạn mặt z = f2 (x, y) giới hạn mặt z = f1 (x, y) giới hạn xung quanh mặt trụ có đường sinh song song với Oz có đường chuẩn biên D′ Oxy thì: [f2 (x, y) − f1 (x, y)] dxdy V (D) = D′ x2 + y nằm mặt cầu x2 + y + z = Vi du Tính thể tích phần hình nón z ≥ x2 + y nằm hình cầu x2 + y + z ≤ Khi đó: Giải Gọi D vật thể hình nón z ≥ V (D) = dxdydz D Chuyển sang hệ toạ độ cầu thì: V (D) = D Trong miền giới hạn là: ≤ r ≤ 2, ≤ θ ≤ 2π Như : V (D) = 5.2 π dφ dθ 2 r r2 sin θdrdθdφ π 4, sin θdr = π (2 ≤ φ ≤ 2π √ − 2)( đvtt ) Ứng dụng học • Tính khối luợng Khối lương vật thể D có khối lượng riêng M(x, y, z) f(x, y, z) thì: m(D) = • Momen qn tính vật thể D với khối lượng riêng ρ(x, y, z) đối với: i Trục Ox: Ix = y + z ρ(x, y, z)dxdydz D ii Trục Oy: Iy = iii Trục Oz: Iz = x2 + z ρ(x, y, z)dxdydz D y + x2 ρ(x, y, z)dxdydz D iv Mặt Oxy: Ixy = v Mặt Oyz: Iyz = vi Mặt Oxz: Ixz = D D z ρ(x, y, z)dxdydz x2 ρ(x, y, z)dxdydz D y ρ(x, y, z)dxdydz vii Gốc toa đô: IO = D x2 + y + z ρ(x, y, z)dxdydz • Momen tĩnh D với khối lượng riêng; ρ(x, y, z) i Mặt Oxy: Mxy = ii Mặt Oyz: Myz = iii Mặt Oxz: Mxz = D zρ(x, y, z)dxdydz D xρ(x, y, z)dxdydz D yρ(x, y, z)dxdydz • Trọng tâm D với khối luợng riêng ρ(x, y, z): xG = Myz Mxz Mxy , yG = , zG = m(D) m(D) m(D) 13 D f (x, y, z)dxdydz Tài liệu tham khảo [1] Giáo trình Giải tích hàm nhiều biến (2022) - Nguyễn Thành Nhân [2] Toán cao cấp A2 – Nguyễn Hải Đăng [3] Giải tích (2014) – Ơn Ngũ Minh [4] https://thunhan.wordpress.com/bai-giang/giai-tich-2/double-integrals/ 14